勾股定理证明方法范例【实用4篇】

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勾股定理趣闻【第一篇】

一、勾股定理的发现趣闻

(1)参加宴会发现勾股定理

毕达哥拉斯有次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅里铺着美丽的正方形大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾们颇有怨言。这位善于观察和推理的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形磁砖，但毕达哥拉斯不只是欣赏磁砖的美丽，而是想到它们和“数”之间的关系，于是拿了画笔蹲在地板上，选了一块磁砖以它的对角线为边画出一个正方形，他发现这个正方形的面积恰好等于两块磁砖的面积和。他很好奇，于是再以两块磁砖拼成的矩形对角线作另一个正方形，他发现这个正方形面积等于5块磁砖的面积，也就是以两股为边作正方形的面积之和。至此毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于两条直角边的平方之和。那一顿饭，这位古希腊数学大师的视线一直都没有离开地面。

(2)杀百牛庆祝勾股定理的发现

古希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”。

二、勾股定理的证明趣闻

(1)总统证明勾股定理

学过几何的人都知道勾股定理。它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛。迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有400多种。其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话。

总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定的。事情的经过是这样的：

在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，他想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？

只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释，心理很不是滋味。

于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考和演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。

1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。

(2)邮票上的证明方法

1955年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成。这张邮票是为了纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体――毕达哥拉斯学派，它的成立以及在文化上的贡献。邮票上的图案是对勾股定理的说明。希腊邮票上所示的证明方法，最初记载在欧几里得的《几何原本》里。

三、勾股定理的应用趣闻

(1)华老巧用勾股定理作对

我国著名数学家华罗庚(1901―1985)1953年随中国科学院代表团出国考察，团长是钱三强。途中，华老即景生情，吟了上联，求对下联。上联是：三强韩赵魏

这里“三强”是指战国时期的“韩、赵、魏”三个强国，同时隐去“钱三强”的名字。在座的人都没能对出下联，过了一会，华老自对下联：九章勾股弦。

众人听后，为之叫好。《九章算术》是我国古代的一部数学名著，书中首次记载了我国数学家赵爽发现的勾股定理的证明(即弦图).同时，“九章”又隐了代表团成员、大气物理学家赵九章的名字，可谓妙对。

(2)宇宙语言――勾股定理

在人类借助宇宙飞船设法寻找“外星人”时，曾经碰到过这样一个难题：就是假如有外星人的话，假如这些“外星人”又见到我们地球人发射到太空中的探测装置的话，那么如何在他们不懂我们的文字、语言和音乐的前提下告诉他们地球存在着人类，如何与这些“外星人”进行交流呢？我国著名数学家华罗庚建议用一幅数形关系图――勾股定理图，作为和“外星人”交流的“语言”(假如他们有眼睛的话).

探索勾股定理【第二篇】

关键词：勾股定理数形结合探究性学习

一、背景

《数学课程标准》指出，“动手实践、自主探索、与合作学习是学生学习数学的重要方式，数学学习活动应当是一个生动活泼的主动的富有个性的过程。”笔者认为探究式学习是指在教学过程中以问题为载体，创设情境，让学生通过自主合作探索，体验知识的产生过程，学会学习，培养分析问题、解决问题的能力和创造能力，使学生在探索中体验数学的乐趣。

二、案例描述与分析

下面就一节示范课的亮点进行评析，这节课的内容为新浙教版八年级数学上册节《探索勾股定理》的新授课。

亮点一创设情境，引入新课

师：出示情境：一次强台风中，一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前有多高？

生：感到困难，无法解决

师：在解决该问题时，你遇到了什么困难呢？（小组讨论）

生：直角三角形的两直角边分别为9米和12米，怎样求斜边长呢？

师：直角三角形两条边确定了，第三边也能确定，下面我们一起来探索直角三角形三边长度关系。（教师板书：勾股定理）

点评：勾股定理作为平面几何有关度量的最为基本的定理，源于实际问题解决的需要，因而，作为勾股定理学习的第一课时，也应选择某一现实的或数学的问题情境，揭示勾股定理学习的必要性。

亮点二探究活动紧密联系，层层递进

1、合作学习（模式：三人画图，一人填写）

师：①作三个直角三角形，使其两条直角边长分别为3cm和4cm，6cm和8cm，5cm和12cm；②分别测量这三个直角三角形斜边的长；③根据所测得的结果思考；

2、大胆猜想

师：观察以上数据，你发现了什么？

生：这三个直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方

师：板书：这三个直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方

师：如果将前面的“这三个”省略，即“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”，这两句话含义一样吗？

生：不一样！前句指的是三个直角三角形，后句指的是所有的直角三角形

师：那第二句是否正确呢？我们一起来验证这个猜想

3、验证猜想（小组活动）

师：活动1：在图1中，直角三角形三边长的平方分别是多少？你是如何计算的？它们满足上面所猜想的数量关系吗？（多媒体出示）

学生展开了热烈地讨论，而后有学生开始举手，但不是很多。师请一不举手的学生回答！

生：直角三角形的三边长的平方分别为4、4、……?老师！AB的平方怎么求呢？

师：这位同学提了一个非常好的问题！哪些同学已经解决了呢？请提出你们的解决方案。

生：三角形三边的平方就是以AC、BC、AB为边长的正方形面积，可以数出正方形内小方格的个数，其中以AB为边长的正方形内有四个完整的小方格，其它刚好都是半个方格，可以拼凑出四个完整的小方格，所以三角形三边长的平方分别为4、4、8，因为4+4=8，所以满足上面所猜想的数量关系。

师：活动2：图2中的直角三角形是否也满足这样的关系呢？（多媒体出示）

生：开始很兴奋，后对求以AB为边的正方形的面积感到困难。

师：用刚才拼凑的方法解决很困难，是否有更好的方法呢？

有一生举手：可以把以AB为边的正方形分割成四个全等的直角三角形和一个边长为1的正方形（学生在讲时，教师利用实物投影演示，如图3，学生恍然大悟），所以三边的平方分别为9、16、25，因为9+16=25，所以图3的直角三角形也满足上述关系。

师：(非常欣赏的语气)：很有创意！我们就叫它分割法吧！那既然可以用“割”解决，是否也可以通过“补”来解决呢？又该怎样补呢？

生：可以在以AB为边的正方形的各边上补一个直角三角形得到一个大的正方形。（教师实物投影，如图4），所以以AB为边的正方形的面积为大正方形面积减去四个直角三角形的面积。得到的结论和上面一样。

师：同学们证明的这个猜想，我们把它称为勾股定理，在西方被成为毕达哥拉斯定理。

勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种呢。

师：现在你能计算出旗杆折断前的高度吗？

生：踊跃举手……

点评：勾股定理是本节课教学的重点，故通过“小组合作学习――大胆尝试猜想――验证证明猜想――巩固新知”的流程使学生经历知识发生、形成和发展的过程。而勾股定理的证明采用了面积法：在教材中（新浙教版）让学生从事一定的图形拼摆活动（用一张纸剪出四个全等的直角三角形，试用他们拼出一个正方形，并计算这个正方形的面积，从中你能获得什么结论），从而发现勾股定理。此处怎样引导学生更为自然的去探究操作，更基于学生内在的需要呢？值的我们商榷。故笔者在此借助方格纸，充分利用了多媒体、实物投影，设置问题，分散难点，层层递进。

亮点三运用勾股定理构建直角三角形

师：在方格纸上作线段，如图，线段为几个单位长度？

生：经过探索，学生很快找到了满足a2+b2=c2的另两边长度，利用实物投影和大家一起交流。

师：如将方格纸简化成一条数轴，能否构造上述直角三角形？如何构造？任选一试试？

如果将方格纸上的单位长度放大至1cm，则上述直角三角形的三边长分别为多少？

你能用尺规直接构造出这些直角三角形吗？如何构造？选一个试一试；

学生在受了上面方格纸的启发下，兴奋而轻松地学会了在数轴上和利用尺规来构造直角三角形。

点评：利用勾股定理构造直角三角形，是本节课的又一难点，其实质是勾股定理的运用，一般把无理数看成斜边长，逆向思考后求得两条直角边的长，利用方格纸为平台突破难点，然后将平台简化成数轴，直至最后完全脱离平台，使学生很好的掌握了这一勾股定理的运用。

三、课后反思

1、有关探究式学习的流程

上面这个案例中，探究勾股定理课堂教学的流程为：提出探究课题――大胆尝试猜测结论――进一步巩固验证结论或者证明结论――巩固新知――小结新知，这样的流程设计是否能作为探究式学习的一般模式呢？这个问题值得探讨。

2、实践操作对引导学生的探究是有效的

在教学中，引导学生进行探究的方式、方法有很多，如用恰当的问题引导、提供有趣的教学素材等，而本节课巧妙地运用了“方格纸”的方式，一步一步地接近正确的答案；随着探究的深入，得出的结论一次次地被验证，有效地激励学生的好奇心。这样的探究是有价值的。教师在学生探究真知的过程中起到了一个组织者、促进者的作用，成为点燃学生探索欲望和智慧的火把。

3、给学生留足够的探索的时间和空间

真知的形成往往源于真实的自主探究，只有放开手脚，学生的潜力才能得以真正的发挥。在很多课堂中，“探究”只是流于形式，并没有达到真正的目的。而本节课教师充分调动学生的积极性，动手实践，参与讨论。如果这节课由教师或个别学生讲出勾股定理的公式，缺少学生的实际操作和探索，更多的学生无事可做，不观察，不思考，久而久之，就会养成被动地听教师讲、听同学讲，没有自己的思考和相互交流，这样无疑会与新课程所倡导的培养学生自主探究精神的理念背道而驰。

4、探索应是自然的、基于学生内在需要的

在探究性课堂上，课题的提出以及探究方案的设计应基于学生的内在需要，这样的探究性活动才是自主的，学生的学习才是主动的。否则，看似学生自己在探索，实际上，学生的探索却在教师预设的轨道上，这样的探索并非自主的，而实是教师的一种“牵引”，是一种改头换面的“提供”。在上面的案例中，笔者提供的直角三角形的边长都是特殊值，如三边依次为3、4、5（6、8、10或5、12、13等），问题是：学生不禁要问，这些数据从何而来？此处教师设计的是否应更为自然，使学生的探究紧密联系，层层推进？值得我们反思和商榷。

5、探究需要从合情走向相对逻辑性

新课程加强了合情推理能力的培养，但同时也不能忽视逻辑推理的作用。在上面的教学设计中活动1是合情的，或然的，只是利用特殊数据对上面猜想结果的一个验证，不能说明一般情形的正确性；因此，有必要进一步开展活动2和活动3，对更一般的情况进行说理，让学生相信结论是符合逻辑的、严密的、正确的、可靠的。当然，这里的逻辑、严密是相对的，如活动3中并没有要求学生严格地证明所拼出的图形是正方形，因而结论也不是绝对严密的。笔者认为，在教学过程中，一个结论的逻辑性、严密性，并非数学科学层面上的逻辑性、严密性，而应基于课堂的教学目标和学生的实际感受。如果学生对这个结论及其探究过程深信不疑，对学生而言，该结论就是逻辑的、严密的。

探索勾股定理【第三篇】

一、创设情境，培养学生的学习兴趣

兴趣是最好的老师，学生有了学习兴趣，他们的思维就会保持在积极的探索状态之中，有了兴趣他们把学习作为自己内心的需要，而不是把学习当作一种负担。在教学中，我有意识地创设问题情境，激发学生求知的欲望。

1.用新旧知识的冲突，激发学生的探索欲望。例如，在“正弦和余弦”概念教学时，设计如下两个问题：

①RtABC中，已知斜边和一直角边，怎样求另一直角边？

②在RtABC中，已知∠A和斜边AB，怎样求∠A的对边BC？

问题①学生自然会想到勾股定理，而问题②利用勾股定理则无法解决，从而产生认知上的冲突──怎样解决这类问题呢？学生的探求新知识的欲望便会油然而生，产生学习兴趣。

2.利用学生在生活中熟知的，常见的实际问题来激发学生的探索欲望。

如在教“统计初步”时，设计以下例子：

王老师为了从甲乙两名运动员中选取一人参加比赛，两人在相同条件下各跳10次，成绩如下表：

甲：

乙：

怎样比较两人的成绩高低，选谁参加比赛？王老师经过科学的数据处理，选出一名运动员参加比赛，取得了较好的成绩。他是怎样计算的呢？学生此时思维活跃起来，对探求新知识兴趣昂然，师生很顺利地完成此节内容，同时也加深了学生对数学知识来源于生活又应用于生活的认识。

3.利用数学小实验，引发学生的好奇心和求知的欲望。例如，在讲三角形内角和定理时，可以这样设置问题： 转贴于

①把课前剪好的ABC纸片，剪下∠A、∠B和∠C拼在一起，观察它们组成什么角？

②由此你能猜出什么结论？

③在拼图中，你受到哪些启发？（指如何添加辅助线来证明）这样创设情境，使学生认识到∠A＋∠B＋∠C＝180°，从而对三角形内角和定理有一个感性认识，同时通过拼角找出定理的证明方法，学生在动脑、动手、动眼、动口的实践中，培养了观察能力，提高了学习兴趣。

二、创设情境，鼓励学生主动参与，在亲历数学建构过程中培养学生的创新意识

美国教育家布鲁纳认为：“知识的获取是一个主动的过程，学习者不应该是信息的被动接受者，而应是知识获取的主动参与者。”在课堂教学中创造条件，创设情境，让学生自己去探索、去发现，亲历数学构建过程，掌握认识事物，发现真理的方式方法。从而培养学生的创新意识。

记得讲勾股数时，我出示了这样几组勾股数，请同学们讨论这些勾股数的特征：

3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41……

开始学生们只注意到：每组勾股数的前一个数都是奇数，后两个数是一奇一偶，之后陷入僵局。教师启发道：一奇一偶之间有什么联系？学生们发现是连续数。忽然一名学生发现后两数之和恰是一个完全平方数，稍一顿，即抬头，急切地说：“这两个数的和恰是一个完全平方数，这个完全平方数就是前一个数的平方……”这样，在思考，观察中发现规律，灵感一触即发。学生们找到了勾股数的特征：即大于1的奇数的平方分成两个连续的自然数，此奇数与这两个连续自然数成勾股数。

探索勾股定理【第四篇】

［关键词］　教学；勾股定理；设计；反思

教材简析

（使用教材：上海教育出版社出版九年义务教育课本数学（试用本）八年级第二学期）

勾股定理是平面几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要根据之一，在生产、生活实际中用途很大。　它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛应用。

勾股定理的发现、验证和应用蕴涵着丰富的文化价值。　本节课是在学生已具备了直角三角形的有关知识，积累了一定的观察、操作等活动经验，具有一定的说理能力和初步推理能力的基础上学习的。　本节课可通过丰富的拼图实践活动，让学生经历验证勾股定理的过程，感受解决问题的方法的开放性，激发数学探究兴趣，享受数学思维的快乐，对培养学生良好的思维品质起重要作用。

设计理念

现代教学论认为数学课应该加强学生的数学活动，学生是活动的主人。　如果学生能在活动中把概念、定理、性质、公式等，通过自己的努力去发现和创造出来，这就是我们课堂教学中追求的最高境界，也是课程改革的迫切要求。　心理学家皮亚杰曾说过：“一切真理都要让学生自己去获取，由他重新发现，而不是草率地传授给他。　”

可是，长期以来，我们的数学课堂教学过于重视结论，而轻视了过程。　为了应付考试，为了使学生对公式、定理应用达到所谓的“熟能生巧”，教学中不惜花大量的时间采用“题海战术”进行强化。　在数学概念、公式、定理的教学中往往采用的所谓“掐头去尾烧中段”的方法，到头来把学生强化成只会套用“程式”的解题机器，这样的学生面临新问题时就会束手无策。

数学是思维的体操，是培养学生分析问题、解决问题的能力及创造能力的载体。　新课程倡导：强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能再让教学脱离学生的内心感受，必须让学生追求过程的体验。　我意识到：在数学教学中，要让“教”和“学”和谐统一，形成感性到理性的认知过程，促进学生的全面发展。　教师的“教”应体现在创设情境、激发兴趣、组织探索、引导发现上，学生的“学”则应体现在操作讨论、探究发现、归纳结论上。

基于以上认识，在设计本节课时，我所考虑的不是简单地告诉学生勾股定理的内容，而是创设一些数学情境，让学生自己去发现定理、证明定理。　从发现定理的过程中让学生体会到：定理并不是凭空产生的，发现定理并不都是高不可攀的事情，通过我们的努力，也可以做一些好似数学家才能完成的事。　在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到了充分发挥，能极大地激发他们的学习兴趣，提高他们提出问题、解决问题的能力，同时培养他们的创新能力，这正是新课程所倡导的教学理念。

教学目标

通过本节课的学习，力求达到：

1.　理解和掌握勾股定理的内容及简单的应用。

2.　通过学生的动手操作及探求勾股定理的发现、证明过程，初步体会用面积法解决几何问题的基本策略，了解从特殊到一般的推理方法及数形结合的数学思想方法，初步培养学生探究问题的能力，增强逻辑思维能力。

3.　通过介绍我国古代学者发现及应用勾股定理的成就，感受祖国文化的悠久，激发学生的民族自豪感和爱国热情。

4.　通过活动讨论，增强合作意识，初步培养探索的精神，并体验探索成功的乐趣。

教学重点、难点

重点：勾股定理的内容及简单的应用。

难点：勾股定理的拼图证明。

教学过程

（一）创设情境？摇　导入新课

电脑演示

情境1？摇1995年希腊发行的一张邮票（图1）和icm2002年国际数学家大会会标（图2），并出示问题：为何以这个图案发行邮票？以这个图案作为会标？

情境2

学校操场上，呈现升旗仪式场面照片，最后定格在旗杆照片，并出示问题：如何测算出学校操场上旗杆的高？

设计意图：设疑激趣，明确目标

新课标强调数学应返璞归真。　在教学过程中，要贯彻“生活即数学，生活即教材”的理念。　从生活中引出问题，从问题中引出课题。　通过创设恰当的情境，培养学生用数学的意识，教会学生观察生活，领悟生活中的数学因素。

问题是思维的出发点，通过有意识地设置问题情境，提出思考要求，能激发学生强烈的好奇心和求知欲。

（二）师生互动？摇　探究新知

电脑演示

实验猜想：给出三个具体的直角三角形。？摇用一把尺度量各直角三角形的三边，得到下列数据：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）8，15，17.？摇？摇

引导学生对数据进行分析，猜想三边关系。　由32+42=52，52+122=132，82+152=172的关系式，学生可能会得出：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方。

进一步引导学生：由特殊到一般的推理只是一种猜想，是否正确还须通过证明。

提出问题：对于一般的直角三角形，是否都有a2+b2=c2（其中a，b为直角边，c为斜边）？

设计意图：探索发现，揭示新知

从具体的图形入手，通过测量出具体的数据，经过计算、观察，发现结论，进而提出猜想，这种处理方法，一方面，符合学生的认知规律和心理发展规律，另一方面，也符合知识的发生、发展规律，有利于让学生经历知识的形成过程，有利于加深学生对数学学习的体验。

1.？摇证法探究

给出一套拼板（如图3，四个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形）　，请学生从中选出几个，拼成组合图形，要求学生设法利用组合图形的面积来证明上述结论，即证明a2+b2=c2（其中a，b为直角边，c为斜边）.

采用小组合作探究的方式，给学生充分的时间进行拼图、思考、交流。　教师巡视，适时介入小组讨论。　当有小组找到解决方法后，请该组派一位同学代表上讲台，展示拼图方法，交流证法。　然后，教师借助电脑进行动态演示。　学生可能会通过以下几种组合图形的面积得到结论。

方法1

如图4，由afe≌deh推出∠afe=∠deh.　又因为∠afe+∠aef　=　90°，所以∠deh　+∠aef　=　90°.　于是可得∠feh　=　90°.　同理可得∠fgh　=∠ghe　=∠efg　=90°，所以s四边形efgh？摇=　c2.　而s正方形abcd=s四边形efgh+4saef，即（a+b）2=c2+4×ab，a2+2ab+b2=c2+2ab，所以a2+b2=c2.

方法2

与方法1的证法类似。　如图5，因为（b－a）2+4×ab=c2，即b2－2ab+a2+2ab=c2，所以b2+a2=c2.　（介绍赵爽弦图及“演段算法”）

方法3

如图6，因为（a+b）（a+b）=2×ab+c2，所以a2+2ab+b2=2ab+c2，即a2+b2=c2.　（介绍此证法与美国第二十任总统珈菲尔德的证法一致）

设计意图：激活思维，加深体验

《数学课程标准》指出：“数学教学活动必须向学生提供充分从事数学活动的机会。　”这就是指，学生在教师的引导下参与教学活动，体验、发现、归纳，即在教师的引导下发挥学生的主观能动性，体验数学的再创造过程。　这里设计拼图活动就是基于上述思考。

利用拼图证明勾股定理是一种开放性的探究活动，其起点低，层次多，目前已发现的证法有四百多种，学生易于下手，每个学生都有解决问题的机会，它促进学生智力因素与非智力因素的同步发展，激发学生的创造意识。

2.　定理推出

板书勾股定理，介绍勾股定理，揭示课题引入时的问题

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

设计意图：数学文化，德育渗透

我国古代的学者，对勾股定理的研究有许多重要成就，不仅在很久以前独立地发现了勾股定理（比西方要早500多年），而且使用了许多巧妙的方法证明了它，尤其在勾股定理的应用方面，对其他国家数学的影响很大，这些都是我国人民对人类的重大贡献。　通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究方面的成就，有利于激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情，有利于培养他们的民族自豪感，并激励学生奋发图强，努力学习。　寓思想教育于学科教学中，这也是新课程所追求的。

3.　简单应用

电脑演示

例1　在等腰三角形abc中，ab=ac=13　cm，bc=10　cm（如图7），求abc的面积　.

（教师板书解题过程，解题过程略）

例2？摇　有一旗杆，升旗用的绳子沿旗杆放下时，绳子下端有一部分在地面上，将地面上的这部分拉直后，量得绳子的下端点到旗杆底端的距离为米，再将绳子拉直且下端点放在地上，此时量得绳子的下端点到旗杆底端的距离为米。　问旗杆高度是多少？

设计意图：内化新知，反馈调控

这一环节是学生巩固知识、形成技能、发展智力的重要阶段。　例1是勾股定理的简单应用，通过例1的学习有利于学生加深对勾股定理的理解与掌握，强化基本技能，落实本节课的教学重点。　例2是一道实际素材背景的应用题，并与课题引入时的“情境2”首尾相顾，前后呼应，形成一个整体。　学生应用所学的知识，很快就能解决“课题引入”时的问题，不仅可以让学生经历勾股定理的应用过程，还可以让学生体验成功的喜悦，增强学习数学的愿望与信心。

（三）自主小结？摇　深化提高

以学生为主，教师与学生一起进行归纳小结，同时，电脑演示四个“一”

一个定理……

一次探索……？摇？摇

一个思想……？摇？摇

一份自豪……

设计意图：回顾整理，总结提升

小结是对一节课的回顾与整理，也是落实学生主体地位的一个重要环节。　在教师的引导下，可让学生自己进行总结或师生合作，体现教学的民主性。　这样，不仅有利于培养学生的归纳、概括能力，帮助学生理清知识脉络，将所学的知识纳入知识体系，形成良好的认知结构，深化本节课所学的内容，还有利于引导学生反思学习过程，认识自我、增强信心、巩固兴趣，让学生在愉悦的、学有收获的心境下结束本节课的学习。

（四）分层作业？摇　发展个性

必做题：教材p56练习1、2、3；练习册a册第23页　（1）.

选做题：你能否将图8（两个正方形拼成的）剪两刀，拼成一个大正方形，使它的边长正好等于以a，b为直角边的直角三角形的斜边的长度？

设计意图：学以致用，巩固提高

通过作业，深化新知，可以检验学生掌握知识的情况，发现和弥补“教”与“学”中的遗憾与不足。　作业采取“必做题”与“选做题”的处理，为不同程度的学生提供了更为广阔的探求空间。　一方面，尊重了学生的个体差异，有利于满足学生多样化的学习需求，“让不同的人在数学上得到不同的发展”，充分落实因材施教的原则；另一方面，选做题具有前瞻性，可引导学生自学探究，将学习由课堂延续到课外。

设计说明

1．　本节课教学设计力求以学生发展为本，以探究活动为核心，师生转换角色，营造良好的学习氛围，培养学生的探索精神，充分调动学生的积极性。

2.　学起于思，思起于疑，无疑则无知。　教育家托尔斯泰说过：“成功的教学所需要的不是强制，而是唤起学生强烈的求知欲望，激发学习的兴趣”，因此，新课引入时，充分利用多媒体教学的直观性，创设问题情境，能引发学生的思考和探究热情，能自然导入新课。

3．　“平面几何在中学数学教学中的真正价值在于它的训练性，即教育学生探索几何事实的过程远比其获得的几何事实有价值得多。　”本节课从直角三角形三边关系的猜测，面积方法的证明，到勾股定理的应用，始终为学生提供自主、合作探究的平台，始终以激励学生自主探索为主，教师辅以适时的引导。　学生通过动手操作，探索解决问题的多种途径，能激发学习数学的兴趣，培养探索几何事实的能力。

4.　数学蕴藏着丰富的文化内涵。　本节课设计了数学家的介绍，力求挖掘数学的文化宝藏，学生在生动的爱国主义教育中提高了文化修养。？摇

5.　勾股定理的应用方面，本节课设计了两个例题。　一个是课本中的一个练习，让学生掌握简单的应用；另一个问题来源于学生熟悉的学校操场，是学生身边的问题，学习将实际问题转化为数学问题。　安排这两个例题可以有效地帮助学生巩固知识，培养学生学数学、爱数学、用数学的意识。

6.？摇教学流程：

教学思考

1.　数学教学过程是教师引导学生进行数学活动的过程

《数学课程标准》特别指出：“数学教学是数学活动的教学。　学生要在教师的指导下，积极主动地掌握数学知识、技能，发展能力，形成积极主动的学习态度，同时使身心获得健康。　”数学教学过程是数学活动的教学，主要体现在：首先，数学活动是学生通过实践、思考、探索、交流、掌握和运用数学知识的活动。　简单地说，整个教学过程应该充分发挥学生的动手、动脑进行数学思维。　为了使学生的数学活动能够顺利进行，教师要创设学习环境，为学生提供进行数学活动的机会，并在学习活动过程中给予适当地指导。　其次，数学活动是学生在教师引导下自我建构数学知识的活动，即在数学活动过程中，学生与教材、学生与教师之间产生交互作用，自我建构数学知识结构，形成技能和能力，发展情感态度和思维品质。　教师要意识到学生是数学知识主动探索的“建构者”，决不是被动的接受者。　教师教学工作的目的就是引导学生进行有效地建构数学知识的活动。

2.　数学知识的“过程教学”与“结论教学”相统一

《数学课程标准》把对知识的“过程教学”作为课程目标的重要组成部分，从而突出了数学知识探究过程教学的重要地位。　传统的数学教学只注重数学知识结论的教学，学生学到的是一些现成的数学概念、公式、法则，及一些枯燥的数学符号，而对这些概念、公式、法则等的形成过程却很少过问。　这种教学把数学知识形成的生动过程变成了呆板的知识记忆，一切都是现成的，它排斥了学生的思考和个性，这实际上是对学生智慧和思维个性的扼杀、压制。　当然，对数学知识结论的学习也是必要的，因为这些数学知识结论（概念、原理体系）表征了数学探索的结果，是学生进行数学思考以及学习更高一级知识的基础。　但数学教学更为关键的是使学生在掌握知识结论的过程中学会数学思维和数学思想，会用数学思想解决问题。　因而，数学课堂教学既要求注重知识结论，又要求重视知识的形成过程。　根据数学的特点，在教学中注重知识探究过程的教学有着很重要的教育价值。　不仅仅是因为数学概念、原理、公式等体系依赖于探究过程，更主要的是数学知识的探究过程体现了数学多样化的思维和认识方式，并且包含了一系列的质疑、判断、选择、比较、分析、综合、概括等多种认知活动。　学生正是在知识的学习过程中培养了运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，进而解决日常生活问题的能力，增强了运用数学的意识，了解了数学的价值，增强了学好数学的信心，也通过探索知识过程的经历和获得知识的体验，进一步培养了学生的数学解决能力和创新精神。　所以，在教学活动中应尽可能地为学生创造自主探索的机会，使学生在自主探索的过程中真正理解一个数学问题是怎样提出来的，一个数学概念是如何形成的，一个结论是怎样探索和猜测到的以及是如何应用的。

3.　数学教学要从学生出发，以学生为本，关注学生创新思维的发展和学习价值观的形成

教师的教学是为了学生的发展，学生才是教师的“本”。　特别是数学学习，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性、广泛的应用性，每个学生在数学学习过程中都会表现出各自特有的学习方式和理解方式，那么教师的教学就不仅仅是按照课本进行知识点的讲解、习题的操练，更多的应该是从学生实际出发，注意其在数学学习中正确数学观的确立与数学能力的形成。　具体的教学设计方式可以是就同一问题情境提出不同层次的问题或开放性问题，以便使不同的学生都能得到不同的发展；课堂例题、习题以及课后练习的设计编排要突出层次性，可以设置巩固性、拓展性、探索性等多种层次，在全体学生获得必要发展的前提下，让不同的学生获得不同的体验与发展。

培养学生的创新精神是新课程改革的核心目标之一。　创新的心理基础是创新思维。　关注学生的创新思维已成为全世界课程改革的特点，教师要关注学生在学习过程中有价值的思考，鼓励学生创新。　数学学习的过程是前人发现的一个“再发现”过程，学生在“再发现”的过程中被指引的是一条优化的道路，然而发现过程中必然会出现新的元素，所以教师在教学过程中不能单纯地强调学生在“再发现”中所达到的结果，还要关注和肯定学生在各自的“发现”中所展现的创新思维。