反比例函数的应用精编3篇

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反比例函数的应用1

高中数学所有章节中，函数作为学习的核心内容，也是高中数学的灵魂，函数的内容辐射面广，其蕴涵的思想方法对其它章节的学习影响深远。而作为函数三要素中的值域，在高考中非常重要，求值域的方法之多，若能够掌握几种典型的求值域问题，由此解决类似问题，便可轻松驾驭求值域问题。函数求值域常以几个重要的函数作为模型，以几种不同思想方法为工具，操作起来便捷有效。本人在长期的教学工作中对反比例函数进行了不断认识，本文通过以反比例函数为模型的实例展现给读者，希望能与大家共同学习与探讨。

一、反比例函数与反比例型函数的图像与值域

反比例函数一般形式为，图像如下：

由图知函数的值域为。

反比例型函数本身不是反比例函数，形式上类似反比例函数，图像可由反比例函数图像变换得到，如：。故其图像如下：

1

-1

故此函数的值域为。

反比例型函数一般形式为

，

而，设，则，故值域为

注：（1）上述过程中，图像是由反比例函数的图像通过“左加右减，上加下减”平移得到。（2）上述化简方法使用了换元法与分离常数法。（3）上述函数定义域为自然定义，没有限制。

二、反比例型函数在限定范围上的值域

例题：求的值域。

应对策略一

解设代入原题得，而，

①当时，值域为。②当时，如右图知在时函数单调递增，当时故函数的值域为。

1

-1

③当时，如右图知在时函数单调递减，当 时，故函数的值域为。

1

-1

综上所述：当时，值域为 。当时，值域为。当时值域为。

注：此种解法是以反比例函数为模型，以换元法、图像法和分离常数法为工具。换元法必须写清楚换元后变量的范围，然后再找出图像上变量所在范围上的图像，既而求出值域，此种方法是部分换元，另外还可以设，则函数可变为，然后再由图像法求解。应对策略二

另解（1）当时，。

（2）当时，，故，得，然后，故得，由，所以，即，所以所以当时，;当时，。

当综上所述：当 时，值域为 。当 时，值域为。当时值域为。

注：本题本身不是反比例型函数，但通过简单换元后变成了限定范围上的反比例型函数，采用“逆求法”或“反解法”求解，由题目中反解出自变量关于函数值的函数。根据自变量的范围建立关于函数值y的不等式去解函数值的范围。

熟读唐诗三百首，不会做诗也会吟。以上这3篇反比例函数的应用是来自于山草香的反比例函数的应用讲解的相关范文，希望能有给予您一定的启发。

反比例函数的应用2

一、反比例函数的概念

在八年级上册已经学过了一次函数的有关知识，学生对函数的概念也有过认识。 但由于函数的概念与数学上常见的一些概念和定义有比较大的区别，函数的概念还是不太容易被学生接受。 函数所体现的是量与量之间的关系，是一个比较抽象的概念。 因此在理解上会有些困难。 如果学生没有很好地理解函数的概念，那么函数的学习将会受到很大的阻碍。 在这个单元中，函数的概念的学习是一个重点。 函数的概念部分应该怎么样去教学才能让学生更容易理解呢？创设一定的情境是让学生理解和体会这个概念的有效方法。 如：

情境1：

（1）当路程一定时，速度与时间成什么关系？（s = vt）

（2）当一个长方形面积一定时，长与宽成什么关系？

[说明]这个情境是学生熟悉的例子，当中的关系式学生都列得出来，鼓励学生积极思考、讨论、合作、交流，最终让学生讨论出：当两个量的积是一个定值时，这两个量成反比例关系，如xy = m（m为一个定值），则x与y成反比例。

这一情境为后面学习反比例函数概念作铺垫。

情境2：

汽车从南京出发开往上海（全程约300 km），全程所用时间t（h）随速度v（km/h）的变化而变化。

问题：（1）你能用含有v的代数式表示t吗？（2）利用（1）的关系式完成下表：

（3）速度v是时间t的函数吗？为什么？

[说明]（1）引导学生观察、讨论路程、速度、时间这三个量之间的关系，得出关系式s = vt，指导学生用这个关系式的变式来完成问题（1）.

（2）引导学生观察、讨论，并运用（1）中的关系式填表，并观察变化的趋势，引导学生用语言描述。

（3）结合函数的概念，特别强调唯一性，引导讨论问题（3）.

情境3：

用函数关系式表示下列问题中两个变量之间的关系：

（1）一个面积为6400 m2的长方形的长a（m）随宽b（m）的变化而变化；

（2）某银行为资助某社会福利厂，提供了20万元的无息贷款，该厂的平均年还款额y（万元）随还款年限x（年）的变化而变化；

（3）游泳池的容积为5000 m3，向池内注水，注满水所需时间t（h）随注水速度v（m3/h）的变化而变化；

（4）实数m与n的积为-200，m随n的变化而变化。

通过以上几个情境的创设，对反比例函数的概念，学生们肯定也有了较深刻的理解。 掌握了反比例函数的概念之后，接下来学习的是用待定系数法求反比例函数的解析式，对于这部分内容，我认为求解析式偏重于方法，只要学生把方法掌握了，求解析式就变成了解方程的问题，在理解上并没有什么难处，求解析式这一块还算是反比例函数这章中相对容易掌握的一部分了。

二、反比例函数的图像及图像的性质

反比例函数的图像及图像的性质这一块的内容可以联系一次函数并将两种函数进行比较学习。 从复习一次函数的图像开始，通过回忆和比较有助于学生理解反比例函数的性质。 反比例函数的性质的理解和掌握可以通过探索的方式来让学生进行学习。 这阶段我主要是设计了如下的探索活动。

经过一系列的探索活动，学生对反比例函数的图像也能够理解和掌握。 反比例函数的图像性质如单调性这些内容在掌握了函数的图像之后就变得不难了，学会观察图像、并能把函数与图像联系起来，就能够很快理解函数的单调性。 在反比例函数的应用中，就是要学会综合运用反比例函数的解析式，函数的图像以及性质解决实际问题。 这一部分是对综合运用能力的考查，归根到底还是要对函数的图像以及性质有深刻的理解和掌握，才能从图形中挖掘出潜在的信息，或者是把文字描述转换到图像的表达上，对函数图像有深刻的理解才能很好地把知识运用到解决实际问题当中。 在学习反比例函数的过程中，一定要注意加强反比例函数与正比例函数的对比，把函数中蕴涵的重要数学思想作为本章的主要线索，加强学生对这种函数思想的理解和领悟。

参考文献

[1]雷晓宏。例说反比例函数的性质及应用[J].课程教育研究，2012（15）.

反比例函数的应用3

[关键词] 正反比例教学；数学教学；函数思想；小学生；培养方法

函数思想重视培养学生通过探寻变化规律的方式解答问题，让学生感受到事物间的内在联系。在日常数学教学中，重视渗透函数思想方法教育，不仅能够促进学生更容易、更透彻地认识和掌握数学知识，还能够帮助学生形成良好的思维品质，为后期发展打下坚实的基础。

一、函数思想概念解析

作为诸多数学思想的主要构成部分，函数思想主张以运动变化的观点和视角去分析问题，分析数量关系，借助类比或者转化等手段正确构建函数，并通过函数图像更高效地解决数学问题。尽管小学阶段并未明确函数，不过这并不意味着小学教材中没有涉及函数，没有体现函数思想。

其实在小学六年级下学期数学教材中就涉及并体现了函数思想――“正反比例关系”，它不仅是六年级下学期数学的教学重点和难点，亦是培养小学生形成函数思想的有效途径，它是衔接小学数学知识和初中数学知识的关键纽带。

二、依托正反比例教学培养小学生函数思想的方法

（一）抓住正反比例概念开展教学

“正反比例”向来是小学数学教学的一大难点，尽管同学们能够在教师的引导与讲解下学会计算，能够较为流利地说出正、反比例的意义和关系式，能够对其异同点进行区分，不过在实际应用中问题层出不穷，未真正掌握正、反比例的内在含义，亦未形成函数意识，导致解决实际问题时各种问题凸显。

对此，教师应基于小学生学习特征和认识思维能力，在备课环节认真研读课本，发现其中所蕴藏的数学思想，教师应该让学生正确认识和牢固掌握正反比例的概念和意义，能够运用其比例关系解决生活中实际存在的问题，要强化函数思想的渗透。

（二）通过实例教学向同学们渗透函数思想

正反比例关系式是带领同学们初步认识函数的良好方式，亦是导入函数概念的绝佳例子。小学六年级下册涉及了正反比例概念，笔者认为要想让学生理解并掌握这种非常抽象的概念关系并非易事，建议老师们在日常教学中采用实例教学来向同学们渗透函数思想，帮助他们形成正确的正反比概念。

1.正比例实例教学

例1. 一辆汽车由济南驶向北京，其行驶时间与路程之间所具有的关系如下表所示。

根据上表你发现了什么规律？

请按照发现的规律在上表空白区域填上相应数据。

例2.嘉怡文具店里出售一种钢笔，其销售数量和销售总额间所具有的关系如下表所示。

根据上表你发现了什么规律？

请按照发现的规律在上表空白区域填上相应数据。

2.反比例实例教学

例1. 在北京故宫游览的80名游客，准备分组活动，经商讨，共提出下述几个分组方案，具体参考下表。

根据上表你发现了什么规律？

请按照发现的规律在上表空白区域填上相应数据。

例2. 三年级二班40名学生排队做操，其行数和人数间的关系如下表所示。

根据上表你发现了什么规律？

请按照发现的规律在上表空白区域填上相应数据。

对于上述两组正反比例例题，笔者首先让同学们共同讨论并解决下述几个问题：表中存在哪两种变化的量？它们之间是如何变化的？任意选四组这两种相关联量中相对应的两个数，写成比，并求比值。观察写出的4个比值有什么关系，它们代表什么意思？在同学们完成讨论之后，可根据教学任务和教学目标从下述多个方面渗透并培养学生的函数思想：

（1）明确相关量

根据以上四个例题可知，时间和路程、数量和总价、组数与每组人数、行数与每行人数分别是两种关联的量，基于其各组对应值可知，在路程、总价、每组人数以及每行人数进行确定之后，其对应的时间、数量、组数以及行数也就随之确定了。总结来看，在两种变量中，如果其中一个变量发生变化，另一个量也会发生相应的变化，它们之间保持着密切的对应关系，此时可向同学们渗透函数思想即变量之间保持一一对应或者相依相存的关系。

（2）分析对应值

带领同学们对表中的对应值进行一一分析，首先分析正比例的两个实例：时间增加，路程亦相应增加；时间减少，路程亦相应减少，由此可知路程随着时间的变化而发生相应的变化。同理，数量增多，总价增多；数量减少，总价亦相应地减少，总价随着数量的变化而发生相应变化。然后对反比例的两个实例进行分析：每组人数增多，而组数却相应减少；反之，每组人数减少，组数却增多，由此可知组数随着每组人数的变化而发生相应变化。同理，每行人数增多，而行数却相应减少；反之，每行人数减少，行数却增多，由此可知行数随着每行人数的变化而发生相应变化。在这个过程中，可引导同学们以函数运动、规律变化、相互约束的视角和理念来审视并解决问题，让同学们体会到事物变化的内在关系，在培养并巩固其辩证唯物主义观点的基础上，形成正确的价值观。

（3）分析比值

引导学生仔细观察与分析，并结其变化规律：路程和时间（总价和数量）之比值是一定的，可通过其文字阐述写出关系表达式，即路程=时间×一定比值；总价=数量×一定比值。以此引导同学们形成正比例关系概念，并归纳出其意义；再带领同学们认识反比例变化规律：游客总人数是固定的，每组人数和组数的乘积一定；学生人数是固定的，每行人数和行数的乘积一定，可通过其文字阐述写出关系表达式，即每组人数×组数=游客总数（一定），每行人数×行数=学生总数（一定），以此引导同学们形成反比例关系概念，并归纳出其意义，引导同学们加强分析，自主发现其中所包含的规律变化，并通过表达式将其规律进行表达。

（4）根据变量关系绘制图形

例1.一辆汽车由济南驶向北京，其行驶时间与路程之间所具有的关系如下表所示。

从上述实例中选取一个正比例实例，要求同学们进行描点，将对应的点描在方格纸上，并将相邻点进行连接，以此观察所成图形特征。通过图形表达的方式阐述正比例关系，帮助学生形成直观的正比例概念，更好地体会和感知数量间的变化规律，进一步认识和了解函数思想。

函数思想是数学思想体系的重要组成部分，学生认识和掌握函数思想并非一朝一夕就能够实现，它是一个循序渐进的过程。小学教师在开展“正反比例”教学时，首先要在个人脑海中形成函数思想，科学把握所教内容，只有这样才能够促进学生形成函数思想，为提高数学素质夯实基础。

参考文献

[1]白志强。三角函数教学札记[J].现代技能开发，2000，（08）.

[2]阮伟强。二次函数教学断想[J].数学教学研究，2002，（03）.

[3]何国霞。数学思想在函数教学中凸现[J].河北理科教学研究，2006，（02）.