一元二次方程教案精编3篇

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元二次方程教案范文1

一、素质教育目标

（一）知识教学点：

1．了解根的判别式的概念．

2．能用判别式判别根的情况．

（二）能力训练点：

1．培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力．

2．进一步考察学生思维的全面性．

（三）德育渗透点：

1．通过了解知识之间的内在联系，培养学生的探索精神．

2．进一步渗透转化和分类的思想方法．

二、教学重点、难点、疑点及解决方法

1．教学重点：会用判别式判定根的情况．

2．教学难点：正确理解“当b2-4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）无实数根．”

3．教学疑点：如何理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在实数范围内，当b2-4ac＜0时，无解．在高中讲复数时，会学习当b2-4ac＜0时，实系数的一元二次方程有两个虚数根．

三、教学步骤

（一）明确目标

在前一节的“公式法”部分已经涉及到了，当b2-4ac≥0时，可以求出两个实数根．那么b2-4ac＜0时，方程根的情况怎样呢？这就是本节课的目标．本节课将进一步研究b2-4ac＞0，b2-4ac＝0，b2-4ac＜0三种情况下的一元二次方程根的情况．

（二）整体感知

在推导一元二次方程求根公式时，得到b2-4ac决定了一元二次方程的根的情况，称b2-4ac为根的判别式．一元二次方程根的判别式是比较重要的，用它可以判断一元二次方程根的情况，有助于我们顺利地解一元二次方程，也有利于进一步学习函数的有关内容，并且可以解决许多其它问题．

在探索一元二次方程根的情况是由谁决定的过程中，要求学生从中体会转化的思想方法以及分类的思想方法，对学生思维全面性的考察起到了一个积极的渗透作用．

（三）重点、难点的学习及目标完成过程

1．复习提问

（1）平方根的性质是什么？

（2）解下列方程：

①x2-3x＋2＝0；②x2-2x＋1＝0；③x2＋3＝0．

问题（1）为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用．问题（2）通过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用．

2．任何一个一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）用配方法将

（1）当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根．

（3）当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．

教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？

答：b2-4ac．

3．①定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用符号“”表示．

②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．

当＞0时，有两个不相等的实数根；

当＝0时，有两个相等的实数根；

当＜0时，没有实数根．

反之亦然．

注意以下几个问题：

（1）a≠0，4a2＞0这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用，即对上式开平方，随后有下面三种情况．正确得出三种情况的结论，需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解，所以，在课前进行了铺垫．在这里应向学生渗透转化和分类的思想方法．

（2）当b2-4ac＜0，说“方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根”比较好．有时，也说“方程无解”．这里的前提是“在实数范围内无解”，也就是方程无实数根”的意思．

4．例1不解方程，判别下列方程的根的情况：

（1）2x2＋3x-4＝0；（2）16y2＋9＝24y；

（3）5（x2＋1）-7x＝0．

解：

（1）＝32-4×2×（-4）＝9＋32＞0，

原方程有两个不相等的实数根．

（2）原方程可变形为

16y2-24y＋9＝0．

＝（-24）2-4×16×9＝576-576＝0，

原方程有两个相等的实数根．

（3）原方程可变形为

5x2-7x+5=0．

＝（-7）2-4×5×5＝49-100＜0，

原方程没有实数根．

学生口答，教师板书，引导学生总结步骤，（1）化方程为一般形式，确定a、b、c的值；（2）计算b2-4ac的值；（3）判别根的情况．

强调两点：（1）只要能判别值的符号就行，具体数值不必计算出．（2）判别根的情况，不必求出方程的根．

练习．不解方程，判别下列方程根的情况：

（1）3x2+4x-2=0；（2）2y2+5=6y；

（3）4p（p-1）-3＝0；（4）（x-2）2＋2（x-2）-8＝0；

学生板演、笔答、评价．

（4）题可去括号，化一般式进行判别，也可设y＝x-2，判别方程y2＋2y-8=0根的情况，由此判别原方程根的情况．

又不论k取何实数，≥0，

原方程有两个实数根．

教师板书，引导学生回答．此题是含有字母系数的一元二次方程．注意字母的取值范围，从而确定b2-4ac的取值．

练习：不解方程，判别下列方程根的情况．

（1）a2x2-ax-1＝0（a≠0）；

（3）（2m2＋1）x2－2mx＋1=0．

学生板演、笔答、评价．教师渗透、点拨．

（3）解：＝（-2m）2-4（2m2＋1）×1

＝4m2-8m2-4

＝-4m2-4．

不论m取何值，-4m2-4＜0，即＜0．

方程无实数解．

由数字系数，过渡到字母系数，使学生体会到由具体到抽象，并且注意字母的取值．

（四）总结、扩展

（1）判别式的意义及一元二次方程根的情况．

①定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式．用“”表示

②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．

当＞0时，有两个不相等的实数根；

当＝0时，有两个相等的实数根；

当＜0时，没有实数根．反之亦然．

（2）通过根的情况的研究过程，深刻体会转化的思想方法及分类的思想方法．

四、布置作业

教材P．27中A1、2

五、板书设计

12．3一元二次方程根的判别式（一）

一、定义：……三、例……

…………

二、一元二次方程的根的情况……练习：……

（1）…………

《一元二次方程》中的思想与方法2

学习《一元二次方程》，除了要掌握一元二次方程的解法与应用外，同学们还需要了解蕴含在这一章中的数学思想、方法。现举例说明如下。

一、整体思想

例1 已知m、n是方程x2－2x－1=0的两根，且（7m2－14m+a）（3n2－6n－7）=8，则a=_________.

解：因为m、n是方程x2－2x－1=0的两根，

所以m2－2m－1=0，n2－2n－1=0，

所以m2－2m=1，n2－2n=1.

又因为（7m2－14m+a）（3n2－6n－7）=8，

所以[7（m2－2m）+a][3（n2－2n）－7]=8，

所以（7+a）（3－7）=8，

所以a=－9.

二、分类讨论思想

例2 已知三角形的三边长都是方程x2－5x+6=0的解，则三角形的周长为________.

解析：方程x2－5x+6=0的解为x1=2，x2=3.

因为三角形的三边长都是方程x2－5x+6=0的解，

①当三角形的三边为2、2、2时，三角形的周长为6；

②当三角形的三边为3、3、3时，三角形的周长为9；

③当三角形的三边为2、2、3时，三角形的周长为7；

④当三角形的三边为3、3、2时，三角形的周长为8.

综上所述，三角形的周长分别为6、7、8、9.

三、数形结合思想

例3 若x1、x2（x1＜x2）是方程（x－a）（x－b）=1（a＜b）的两个根，则实数x1、x2、a、b的大小关系为（ ）.

A． x1＜x2＜a＜b B． x1＜a＜x2＜b

C． x1＜a＜b＜x2 D． a＜x1＜b＜x2

解析：抛物线y=（x－a）（x－b）与x轴的两个交点分别为（a，0）、（b，0）.

将抛物线y=（x－a）（x－b）向下平移一个单位，得y=（x－a）（x－b）－1，此时x1、x2就是抛物线y=（x－a）（x－b）－1与x轴的两个交点的横坐标（如图1）.

根据图1易知：x1＜a＜b＜x2.故选C.

四、转化思想

解析：原方程可转化为（x2+3x）2 +2（x2+3x）－3=0.

解得x2+3x=－3或x2+3x=1.

又因为x2+3x+3=0，b2－4ac=9－4×3＜0，

所以x2+3x=－3不合题意，所以x2+3x=1.

五、建模思想

例5 如图2，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD可利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m.若矩形的面积为4m2，求AB的长度。（可利用的围墙长度超过6米）

解析：设AB=xm，那么BC=（6－2x）m.

根据题意，得x（6－2x）=4.

解得x1=1，x2=2.

当x=2时，BC=6－2×2=2，

因为矩形的邻边不相等，所以x=2（舍去）.

所以AB的长度为1米。

六、降次法

例6 若x2+x－1=0，则x3+2x2+3的值为

.

解析：因为x2=1－x ，x3=x·x2，

所以x3+2x2+3=x·（1－x）+2x2+3=x－x2+2x2+3=x2+x+3=1+3=4.

七、消元法

例7 已知实数a、b满足a2+b2－11=0，a2－5b－5=0，则b的值为 .

解析：因为a2+b2－11=0，a2－5b－5=0，消去a并整理，得b2+5b－6=0.

解得b1=－6，b2=1.

又因为a2=5b+5≥0，所以b≥－1，

所以b=－6（舍去），所以b的值为1.

八、配方法

例8 若a、b为实数，且2a2－2ab+b2+4a+4=0，则a2b +ab2的值为 .

解析：因为2a2－2ab+b2+4a+4=0，

即a2－2ab+b2+a2+4a+4=0，

（a－b）2+（a+2）2=0.

所以a－b=0，a+2=0，所以a=b=－2.

当a=b=－2时，a2b +ab2=（－2）2×（－2）+（－2） ×（－2）2 =－16.

九、换元法

例9 若（a2+b2）2－2（a2+b2）－8=0，则a2+b2的值为 .

解析：设a2+b2=x，

则原方程可化为x2－2x－8=0，

解得x1=4，x2=－2.

又因为a2+b2＞0，所以x=－2（舍去），

所以a2+b2的值为4.

十、因式分解法

例10 解方程（x+1）（x－2）=x+1.

解析：移项，得（x+1）（x－2）－（x+1）=0，

（x+1）（x－2－1）=0，

（x+1）（x－3）=0.

所以x+1=0或x－3=0，

所以x1=－1， x2=3.

元二次方程教案范文3

中图分类号G 文献标识码A

文章编号0450-9889（2013）04B-

0054-02

随着教学改革的不断深化，我们认识到，那种依靠增加课时来完成教学任务和提高教学质量的做法，是违背教学规律的，是不利于学生全面发展的。要减轻学生的课业负担，提高教学质量，必须致力于提高课堂教学效率。孟照彬教授倡导的有效教育（MS—EEPO）中的各种新教学方法，为我们指明了课堂教学改革的方向。这里介绍有效教育中的三元方式教学，谈谈自己在实践中的一些收获和体会。

一、三元方式教学的操作流程

三元方式教学由三个部分组成，分别是一元区、二元区和三元区教学。

一元区教学——充分地想。在现行的教材中，特别是在物理、化学、生物和综合实践学科中，相当注重科学探究和调查、制作等活动。科学探究一般包括提出问题、做出假设、设计方案、实施方案、得出结论、表达和交流等六个过程。提出问题、做出假设和设计方案的过程实质上是让学生去“想”，是给学生创造宽松的环境，保证他们有比较充裕的时间去想。让学生思维扩张，形成头脑风暴，才能做出假设，并设计出个性化的研究方案。

二元区教学——二次排序。根据探究活动的具体要求，学生经过“充分地想”之后，进行分工合作，设计一个个性化的研究方案。各组的方案要做到科学合理，需要运用二次排序法去不断修改完善。二次排序中的第一次是选择重要的研究方案，第二次是选择可能的研究方案，直到找到符合要求的方案。这样经过小组讨论和全班质疑，完成从部分到整体的设计过程，学生的方案才富有个性、创新性和可行性，才能培养学生思考的周密性。

三元区教学——科学地做。经过修改后的设计方案比较有条理，有一定的科学性和可操作性，接着就进行方案实施，严谨科学地去做，做好观察和记录，做好分析推理，得出结论。在做的过程中强调原来怎么设计的就怎么做，不要中途改变方案。通过做培养学生的合作精神和一丝不苟的工作作风。如果试验结果与假设不一致，要引导学生仔细分析原因，然后在以下三种后续步骤中做出选择：（1）否定原来的假设，得出与假设相反的结论；（2）按照原来的实验方案重做一遍实验，检验你的实验结果是不是可以重复的；（3）重新设计实验方案，并通过实验重新检验假设。

二、三元方式教学在化学课堂中的实际应用

教学方法，是完成教学任务所采用的手段，是优化教学过程的一种推动力。初中生学习化学，往往觉得内容多、杂乱，理不出头绪，要记的东西多，容易忘。刚开始学习时，他们虽然对实验现象兴趣很浓，但并没有因此而形成稳定的内在学习动机，也不晓得应该怎样由表及里、由浅入深地想问题，更不会联系自己熟悉的事物和现象去想问题，不重视理解、记忆重要的事实、术语和原理，以致形成知识学习上的脱节，甚至出现学习水平分化。所以化学教学要从学生实际出发，从学科的特点出发，针对初中学生的心理特征，为学生创设良好的学习情境，激发和发展学生探索、求知的内在动机。三元方式教学可以很好地做到这一点。

如“二氧化碳制法”的探究教学就可以这样设计：教师先复习氧气实验室制法的一般过程，再让学生小结实验室制取气体的一般方法，然后顺理成章地引出新课。新课的学习则可以用三元方式进行。首先，在一元区，让学生自己设计实验室制取二氧化碳气体的方案。设计时给学生充足的时间让学生充分地想，使学生对有关知识有一个大概的了解。接着让学生组成四人小组，学生将自己的方案在组内交流，选出本组最好最可行的方案用大卡纸展示出来。这样做的目的是让学生强化知识，并把知识进行一次排序。然后在全班交流各组展示的内容，进行二元区中的二次排序，把可行的方案选出来。这样可以进一步强化学生所学的知识。在此环节中教师的精讲补漏非常重要。比如，能不能用浓盐酸或硫酸来替代稀盐酸等细节问题就在此处补充。通过这两个环节的教学学生对知识已经比较了解。接下来到巩固知识环节，进入三元方式里的三元区教学。在这个环节中学生自己选择已通过的可行方案在四人小组中进行试验，并自己选择需用的仪器，试验过后把试验现象和结论都写在大卡纸上展示。完成后各小组发言人作小结，其他同学补缺补漏，教师精讲补讲。这样学生通过几个环节的操作全部掌握了本节知识，从而能收到较好的教学效果。

下面列举一些化学科三元方式教学的课题：空气中氧气含量的测定、氧气的制取、人吸入气体与呼出气体的探究、爱护水资源（水污染情况调查和节约用水的社会调查，网上查资料）、CO2制取的研究（原料、反应物探究和装置探究）、CO2的物理性质及化学性质、燃烧与灭火的探究或燃烧条件的探究、酸雨危害的模拟实验、金属活动性顺序的探究、金属锈蚀条件的探究、溶解时吸热放热现象的探究、洗去衣服污渍的方法探究、影响溶液饱和因素的探究、设计实验证明CO2能与NaOH反应、酸和碱恰好完全反应的探究、塑料的有关调查等。

三、三元方式教学的收获和体会

我校是一所农村中学，学生素质没有城里的好，而且教学资源也比较缺乏。在使用新教学方法后，学生的学习兴趣和学习主动性都大大增强了。

伟大的科学家爱因斯坦说过：“兴趣是最好的老师。”兴趣是求知的巨大动力，是发明创造的源泉。三元方式教学能有针对性地帮助学生扫除学习中的障碍，唤起他们对学习的兴趣，使他们能主动积极地学习。

初中化学需要识记的知识比较多、比较集中，提高教学效率是教学的基本要求，是提高教学质量的关键。教学是师生的双边活动，在教学过程中教师应充分调动学生的学习积极性。三元方式教学能充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，消除满堂灌、注入式教学的弊病，同时还能避免出现教师放任自流、学生各行其是的现象，从而能保证教学质量。

教学过程是学生在教师指导下的认识过程。初中化学课要培养学生的观察能力、思维能力、实验能力、自学能力和创新能力，关键在于教师的启发和引导。教师要在课前充分理解吃透教材，了解掌握学生的情况，课上要结合学生暴露的问题，瞄准教学目标，进行深入、准确的画龙点睛式的讲解。课堂教学要激发学生的思维，而三元方式教学的应用能使学生在课堂时间内思维始终保持在最佳状态，从而能取得良好的教学效果。