勾股定理的九种证明方法(附图精编5篇

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勾股定理证明方法范文1

可以利用勾股定理，即在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：a²+b²=c²，已知三角形两条直角边的长度，可按公式c²=a²+b²计算斜边。

勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。

勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。

勾股定理证明方法范文2

在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。

在国外，尤其在西方，勾股定理通常被称为毕达哥拉斯定理．这是由于，他们认为最早发现直角三角形具有“勾2+股2=弦2”这一性质并且最先给出严格证明的是古希腊的数学家毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580－公元前500）．

实际上，在更早期的人类活动中，人们就已经认识到这一定理的某些特例．除我国在公元前1000多年前发现勾股定理外，据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角．但是，这一传说引起过许多数学史家的怀疑．比如，美国的数学史家M·克莱因教授曾经指出：“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理．我们知道他们有拉绳人（测量员），但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为3、4、5的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得到证实．”不过，考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥版书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”这是一个三边为3:4:5三角形的特殊例子；专家们还发现，在另一块版板上面刻着一个奇特的数表，表中共刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表：最右边一列为从1到15的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着15组勾股数．这说明，勾股定理实际上早已进入了人类知识的宝库．

证明方法：

先拿四个一样的直角三角形。拼入一个（a+b）的正方形中，中央米色正方形的面积：c2

。图（1）再改变三角形的位置就会看到两个米色的正方形，面积是（a2，b2）。图（2）四个三角形面积不变，所以结论是：a2

+b2=c2

ONTface=Verdana>勾股定理的历史：

商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期

西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说："…故折矩，勾广三，股修四

,经隅五。"商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3(短边)和4(长边)时，径

隅(就是弦)则为5.以后人们就简单地把这个事实说成"勾三股四弦五".这就是著名的勾股定理。

关于勾股定理的发现，《周髀算经》上说："故禹之所以治天下者，此数之所由生也。""此数"指的是"勾

三股四弦五",这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的。

赵爽：

•东汉末至三国时代吴国人

•为《周髀算经》作注，并著有《勾股圆方图说》.

赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截，割，拼，补来证明代数式之间的恒

等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数，形数统一，代数和几何紧密结合，互不可分的

独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展。例如稍后一点的刘徽在证明

勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已。

中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中

体现出来的"形数统一"的思想方法，更具有科学创新的重大意义。事实上，"形数统一"的思想方法正

是数学发展的一个极其重要的条件。正如当代中国数学家吴文俊所说："在中国的传统数学中，数量关系

与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的。十七世纪笛卡儿解析几何的发明，正是中国这种传统思

想与方法在几百年停顿后的重现与继续。"

中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：

周公问："我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段<

BR>一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？"

商高回答说："数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形''''矩''''

勾股定理证明方法范文3

关键词：高三化学实验；高效复习

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）04-206-01

何谓勾股定理？勾股定理又叫毕氏定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。据考证，人类对这条定理的认识已经超过了4000年。据史料记载，世上有300多个对此定理的证明。勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了20多种精彩的证法。这是数学中任何定理都无法比拟的。

本文中仅介绍勾股定理的证明方法中最为精彩的两种证明方法，据说分别来源于中国和希腊。

1、中国方法：画两个边长为 的正方形，如图，其中 为直角边， 为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。 左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。左图剩下两个正方形，分别以 为边，右图剩下以 为边的正方形。 于是得 。

这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单，任何人都看得懂。

2、希腊方法：直接在直角三角形三边上画正方形。 如图，在 中， ， ， ， 。容易得到， ，作 ，

故 ，所以 ，

即正方形 的面积与矩形 的面积相等。

同理可证得，正方形 的面积与矩形 的面积相等。

所以 ，即 。至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半，则可用割补法得到。这里只用到简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式。这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法。

以上两个证明方法之所以精彩，是它们所用到的定理少，都只用到面积的两个基本观念： ⑴ 全等形的面积相等；⑵ 一个图形分割成几部分，各部分面积之和等于原图形的面积。这是完全可以接受的朴素观念，任何人都能理解。

勾股定理证明方法范文4

一、知识网络

二、复习目标

1.通过复习能进一步体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单的几何问题。

2.会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形。

3.通过具体的例子，了解定理的含义，了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立时其逆命题不一定成立。

4.能运用勾股定理和勾股定理的逆定理解决生活中的实际问题。

三、知识要点

1.勾股定理 如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。从＜＞勾股定理的内容可以看出它渗透着代数运算与几何图形之间的关系，它把直角三角形中的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，是数形结合的一个典范。用勾股定理进行计算时，除了掌握a2＋b2＝c2外，还要知道它有另外两种形式：

①a2＝c2－b2；②b2＝c2－a2.

2.勾股定理的验证 勾股定理的验证方法有很多，到目前为止有四百余种。利用某些图形经过割补拼接后，只要没有重叠，也没有空隙，面积就不会改变即可验证勾股定理。这种借助图形面积来证明定理的方法是我国古代验证几何问题常用的方法，也是一种较为简捷的方法。

3.勾股数 满足a2＋b2＝c2的三个正整数称为勾股数。每组勾股数的整数倍仍是勾股数，例如3、4、5是一组勾股数，3、4、5的2倍6、8、10，3倍9、12、15等都是勾股数。给定三个正整数，只要能验证其中最大的数的平方等于其它两数的平方和，这组数就一定是勾股数；否则，就不是勾股数组。

4.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。在判断三角形形状时，计算最大的一边的平方是否等于其他两边的平方和，如果相等，则判断为直角三角形，用这个方法也可以判别两条直线是否垂直。运用勾股定理的逆定理，通过代数运算，“算”出三角形是否为直角三角形。这说明计算在几何中也是很重要的。从这个意义上讲，学习勾股定理的逆定理，对开阔我们的眼界，进一步体会数学中的各种方法有很大的好处。

5.勾股定理及其逆定理的区别和联系区别：勾股定理是在直角三角形的前提下使用的，而判别直角三角形要看三角形三边是否满足a2＋b2＝c2.联系：它们都与直角三角形及其三边有关。

6.互逆命题、互逆定理将一个命题的题设和结论交换位置得到一个新的命题，那么这两个命题是互逆的命题。 如果把其中一个叫做原命题，那么另一个命题就是它的逆命题。如果原命题是定理，它的逆命题也成立，那么这个逆命题可以叫做这个定理的逆定理。应该注意的是，有的原命题成立，它的逆命题也成立，如本章中勾股定理和勾股定理的逆定理；有的原命题成立，但它的逆命题不成立。

7.作线段或点 利用勾股定理可以作出 长为、、…的线段；用同样的方法我们可以在数轴上标出表示、、…的点。

四、考点解密（所选例题均出自2007年全国部分省市中考试卷）

考点1：勾股数

例1（安徽省芜湖市）如图1，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm、B的边长为5cm、C的边长为5cm，则正方形D的边长为（ ）.

A

分析：利用勾股数的特征，即由勾股定理得，分别以直角三角形的三边为边长向形外作正方形，其中直角边上的两个正方形的面积和等于斜边上正方形的面积。

解：设正方形D的边长为xcm.因为正方形A的边长为6cm、B的边长为5cm，所以可求出以相应的直角三角形的斜边为边长的正方形的面积是62＋52（cm2）；

又因为正方形C的边长为5cm，正方形D的边长为xcm，所以以相应的直角三角形的斜边为边长的正方形的面积是52＋x2（cm2）；

又最大的正方形的边长为10cm，所以其中最大的直角三角形的三边满足勾股定理62＋52＋52＋x2＝102，解得x＝，故应选A.

考点2：勾股圆方图

例2（湖北省荆门市）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图2所示）.如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a，b，那么(a＋b)2的值是_______.

分析：这是验证勾股定理的一个几何图形，依题意得a2＋b2＝13，(a－b)2＝1，于是经过适当的变形即可求解。

解：因为＋b2＝13，(a－b)2＝1，

所以ab＝6.

故(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab

＝1＋4×6＝25.

考点3：判断三角形的形状

例3（四川省绵阳市）若a、b、c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论：①以a2、b2、c2 的长为边的三条线段能组成一个三角形；②以、、的长为边的三条线段能组成一个三角形；③以a＋b、c＋h、h的长为边的三条线段能组成直角三角形；④以、、的长为边的三条线段能组成直角三角形。其中所有正确结论的序号为______.

分析：从已知条件a2＋b2＝c2 和ab＝ch出发，利用勾股定理和三角形的三边关系逐一验证。

解：因为a、b、c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，所以满足a2＋b2＝c2 和ab＝ch.

对于①，由于a2＋b2＝c2，所以以a2，b2，c2 的长为边的三条线段不能组成一个三角形，更不能组成一个直角三角形；对于②，由于(＋)2＝a＋b＋2＞c＝()2，即＋＞ ，所以以，， 的长为边的三条线段能组成一个三角形；对于③，由于(a＋b)2＋h2＝a2＋b2＋2ab＋h2＝c2＋2ch＋h2＝(c＋h)2，所以以a＋b，c＋h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形；对于④，不妨设a＜b＜c，则＞＞，显然＋≠.所以以，，的长为边的三条线段不能组成直角三角形。故正确的序号为②③.

考点4：格点直角三角形

例4（浙江省金华市）如图3，在由24个边长都为1的小正三角形的网格中，点P是正六边形的一个顶点，以点P为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长：______.

分析：依题意，只要能正确地画出满足条件的直角三角形，再求出各自的斜边即可。

解：如图3，在由24个边长都为1的小正三角形的网格中，以点P为直角顶点作格点直角三角形分别是RtP1PP3，RtP1PP4，RtP2PP3，RtP2PP4，由此利用勾股定理可以分别求出其斜边为P1P3＝2，P1P4＝，P2P3＝，P2P4＝4.

考点5：勾股定理的证明

例5（四川省巴中市）在学习勾股定理时，我们学会运用图4（I）验证它的正确性：图中大正方形的面积可表示为(a＋b)2，也可表示为c2＋4× ab，即(a＋b)2＝c2＋4×ab，由此推出勾股定理2＋b2＝c2，这种根据图形可以极简单地进行直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”。

（1）请你用图4（II）（2002年国际数学家大会会标）的面积表达式验证勾股定理。（其中四个直角三角形全等）

（2）请你用图4（III）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证：(x＋y)2＝x2+2 xy＋y2.

（3）请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证：(x＋p)(x＋q)＝x2＋px＋qx＋pq＝x2＋(p＋q)x＋pq.

分析：对于（1），由于大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个直角三角形的面积，即可验证勾股定理；对于（2），可以动手操作，用这四个图形拼出一个边长为(x＋y)的正方形即可验证；对于（3），发挥想象，从而可以画出符合条件的几何图形。

解：（1）设直角三角形的直角边分别为a和b，斜边为c，则c2－(a－b)2＝4×ab，化简，得a2＋b2＝c2.

（2）如图5，大正方形的面积＝(x＋y)2，而这个大正方形又由两个小正方形和两个相同的长方形组成，其面积和为x2＋2xy＋y2，所以有结论(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2.

（3）如图6，大长方形的面积＝(x＋p)(x＋q)，又大长方形的面积等于三个小长方形的面积与小正方形的面积和，即x2＋px＋qx＋pq＝x2＋(p＋q)x＋pq.所以有结论(x＋p)(x＋q)＝x2＋px＋qx＋pq＝x2＋（p＋q）x＋pq.

考点6：探索规律

例6（广东省）已知等边OAB的边长为a，以AB边上的高OA1为边，按逆时针方向作等边OA1B1，A1B1与OB相交于点A2.

（1）求线段OA2的长；

（2）若再以OA2为边按逆时针方向作等边OA2B2，A2B2与OB1相交于点A3，按此作法进行下去，得到OA3B3，OA4B4…OAnBn，如图7，求OA6B6的周长。

分析：在等边三角形中，由勾股定理可求得其一边上的高等于个边长，根据图形的变化规律即可求解。

解：（1）OA2＝ OA1＝×(OA)

（2）依题意，得OA1＝OA，OA2＝OA1＝()2OA，OA3＝OA2＝()3OA，以此类推，OA6＝()6OA＝OA＝a，所以 OA6B6的周长＝3OA6＝a.

考点7：新定义题型

例7（内蒙古自治区鄂尔多斯）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边。

（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称______，_____；

（2）如图8，已知格点（小正方形的顶点）O(0，0)，A(3，0)，B(0，4)，请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；

（3）如图9，将ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60O，得到DBE，连结AD，DC， ∠DCB＝30O.求证：DC2＋BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形。

分析：此类题要求赋予某些满足一定条件的几何图形以特定的新概念，它要求同学们在新定义下，探求图形的新性质。

解：（1）因为一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，所以满足条件的特殊四边形中是勾股四边形的答案不惟一。如正方形、长方形、直角梯形，等等。

（2）如图8所示，M的坐标是(3，4)或(4，3).

（3）证明：连结EC.

即四边形ABCD是勾股四边形。

五、牛刀小试

1.四组数：①9，12，15；②7，24，25；③32，42，52；④3a，4a，5a(a＞0)中，可以构成直角三角形的边长的有（）.

组组组 组

2.一架25分米长的梯子，斜立在一面竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米。如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动（ ）.

分米分米

分米分米

3.已知两条线段长分别为5cm、12cm，当第三条线段长为______时，这三条线段可以组成一个直角三角形，其面积是______.

4.如图10，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C偏离了想要达到的B点140米（即BC＝140米），其结果是他在水中实际游了500米（即AC＝500米），求该河AB处的宽度。

5.某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图11所示，∠ACB＝90O，AC＝80米，BC＝60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？

参考答案：

勾股定理证明方法范文5

二、探索性学习不可或缺的题材

数学新课程理念下的数学学习将大量采用操作实验、自主探索、大胆猜测、合作交流、积极思考等活动方式。而勾股定理是

三、通过勾股定理的欣赏与应用，接受文化的洗礼与熏陶，体会数学独特的魅力

勾股定理是一条古老的数学定理，不论哪个国家、民族，只要是具有自发的(不是外来的)古老文化，他们都会说：我们首先认识的数学定理就是勾股定理。在西方文献中，勾股定理一直以古希腊哲学家毕达哥拉斯(Pythagoras，约前580－约前500)的名字来命名，称为毕达哥拉斯定理。更有趣的是我国著名数学家华罗庚教授在《数学的用场和发展》一文中谈到了想象中的首次宇宙“语言”时，就提出把“数形关系”(勾股定理)带到其它星球，作为地球人与其它星球上的“人”进行第一次“谈话”的语言。可以说勾股定理是传承人类文明的使者，是人类智慧的结晶，是古代文化的精华。因此，世界各国都非常重视勾股定理的社会文化价值，许多国家还发行了诸多勾股定理的相关邮票。