正比例函数实用5篇

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《正比例函数》教案1

一、教学内容：

正比例函数的图象和性质

二、教学目标：

（一）知识与能力

1、进一步巩固正比例函数的概念，会画正比例函数的图象，进一步熟悉函数图象作图步骤。

2、能根据正比例函数图象观察、发现归纳出它的性质，并会简单运用。

（二）过程与方法

1、通过实例函数图象画法的学习，发现并总结正比例函数图象的常用画法。

2、通过观察、探究、分析、引导学生发现正比例函数的性质。

3、培养学生善于观察问题发现结论，了解数形结合及由一般到特殊的数学思想。

（三）情感态度及价值观

培养学生积极参与数学活动，勇于探究，发现数学的现象和规律，培养学生的数学交流能力和团队协作精神。

三、教学重点：

正比例函数图象的画法及性质的探索。

四、教学难点：

发现、归纳正比例函数的性质。

五、教法与学法

教法：本节课选用引导学生观察，发现法和探索实践归纳法。本节课的难点是发现正比例函数性质，因此我通过教师引导，启发调动学生的积极性，让学生在课堂上多活动（画、图、交流、展示）、多观察（图象）， 主动参与到整个教学活动中来，最后发现其性质。

学法指导：教师引导学生观察、发现、归纳的学习方法。

六、教具：三角板、多媒体。

七、教学过程。 教学过程：

（1） 温故知新，引入课题。 1、下列函数哪些是正比例函数？

（1）y=－3x （2）y= x + 3 （3） y= 4x （4）y= x2

2、（学生回答完上述问题后提问概念）

一般地，形如y= kx（K≠0）的函数，叫正比例函数，其中K叫做比例系数。

3、画函数图象的一般步骤

（1）列表 （2）描点 （3）连线 学生回答后：

教师引导：现在我们已经知道正比例函数的意义及画图象的步骤，那么正比例函数的图象有什么特征呢？

出示课题

（二）探究正比例函数的图象和性质 例1、画出下列正比例函数的图象。 （1）y=2x（2）y=－2x

解（1）函数y=2x中x 可取任意实数，列表如下： 描点 连线

(2)学生练习画出函数y=－2x的图象。

(3)提出问题

师：观察上面的函数图象，它们的形状相同吗？是什么？一定经过哪些象限和特殊点？

生甲：一条直线

生乙：过原点的直线，y=2x的图象过一、三象限，y=－2x的图象过二、四象限。

师：点评学生后

正比例函数的图是经过原点（0，0）和（1、K）的一条直线。

师：通过前面的探讨，同学们发现画正比例函数图象有更简单的方法吗？为什么？

生乙：过原点画一条直线。

生丙：过原点和（1、K）两点画一条直线。

师：点评后师生共同归纳出一般规律：一般地，正比例函数y= kx (K≠0)的图象过（0，0），（1、K）两点的直线，我把函数y= kx 的'图象叫直线y= kx ，以后画y= kx 图像时通常选取（0，0）和（1、K）两点。

（三）学生动手实践“两点法”画正比例函数图象。

11

（1）y= x （1）y= －x

22

1

y= x

2

y= －

师：比较以上函数，观察它们的图象，思考回答下列问题：

1、图象的位置与K值有何联系？

2、正比例函数中y如何随x的变化而变化？通过研讨，观察、讨论、发现结论：K＞0时，y=kx 图象过一、三象限，y随x的增大而增大，k＜0时，图象过二、

1

x 2

四象限，y随x的增大而减小。

师：除了从图上看出，还有别的方法得出y随x的变化规律吗？ 生：列表过程中

（四）巩固练习

1、用你认为最简单的方法画出下列函数图象。

（1）y= (2) y=－3x

2、正比例函数y=－4x的图象是过（ ）和（ ）两点的一条直线，图象过象限，y随x的。

3、正比例函数y=（m－1）x的图象过一、三象限，则m的取值范围是。 =1 ＞＜1 ≥1

11

4、下列函数①y=5x ② y=－3x③y= x ④y= －x中，y随x的增大而

23

减小的是 。

5、正比例函数y=(1-2m)xm2-3图象过第二、四限， 求m值。

（五）小结：谈一谈，本节课你有什么收获？（知识上，方法上）学生回答后，出示下列内容。

（六）布置作业

A：课本习题第1题，练习册33页 第3、9 题。 B：课本习题第1，2题。

（七）板书设计：

实践操作正比例函数 分析、发现归纳正巩固练习 图象的画法 比例函数的性质 课堂小结

（八）课后反思：另附

他山之石，可以攻玉。山草香为大家分享的5篇正比例函数就到这里了，希望在正比例函数的写作方面给予您相应的帮助。

正比例函数2

——义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级上册

南昌市实验中学  徐建国一。教学目标

教

学

目

标

知识技能

学习正比例函数及其图象画法、性质和应用

数学思考

培养学生的观察能力、数形结合能力、探索规律能力、解决实际问题能力

解决问题

利用正比例函数及其图象解决实际问题

情感态度

认识数学知识与实际生活相联，体验学习有价值的数学过程

重点

正比例函数及其图象性质

难点

正比例函数的增减性二。教学准备课件、笔记本电脑、三角板、计算器 三。教学流程

四。教学过程1.复习引入（1）函数（提问）      一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是变量，y是x的函数。   （2）变化过程（解释） （3）问题      汽车以60/千米时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时，请先填下表

t/时

1

2

3

4

5

6

s/千米

再写出s关于t的函数关系：                                . 2.问题展示   问题1996年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环；4个月零1周后，人们在万千米外的澳大利亚发现了它 (一个月按30天计算) . （1）这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？（2）这只燕鸥的行程y（单位：千米）与飞行时间x（单位：天）之间有什么关系？（3）这只燕鸥飞行1个半月的行程大约是多少千米？（4）对这个问题你还能提出什么结论。分析：（1）这只燕鸥大约平均每天飞行的路程不少于

25600÷（30×4+7）≈200（km）.     （2）假设这只燕鸥每天飞行的路程为200km，那么它的行程y（单位：千米）就是飞行时间x（单位：天）的函数，函数解析式为

y=200x    (0 x 127).        （3）这只燕鸥飞行1个半月的行程，大约是x=45时的函数y=200x的值，即

y=200×45=9000(km).        （4）略。  3.共同思考      下列问题中变量对应规律可用怎样的函数表示？这些函数有什么共同点？ 　　 （1）圆的周长l 随半径r的大小变化而变化？    （2）铁的密度为/cm³,铁块的质量m（单位：g）随它的体积v（单位：cm³）的大小变化而变化； 　 （3）每个练习本的厚度为，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随这些练习本的本数n的变化而变化；（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度t（单位：℃）随冷冻时间t（单位：分）的变化而变化。    可以得出上面问题中的函数分别为：    （1）l=2 r                                   （2）m=（3）h=                                   （4）t=-2t4.归纳定义      一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数（proportional function）,其中k叫做比例系数。5.共同参与请你举出一些实际问题，使问题中的变化规律是正比例函数的形式。6.例题讲解为了研究正比例函数的性质，我们是通过研究正比例函数图象性质而达到的，因此例题是画出正比例函数图象。先给同学们提一个问题：描点法画函数图象的一般步骤是                     、                    、                     .例1.画出下列正比例函数的图象：       （1）y=2x                              （2）y=-2x    解：（1）y=2x①列表：

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y        ②描点：        ③连线：        ⑵y=-2x①列表：

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y        ②描点：        ③连线：通过观察例1中两图象可以发现：两图象都是经过               点的               线，函数y=2x的图象从左向右              ，经过第              象限；函数y=-2x的图象从左向右            ，经过第               象限。7.课堂练习在同一坐标系中，画出下列函数的图象，并对它们进行比较：⑴y= x;                          ⑵y=- x.   设问：通过例题讲解和课堂练习，你认为画正比例函数的图象时，有没有更简单一点的方法？为什么？ 8.本课小结一般地，正比例函数的y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点和（1,k）的直线，我们称之为直线y=kx，当k>0时，直线y=kx经过三、一象限从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过二、四象限从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。9.共同探究探究1   两个不同的正比例函数 y=k x (k ≠0)、y=k x (k ≠0) ,k ≠k ,在同一直角坐标系中是否有交点？为什么？探究2   汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时，则s关于t的函数为s=60t，请画出此函数的图象。tsl甲l乙探究3   射线l 、l 分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所走的路程s与时间t的函数关系，请问甲、乙两名运动员比赛中的速度谁更快？为什么？10.本课作业     （1）练习册～5     （2）完成探究1～3     （3） 练习     （4） 复习巩固1五、数学反思（课后完成）

正比例函数3

正比例函数教案

教

学

目

标

知识技能

1、理解正比例函数的概念及正比例函数图象特征。

2、知道正比例函数图象是直线，会画正比例函数的图象；进一步熟悉作函数图象的主要步骤。

数学思考

1、通过“燕鸥飞行路程问题”的探究和学习，体会函数模型的思想。

2、经历运用图形描述函数的过程，初步建立数形结合，体会函数的三种表示方法的相互转换。经历探索正比例函数图象形状的过程，体验“列表、描点、连线”的内涵。

问题解决

能从数学角度提出问题，运用y= kx中，x、y的关系等知识解决问题。

情感态度

1、结合描点作图培养学生认真细心严谨的学习态度和学习习惯。

2、培养学生积极参与数学活动，勇于探究数学现象和规律，形成良好的质疑和独立思考的习惯。

教学重点

探索正比例函数图形的形状，会画正比例函数图象

教学难点

正比例函数图象性质

教学过程安排

活动过程

活动内容和目的

活动1、问题引入

通过“燕鸥飞行路程问题”建立数学模型，理解行程与时间的对应函数关系，为导出正比例函数做铺垫。

活动2、正比例函数概念的学习

通过若具体实例，概括归纳出一类有共性的函数关系表达式，导入正比例函数概念。

活动3、画正比例函数的图象

通过师生共同活动，学会运用描点法画出正比例函数图象

活动4、正比例函数图象特征的探究

通过对若干实例的观察分析、比较、概括归纳出正比例函数图象的特征。

活动5、小结、布置作业

回顾和重现本节重点内容加深本节知识范围的理解，通过巩固性练习尝试运用本节知识解决问题。

教学过程设计

问题与情境

师生行为

设计意图

情境1、

问题

（1）       你知道候鸟吗？它们在每年的迁徙中能飞多远？

（2）       燕鸥的飞行路程与时间之间有什么样的数量关系？

教师用课件展示问题。

让学生在地图上找出芬兰和澳大利亚，并将两处用直线连接，然后思考并解答课本上的问题。

学生自主解决三个问题。

教师在学生得到结论的基础上提醒：这里用函数y=200x对燕鸥飞行路程进行了刻画，尽管只是近似的，但它反映了燕鸥的行程与时间的对应规律。

从具体情境入手，使学生认识到数学与现实问题总是密不可分的，人们的需要产生了数学。

路程、速度与时间之间的关系学生较熟悉，当速度一定时，路程是时间的函数，用这些简单的实例不断从现实世界中抽象出数学模型，建立数学关系的方法。

情境2、

问题

（1）课本上有4 个实例，这些实际问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示？这些函数有什么共同点？

教师出示四个实例问题的幻灯片，要求学生（1）能找出变量对应关系表达式（2）能说出表达式中的自变量、自变量的函数

学生自主探究，分组讨论；然后教师让各小组代表回答问题。师生互动对回答的问题进行分析评价。

教师引导学生观察分析上面的五个表达式的共性：都是常数与自变量乘积的形式。

教师口述并在黑板上板书正比例函数的概念。

教师让学生看书，在定义处画上记号，并提出问题：这里为什么强调k 是常数，k≠0

通过这些实际问题使学生进一步加深对函数概念的理解，也为导出函数概念做好铺垫。

通过归纳、分析使学生明白正比例函数的特征、理解其解析式的特点

情境3、

问题

（1）       我们知道了怎样用解析式表示正比函数能否用图象来表示它呢？

（2）       怎样在直角坐标系中画出正比例函数图象。

（3）       观察、分析图象的特点

（4）       巩固性练习画图象

学生在事先准备好的坐标纸上，用描点法画出y=2x和y=-2x的图象。

教师用超级画板演示。

说明描点后先观察形状，再连线。

对这个问题老师应关注

（1）       组织学生一起对所画图象进行评价。

（2）       和学生一起简要总结主要步骤。

（3）       用画板演示，当x增大时，y也相应地增大。演示描更多个点的情况

学生讨论分析、比较y=2x与y=-2x图象的异同之处，填写所发现的规律

学生独立练习在同一坐标系中画出 图象 ，让学生说明了这两个图象的异同之处

经历探索正比例函数图象形状的过程，体验“列表、描点、（观察形状）、连线”的内涵。

比较异同之处，为后面分析讨论正比例函数图象的特征作准备。

练习画出图象通过多个实例，使学生进一步分析研究后能领悟这一类图象的特点。

情境4、

问题

（1）       从以上作图过程可以发现正比例函数的图象有什么特征。

（2）       经过原点与（1，k）的直线是哪个函数的图象？

教师对画图过程进行巡回指导和个别辅导，学生画完图后请学生回答这两个图象的特点并与上面的特点相比较。

教师用画板演示

学生在老师的引导下概括、归纳出正比例函数图象的特征。

教师板书教科书25页上的正比例函数图象的特征。

对于这个问题教师应重点关注

（1）       学生是否通过对正比例函数解析式观察分析，发现当k>0时函数y与自变量x同号；当k<0时函数y与自变量x异号。

（2）       学生对正比例函数图象观察分析，知道其图象是一个随x增大而增大或减小的直线。

学生讨论左边的问题。

教师注意：（1）提醒学生从解析式入手，探究当x=0时或x=1时，y的值分别是几；（2）正比例函数的图象为什么一定过（0，0）和（1，k）这两点；（3）因为两点确定一条直线，因此，画正比例函数图象时，只须过原点和（1，k）画一条直线即可。

在多个实例的基础上，归纳得到正比例函数图象的性质，潜移默化地对学生进行了概括、归纳、比较、分析的思维方法的教育。

这里通过对解析式和图象的分析，可使学生明白解析式和图象对正比例函数的刻画各有优势。

了解事物的特征就可以使解决问题来得更简捷一些，不断培养学生分析和解决问题的能力。这里同时让学生加深领会数形结合的思想。

（3）       用你认为最简单的方法画出正比例函数图象（教科书26页练习）。

学生练习用“两点法”画图象，教师巡回辅导，并安排一名学生在黑板上画。

教师应当关注：

（1）       学生画图中是否采用的是“两点法”；

（2）       这两点是否最简单（其中关键是对k的确认）。

完成当堂练习，巩固“两点法”画图象的方法。

情境5

问题

本节课学了哪些内容？你认为最重要的是什么？

布置作业

教科书习题11。2第1、2、6、7题。

学生稍作思考后分组讨论，让3~4名学生回答。

教师应当关注：

（1）       允许学生答案不同，回答结论的不同只会对学生学习更有帮助，应当鼓励；

（2）       最后应达到师生共同小结，明确正比例函数的概念、图象特征的效果

学生独立完成作业，（其中第7题可作为选作题）。

教师批改后注意反馈。

教师应关注：

（1）       学生作图象的规范性；

（2）       不同层次的学生在作业中反映出的问题应及时解决。

让学生参加小结并允许学生答案不同，可以增强学生学习的积极性和主动性，培养他们对所学知识的回顾思考习惯；通过小结也强调了本节课的重点，巩固了学习内容。

对作业中的问题要注意个体分析，布置作业要体现分层要求，有一定弹性。

教学设计说明

本节内容是在学生学习了变量和函数的基本概念基础上进行的。学习了正比例函数在引入一次函数，有利于降低教学难度，使难点分散。学生在理解正比例函数概念、描点画函数图象、利用解析式和图象分析正比例函数性质时来得更加容易。

在教材处理方面，采取：“建立数学模型——导入正比例函数概念——画正比例函数图象——探究正比例函数性质——练习、小结”这样循序渐进的教学流程。

考虑到本节内容概念性较强，采取通过学生熟悉的行程问题来导入正比例函数的概念，学生易于接受。

在教学设计时，注重了学生的尝试和探究，如对正比例函数变量对应方式的辨析，自变量取值范围的讨论，学生列举正比例函数的实例的分析，四个小实例的探究，画图象时的动手尝试，小结时的自我概括和归纳等。

在教学时使学生的尝试和探究贯穿课堂全过程，同时重视教师的引导、指导和示范，如在概念出示时必要的板书，画图象时的示范，对关键之处的启发、点拨和讲解，还有教师与学生、学生与学生的互动等。这样有利于学生对概念的理解，也有利于培养学生的学习能力和学习习惯。

《正比例函数》教案4

教材分析

函数是刻画变量之间关系的数学模型，正比例函数是学生接触的第一个最基本的初等函数，教材中呈现的“实际问题—函数概念—函数的图象和性质—函数的实际应用”的结构，是后续学习各类函数的基础。正比例函数的图象和性质是核心，图象“特征”、函数“特性”以及它们之间的相互转化关系，蕴含着丰富的数学思想，这也正是正比例函数的本质属性。

我的思考

本节课是在学生对函数的概念，描点法画函数的图象进行初步讨论的基础上，通过实际问题建立数学模型，抽象出正比例函数的定义，再通过描点法画出正比例函数的图象（由数到形的过程），并进一步研究正比例函数的图象，并通过图象的研究和分析，来确定正比例函数的性质（由形到数的过程）。正比例函数的图象和性质，蕴含着丰富的数学思想，在探索过程中不断体验数形结合的思想，了解数学模型的应用价值，让学生经历建模，观察、分析图象的特征，抽象、概括函数性质的过程。通过本节课的学习，让学生了解我们学习函数的方法，为今后学习一次函数、正比例函数和二次函数建立一个模型。

教学目标

知识与技能：

（1）能够判断两个变量是否构成正比例函数关系，理解正比例函数的概念；

（2）能够画出正比例函数图象，理解正比例函数的图象特征和性质。

（3）培养学生的观察、分析、探究、归纳及概括能力。

过程与方法：

（1）通过“燕鸥飞行路程问题”的研究，体会建立函数模型的思想。

（2）通过正比例函数图象的学习和探究，感悟“变化与对应”和“数形结合”的数学思想。

情感态度与价值观：通过正比例函数概念的引入，是学生进一步认识数学是由于人们需要所产生的，与现实世界密切相关，同时渗透热爱自然和生活的教育。

教学重点正比例函数概念、图像和性质，以及本课内容所蕴含的思想方法。

教学难点准确画出正比例函数的图象，感悟“变化与对应”和“数形结合”的数学思想，理解正比例函数图象的特征和性质。

教学设计

教学过程

（一）创设情境，引入新知

问题1同学们前面几节课我们学了变量和函数的知识，今天我们来一起学习函数当中最简单的函数——正比例函数（板书正比例函数）

在我们学习新的内容之前，我们大家先来看这一段录象，（介绍北极燕鸥迁徙的'历程）。看录象的过程中。你有什么体会呢？

师生活动：教师提问，学生回答，教师对学生潜在的进行热爱生活热爱自然的教育。

设计意图：通过视频引入新课可以很快的把学生的注意力集中到课堂上来，为后面出示燕鸥迁徙问题做好铺垫。

（二）观察探究，形成新知

问题2教师在视频营造的环境下，以讲故事的形式出示燕鸥迁徙的问题：

1996年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥候鸟套上标志环；大约128天后，人们在25600千米外的澳大利亚发现了它．(1)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米(2)这只燕鸥的行程y(单位：千米)与飞行时间x(单位：天)之间有什么关系？(3)这只燕鸥飞行一个半月（一个月按30天计．）的行程大约是多少千米？

师生活动：学生稍作思考，小组合作完成。教师在学生得到结论的基础上关注总行程y和飞行时间的函数关系的理解，及学生能否指出自变量、函数及自变量的取值范围。对小组回答给予及时评价。

教师还要提醒：我们用y=200x对燕鸥飞行的路程问题进行了刻画，尽管这只是近似的，但它可以作为反映燕鸥飞行路程与时间对应规律的一个模型。

设计意图：从实际问题出发，让学生认识到数学与现实问题密不可分，人们的需要产生了数学，并让学生从这些简单的实例上，不断体会从现实世界中抽象数学模型，建立数学关系的方法。

问题3观察下面实际问题中的变量与函数的对应规律可以用怎样的函数表示？这些函数有什么共同点？

师生活动：教师出示实际问题要求学生（1）能找出变量对应关系表达式；（2）能找到函数、常数和自变量；学生独立思考后如遇到问题可以同桌商量。教师学生互动，对问题的回答进行评价。（3）能否概括出这几个函数的共同点。教师引导学生观察、分析表达式的共性：都是常数和自变量乘积的形式，教师板书正比例函数的概念。教师让学生看书，在定义处做标记并找出关键词。

设计意图：通过这些实际问题使学生加深对函数概念的理解，为运用函数概念做好铺垫。通过归纳、分析，使学生明白正比例函数的特征，理解其解析式的特点。

问题4判断下列函数解析式是否是正比例函数？如果是，指出其比例系数是多少？

师生活动：教师出示问题，学生独立思考后回答。教师注意对学生指出出的不属于正比例函数的函数，及时追问为什。教师对快速回答问题的同学提出表扬。

设计意图：通过解析式的辨析可以让学生更好的理解正比例函数的概念。

问题5你能列举出一些正比例函数的例子吗？

师生活动：教师注意对学生列举出的不属于正比例函数的实例不回避，恰当引导紧扣定义。

设计意图：通过对具体的实际问题分析，既能深化学生对正比例函数的理解，又能为学生运用正比函数解决问题打下基础。

问题6我们知道了怎样用解析式表示正比例函数，能否用图象来表示它呢？怎样在平面直角坐标系中画出正比例函数的图象？

（1）列表：列表时，所取的点要使自变量的取值既简单又有一定的代表性。

… …

… …

（2）描点：一般情况下，所选的点越多图象越精确；

（3）连线：引导学生用平滑的曲线，按照自变量从小到大的顺序连接各点，得到函数的图象。

师生活动：教师在黑板上演示用描点法画y=2x的图象。教师注意画图的规范性，并注意和学生的交流。要求学生在下面画。

设计意图：学生画图要有一个样板，然后才能掌握作函数图象的基本要领，这符合学生的认知规律。因此第一个图象由老师示范很重要。

问题7观察你所画的正比例函数的图象是什么样的？

师生演示课件：教师引导学生观察图象，得到正比例函数的图象是一条直线。教师再次规范的画一下正比例函数y=2x的图象。

设计意图：通过计算机动态演示，验证猜想，使学生经历从特殊到一般的过程。

问题8你能规范的画出函数y=-2x的图象了吗？

师生活动：要求学生独立画图，教师要关注学生画图的规范性。教师巡视指导。作图完成后，学生展示作品，教师适时点评。每组派人检查，作对的同学给自己画个笑脸，出错的同学及时改正。

设计意图：图象是直观地描述和研究函数的重要工具，通过经历用描点法画出正比例函数图象的基本步骤，可以使学生对正比例函数先有一个初步的感性认识。

问题9我们已经知道了正比例函数的图象是一条直线，你认为怎样画正比例函数的图象最简单？为什么？

师生活动：教师引导学生观察图象，并引导学生观察得到正比例函数的图象过点（0,0），（1，k）的一条直线，得到两点作图法。

设计意图：使学生经历从特殊到一般再到特殊的过程。

问题10用你认为最简单的方法画正比例函数的图象。

师生活动：学生练习两点法画图象，教师巡回辅导。教师关注学生是否采用两点法，学生取得两个点是否最简单（关键是对k的确认）。每组派人检查，作对的同学给自己画个笑脸，出错的同学及时改正。

设计意图：巩固两点法画图。

问题11观察分析我们画出的两组正比例函数的图象，图象分别经过哪些象限？图象从左到右是上升的还是下降的？与谁有关？

师生活动：学生独立思考后，教师引领学生概括、归纳出正比例函数图象的特征。

设计意图：引导学生观察图象的形状、位置、，感受“形”的特征。

问题12是不是所有的正比例函数的图象都具有这样的特征呢？

师生演示课件：教师演示课件，赋予不同的值，观察所得到的不同的正比例函数图象的特征，引导学生归纳“变化中的规律性”。

设计意图：通过计算机动态演示，验证猜想，使学生经历从特殊到一般的过程。加强对正比例函数图象“特征”的认识。

问题13观察你画的正比例函数的图象，结合你作图的过程你能总结出正比例函数中函数y随自变量x的增大是增大还是减小？你是怎么知道的？

师生活动：学生独立思考后分组讨论交流，教师巡视指导和个别辅导。然后，从解析式的角度，正比例函数图象特征角度，点的坐标变化的角度，引导学生分析上述结论的合理性。

设计意图：通过解析式、图象和对表格的分析归纳得出正比例函数图象的特征和性质，潜移默化的对学生进行了概括、归纳、比较、分析和数形结合的数学思想方法教育。使学生明白解析式和函数图象对正比例函数的刻画各有优势。

（四）形成新知，理解应用

问题14你可以自己总结正比例函数图象有什么特征和性质吗？把你的结论填在表格里。

y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过的直线

函数大致图象图象经过的象限图象从左到右（上升或下降）y随x的增大而（增大或减小）

y=kx k＞0

k＜0

师生活动：学生独立完成知识的总结提升。教师巡视指导和个别辅导。每组派人检查，作对的同学给自己得100分，出错的同学及时改正。

设计意图：通过归纳，培养学生抽象概括能力。

问题15大家来看一看我们是怎么研究正比例函数的？

第一步：由实际问题抽象总结出正比例函数的定义；第二步：通过描点法画出了正比例函数的图象；第三步：通过研究正比例函数的图象结合数据的分析得到了图象的特征和性质。以后我们还会用这些知识解决一些问题。

师生活动：教师启发学生思考学习的过程，学生体会。

设计意图：通过启发引导，让学生了解学习函数的方法。

（四）巩固提高，学以致用

课堂练习

1.函数y=-5x的图象在第象限内，经过点（0,）与点（1,），y随x的增大而。

2.下列图象哪个可能是函数y=-8x的图象（）

A B C D

3.若点（-1，a）,(2,b)都在直线y=4x上，试比较a,b的大小。

年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环；大约128天后，人们在25600千米外的澳大利亚发现了它．则能反映这只燕鸥的行程y(单位：千米)与飞行时间x(单位：天)之间函数关系的大致图象是（）

师生活动：学生独立完成后小组互相讲解，教师讲解学生的共性问题。每组派人检查，做对的同学给自己得100分，出错的同学及时改正。

设计意图：通过一系列的练习，可以实现知识向能力的转化，最后一题还达到了前后呼应的目的，让学生体会数学与实际的联系与应用。

（五）归纳正思，感悟提升

通过本节课的学习你有什么收获？

学生谈本节课的学习感受，教师梳理、概括本节课主要的学习内容，并揭示蕴涵的数学思想方法。

设计意图：教师引导学生归纳本节课的知识要点和思想方法，使学生对正比例函数的图象和性质有一个较为整体、全面认识，同时，使学生养成良好的学习习惯。

（六）布置作业

必做题：Ｐ１２０第一、二题；

选做题：若点（-1，a）,(2,b)都在直线y=kx上，试比较a,b的大小。

板书设计：

正比例函数

1.定义：形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k做比例系数。

2.图象：一条直线

3.图象特征及性质

一、三y随x增大而增大

二、四y随x增大而减小

设计意图：这样的板书设计可以直观、清晰的展示课堂上生成的知识内容，使学生对正比例函数的图象和性质有一个较为整体、全面的认识。

课后评析：

本节课的教学设计，充分重视教材的编写意图，通过燕鸥的引例对学生进行热爱生活、热爱自然的教育，在学生的小结环节中，学生很好的体会了这一教学目的，说明了引例的处理很到位。通过引例中三个问题的处理，让学生体会数学问题来源于实际生活，人人学有用的数学，同时在这一个小小的问题中就可以让学生体会由特殊到一般再到特殊的学习过程。在让学生经历列表、描点、连线的过程画出函数图象时，让学生体会数学作图的规范性和严谨性。通过对函数图象特征及性质的的分析，让学生体会到数形结合的思想和方法：即由数到形，由形到数的分析过程，提高学生分析问题的能力。

正比例函数5

教学目标

（一）教学知识点

1.认识正比例函数的意义。

2.掌握正比例函数解析式特点。

3.理解正比例函数图象性质及特点。

4.能利用所学知识解决相关实际问题。

教学重点

1.理解正比例函数意义及解析式特点。

2.掌握正比例函数图象的性质特点。

3.能根据要求完成转化，解决问题。

教学难点

正比例函数图象性质特点的掌握。

教学过程

ⅰ.提出问题，创设情境

一九九六年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥뼈မ鸟）套上标志环。4个月零1周后人们在万千米外的澳大利亚发现了它。

1.这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米（精确到10千米）？

2.这只燕鸥的行程y（千米）与飞行时间x（天）之间有什么关系？

3.这只燕鸥飞行1个半月的行程大约是多少千米？

我们来共同分析：

一个月按30天计算，这只燕鸥平均每天飞行的路程不少于：

25600÷（30×4+7）≈200（km）

若设这只燕鸥每天飞行的路程为200km，那么它的行程y（千米）就是飞行时间x（天）的函数。函数解析式为：

y=200x（0≤x≤127）

这只燕鸥飞行1个半月的行程，大约是x=45时函数y=200x的值。即

y=200×45=9000（km）

以上我们用y=200x对燕鸥在4个月零1周的飞行路程问题进行了刻画。尽管这只是近似的，但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型。

类似于y=200x这种形式的函数在现实世界中还有很多。它们都具备什么样的特征呢？我们这节课就来学习。

ⅱ.导入新课

首先我们来思考这样一些问题，看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示？这些函数有什么共同特点？

1.圆的周长l随半径r的大小变化而变化。

2.铁的密度为/cm3.铁块的质量m（g）随它的体积v（cm3）的大小变化而变化。

3.每个练习本的厚度为一些练习本摞在一些的总厚度h（cm）随这些练习本的本数n的变化而变化。

4.冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃.物体的温度t（℃）随冷冻时间t（分）的变化而变化。

解：1.根据圆的周长公式可得：l=2 r.

2.依据密度公式p= 可得：m=

3.据题意可知： h=

4.据题意可知：t=-2t.

我们观察这些函数关系式，不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式，和y=200x的形式一样。

一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数（proportional func-tion），其中k叫做比例系数。

我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点，那么它的图象有什么特征呢？

[活动一]

活动内容设计：

画出下列正比例函数的图象，并进行比较，寻找两个函数图象的相同点与不同点，考虑两个函数的变化规律。

=2x   =-2x

活动设计意图：

通过活动，了解正比例函数图象特点及函数变化规律，让学生自己动手、动口、动脑，经历规律发现的整个过程，从而提高各方面能力及学习兴趣。

教师活动：

引导学生正确画图、积极探索、总结规律、准确表述。

学生活动：

利用描点法正确地画出两个函数图象，在教师的引导下完成函数变化规律的探究过程，并能准确地表达出，从而加深对规律的理解与认识。

活动过程与结论：

1.函数y=2x中自变量x可以是任意实数。列表表示几组对应值：

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y -6 -4 -2 0 2 4 6

画出图象如图（1）.

=-2x的自变量取值范围可以是全体实数，列表表示几组对应值：

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y 6 4 2 0 -2 -4 -6

画出图象如图（2）.

3.两个图象的共同点：都是经过原点的直线。

不同点：函数y=2x的图象从左向右呈上升状态，即随着x的增大y也增大；经过第一、三象限。函数y=-2x的图象从左向右呈下降状态，即随x增大y反而减小；经过第二、四象限。

尝试练习：

在同一坐标系中，画出下列函数的图象，并对它们进行比较。

= x  =- x

x -6 -4 -2 0 2 4 6

y= x

-3 -2 -1 0 1 2 3

y=- x

3 2 1 0 -1 -2 -3

比较两个函数图象可以看出：两个图象都是经过原点的直线。函数y= x的图象从左向右上升，经过三、一象限，即随x增大y也增大；函数y=- x的图象从左向右下降，经过二、四象限，即随x增大y反而减小。

总结归纳正比例函数解析式与图象特征之间的规律：

正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线。当x>0时，图象经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，图象经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小。

正是由于正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条直线，我们可以称它为直线y=kx.

[活动二]

活动内容设计：

经过原点与点（1，k）的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？

活动设计意图：

通过这一活动，让学生利用总结的正比例函数图象特征与解析式的关系，完成由图象到关系式的转化，进一步理解数形结合思想的意义，并掌握正比例函数图象的简单画法及原理。

教师活动：

引导学生从正比例函数图象特征及关系式的联系入手，寻求转化的方法。从几何意义上理解分析正比例函数图象的简单画法。

学生活动：

在教师引导启发下完成由图象特征到解析式的转化，进一步理解数形结合思想，找出正比例函数图象的简单画法，并知道原由。

活动过程及结论：

经过原点与点（1，k）的直线是函数y=kx的图象。

画正比例函数图象时，只需在原点外再确定一个点，即找出一组满足函数关系式的对应数值即可，如（1，k）.因为两点可以确定一条直线。

ⅲ.随堂练习

用你认为最简单的方法画出下列函数图象：

= x    =-3x

解：除原点外，分别找出适合两个函数关系式的一个点来：

=  x  （2，3）

=-3x  （1，-3）

小结：

本节课我们通过实例了解了正比例函数解析式的形式及图象的特征，并掌握图象特征与关系式的联系规律，经过思考、尝试，知道了正比例函数不同表现形式的转化方法，及图象的简单画法，为以后学习一次函数奠定了基础。

课后作业

习题─1、2题。

ⅵ.活动与探究

某函数具有下面的性质：

1.它的图象是经过原点的一条直线。

随x增大反而减小。

请你举出一个满足上述条件的函数，写出解析式，画出图象。

解：函数解析式：y=-

x 0 2

y 0 -1

备选题：

汽车由天津驶往相距120千米的北京，s（千米）表示汽车离开天津的距离，t（小时）表示汽车行驶的时间。如图所示

1.汽车用几小时可到达北京？速度是多少？

2.汽车行驶1小时，离开天津有多远？

3.当汽车距北京20千米时，汽车出发了多长时间？

解法一：用图象解答：

从图上可以看出4个小时可到达。

速度＝ =30（千米/时）.

行驶1小时离开天津约为30千米。

当汽车距北京20千米时汽车出发了约个小时。

解法二：用解析式来解答：

由图象可知：s与t是正比例关系，设s=kt，当t=4时s=120

即120=k×4  k=30

∴s=30t.

当t=1时  s=30×1=30（千米）.

当s=100时  100=30t  t= （小时）.

以上两种方法比较，用图象法解题直观，用解析式解题准确，各有优特点。毛