微积分论文（4篇）

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微积分论文【第一篇】

关键词： 中间值问题 微分 积分 不动点

一、中间值问题的简介

人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代。古希腊数学家在几何研究中，得到如下结论：“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”，把弓形的底看作轴，弓形的两端点都在轴上，即两端点的函数值等于零，这正是罗尔定理的特殊情况。希腊著名数学家Archimedes正是巧妙地利用这一结论，求出了抛物弓形的面积。1635年，意大利Cavalieri在《不可分量几何学》的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理，其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦。这是几何形式的微分中值定理，被人们称为卡瓦列里定理。人们对微分中值定理的研究，从微积分建立之始就开始了。1637年，著名法国数学家Fermat在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理，在教科书中，人们通常将它称为费马定理。1691年，法国数学家Rolle在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理。1797年，法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理，并给出最初的证明。对微分中值定理进行系统研究的是法国数学家Cauchy，他是数学分析严格化运动的推动者，他的三部巨著《分析教程》、《无穷小计算教程概论》、《微分计算教程》，以严格化为其主要目标，对微积分理论进行了重构。他首先赋予中值定理以重要作用，使其成为微分学的核心定理。在《无穷小计算教程概论》中，柯西首先严格地证明了拉格朗日定理，又在《微分计算教程》中将其推广为广义中值定理――柯西定理，从而发现了最后一个微分中值定理。

另外，在历年的数学考研和数学竞赛中，中间值问题一直都是一个重要的考点。在数学专业的考研试题和数学竞赛中主要表现为利用介值定理估计函数在某一点的值，以及证明根的存在性，利用微分中值定理特别是拉格朗日中值定理证明存在性等，而在非数学专业的考研试题中主要表现为在选择题中利用介值定理或罗尔定理判断根的存在区间及证明根的存在性等。

二、中间值问题的应用

1.从《微积分》的角度来看中间值问题

《微积分》主要研究初等函数的连续性、可微性及可导性，而介值定理和微分中值定理分别是连续性、可微性的重要定理，因此中间值问题是微积分所要研究的重要问题之一，它主要表现为连续函数的介值、微分中值和积分中值这三种形式，其中微分中值是《微积分》的重点也是难点，另外它在《微积分》有关许多重要定理的证明中起着推导作用。例如，罗比达法则的证明中就用到了微分中值定理中的柯西中值定理。

2.从《泛函分析》的角度来看中间值问题

例：设A=［0，1］，f（x）是［0，1］上的一个可微函数，满足条件：f（x）∈［0，1］且|f′（x）|≤α＜1（?坌x∈［0，1］），则存在唯一x′∈［0，1］使得f（x′）=x′。

下证唯一性：假设另存在x″∈［0，1］使得x″=f（x″），则有

|x′-x″|=|f（x′）-f（x″）|≤α|x′-x″|

由α＜1可知x′=x″。故存在唯一的x′∈［0，1］使得f（x′）=x′。

由于［0，1］是一个完备的距离空间，且例1中的一个压缩映射，这就启发我们思考：例题的结论能否推广到一般的完备距离空间上去？答案是肯定的。事实上，若T：（?掊，ρ）（?掊，ρ）是一个压缩映射，任取x∈?掊，

参考文献：

［1］李文林。数学史教程。高等教育出版社，2008，8，（1）.

［2］梅向明，黄敬之。微分几何。高等教育出版社，2003-12-01，（3）.

［3］赵树。微积分。中国人民大学出版社，2007.

［4］王振鹏。泛函分析。吉林大学出版社，1990.

微积分论文【第二篇】

论文摘要微积分是与应用联系发展起来的，它是数学的一个重要的分支，其应用与发展已广泛的渗透到了物理学，化学，经济学等各个自然科学之中，是我们学习各门学科的重要工具。

微积分学是微分学和积分学的统称，它的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”。在数学史上，它的发展为现代数学做出了不朽的功绩。恩格斯曾经指出：微积分是变量数学最重要的部分，是数学的一个重要的分支，它实现带科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具。凡是复杂图形的研究，化学反映过程的分析，物理方面的应用，以及弹道﹑气象的计算，人造卫星轨迹的计算，运动状态的分析等等，都要用得到微积分。正是由于微积分的广泛的应用，才使得我们人类在数学﹑科学技术﹑经济等方面得到了长足的发展，解决了许多的困难。以下将讲述一下定积分在计算图行面积和体积，初等数学中的一些应用。

一、在计算图形面积和立体图形体积上的应用

在学习和生活中，我们常常会遇到一些计算图形面积和体积的问题，而且这些图形大多是无规则的，对这些图形的计算，如果用我们中学的计算面积和体积的数学公式是无法解决，因为中学所学的这些公式都是对比较规则图形实用。但是我们应用了定积分，这样的问题就可迎韧而解。

1.计算平面图形的面积

例1.求抛物线y=x2与直线x+y=2所围的平面图形的面积。

分析：根据题目，我以在坐标系们可中画出y=x2和x+y=2所围的图形，即（图一）其中阴影部分就是所要求的平面图形的面积。

解：由于抛物线y=x2与直线x+y=2在A（-2，4）及B（1，1）相交，

所以S=f（x）dx，其中f（x）=（2﹣x）﹣x2（-2≤x≤1），于是有

S=[（2-x）-x2]dx=（2x--）]1-2=9/2

2.求立体图形的体积

用类似求图形面积的思想，我们也可以求一个立体图形的体积，例如求一个木块的体积，我们可以利用微元法，把木块划分成n份小块，其每一小块的体积厚度为xi，假设每一小块的横截面积为A（x）i则此小块的体积大约为A（xi）xi，从而将其所有的小块相加，我们可以得到其体积为V≈A（xi）xi，并且当其厚度xi趋于零时，由定积分定义有V=A（x）dx（其中a与b分别为计算体积时的起始值和终了值）。对于旋转体的体积，由于其平面截得旋转体的截面是一个圆，则设曲线y=f（x），其截面面积为A（x）=?仔[f（x）]2。于是，所求体积为V=A（x）dx=?仔[f（x）]2dx。

例2.一块由直线y=a和直线x=3a及弧y2=ax，（a>0a≤x≤3a）所共围成的区域，以x轴为轴旋转一周所形成的体积是多少？

分析：（图二）斜线区域即为题意所指的区域，其旋转积求法，可将区域ABQD的旋转体积减去区域ABCD的旋转体积，即为所求。

解：首先来求区域ABQD的旋转体积：

V1=?仔？琢xdx=?仔？琢|=4?仔？琢3

而区域ABCD的旋转体积为一个其半径为a，高为2a的圆柱体，则V2=?仔？琢2•；2?琢=2?仔？琢3

区域CDQ的旋转体积为：V=V1-V2=4?仔？琢3-2?仔？琢3=2?仔？琢3

二、在初等数学中的应用

近些年来，定积分还越来越多的被应用到初等数学中的一些问题上面来，下面就来讨论一下定积分在证明不等式，等式和一些数列的极限方面的应用。

1.证明不等式和等式

在运用积分来证明不等式时，一般要利用到积分的如下性质：设f（x）与g（x）为定义在[a，b]上的两个可积函数，若f（x）≤g（x），x∈[a，b]，则有：f（x）dx≤g（x）dx.

例3.设n∈N，求证：1n（n+1）<1++……+<1+1nn

证明：设是i任意一自然数，则有：

dx=1n|=1n-1n=1n-1n

在区间（，）上显然有i<=idx从而得：1n-1n<………（1）

<1n-1n…………（2）

由（1）式得：[1n-1n]<，所以有1n<

由（2）式得：=1+<1+[1n-1n]=1+1n

于是，综上所述：1n<1++……+<1+1n

以上是应用定积分的性质证明不等式，下面再看关于等式的证明。（注意：在运用定积分证明等式时，要根据等式的特点，作辅助函数，然后再直接积分从而证明等式。）

例4.证明：c+++……+=

证明：设f（x）=c+cx+……+cx=（1+x）n

f（x）dx=cx+x2+……+x

同时又有：（1+x）ndx=

cx+x2+……+x=

当x=1时，可得：c+++……+=

此外，定积分还可用来求和式，根据微分与积分互为逆运算的关系，先对和式积分，利用已知数列的和式得到积分和，再求导数即可，这里就不在介绍了。

2.求数列和的极限

在实际的学习中，我们会发现在计算一些数列和的极限时，可以利用定积分的计算法来求某些可以看成是积分和式的数列极限，这样，我们可得出一种求极限的新方法：若f（x）在[a，b]上连续，将[a，b]等分为几个小区间，x=记分点为：?琢=x0于是：f（x0+ix）x=f（x）dx，并且有些数列的一般项？琢n总可以设法写成？琢n=f（x0+ix）x，因此，有些数列的极限问题，则可以转化为定积分的计算问题。

例5.求：（++……+）

解：原式=（++……+）•；＝•；

取f（x）=且在[0，1]上连续，将[0，1]分成n个小区间，则有x=，分点为：0<<<……<<=1，于是有：f（x0+ix）x=•；，由定积分的存在定理有：原式=•；=dx=1n（1+x）|=1n2。

总而言之，微积分是与应用联系发展起来的。微积分的应用推动了数学的发展，同时也极大的推动了天

文学，物理学，化学，工程学，经济学等自然科学，社会科学及应用科学各个分支中的发展，而且随着人类认识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。

参考文献：

微积分论文【第三篇】

马克思(1818—1883)的伟大贡献，正像恩格斯在马克思墓前演讲中所说：达尔文发现了有机界的发展规律，马克思发现了人类历史的发展规律，揭示了经济基础和上层建筑的相互关系；在对资本主义生产方式的深入研究中，他发现了“剩余价值”，从而获得了开启社会奥秘的钥匙。[1](P574—575)马克思的《资本论》至今还在许多国家重印发行，显示出马克思主义的强大生命力。在西方著名大学中普遍设有马克思主义课程。

在20世纪与21世纪之交，在告别人类纪元第二个千年，迎接第三个千年到来之际，1999年，英国剑桥大学文理学院的教授们发起了一个评选“千年第一伟人”活动，征询、推选和投票的结果是：马克思第一，爱因斯坦第二。随后，英国广播公司(BBC)在国际互联网上进行全球投票评选第二个千年的前10名思想家，其结果为：马克思第一，爱因斯坦第二。接着，路透社又邀请各界名人再行评选时，爱因斯坦以一票之多领先于甘地和马克思。依据这一系列的评选结果，人们公认马克思和爱因斯坦(1879—1955)应并列为千年第一伟人。

凡读过马克思的著作，特别是《资本论》的人，都为马克思的学术研究方法及其学术成就而折服。他对所研究的问题，不但拥有丰富的实际资料，而且占有大量的文献资料，在理论论述中，不但处处闪耀着深刻的思想火花，尤其渗透着那种一步一步深入进去的强有力的逻辑力量。北京大学的江泽涵教授是我国著名的前辈数学家，我国拓扑学这门学科的奠基人，也是马克思《数学手稿》的最主要译者，他读了《资本论》第一卷以后，深有感慨地说：“马克思研究资本主义的方法同我们研究数学的方法是一样的，《资本论》的论证方法同我们的数学论证方法一样，都是严密地从逻辑上一步步推理和展开，真是无懈可击，令人信服。”《资本论》作为研究早期资本主义社会的经典著作，展显为一个逻辑严密的理论体系，正因为其研究方法之缜密而至今仍然得到全世界学者们的高度赞赏。

马克思数学手稿的具体内容

恩格斯称马克思为“科学巨匠”。他说，马克思研究的科学领域是很多的，而且对任何一个领域都不是肤浅地研究的，甚至在数学领域也有独到的发现。[1](P574—575)

马克思一生酷爱数学，从19世纪40年代起，直到逝世前不久，数十年如一日地利用闲暇时间学习和钻研数学，给我们留下了近千页数学手稿，其中有读书摘要、心得笔记和述评，以及一些研究论文的草稿。20世纪30年代以后，马克思的数学手稿和其他手稿一起，一直保存在荷兰首都阿姆斯特丹的国际社会史研究所的档案馆中。

数学研究紧密结合经济学研究

起初，马克思在与恩格斯和其他人的通信中讨论初等数学问题居多。例如，他在1864年的一封信中有关于数字计算的议论：“可以看出：不太大的计算，例如在家庭开支和商业中，从来不用数字而只用石子和其他类似的标记在算盘上进行。在这种算盘上定出几条平行线，同样几个石子或其他显著的标记在第一行表示几个，在第二行表示几十，在第三行表示几百，在第四行表示几千，余类推。这种算盘几乎整个中世纪都曾使用，直到今天中国人还在使用。至于更大一些的数学计算，则在有这种需要之前古罗马人就已有乘法表或毕达哥拉斯表，诚然，这种表还很不方便，还很繁琐。因为这种表一部分是用特殊符号，一部分是用希腊字母(后用罗马字母)编制成的。……在作很大的计算时，旧方法造成不可克服的障碍，这一点从杰出的数学家阿基米得所变的戏法中就可以看出来。”[2](P650)

1864年5月30日，恩格斯在给马克思的信中写道：“看了你那本弗朗克尔的书，我钻到算术中去了；……以初等方式来陈述诸如根、幂、级数、对数之类的东西是否方便。不管怎样好地利用数字例题来说明，我总觉得这里只限于用数字，不如用a+b作简单的代数说明来得清楚，这是因为用一般的代数式子更为简单明了，而且这里不用一般的代数式子也是不行的。”[3](P357)马克思关于数学的笔记和他研究政治经济学的材料有紧密的联系。在1846年的一个经济学笔记本中，最后几页全是各种代数运算；在以后的许多笔记本中也都记有数学公式和图形，还有整页整页的算草；在为撰写《政治经济学批判大纲》准备材料的笔记本中他画了一些几何图形，记录了关于分数指数和对数的公式。1858年1月11日马克思在致恩格斯的信中说：“在制定政治经济学原理时，计算的错误大大地阻碍了我，失望之余，只好重新坐下来把代数迅速地温习一遍。算术我一向很差，不过间接地用代数方法，我很快又会计算正确的。”[4](P247)马克思曾为自己能把高等数学的某些公式用于经济学的研究而深感高兴。1868年1月8日马克思写信给恩格斯谈到工资问题的研究时，他说：“工资第一次被描写为隐藏在它后面的一种关系的不合理的表现形式，这一点通过工资的两种形式即计时工资和计件工资得到了确切的说明(在高等数学中常常可以找到这样的公式，这对我很有帮助)。”[5](P12)

看来，马克思的数学兴趣与他希望把数学运用于经济学研究有关。在1873年5月31日给恩格斯的信中谈到经济危机的研究时，他说：“为了分析危机，我不止一次地想计算出这些作为不规则曲线的升和降，并曾想用数学公式从中得出危机的主要规律(而且现在我还认为，如有足够的经过检验的材料，这是可能的)。”[6](P87)在《资本论》中我们也能看到数学的运用，据拉法格回忆，马克思曾经强调说：一门科学只有当它达到了能够成功地运用数学时，才算真正发展了。[7](P8)我理解，马克思这里所说的运用数学，不仅仅是运用数学的计算方法，而且也要运用数学的思维方法和论证方法。

对微积分的学习、思索和历史考察

19世纪60年代以后，马克思陆续阅读了一大批微积分方面的书籍，其中有布沙拉(J•L•Boucharlat)、辛德(J•Hind)、拉库阿(S•F•Lacroix)、霍尔(G•Hall)等人各自编写的微积分教科书，还有牛顿有关的数学原著等等，写下了详细的读书笔记。马克思对这些教科书进行比较，开始了自己对于微分学中一些问题的独立的思考。于1881年前后，马克思撰写了关于微分学的历史发展进程、论导函数概念、论微分以及关于泰勒定理等问题的研究草稿，而且对于这些问题都曾写过多遍草稿，例如，关于泰勒定理留下了八份草稿。

马克思把微分学看作科学上的一种新发现、新事物，考察它是怎样产生的，产生以后遇到一些什么困难，经历了怎样的曲折发展。马克思对微积分有过一段生动的而又富有哲理的描述：“人们自己相信了新发现的算法的神秘性。这种算法通过肯定是不正确的数学途径得出了正确的(尤其在几何应用上是惊人的)结果。人们就这样把自己神秘化了，对这新发现评价更高了，使一群旧式正统派数学家更加恼怒，并且激起了敌对的叫嚣，这种叫嚣甚至在数学界以外产生了反响，而为新事物开拓道路，这是必然的。”[8](P88)

马克思把从牛顿(1642—1727)、莱布尼茨(1646—1716)创建微分学到拉格朗日(—1813)的发展，约一百多年的发展过程分为三个阶段，分别称为：“神秘的微分学”、“理性的微分学”、“纯代数的微分学”。在牛顿和莱布尼茨时期，新生的微积分很快在应用上获得了惊人的成功，但是从旧的传统数学看来，这种新算法，比如微分过程，正是通过不正确的数学途径得到正确的结果的。在同一个公式的推导过程中Δx和dx既作为有限的量，却又消失为零，在逻辑上显示出矛盾；时为什么能有确定的值，等等，都不能从理论上给出合理的解释。人们认为微分学是神秘的。牛顿和莱布尼茨，以及后继者们都希望给微分学找到合乎逻辑的说明，他们为此付出了很大的努力。以达朗贝尔(J•L•R•D’Alembert，1717-1783)为代表的“理性的微分学”和以拉格朗日为代表的“纯代数的微分学”，都是这种努力的一定阶段的成果。马克思指出：“这里，像在别处一样，给科学撕下神秘的面纱是重要的。”[8](P139)转马克思力图运用辩证法观点去分析微分学的困难。他认为“理解微分运算时的全部困难”，“正像理解否定之否定本身”一样，要把“否定”理解为发展的环节，并且要从量和质的统一看待量的变化。在微分过程中，在量的否定，比如量的消失中，看到其间仍保存着特定的质的关系，即y对x的函数关系所制约的质的关系。因此，当增量Δx变为零，Δy也变为零，时能具有特定的值，即导函数。马克思说，要把握的真正含义，“唯一的困难是在逐渐消失的量之间确定一个比的这种辩证的见解。”[9](P16)

马克思以比较简单的多项式函数的微分过程为例，参照比较了多种教科书，运用上述观点，选择了一种具体的推导步骤以说明这种函数的微分过程的合理性，从而说明微分学的神秘性是可以摆脱的。这样的内容，现在看来固然是很浅显的，也不足以说明一般函数的微分过程。但这也是马克思为撕下微分学的神秘面纱所做的一份历史性的努力。

马克思曾劝说恩格斯研究微积分。他在1863年7月6日给恩格斯的信中说：“有空时我研究微积分。顺便说说，我有许多关于这方面的书籍，如果你愿意研究，我准备寄给你一本。我认为这对于你的军事研究几乎是必不可缺的。况且，这个数学部门(仅就技术方面而言)，例如同高等代数比起来，要容易得多。除了普通代数和三角以外，并不需要先具备什么知识，但是必须对圆锥曲线有一个一般的了解。”[2](P357)

马克思对高等数学的兴趣和钻研影响和带动了恩格斯，1865年以后，他们在通信中讨论得更多的则是微积分方面的问题了。马克思在一封给恩格斯的信的附件中说：“全部微分学本来就是求任意一条曲线上的任何一点的切线。我就想用这个例子来给你说明问题的实质。”马克思是用求抛物线y[2]=ax上某一点m的切线的例子，认真画了图，向恩格斯作详细讲解的。[3](P168—169)

1881年马克思把一份“论导数概念”的手稿和一份“论微分”手稿誊抄清楚，先后寄给了恩格斯。恩格斯认真阅读了这些手稿，于1881年8月18日给马克思写了一封很长的讨论导函数的回信，信中说：“这件事引起我极大的兴趣，以致我不仅考虑了一整天，而且做梦也在考虑它：昨天晚上我梦见我把自己的领扣交给一个青年人去求微分，而他拿着领扣溜掉了。”[10](P21—23)

在马克思的影响下，恩格斯对微积分也越来越有兴趣了，他在《反杜林论》、《自然辩证法》等哲学著作中，不但大段大段地谈论微积分，精辟地分析高等数学与初等数学的区别，而且还有对于微积分的高得不能再高的赞誉：“在一切理论成就中，未必再有什么像十七世纪下半叶微积分的发明那样看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正在这里。”[11](P611)

从数学中学习辩证法

马克思和恩格斯都非常明确地认为，数学是建立辩证唯物主义哲学的一个重要基础。恩格斯指出：“要确立辩证的同时又是唯物主义的自然观，需要具备数学和自然科学的知识。”[12](第三版序言)

在旧哲学中，黑格尔是论述数学比较多的。恩格斯曾经指出：“黑格尔的数学知识极为丰富，甚至他的任何一个学生都没有能力把他遗留下来的大量数学手稿整理出版。据我所知，对数学和哲学了解到足以胜任这一工作的唯一的人，就是马克思。”[3](P471)马克思忙于自己的研究和革命活动，并没有承担这一工作。不过，他在数学手稿中把微分学的发展同德国唯心主义哲学的发展联系起来，作了有趣的对比。当他探讨牛顿、莱布尼茨与他们的后继者的关系时，他说：“正像这样，费希特继承康德，谢林继承费希特，黑格尔继承谢林，无论费希特、谢林、黑格尔都没有研究过康德的一般基础，即唯心主义本身；否则他们就不能进一步发展康德的唯心主义。”[8](P88)转马克思把研究数学作为丰富唯物辩证法的一个源泉。他通过自己对数学的多年钻研，深有体会地认为，在高等数学中，他找到了最符合逻辑的同时又是形式最简单的辩证运动。在马克思的数学手稿中能够看到这方面的记述。

数学手稿的出版、翻译和人们的看法

马克思曾经打算把自己对数学的一些研究成果写成正式论文，但他反复改写了多遍草稿，却没有来得及写完。他生前曾嘱咐小女儿爱琳娜：“要她和恩格斯一起处理他的全部文稿，并关心出版那些应该出版的东西，特别是第二卷(按：指《资本论》第二卷)和一些数学著作。”[13](P42)马克思逝世以后，恩格斯也曾希望把自己在自然辩证法方面的研究成果同马克思遗留下来的数学手稿一齐发表。[11](第三版序言)但是由于他肩负着整理出版马克思的最重要的著作——《资本论》第二卷、第三卷的重任，上述愿望没有能够实现。

马克思关于微分学的几篇论文草稿和一些札记于1933年译成俄文与读者见面，即在纪念马克思逝世五十周年的时候才第一次发表在苏联的理论刊物《在马克思主义旗帜下》，随后收入文集《马克思主义与自然科学》。1968年在前苏联出版了马克思数学手稿的比较完全的德俄对照本[14]，书中对各个时期的手稿写了较详细的记述。此外，对马克思的数学手稿，还陆续出版过内容和编排不一的德文本、日文本、意大利文本等等。在国际学术界引起了学者们的重视和兴趣。如日本的玉木美彦、今野武雄早就撰文介绍过马克思数学手稿的内容。1977年在西德召开的国际数学史会议上，美国学者肯尼迪(H•C•Kennedy)作了题为《马克思与微积分基础》的学术报告。美国著名数学史家斯特洛依克(D•J•Struik)1978年在《数学评论》杂志上写文章介绍了这篇报告。前几年，还有美国科学史方面的研究生在研究马克思数学手稿的传播和影响。

在我国，早从1949年起，许默夫就发表过关于马克思数学手稿的文章(注：许默夫的有关马克思数学手稿的几篇文章，先后发表在《东北日报》(1949年5月5日)、《自然科学》(1951年第1卷)、《数学通报》(1958年第12期)、《新科学》(1955年第2期)等报刊上。)，后来有些学者从日文本或俄文本将部分内容翻译过来。1973年1月北京大学成立了马克思数学手稿编译组，依据苏联1968年出版的德俄对照本进行翻译。为了翻译准确，为了能从德文原文直接译成中文，北京大学于1974年通过外交途径从荷兰购得全部数学手稿原件的复印照片，将其中关于微积分的大部分论述和部分初等数学札记翻译成中文，编排成书，由人民出版社于1975年正式出版。(注：1973年1月，当时马克思恩格斯列宁著作编译局的负责人王惠德同志把一本《马克思数学手稿》(1968年的德俄对照本，是一位瑞士记者送给他的)交给了孙小礼，建议由北京大学来组织翻译。北大欣然接受这一建议，立即成立了北京大学马克思数学手稿编译组，由邓东皋、孙小礼具体负责，动员了数学系、西语系、俄语系、哲学系的教师参加翻译工作，德文方面有江泽涵、姚保琮、冷生明、丁同仁等人，俄文方面有吴文达、黄敦、郭仲衡、鲍良骏、颜品中等人。1974年3月译出了马克思关于微积分的大部分论述，请于光远、胡世华、陆汝钤和编译局杨彦君等同志帮助校对后，于1974年5月由北京大学学报印出专刊：马克思数学手稿(试译本)。1974年冬购得马克思数学手稿原件的照片后，由谙悉德文的江泽涵、姚保琮两位教授仔细辨认马克思原稿手迹，同冷生明、丁同仁、邓东皋等人反复讨论推敲，对原来的译文进行核校、修改和补充。最后又请北京师范大学的张禾瑞教授、蒋硕民教授对全部译稿从德文作了详细校订之后，才由人民出版社于1975年7月出版了马克思的《数学手稿》。)两种极端的看法

马克思《数学手稿》一书于1975年在我国编译出版以后，出现了两种极端的看法。一是过分地在数学上抬高马克思，说马克思为微积分奠定了理论基础，把19世纪许多卓越数学家的重要成就都视为形而上学，惟有马克思的论述才是符合辩证法的，甚至要在教学中用马克思《数学手稿》代替微积分教材。这种作法显然是极其错误的，既违背马克思的本意，也不符合数学发展的实际，对于高等数学教学只能产生有害的影响。另一种极端的看法则认为马克思根本不懂数学，至少不懂高等数学，写于19世纪的《数学手稿》没有什么学术价值，不值得翻译出版。这种完全否定的态度也是缺乏历史分析、不符合实际的。

由于这两种看法在不同程度上一直延续到现在，所以，我感到把马克思的《数学手稿》放在当时的历史条件下，根据其具体内容，作出实事求是的恰当的评价是必要的，有现实意义的。

数学手稿：一份宝贵的历史文献

通过阅读马克思数学手稿，以及马克思的著作和通信中有关数学的论述，联系到几十年来马克思数学手稿在我国的翻译、介绍、出版和影响，我特撰写本文谈谈自己对马克思数学手稿的理解和看法，就教于对此有兴趣的朋友们，也作为对马克思逝世120周年的纪念。

读读马克思数学手稿，就感到马克思是深钻到数学中去了，确如恩格斯所说：“马克思是精通数学的。”[12]当然，所谓“精通”，不能要求马克思通晓当时数学的全部，正好像现在堪称“精通”数学的专家也不可能对当前数学的全部内容都了如指掌一样。事实上，正如恩格斯所说：“对于自然科学，我们只能作零星的、时停时续的、片断的研究”，而且“自然科学本身也正处在如此巨大的变革过程中，以至那些即使有全部空闲时间来从事于此的人，也很难跟踪不失”[12]。马克思生前还没有来得及跟踪19世纪数学分析方面的重要成就，还没有阅读当时已经出版的，像哥西的《分析教程》(1821年初版)那样的一些重要著作。由于马克思还不了解微积分经过波尔察诺(，1781-1848)、哥西(，1789-1857)、外尔斯特拉斯(，1815-1897)等数学家的努力以后所取得的逐步“完善”的形式，因而他也不可能运用极限理论做出像后来人们所理解的那样来阐明微积分的本质。

马克思不是专职数学家，也没有对数学本身做出重大建树，他的数学手稿之所以受到人们重视，首先，因为他是人类历史上的伟大思想家，而他又在数学这一园地上数十年如一日地执着地辛勤耕耘过，这一事迹是人类文化史上所罕见的，是历史上任何一位思想家都难以相比的。现在我们读到的数学手稿，就是他以自己的独特方式辛勤耕耘的历史足迹，这足迹能够保留下来，为世人所知，是令人感到宝贵的，而且值得加以研究和回味，从中获得有益的启迪。

其次，在马克思数学手稿中，确有至今还在闪光的思想和见解。比如马克思在考察了微分学的具体历史发展过程以后，曾作出这样的论断：“新事物和旧事物之间的真实的从而是最简单的联系，总是在新事物自身取得完善的形式后才被发现。”[8](P144)这是对新旧事物关系的哲理性概括，也是对人的认识规律的哲理性概括，对人们的认识进展很有启发。

第三，在马克思主义理论中，非常注重人，尤其注重人的全面发展。马克思对自由时间或闲暇时间，也就是非劳动时间的重要性有深刻的论述，他把自由时间看作财富，把休闲看作人的生活的重要组成部分。那么，马克思自己怎样度过闲暇时间呢？据马克思的女婿拉法格回忆：“除了读诗歌和小说以外，马克思还有一种独特的精神休养方法，这就是他十分喜爱的数学。代数甚至给他以精神上的安慰；在他那惊涛骇浪的一生中有些最痛苦的时期，他总是以此自慰。”[7](P8)马克思曾对恩格斯说：“在工作之余——当然不能老是写作——我就搞搞微分学。我没有耐心再去读别的东西。任何其他读物总是把我赶回写字台来。”[3](P124)马克思对数学的特殊爱好，使他在任何情况下都能使自己沉浸于数学之中。当马克思的夫人燕妮身患重病——肝癌的时候，他给恩格斯写信说：“写文章现在对我来说几乎是不可能了。我能用来使心灵保持必要平静的唯一的事情，就是数学。”[2](P113)他的关于微分学的研究草稿，正是在1881年燕妮病危的那些痛苦的日子里写作的。

在马克思的数学手稿中，能看到很多幽默俏皮的语言和生动有趣的比喻。可以想见，数学曾是马克思寻求欢乐和安慰的休闲王国，在马克思的一生中有许多时日是在这里愉快地度过的，上千页的数学手稿就是马克思这种独特的精神休养法的真实记录。

综上所述，我认为，马克思数学手稿是一份宝贵的有特殊价值的历史文献。

参考文献

[1]马克思恩格斯选集：第3卷[M].北京：人民出版社，1971.

[2]马克思恩格斯全集：第30卷[M].北京：人民出版社，1975.

[3]马克思恩格斯全集：第31卷[M].北京：人民出版社，1972.

[4]马克思恩格斯全集：第29卷[M].北京：人民出版社，1972.

[5]马克思恩格斯全集：第32卷[M].北京：人民出版社，1971.

[6]马克思恩格斯全集：第33卷[M].北京：人民出版社，1973.

[7][法]拉法格。回忆马克思[M].北京：人民出版社，1954.

[8]马克思。数学手稿[M].北京：人民出版社，1975.

[9]马克思数学手稿[J].北京大学学报专刊，1974.

[10]马克思恩格斯全集：第35卷[M].北京：人民出版社，1971.

[11]马克思恩格斯全集：第20卷[M].北京：人民出版社，1971.

[12]恩格斯。反杜林论[M].北京：人民出版社，1971.

[13]马克思恩格斯全集：第36卷[M].北京：人民出版社，1975.

微积分论文【第四篇】

徐利治，大连理工大学数学科学研究所教授。1920年出生，祖籍江苏，早年就读于江苏省立洛杜乡村师范学校。抗战爆发后，避难到西南，后于1938年考入贵州铜仁国立第三中学师范部。1940年毕业后，考取联大数学系。入学不久，迫于经济拮据，休学一年。在联大复学后，悉心钻研数学名著，参加数学讨论班，接触到数学研究工作的前沿。1945年大学毕业前，在国际数学杂志上发表了4篇专业研究论文。[5]1945年毕业后，经华罗庚举荐，清华数学系主任杨武之首肯，留任华罗庚的助教。1946年联大结束，随清华返回北京（时称北平），遂后不到三年，便由助教提升为教员。1949年新中国成立前，赴英国阿伯丁大学和剑桥大学访问。回国后，继续在清华任教，旋晋升为副教授。1952年全国高等学校院系调整，同王湘浩、江泽坚等一起在原东北人民大学（今吉林大学）组建数学系。此后，长期致力于多维渐近积分、无界函数逼近，以及高维边界型求积法等方面的研究，且在国内倡导数学方法论的研究，并取得了重要的成就。[6]

访谈录基于2003年4月初郭金海、袁向东对徐利治的访问，郭金海于同年10月20致徐利治的信。徐利治于同年8月26日、10月1日，以及11月4日写给郭金海的信函。

1招考

问：您报考联大时，清华、北大、南开三个学校是作为一个统一整体招考，还是这三校单独招考？

徐利治（以下简称“徐”）：不是联大招考，也不是清华、北大、南开这三校单独招考，而是国民政府教育部在全国抗战时期的大后方统一招考，分文科组与理工组。考文科组数学简单一点，考理工组数学多一点。我1940年考大学时，报考的是理工组。考试科目有数学、中文、英文、历史、地理等。其中，数学要考大代数与解析几何。大代数为高中代数，比现在的高中代数内容深。文科组数学不考大代数和解析几何，考一般的中学代数和一点平面几何。那时学生也需填报志愿，分第一，第二志愿等。后来我被联大录取。

问：教育目标是关系一所教育机构发展方向与教育成效的重要因素之一。组建而成的联大数学系的教育目标是什么？

徐：联大既设有数学系，又设有师范学院数学系。从理想目标看，联大数学系是为了培养数学专家，师范学院数学系是为了培养数学教师。[①]但由于战时教学设备较差，缺乏必需的书籍杂志，而且师生生活艰苦等因素的影响，联大数学系的教育目标未能完全实行。[1]

2课程

问：联大数学系课程设置的模式是什么？

徐：联大数学系主要是学习和传播了欧美的数学知识和文化，也继承了欧美文化传统。许多留学回国的教师开设了他们所精通或擅长的数学课程。那时的课程设置基本上是美国式的，但在一定程度上也参照了英国的模式。

问：联大数学系自1938年成立至1946年结束，共计8个学年度，每个年度均出台新的课程设计方案。必修课程虽每年度皆有更动，但从整体来看，“三高（高等代数、高等微积分及高等几何）”的基础性地位较高。[7]据统计，有6个学年度均将“三高”列为本科必修课程，分别为1938—1943年间的5个学年度与1944—1945年度。在其他的2个学年度中，虽“三高”没有开齐，但也开设其中的2门。这是否符合实际情况？

徐：基本符合。联大数学系的课程主要分两种，一种是专业必修课程，另一种是专业选修课程。必修课程是以“三高”为中心的。[②]这是联大数学系课程设置的主要特点之一。我想这样的课程设置对学生系统深入地学习研究分布于代数、分析、几何这三大经典数学分支上的知识是比较有利的。高等代数、高等分析、高等几何分别属于代数、分析、几何这三大经典数学分支。它们不但是进一步深入学习分布于这三个分支的其他高深数学课程的基础，而且是研究20世纪纯粹数学扩张以后新兴起来的勒贝格积分、实变函数、泛函分析、抽象代数、拓扑学、公理化概率论等学科的关键。从某种程度上讲，“三高”是迈入专业数学领域的敲门砖。学好“三高”之后，学习其他的课程困难就不大了。

问：陈省身、江泽涵、华罗庚、许宝騄等先生在联大数学系都开设了他们擅长的课程。这些课程的程度如何？

徐：他们开设的课程大多属于专业选修课程。[③]有些属于数学新领域的新课，有些则已经接近国际水平，有的在国内还未正式开设过。例如，陈省身先生开设的圆球几何学、外微分方程、高等几何（二）等都是高深的新课。江泽涵先生与陈省身先生还在不同年度间或开设了形势几何学（拓扑学），这门课在抗战之前除清华数学系邀请江泽涵先生开设及江先生在北大数学系开设过之外，尚未见国内其他重要大学数学系开设。华罗庚先生开设的解析数论、素数分布及ζ函数、行列式及方阵、连续群论、多元函数论等均是结合自己在这些方面所作的研究成果讲授的。许宝騄先生开设的数理统计课程，国内尚属首次系统讲授。此外，江泽涵先生开设的点集、王湘浩先生的集合论、申又枨先生的位函数论、刘晋年先生的理想集论、龙季和先生的初等几何等均是随着他们当时的研究内容开设的。

问：联大数学系在课程设置方面是否还存在其他特点？

徐：联大数学系总是请具有教学经验且在专业上有所成就的教师开设基础课。杨武之先生在联大数学系长期担任系主任职务，在其任期内就曾请江泽涵先生开设高等代数、申又枨先生开设高等微积分、许宝騄先生开设微分几何等。这些是联大数学系指定的任务，欧美的一些大学也是这样。一般情况下，这些教师对这些安排没有什么怨言。联大数学系的选修课基本上是由教师自报的。只要你有能力开课，有学生选修即可。

问：联大数学系的学生是否从一年级开始选修本系专业课程？

徐：不是。一年级学生的课程很重。除了普通微积分外，还要学普通物理、普通化学、国文、英文、体育课程等，整个学年须修满30多个学分[④]。因此，这一年时间很紧张，也没有精力选修数学专业课程。但如果学生愿意选修、旁听没有问题。

问：在抗战前的清华，新生一入校，其所属的院系就定了。但由于从1933年开始实行大学一年级学生不分院系制度，清华各系学生在一起共同学习公共课程。清华数学系为了保证学生的质量，还特意要求学生的公共数学课程必须达到70分以上，否则在二年级时不得升入数学系。[⑤]联大时期的情况怎样？

徐：也有这一规定。公共数学课程70分以下学工科可以，学数学不行。学生不及格，还须重修。有些聪明的学生混混也可以及格。但达不到70分，绝对不能入数学系。

问：联大时期，国文课是理工科学生的公共必修课程，而在解放后的大学里就不是这样了。您如何看这个问题？

徐：我觉得学一些国文是有好处的。一般情况下，高中毕业后一个人的文笔好坏就已经定了下来。大学时代为理工科学生安排了国文课，当然可以增大学生的词汇量，但最重要的是有利于学生开阔视野，拓宽思路。因而，我认为将国文课列为理工科学生的必修课程是有积极意义的。新中国成立后向苏联学习，不仅取消了理工科学生的国文课，而且教师对学生的专业课包教、包懂。这对开阔学生的视野，养成学生独立学习、工作的精神没有好处。

问：联大时期的国文课主要包括哪些内容？

徐：主要包括文言文与阿拉文库撰写的文章，以及作文等。如，徐志摩的《我所知道的康桥》，胡适于五四时期撰写的反封建文章，清华散文作家林徽因的《窗子以外》，朱自清的《背影》和《荷塘月色》，还有古文《孔雀东南飞》、《木兰从军》等。我记得给我们讲作文的是李广田先生。他后来任云南大学的校长，他的课讲得很好，常引用高尔基作品中的名句。

问：学生喜欢这门课吗？

徐：喜欢。这门课不仅有利于拓宽学生的思路、开阔学生的视野，而且还能休息脑子。其实，国文对提高青年人的审美意识和文化素质很起作用。

问：联大数学系在课程设置上是否也存在着一些不足？

徐：据我的回忆，诸如，实变函数论、测度论、勒贝格积分论、函数逼近论等课程在当时的联大数学系都没有开设。我大学毕业时连勒贝格积分论是什么都不知道。联大数学系也没有开设泛函分析。这门课程是欧美20世纪30年代以后才流行起来。这说明在联大还没有反应开这门课的需要，当年惟一精通泛函分析的专家曾远荣教授已于1942年离开联大，前往成都燕京大学任教。这些是很遗憾的事情。

3教材及参考书

问：从目前的研究与文献来看，联大数学系大多使用欧美的教材与参考书。[⑥]原因是什么？

徐：联大数学系在教材和参考书选取上，尽量使用欧美一流教材的原本及国内高水平的教材。那个时候有一个特点，即大学一般重视教师搞研究而不提倡编书，只要有现成的书就不编。这与上世纪50年代后在大学教师中盛行译书、编书之风是不同的。那时只要有现成的国外一流的教材，就尽量采用。现今台湾的大学的做法与此类似。在台湾一般大学都采用外文原著，除非在特殊情况下，大学教师才可自编教材。

问：联大数学系使用了很多欧美原版专业数学教材。教师在教学时，是使用中文，还是使用外文？

徐：一般使用中文和英文两种语言教学，也就是现在所说的双语教学。联大数学系教授级教师大多为欧美著名大学的数学博士，精通或熟练掌握英、德、法等国文字与语言。一些教师在教学中不但全部用英文，而且用词还非常地道，其教学已经达到较高的双语教学标准。例如，刘晋年先生给我们讲复变函数论时，都是在黑板上使用英文表述，而且用词很讲究。这样学生不但在专业上得到了很好的训练，在外语水平上也得到了提高。一般情况下，教授批改作业和出题考试也都用英文，所以联大数学系学生大学毕业之后用英文写数学文章问题不大。现今一些大学开始提倡双语教学实际上已经有点晚了。

4数学讨论班

问：到20世纪20年代末与30年代初，数学讨论班的教学形式才被清华、浙大等国内有限的几所重要大学数学系所采用，且仅限于极少数的几门课程。而陈省身、田方增、蓝仲雄等先生都特别提到联大数学系开设数学讨论班的情况，且不在少数[⑦]。[8]（[2]，190-191页）当时能够开设数学讨论班的主要原因是什么。

徐：一个主要原因是教师力量充足。联大数学系的教师阵容，超过战前北大、清华、南开三所大学数学系中的任何一个。由于教师人力资源充足，联大数学系的一些教师就有了依据自己的认识与研究内容加开讨论班或选修课的机会。另一个原因是联大老、中、青教师们不但讲求学术民主与自由，而且有奋进向上的精神。

问：开设数学讨论班的最显著益处是什么？

徐：讨论班这种形式的教学对于促进教师之间，教师与学生之间的学术交流，培养研究兴趣，锻炼分析探索能力等均是有益的。

问：当时数学讨论班的具体形式是什么？教师与学生的积极性如何？

徐：常常以分工研读一本名著，用轮流报告的形式进行讨论班活动。师生与助教们一起参加，随时可以提问讨论。气氛往往很活跃，年青人积极性较高。

问：数学讨论班主要讨论的是某一数学分支的新知识，或研究工作的前沿，还是教材上的知识？

徐：主要讨论的内容往往是国际名家名著中属于前沿的系统性理论新知识。有时也介绍并讨论个别名家近期论文的新成果与新思想。一般不讨论教材上的内容。

5教师、风格及传统

问：联大数学系的教师来自清华、北大、南开这三所大学的数学系，教师阵容极一时之盛。[⑧]联大数学系是如何聘任这些教师的？

徐：这三个数学系的教师都具有双重的聘任资格，也就是说每位教师既受到联大的聘请，又受到其所在学校的内部聘请，因而当时的教师一般持有两张聘书。例如，华罗庚先生是清华的，他拿到一张联大的聘书、一张清华的聘书；江泽涵先生是北大的，他拿到一张联大的聘书、一张北大的聘书。我在联大数学系毕业后，清华留我任助教。我也拿到两张聘书，一张是联大的，一张是清华的。

问：在联大，北大数学系、清华数学系，以及南开数学系教师的教学风格是否存在明显的不同？

徐：我在联大学习的时候，北大、清华这两个数学系的教师，都曾教过我的课。例如，我听过北大数学系江泽涵先生开设的高等代数、申又枨先生开设的高等微积分、程毓淮先生讲授的高等几何；清华数学系华罗庚先生开设的数论和近世代数等。这些老师在授课方面，确实风格有所不同。我的总的印象是北大教师开课认真，基本上都是用心备课的。江泽涵先生与程毓淮先生就是典型的代表。清华的教师属于开放型的较多，讲课随便一些，备课差一些，但也是很有启发性的。如，华罗庚先生给我们讲近世代数的时候，有几次因为在定理推导过程中出现错误，被挂在黑板上，讲不下去。但他讲课很有风度，非常富有启发性。陈省身先生在联大教过微分几何等课程。我在联大数学系没有听过陈先生的课，但我听王寿仁先生说，陈先生讲课也有讲不下去的时候。有一次杨振宁先生在旁听陈先生的课时提了一个问题，陈先生就没有回答上来。杨武之先生讲课之前，经常会和学生闲谈3、5分钟，然后再言归正传。他闲谈的内容很广。记得有一次他在讲高等代数课程中的向量内容时，在黑板上画了几条带箭头的长短不一的同向向量，说他曾在德国访问过，看到德国人很讲齐心一致，就象一批方向一致的向量那样，指向同一方向，所以力量就大，做事往往能事半功倍，等等。南开数学系教师教学态度一贯认真，这是公认的“姜老夫子”（姜立夫先生）在上世纪30年代之前创办南开数学系后的历史传统。例如，刘晋年先生来自南开，他在教学上备课认真，讲课精细的风格，就反映了南开传统的一个方面。

那时教师讲错了没有关系，可以重来。老师在讲课时讲些闲话，学生是不反对的。有时还能从闲话中得到些启发。从某种意义上讲，联大倡导自由讲学的学风。解放后50年代学习苏联的做法来培养学生，对教师要求与管理过死。教师讲错一点也不行，讲课时讲些闲话是不允许的，教师会受到批评。

问：北大与清华是民国大学中对中国学术发展产生过举足轻重的影响的两所大学，但两校的传统存在显著的不同。[9]联大时期，北大数学系与清华数学系的传统有何不同？

徐：在20世纪50年代之前，国内大学数学系以发扬欧美学术传统，仿效欧美体制为主。在宏观方面讲，在联大数学系，北大与清华这两个数学系在学习、继承欧美体制上基本一致。但从微观方面而言，每个数学系在价值取向上各有所重，各有所宗。当时的北大数学系强调打好厚实的基础，侧重教与学，而清华数学系偏重科学研究，提倡、鼓励教师。在20世纪50年代，苏步青先生曾称北大数学系为“按兵不动”，意思就是说北大数学系的教师实际有才能的很不少，但不注重发表文章。此外，在提拔年青人上，清华较放手，北大则略为保守。到复校时期，虽然时局不稳，环境艰苦，清华还是比较注重研究，当时正是因为我的研究成果略多，职级晋升就较快，没有三年就升为专任教员（相当于讲师）了。北大数学系的孙树本老先生，虽数学根基厚实，但多少年都没有被提升。从某种程度上讲，北大有些保守，受传统影响较大，相比之下，清华对西方文化吸收得更好一些。

问：陈省身和田方增等先生都谈到联大数学系的教师虽然来自不同的大学，但三校教师之间都能精诚合作。[10,11]您能否谈谈其中的原因？

徐：我认为数学三老——姜立夫先生、杨武之先生、江泽涵先生素以育才事业为重的人格感召力量，是促成精诚合作的根本原因。又，三校图书资料的共享共用，一些讨论班的合办共建，以及教课任务方面的相互支持，是助长合作的主要因素。此外，抗日战争年代，大家都有共赴困难之心，也是一个潜在因素。

6学生管理与研究生培养

问：在学生管理上，联大数学系的显著特点是什么？

徐：联大数学系给学生留出了较大的自由发展的空间。这是联大数学系在学生管理上的一个显著特点，其他学系也基本如此。当时学生不但听课自由，旁听自由，而且转系亦十分自由。例如，钟开莱先生原是清华物理系的。吴有训先生为联大理学院院长，曾在物理系开设光学课程。钟先生听了几次以后，觉得吴先生讲的内容书本上基本都有，自己在课下看书即可，于是就不听了。当时听课的学生只有十来个人。吴先生认识每一个学生，很快就发现钟开莱缺席，很不高兴。后来钟开莱怕在物理系日子不好过，就转到了数学系。王宪钟先生、严志达先生在联大也是在清华物理系，后来转到数学系的。抗战以前清华物理系很有名。当时很多优秀学生都愿意考清华物理系。他们觉得物理更有应用价值，数学太空。因不同的原因转到数学系的钟开莱、王宪钟、严志达三位先生，后来都成为著名的数学家。实际上，抗战之前清华大学就实行招收转学生制度。如，清华数学系的施祥林、许宝騄、庄圻泰、柯召、田方增等都是转学生。施祥林是从东南大学转学来的，柯召、许宝騄等分别是厦门大学和燕京大学的转学生。庄圻泰与田方增是由清华大学工程系转入的。我想，实施这项制度的意义不仅给学生留出了一个自由发展的空间，而且对于提高生源质量很有好处。因为这些转学生的学习成绩一般都很优秀。如，施祥林考入清华大学时总分第七，数学满分。再如，钟开莱是他那一届的理科状元。在某种程度上讲，他们中许多人学习数学的潜力超过直接考入数学系的学生。他们到数学系以后，一般情况下学习成绩也会很快赶上其他同学。这样其他学生就会有被淘汰的紧迫感，因而在学习上会更加抓紧。

问：您能否谈谈联大数学系的研究生培养工作？

徐：联大数学系在研究生培养上没有正规的体制。研究生毕业只是写1篇论文，但没有论文答辩，也不授予学位。当时联大数学系的研究生很少，只是个别教授有一、二个研究生。如，孙树本跟江泽涵先生做研究生；钟开莱先跟华罗庚先生做研究生，后来转到许宝騄先生门下；彭慧云跟华罗庚先生做研究生；王寿仁跟许宝騄先生做研究生；孙本旺跟姜立夫先生做研究生；严志达和王宪忠跟陈省身先生做研究生。当时社会上对研究生比本科生看重得多。值得指出的是，联大数学系十分提倡教师与研究生合作进行研究。如严志达听陈省身先生的微分几何课时，发现了一个问题。后来，他与陈先生合作了论文《n维空间主运动式》（SullaFormulaPrincipaleCinematicaDelloSpazioadDimensioni），发表在《意大利数学联合会会刊》（BollettinodellaUnioneMathematicaItaliana）上。[12]这一做法不仅可使学生学到课本中没有的知识，而且也能提高学生的科研水平。

问：联大数学系研究生的主要研究方向有哪些？

徐：据我所闻，联大数学系研究生的主要研究方向有黎曼几何与连续群论（李群），学生有严志达、王宪钟；解析数论与概率统计，学生有钟开莱、彭慧云；高等统计，学生有王寿仁；形势几何（拓扑），学生有孙树本等。

问：联大数学系怎样为研究生开课？

徐：由于研究生人数太少，基本上不专门开课，是由导师指定文献资料，让研究生独自钻研，有问题时找导师讨论。

问：这些课程处于怎样的程度？是否达到了欧美大学研究生的水平？

徐：据我所知，当年联大数学系让研究生钻研的文献资料或者名家专著，大都是处于研究前沿，或接近前沿的题材，所以我相信这与欧美培养一般博士研究生所要求的程度水平是相似的。事实上，他们后来也都完成了论文写作，并发表了符合导师要求的研究成果。

7几点体会

问：您认为联大数学系教育工作中最值得借鉴之处有哪些？

徐：第一，联大数学系尊重学生的志趣发展与自我发现的价值。前面提到，转系自由，数学系不但欢迎有志学生从外系转进来，而且对优秀学生发现志趣变更后也可以转出去。例如，王浩在联大数学系是优秀学生，学了两年数学后，感觉对数理逻辑更感兴趣，立志要成逻辑学家，便转到有逻辑学家金岳霖先生的哲学系去了。后来王浩旅美多年，果然成为国际有名的数理逻辑专家了。事实上，人的兴趣和潜在才能是需要自我发现的，有了“自我发现”，又有了受尊重和发展的环境与条件，那就会很顺利成才了。第二，联大有自由讲学的风气，鼓励学生们自由听讲，参加讨论班、讲演会。这对学生们的志趣成长和发展构成了有利条件。第三，联大数学系一贯提倡并鼓励学生看名家著作，直接面向原著。例如，曾远荣教授讲授微积分课后，鼓励学生去看哈代（GodfreyHaroldHardy,1877-1947）的名著《纯粹数学》(PureMathematics)，讲代数课的教授一致推荐学生们去看范德瓦尔登的《近世代数》。还有华罗庚先生搞讨论班时要我们钻研外尔（HermannKlausHugoWeyl,1885-1955）的著作《典型群论》（ClassicalGroups）等名著。这些是联大数学系的一贯作风和培育青年学子的一些重要方法。

参考文献：

[1]杨武之。国立西南联合大学数学系概况[J].教学与教材研究。1999，（1）：32-36.

[2]西南联合大学北京校友会。国立西南联合大学校史——一九三七至一九四六年的北大、清华、南开[M].北京：北京大学出版社，

[3]清华大学校史组。清华大学校史稿[M].北京：中华书局，

[4]:AChineseUniversityinWarandRevolution[M].Stanford:StanfordUniversityPress,1998.

[5][M].Washington:≮≯.46.

[6]隋允康，王青建。徐利治[A].中国科学技术协会。中国科学技术专家传略·理学编·数学卷1[Z].石家庄：河北教育出版社，

[7]北京大学，清华大学，南开大学，云南师范大学。国立西南联合大学史料[Z].卷3.昆明：云南教育出版社，

[8]陈省身。联大六年（1937-1943）.张奠宙，王善平。陈省身文集[Z].上海：华东师范大学出版社，

[9]徐晋如。清华第一，北大第二[M].北京：台海出版社，2003.

[10]陈省身。回忆杨武之[A].张奠宙，王善平。陈省身文集[Z].上海：华东师范大学出版社，

[11]田方增。向江师致敬并继续学习[A].江泽涵先生纪念文集编委会。数学泰斗世代宗师[Z].北京：北京大学出版社，

[12]ChernShiing-shen,[J].BollettinodellaUnioneMathematicaItaliana,1940,(2):434-437.

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[①]联大数学系主任也兼任师范学院数学系主任职务。先由江泽涵自1938年至1939年11月担任。然后杨武之自1939年11月至1942年11月担任。继杨武之后又由江泽涵自1942年11月至1943年6月担任。后由赵访熊自1943年6月至1943年11月担任。赵访熊辞职后又由杨武之继任一直至联大结束。联大师范学院数学系教授由姜立夫、江泽涵、杨武之三位兼任，另聘刘薰宇为专任讲师。两年后刘薰宇去职，复聘杨善基为副教授，专任师范学院数学系课务。一年后杨善基又去职。最后两年课务概由讲师姜淑汇、教员蓝仲雄负责。参阅文献[1]。

[②]除了“三高”之外，还包括概率论、近世代数、复变函数论、数论等课程。

[③]联大数学系在8个学年度中为本科生与研究生开设了近30门选修课程。参阅文献[7]。

[④]联大理学院一年级公共必修课共计36-38学分。参阅文献[2]。

[⑤]数学系课程总则。见：清华大学档案，全宗号2，目录号3，校3，案卷号091。

[⑥]在联大数学系，微积分课程用奥斯古德（WilliamFoggOsgood,1864-1943）所著《微积分引论》（IntroductiontotheCaculus）与柯朗（RichardCourant,1888-1972）的《微积分》（DifferentialandIntegralCalculus）等作为教材。另外以熊庆来编著的《高等算学分析》作为参考教材。熊庆来的这部书主要是以辜尔萨（Éouard-Jean-BaptisteGoursat,1858-1936）所著《数学分析教程》（Coursd’AnalyseMathématique）为蓝本，是国内学者自己编著的第一部关于此类课程的教材，与萨本栋的《普通物理学》、陈桢的《普通生物学》一起，被公认为是当时国内理科教材中的高水平中文教科书。这部书在抗战之前曾被列入大学丛书之中。高等代数课程的教材使用过波赫耳（MaximeBôcher,1867-1918）所著《高等代数学通论》(IntroductiontoHigherAlgebra)、许来曷（，1901-1929）与施伯纳（,1905-?）合著《解析几何与代数》（EinfuhrungindieAnalytischeGeometrieundAlgebra）等。高等几何课程的教材为克莱因（FelixChristianKlein,1849-1925）所著《高等几何》（HohereGeometrie）。参考书一般为格劳斯坦(WilliamCasparGraustein)著《高等几何》（HigherGeometry）。复变函数论课程的参考书除了使用过蒂奇马什（EdwardCharlesTitchmarsh，1899-1963）著《函数论》（TheoryofFunctions）之外，还使用过奥斯古德所著《单复变函数论》（TheoryofFunctionsofOneComplexVariable）。近世代数课程选用范德瓦尔登（BartelLeendertvanderWaerden,1903-1996）著《近世代数》（ModernAlgebra）为教材；微分几何课程选取维布伦(OswaldVeblen，1880-1960)和怀特海（JohnHenryConstantineWhitehead，1904-1960）合写的《微分几何基础》（TheFoundationofDifferentialGeometry），以及格劳斯坦著《微分几何学》（DifferentialGeometry）等。微分方程式论课程采用柯朗与希尔伯特（DavidHilbert,1862-1943）合著的《数学物理方法》（MethodsofMathematicalPhysics）为参考书。群论课程除了选取迪克森（LeonardEugeneDickson,1874-1954）的《现代代数论》（ModernAlgebraicTheories）作为教材之外，还采用了查申豪司（HansZassenhaus,1912-1991）的著作《群论教科书》（LehrbuchderGruppentheorie）。数论课程曾采用迪克森的《初等数论》（ElementaryTheoryofNumbers）作为教材。圆球几何课程的教材选自布拉施克（WilhelmBlaschke,1885-1962）的《网络几何学》（GeometriederGewebe）。拓扑学课程使用的参考书是霍普夫(AlexandroffHopf，生卒年不详)的《拓扑学》(Topologie)。参阅文献[2]、[3]、[7]。

[⑦]1939—1940年度华罗庚、蒋硕民、曾远荣、陈省身、王湘浩等主持代数讨论班；1939—1940和1940—1941两个年度陈省身、程毓淮、刘晋年、江泽涵等主持形势几何学讨论班；1940—1941年度蒋硕民、陈省身、许宝騄、王湘浩、庄圻泰等主持分析讨论班；1940—1941年度程毓淮、刘晋年等在叙永分校开设群论讨论班；1941—1942年度华罗庚主持解析数论讨论班；1943—1944年度江泽涵主持拓扑群讨论班；1940年陈省身、华罗庚、王竹溪主持李群讨论班。另外，不拘形式、自由结合的小型讨论班则经常举行。

[⑧]联大数学系教师阵容最强的时期会聚了中国数学界的名家大师，既包括郑之蕃、杨武之、江泽涵、姜立夫这一辈中国近代数学的启蒙者，又包括曾远荣、华罗庚、陈省身、许宝騄、蒋硕民、申又枨、刘晋年、程毓淮、张希陆、赵访熊、李盛华、祥等已经初露锋芒的少壮英才。此外，还有段学复、闵嗣鹤、徐贤修、王湘浩、钟开莱等均为20岁上下暂露头角的数学新秀。除郑之蕃外，杨武之、姜立夫、江泽涵等资格较老的教师都具有博士头衔，他们中年纪大者也只有40多岁。陈省身、许宝騄、曾远荣、刘晋年、申又枨等均为30岁左右，皆在国外获得了博士学位。