高数知识点总结(上册)【范例5篇】

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《高等数学》 各章知识点总结——第1章【第一篇】

第1章 函数与极限总结

1、极限的概念

（1）数列极限的定义

给定数列{xn}，若存在常数a ，对于任意给定的正数 不论它多么小 总存在正整数N  使得对于n>N 时的一切n 恒有

|xna |<则称a 是数列{xn}的极限 或者称数列{xn}收敛于a  记为

nlimxna或xna （n）

（2）函数极限的定义

设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内（或当xM0）有定义，如果存在常数A 对于任意给定的正数 （不论它多么小） 总存在正数（或存在X） 使得当x满足不等式0<|xx0|时（或当xX时） 恒有 |f(x)A| 

那么常数A就叫做函数f(x)当xx0（或x）时的极限 记为

xx0limf(x)A或f(x)A（当xx0）（ 或limf(x)A）

x类似的有：如果存在常数A对0,0,当x:x0xx0（x0xx0）时，恒有f(x)A，则称A为f(x)当xx0时的左极限（或右极限）记作xx0limf(x)A（或limf(x）A)

xx0xx0xx0xx0显然有limf(x)Alimf(x)limf(x)A)

如果存在常数A对0,X0,当xX（或xX）时，恒有f(x)A，则称A为f(x)当x（或当x）时的极限 记作limf(x)A（或limf(x）A)

xx显然有limf(x)Alimf(x)limf(x)A)

xxx

2、极限的性质 （1）唯一性

若limxna，limxnb，则ab

nn若limf(x)Alimf(x)B，则AB

x(xx0)x(xx0) （2）有界性

（i）若limxna，则M0使得对nNn，恒有xnM （ii）若limf(x)A，则M0当x:0xx0时，有f(x)M

xx0（iii）若limf(x)A，则M0,X0当xX时，有f(x)M

x（3）局部保号性

（i）若limxna且a0（或a0）则NN，当nN时，恒有xn0（或xn0）

n)A，且A0（或A0），则0当x:0xx0时，有

（ii）若limf(xxx0f(x)0（或f(x）0)

3、极限存在的准则 （i）夹逼准则 给定数列{xn}，{yn}，{zn}

若①n0N,当nn0时有ynxnzn ②limynlimzna，

nn则limxna

n给定函数f(x)，g(x)，h(x)，若①当xU(x0,r)（或xX）时，有g(x)f(x)h(x) ②limg(x)limh(x)A，

x(xx0)x(xx0)0则limf(x)Ax(xx0)（ii）单调有界准则

给定数列{xn}，若①对nN有xnxn1（或xnxn1）②M(m)使对nN有xnM（或xnm）则limxn存在

n

若f(x)在点x0的左侧邻域（或右侧邻域）单调有界，则limf(x)（或limf(x)）

xx0xx0存在

4、极限的运算法则

（1）若limf(x)A，limg(x)B

x(xx0)x(xx0)则(i)lim[f(x)g(x)]AB

x(xx0)(ii)lim[f(x)g(x)]AB

x（xx0)(iii)limx(xx0)f(x)A（B0） g(x)B0（2）设（i）ug(x)且limg(x)u0（ii）当xU(x0,）时g(x)u0

xx0（iii）limf(u)A

uu0则limf[g(x)]limf(u)A

xx0uu05、两个重要极限

（1）limsinx1x0xsinu(x)1

u(x)0u(x)limlimsinx110，limxsin1，limxsin0

xxx0xxxxu(x)11lim1（2）lim1eu(x)xu(x)xe;

lim(1x)ex01xv(x)0lim1v(x)1v(x)e;

6、无穷小量与无穷大量的概念

（1） 若lim(x)0，即对0,0,当x:0xx0（或x(xx0)xX）时有(x)，则称当xx0（或x），(x)无穷小量

（2）

或X0)，若limf(x)即对M0,0（当x:0xx0x(xx0）（或xX）时有f(x)M则称当xx0（或x），f(x)无穷大量

7、无穷小量与有极限的量及无穷大量的关系，无穷小量的运算法则 （1）limf(x)Af(x)A(x)，其中limx(xx0)x(xx0)(x)0

（f（x)0）lim（2）limf(x)0x(xx0)x(xx0)1 f(x)（3）limg(x)limx(xx0)x(xx010 g(x)）（4）limf(x)且M0,当x:0xx0（或xX）时有g(x)M，x(xx0)则lim[f(x)g(x)]

x(xx0)（5）limf(x)0且M0,当x:0xx0（或xX）时有g(x)M，x(xx0)则lim[f(x)g(x)]0

x(xx0)nn（6）limfk(x)0(k1,2,，n)则limx(xx0)x(xx0)k1fk(x)0,limx(xx0)k1fk(x)0,

8、无穷小量的比较

x(xx0)limf(x)0,limg(x)0,lim(x)0

x（xx0)x(xx0)若（1）lim小。 （2）limx(xx0)f(x)C0,，则称当xx0（或x）时，f(x)与g(x)是同阶无穷g(x)x(xx0)f(x)1，则称当xx0（或x）时，f(x)与g(x)是等价无穷小，记作g(x)。 f(x)g(x)（xx0（或x））（3）limx(xx0)f(x)0，则称当xx0（或x）时，f(x)是g(x)是高阶无穷小，记作g(x)。 f(x)o(g(x)）（xx0（或x））（4）M0xU（x0,）（或xX），有（xx0（或x）） （5）lim0f（x)M，则记f(x)O(g(x)）g（x)x(xx0f(x)C0(k0)，则称当xx0（或x）时，f(x)是(x)是kk[(x)]）阶无穷小，

9、常用的等价无穷小

当x0时，有（1）sinx~x~arcsinx~tanx~arctanx~ln(1x)~e1, （2）1cosx~x12x.（3）ax1~xlna(0a1)，（4）(1x)1~x

210、函数连续的概念 （1） 函数连续的定义

设yf(x)在点x0及其邻域U(x)内有定义，若 （i）limylim[f(x0x)f(x0)]0

x0x0或（ii）limf(x)f(x0)

xx0或（iii）0,0,当x:xx0时，有f(x)f(x0)。 则称函数yf(x)在点x0处连续

设yf(x)在点(x0，x0]内有定义，若limf(x)f(x0)，则称函数yf(x)在点

xx0x0处左连续，

设yf（x)在点[x0,x0）内有定义，若limf(x)f(x0)，则称函数yf(x)在点

xx0x0处右连续

若函数yf(x)在(a,b)内每点都连续，则称函数yf(x)在(a,b)内连续

f(x)f(a)，limf(x)f(b)，则称若函数yf(x)在(a,b)内每点都连续，且limxaxb函数yf(x)在[a,b]上连续，记作f(x)C[a,b] （2） 函数的间断点

设yf(x)在点x0的某去心邻域U(x)内有定义 若函数yf(x)：

（i）在点x0处没有定义

（ii）虽然在x0有定义 但limf(x)不存在

xx0o (3)虽然在x0有定义且limf(x)存在 但limf(x)f(x0)

xx0xx0则函数f(x)在点x0为不连续 而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点。 设点x0为yf(x)的间断点，

（1）limf(x)limf(x)f(x0)，则称点x0为yf(x)的可去间断点，若（2）xx0xx0xx0limf(x)limf(x)，则称点x0为yf(x)的跳跃间断点，

xx0可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点

（3）limf(x)或limf(x)则称点x0为yf(x)的无穷型间断点，

xx0xx0（4）若limf(x)或limf(x)不存在且都不是无穷大，则称点x0为yf(x)的振荡型xx0xx0间断点，

无穷间断点和振荡间断点统称为第二类间断点

11、连续函数的运算

（1） 连续函数的四则运算

若函数f(x)g(x)在点x0处连续 则f(x)g(x)，f(x)g(x)，（2） 反函数的连续性，

若函数yf(x)在区间Ix上单调增加（或单调减少）且连续，则其反函数xf其对应的区间Iy{yyf(x)，xIx}上也单调增加（或单调减少）且连续。 （3） 复合函数的连续性

设函数yf[g(x)]由函数yf(u)，ug(x)复合而成，U(x0)Dfg， 若（1）limg(x)u0（或limg(x）g(x0)u0)

xx0xx0f(x)(g(x0)0)在点x0处也连续 g(x)1(y)在（2）limf(u)f(u0)则limf[g(x)]f[limg(x)]f(u0)

uu0xx0xx0

（或limf[g(x)]f[limg(x)]f[g(x0)]f(u0)）

xx0xx0（4） 初等函数的连续性

一切初等函数在其定义区间内都是连续的 （5） 闭区间上连续函数的性质

（ i）有界性

若f(x)C[a,b]，则yf(x)在[a,b]上有界

（ii）最大值、最小值定理，若f(x)C[a,b]，则yf(x)在[a,b]上一定有最大值和最小值

（iii）零点性

若f（x)C[a,b]，且f(a)f(b)0则至少存在一点(a,b)使得f(）0

（iv）介值性

若f（x)C[a,b]，且f(a)f(b)，是介于f(a)，f(b)之间的任一值，则至少存在一点(a,b)使得f(）

高数上册知识点总结【第二篇】

高数重点知识总结

1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(yax)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c)

2、分段函数不是初等函数。

x2xxlim1

3、无穷小：高阶+低阶=低阶

例如：limx0x0xxsinx4、两个重要极限：(1)lim1x0x(2)lim1xex01x1lim1e xxg(x)x经验公式：当xx0,f(x)0,g(x)，lim1f(x)xx0exx0limf(x)g(x)

例如：lim13xex01xx03xlimxe3

5、可导必定连续，连续未必可导。例如：y|x|连续但不可导。

6、导数的定义：limx0f(xx)f(x)f'(x)xxx0limf(x)f(x0)f'x0

xx07、复合函数求导：dfg(x)f'g(x)g'(x) dx

例如：yxx,y'2x2x1 2xx4x2xx1

18、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx x2y21例如：解：法(1)，左右两边同时求导，2x2yy'0y'x ydyx法(2)，左右两边同时微分，2xdx2ydydxy9、由参数方程所确定的函数求导：若yg(t)dydy/dtg'(t)，则，其二阶导数：dxdx/dth'(t)xh(t)d(dy/dx)dg'(t)/h'(t)dyddy/dxdtdt 2dxdxdx/dth'(t)

210、微分的近似计算：f(x0x)f(x0)xf'(x0) 例如：计算 sin31

11、函数间断点的类型：(1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如：ysinx（x=0是x函数可去间断点），ysgn(x)（x=0是函数的跳跃间断点）(2)第二类：振荡间断点和无穷间断点；例如：f(x)sin（x=0是函数的振荡间断点），y断点）

12、渐近线：

水平渐近线：ylimf(x)c

x1x1（x=0是函数的无穷间xlimf(x)，则xa是铅直渐近线。 铅直渐近线：若，xa斜渐近线：设斜渐近线为yaxb,即求alimxf(x)，blimf(x)ax

xxx3x2x1例如：求函数y的渐近线

x2113、驻点：令函数y=f(x)，若f'(x0)=0，称x0是驻点。

14、极值点：令函数y=f（x)，给定x0的一个小邻域u(x0,δ），对于任意x∈u（x0,δ），都有f(x)≥f(x0)，称x0是f(x)的极小值点；否则，称x0是f(x)的极大值点。极小值点与极大值点统称极值点。

15、拐点：连续曲线弧上的上凹弧与下凹弧的分界点，称为曲线弧的拐点。

16、拐点的判定定理：令函数y=f(x)，若f“(x0)=0，且x0；x>x0时，f“(x)<0或x0，称点（x0，f(x0)）为f(x)的拐点。

17、极值点的必要条件：令函数y=f(x)，在点x0处可导，且x0是极值点，则f'(x0)=0。

18、改变单调性的点：f'(x0)0，f'(x0)不存在，间断点（换句话说，极值点可能是驻点，也可能是不可导点）

19、改变凹凸性的点：f”(x0)0，f''(x0)不存在（换句话说，拐点可能是二阶导数等于零的点，也可能是二阶导数不存在的点）

20、可导函数f(x)的极值点必定是驻点，但函数的驻点不一定是极值点。

21、中值定理：

（1)罗尔定理：f(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，则至少存在一点，使得f'(）0

（2)拉格朗日中值定理：f(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，则至少存在一点，使得f(b)f(a)(ba)f'(）

（3)积分中值定理：f(x)在区间[a,b]上可积，至少存在一点，使得bf(x)dx(ba)f(）

a22、常用的等价无穷小代换：

x~sinx~arcsinx~arctanx~tanx~ex1~2(1x1)~ln(1x)1cosx~12x2111tanxsinx~x3,xsinx~x3,tanxx~x3263

23、对数求导法：例如，yxx，解：lnyxlnx1y'lnx1y'xxlnx1 y24、洛必达法则：适用于“

0”型，“”型，“0”型等。当0xx0,f(x)0/，g(x)0/，f'(x)，g'(x)皆存在，且g'(x)0，则f(x)f'(x)exsinx10excosx0exsinx1limlim

例如，limlimlim 2xx0g(x)xx0g'(x)x0x0x0x02x02225、无穷大：高阶+低阶=高阶

例如，

26、不定积分的求法

（1）公式法

（2）第一类换元法（凑微分法）

（3）第二类换元法：哪里复杂换哪里，常用的换元：1)三角换元：

23x12x3limx2x5x22xlim4

x2x53a2x2，可令xasint；x2a2，可令xatant；x2a2，可令xasect

2)当有理分式函数中分母的阶较高时，常采用倒代换x1 t27、分部积分法：udvuvvdu，选取u的规则“反对幂指三”，剩下的作v。分部积

x3分出现循环形式的情况，例如：ecosxdx,secxdx 

28、有理函数的积分：

例如：3x22(x1)x11dxdx2dxx(x1)3x(x1)3x(x1)2x13dx

11x1xx1x1dx需要进行拆分，令 x(x1)2x(x1)2x(x1)2x(x1)(x1)2其中，前部分111 2xx1(x1)

29、定积分的定义：

f（)x f(x）dxlima0iii1bn30、定积分的性质：

b(1)当a=b时，f(x)dx0；

aba(2)当a>b时，f(x)dxf(x)dx

abaaa(3)当f(x)是奇函数，f(x)dx0,a0

a(4)当f(x)是偶函数，baf(x)dx2f(x)dx

0cb(5)可加性：f(x)dxf(x)dxf(x)dx

aacxxd31、变上限积分：(x)f(t)dt'(x)f(t)dtf(x) dxaad推广：dxu(x)f(t)dtfu(x)u'(x)

ab32、定积分的计算（牛顿—莱布尼茨公式）：

bbf(x)dxF(b)F(a)

a33、定积分的分部积分法：udvuvvdu

例如：xlnxdx

abaabb

34、反常积分：(1)无穷限的反常积分：

f(x)dxlimf(x)dx

aabbta

（2）无界函数的反常积分：

35、平面图形的面积：

(1)Af(x)dxlimf(x)dx

atdf(x)f(x)dx

(2)A(y)(y)dy 2121ac(2)绕y轴旋转，f(x)dxV(y)dy 2acbdb36、旋转体的体积：

（1）绕x轴旋转，V

马原各章知识点总结【第三篇】

《马克思主义基本原理》各章知识点：

第一章

1、哲学基本问题的内容及意义

内容：（p29）哲学基本问题是思维和存在的关系问题。包括两个方面的内容：其一，意识和物质、思维和存在，究竟谁是世界的本源，即物质和精神何者是第一性、何者是第二性的问题，对此问题的不同回答是划分唯物主义和唯心主义的唯一标准；其二，思维能否认识或正确认识存在的问题，是否承认思维和存在的同一性，这是划分可知论和不可知论哲学派别的标准。

意义：（p29）对哲学基本问题的回答，是解决其他一切哲学问题的前提和基础。只有科学解决思维和存在或意识和物质的关系问题，才能为在实践中理解世界的本质，把握世界的联系和发展，认识人类社会发展基本规律奠定基础。

2、马克思主义的物质观及其理论意义

马克思主义的物质观：（p31）物质是标志客观实在的哲学范畴，这种客观实在是人通过感觉感知的，它不依赖于我们的感觉而存在，为我们的感觉所复写、摄影、反映。

理论意义：（p32）第一，坚持了物质的客观实在性原则，坚持了唯物主义一元论，同唯心主义一元论和二元论划清了界限；第二，坚持了能动的反映论和可知论，批判了不可知论；第三，体现了唯物论和辩证法的统一；第四，体现了唯物主义自然观与唯物主义历史观的统一。

3、意识的本质

（p31）意识是物质世界的主观映象，是客观内容和主观形式的统一。意识在内容上是客观的，在形式上是主观的。物质决定意识，意识依赖于物质并反作用于物质。

4、意识能动作用的表现

(p41)意识的能动作用是人的意识所特有的积极反映世界与改造世界的能力和活动，主要表现在：

第一，意识活动具有目的性和计划性；第二，意识活动具有创造性；第三，意识具有指导实践改造客观世界的作用；第四，意识具有指导、控制人的行为和生理活动的作用。

5、物质和运动的关系

(p32—33)世界是物质的，物质是运动的。物质和运动是不可分割的，一方面，运动是物质的存在方式和根本属性，物质是运动着的物质，脱离运动的物质是不存在的；另一方面，物质是一切运动变化和发展过程的实在基础和承担者，世界上没有离开物质的运动，任何形式的运动，都有它的物质主体。

6、为什么实践是人的存在方式？

（p37）人类的产生、生存和活动，是以实践为基本方式和标志的。首先，实践是人所独有的活动；其次，实践集中表现了人的本质的社会性；最后，实践对物质世界的改造是对象性的活动。

7、为什么社会生活在本质上是实践的？

(p37-39)从实践出发理解社会生活的本质，要把握两个方面的内容。 第一，实践使物质世界分化为自然界与人类社会的历史前提，又是使自然界与人类社会统一起来的现实基础。

在实践过程中，物质世界分化为自然界和人类社会两种不同形态，它们都具有客观实在性，相互联系，相互作用。自然界是构成人类社会客观实在性的自然基础，而人类社会的存在，又反过来影响和制约自然界，不断改变自然界。当今社会出现的生态、环境、人口、资源等全球危机问题，并不单纯是自然系统内平衡关系的严重破坏，实际也是人与自然关系的严重失衡。

第二，实践是人类社会的基础，一切社会现象只有在社会实践中才能找到最后的根源，才能得到最终的科学说明。社会生活的实践性表现在三个方面

（1）实践是社会关系形成的基础；（2）实践形成了社会生活的基本领域，包括物质生活、政治生活和精神生活领域；（3）实践构成了社会发展的动力。人的实践活动的基本要素及其内在关系构成了社会发展的动力系统，改造社会的实践推动着社会历史的变迁和进步。

8、联系的普遍性及其方法论意义

(p44-45)联系的普遍性：联系是指事物内部各要素之间和事物之间相互影响、相互制约和相互作用的关系。联系的普遍性有三层含义。第一，任何事物内部的不同部分和要素都是相互联系的，也就是说，任何事物都具有内在的结构性；第二，任何事物都不能孤立存在，都同其他事物处于一定的相互联系之中；第三，整个世界是相互联系的统一整体。

方法论意义：马克思主义关于事物普遍联系的原理，要求人们善于分析事物的具体联系，确立整体性、开放性观念，从动态中考察事物的普遍联系。当代中国正在以科学发展观为指导构建社会主义和谐社会，这就要求我们正确认识和处理人与自然、人与人、人与社会的相互关系，正确认识和处理中国特色社会主义事业中的重大关系。

9、唯物辩证法的实质和核心

(p47)对立统一规律是唯物辩证法体系的实质和核心。因为，第一，对立统一规律揭示了事物普遍联系的根本内容和永恒发展的内在动力，从根本上回答了事物为什么会发展的问题；第二，对立统一规律是贯穿质量互变规律、否定之 否定规律以及唯物辩证法基本范畴的中心线索，也是理解这些规律和范畴的“钥匙”；第三，对立统一规律提供了人们认识世界和改造世界的根本方法——矛盾分析法。

10、矛盾同一性和斗争性的相互关系及其方法论意义

(p48)矛盾的同一性是指矛盾双方相互依存、相互贯通的性质和趋势；矛盾的斗争性是指矛盾着的对立面之间相互排斥、相互分离的性质和趋势。

二者的相互关系：

（1）区别：在事物的矛盾中，矛盾的斗争性是无条件的绝对的，矛盾的同一性是有条件的相对的。矛盾斗争性的绝对性体现了物质运动的绝对性，矛盾同一性的相对性体现了物质静止的相对性。

（2）联系：矛盾的同一性和斗争性是相互联结、相辅相成的，没有斗争性就没有同一性，斗争性寓于同一性之中，没有同一性也没有斗争性。

方法论意义：坚持相对与绝对相统一的观点，在对立中把握同一，在同一中把握对立，反对把斗争性和同一性相割裂的形而上学观点：要么只在绝对同一中思维，认为事物只有和自身同一，永久不变；要么只在绝对对立中思维，脱离了同一看对立，认为对立就是势不两立、绝对分明、绝对否定、排斥一切。

11、矛盾的普遍性和特殊性辩证关系及其意义

（p49-51）矛盾的普遍性是指矛盾无时不有，无处不在。特殊性是指不同事物的矛盾是具体的、特殊的。二者的辩证关系：

（1）区别：矛盾的普遍性即矛盾的共性，矛盾的特殊性即矛盾的个性。矛盾的共性是无条件的，绝对的，矛盾的个性是有条件的、相对的。

（2）联系：任何现实存在的事物的矛盾都是共性和个性的有机统一。共性寓于个性之中，没有离开个性的共性，也没有离开共性的个性。

意义：（1）有助于我们正确的、客观的认识事物。既要从特殊性中概括出普遍性，又要在普遍性的指导下去研究特殊性，也就是要遵循从特殊到普遍，再由普遍到特殊的认识过程。

（2） 有助于我们学会应用科学的工作方法。如一般号召和个别指导相结合，“从群众中来，到群众中去”，“解剖麻雀”、“抓好典型”等等。

（3）有助于我们建设中国特色社会主义，坚持马克思主义普遍真理同各国革命和建设的具体实践相结合原则。

12、量变和质变的辩证关系及其意义

（p51）量变和质变的辩证关系，这主要表现在：第一，量变是质变的必要准备；第二，质变是量变的必然结果；第三，量变和质变是相互渗透的，一方 面，在总的量变过程中有阶段性和局部性的部分质变；另一方面，在质变过程中也有旧质在量上的收缩和新质在量上的扩张。

意义：第一，重视量的积累；第二，坚持适度原则；第三，不失时机地促成飞跃。

13、辩证否定观的内容及其方法论意义

(p51-52)辩证否定观的基本内容：第一，否定是事物的自我否定，是事物内部矛盾运动的结果；第二，否定是事物发展的环节；第三，否定是新旧事物联系的环节；第四，辩证否定的实质是“扬弃”，即新事物对旧事物既批判又继承，既克服其消极因素又保留其积极因素。

方法论意义：（1）正确认识事物发展的曲折性和前进性；（2）对待事物要采取科学的分析态度，反对肯定一切和否定一切的形而上学否定观。

第二章

1、实践在认识中的决定作用

（p65-66）实践是认识的基础，对认识具有决定作用。

第一，实践产生了认识的需要；第二，实践为认识提供了可能；第三，实践使认识得以产生和发展；第四，实践是检验认识的真理性的唯一标准。

2、认识的本质

(p68)辩证唯物主义认识论认为，认识是主体对客体的能动反映。这种能动反映具有两个方面的特点。

一方面，反映具有摹写性，即人的认识作为对客观事物的反映，必然要以客观事物为原型，反映的摹写性决定了反映的客观性。

另一方面，反映具有创造性。不仅有对认识对象信息的接受，而且有对于认识对象信息的分析、抽象、选择、运用、重组、整合、建构和虚拟。

3、认识的主体、客体及其相互关系

（p64）认识的主体是指具有思维能力、从事社会实践的认识互动的人；认识的客体是指实践和认识活动所指向的对象。

认识的主体和客体的关系，从根本上说是认识关系和实践关系，同时也是改造和被改造的关系。

4、感性认识和理性认识及其相互关系

(p69-70)感性认识是人们在实践的基础上，由感觉器官直接感受到的关于事物的现象、事物的外部联系、事物的各个方面的认识，包括感觉、直觉和表象三种形式。

理性认识是指人们借助抽象思维，在概括整理大量感性材料的基础上，达到 关于事物的本质、全体、内部联系和事物自身规律的认识，包括概念、判断和推理三种形式。

感性认识和理性认识有着密不可分的辩证联系。首先，理性认识依赖于感性认识，理性认识必须以感性认识为基础；其次，感性认识有待于发展和深化为理性认识；最后，感性认识和理性认识相互渗透、相互包含。割裂了二者的关系，就会走向唯理论或经验论，犯教条主义或经验主义的错误。

5、真理及其客观性

(p73-74)真理是人们对于客观事物及其规律的正确认识。真理具有客观性，凡是真理都是客观真理。首先，真理的内容是客观的；其次，检验真理的标准也是客观的。在认识真理内容客观性的同时，还要认识到真理的形式是主观的。另外，真理的客观性也决定了真理的一元性。

6、真理绝对性和相对性的辩证关系及其意义

(p74-76)真理的绝对性是指真理的无条件性、无限性。真理的相对性是指真理的有条件性、有限性。

二者的辩证关系：第一，具有绝对性的真理和具有相对性的真理是相互渗透和相互包含的。一方面，相对之中有绝对，绝对寓于相对之中；另一方面，真理的绝对性通过相对性表现出来。第二，具有相对性的真理向具有绝对性的真理转化。

意义：在这个问题上，我们必须反对割裂二者辩证关系的绝对主义和相对主义。我们实际工作中的教条主义、思想僵化，把马克思主义当成一种现成的公式，到处生搬硬套，是绝对主义的表现；否定马克思主义的基本原则，散布马克思主义“过时论”是相对主义的表现。二者都是错误的。

7、实践标准的确定性与不确定性

（p80）实践标准的确定性即绝对性，是指实践作为检验认识真理性的标准的唯一性。离开了实践，再也没有别的标准。

实践标准的不确定性即相对性，则是指实践对认识真理性的检验的条件性。即任何实践都受到一定具体条件的制约，因而都具有一定的局限性。

看到实践标准的确定性，可以防止和反对否定真理标准问题的唯心主义、怀疑主义和相对主义；看到实践标准的不确定性，可以防止和反对教条主义和独断论错误。

8、真理和价值的辩证关系

(p85-86)真理和价值在实践中的辩证统一关系，主要表现在以下几个方面： 首先，成功的实践必然以真理和价值的辩证统一为前提，任何成功的实践既遵循真理尺度，又符合价值尺度，并将二者有机地统一起来；其次，价值的形成 和实现以坚持真理为前提，而真理又必然是具有价值的；最后，真理和价值在实践和认识活动中是相互制约、相互引导、相互促进的。

第三章

1、社会存在与社会意识的辩证关系及其理论和实践意义

(p96-101)社会存在是指社会生活的物质方面，主要是指物质生活资料的生产及生产方式，也包括地理环境和人口因素。但地理环境和人口因素不能决定社会性质，社会历史发展的决定性力量是生产方式。

社会意识是社会生活的精神方面，是社会存在的反映。包括政治法律思想、道德、艺术、宗教、哲学等。

二者的辩证关系：

首先，社会存在决定社会意识，社会意识是对社会存在的反映。表现在：（1）社会存在是社会意识内容的客观来源，社会意识是社会物质生活过程及其条件的主观反映；（2）社会意识是人们进行社会物质交往的产物；（3）随着社会存在的发展，社会意识会相应的或迟或早的发生变化和发展。

其次，社会意识具有相对独立性。表现在：（1）社会意识与社会存在的发展的不完全同步性和不平衡性；（2）社会意识内部各种形式之间的相互影响及各自具有的历史继承性；（3）社会意识对社会存在的能动的反作用。

理论意义：它在人类思想史上第一次正确解决了社会历史观的基本问题，是社会历史观革命性变革的基础，揭示了人类社会发展的规律。

实践意义：要正确充分地发挥社会意识的能动作用，要进行社会主义文化建设特别是先进文化的建设。

2、生产力与生产关系矛盾运动规律的内容及意义

(p104-106)生产力是生产的物质内容，生产关系是生产的社会形式，二者的相互关系是：

第一，生产力决定生产关系。首先，生产力状况决定生产关系的性质；其次， 生产力的发展决定生产关系的变化。

第二，生产关系对生产力具有能动的反作用。主要表现在：当生产关系适合生产力发展的客观要求时，对生产力的发展起推动作用；当生产关系不适合生产力发展的客观要求时，就会阻碍生产力的发展。

意义：首先，这一原理在人类思想史上彻底否定了以“道德说教”作为评判历史功过是非的思想体系，第一次科学地确立了生产力发展是“社会进步的最高标准”。其次，生产力与生产关系矛盾运动规律是马克思主义政党制定路线、方针和政策的重要依据。

3、经济基础与上层建筑矛盾运动规律的内容及意义

（p108-110）上层建筑适合经济基础状况的规律是社会发展的基本规律。 第一，经济基础决定上层建筑。经济基础决定上层建筑的产生和性质，决定上层建筑的变革和变革的方向。

第二，上层建筑对经济基础有反作用。上层建筑在适合自己的经济基础时，维护自己的经济基础，促进经济基础完善、巩固和发展；不适合自己经济基础时，会阻碍经济基础的巩固和发展；

第三，上层建筑和经济基础是辩证的统一。上层建筑和经济基础的矛盾运动是“基本适合一不适合一基本适合”的过程，它体现了上层建筑一定要适合经济基础的规律。

意义:运用上层建筑一定要适合经济基础状况的原理来观察我国社会主义的发展，就可以看到适应我国经济体制改革的深入发展，必须进行政治体制的改革。我国原有政治体制是适应单一公有制经济和高度集中的计划经济体制建立发展起来的。在改革完善社会主义基本经济制度，建立发展社会主义市场经济体制过程中，必须进行相应的政治体制改革，解决政企不分，克服官僚主义，消除机构庞大，人员臃肿，发展民主，健全法制，依法治国，建设社会主义法治国家。只有这样才能消除原有政治体制的弊病，实现团结安定，政府廉洁高效，更好地适应经济体制改革深化的需要，保证建设有中国特色社会主义事业的发展

4、科学技术的社会作用

(p124-127) 科学技术的社会作用也是具有两面性的，即积极地推动作用和消极地抑制作用。

积极作用：

第一，科学技术是推动经济和社会发展的强大杠杆。主要表现在：首先，对生产方式产生了深刻影响。（1）改变了社会生产力的构成要素；（2）改变了人们的劳动形式；（3）改变了社会经济结构，特别是导致产业结构发生变革。

第二，对生活方式产生了巨大影响。 第三，促进了思维方式的变革。 消极作用：

第一，由于对自然规律和人与自然的关系认识不够，或缺乏对科学技术消极 后果的强有力的控制手段而产生的消极后果。如，在农业生产中滥用农药、化肥导致土壤板结，以及开发利用原子能带来的消极后果。

第二，与一定的社会制度有关。

因此，科学技术的研究与应用必须受到一定的、合理的制约。

（1）做好科技评估工作；（2）建立道德约束体系；（3）大力发展人文科学。

5、人民群众在历史发展中的作用

(p131-133)人民群众是社会历史的主体，是历史的创造者。在社会历史发展过程中，人民群众起着决定性的作用。首先，人民群众是社会物质财富的创造者；其次，人民群众是社会精神财富的创造者；再次，人民群众是社会变革的决定力量。但是，人民群众不能随心所欲的创造历史，创造历史的活动要受到一定社会历史条件的制约。

6、群众观点和群众路线

(p133)群众路线：一切为了群众，一切依靠群众，从群众中来，到群众中去。 群众观点：就是人民群众至上的观点。具体内容包括：坚信人民群众自己解放自己的观点，全心全意为人民服务的观点，一切向人们群众负责的观点，虚心向群众学习的观点。

第四章

1、商品的二因素及其相互关系

(p145-146)商品是用来交换的能满足人们某种需要的劳动产品。具有使用价值和价值两个因素。使用价值是商品能满足人民某种需要的属性，即商品的有用性，反映的是人与自然之间的物质关系，是商品的自然属性。价值是凝结在商品中的无差别的一般人类劳动，即人的体力和脑力的耗费。价值是商品的社会属性，反映人与人之间相互交换劳动的关系。

二者的关系：对立统一。对立性表现在：商品的使用价值和价值是相互排斥的，二者不可得兼。其统一性表现在：作为商品，必须同时具有使用价值和价值两个因素。

2、抽象劳动与具体劳动及其相互关系

(p146)具体劳动是指生产一定使用价值的具体形式的劳动，也叫有用劳动；抽象劳动是指撇开一切具体形式的、无差别的一般人类劳动，即人的体力和脑力耗费。具体劳动形成商品的使用价值，抽象劳动形成商品的价值。

二者的关系：对立统一。其对立性表现在:具体劳动反映的是人与自然的关系，它是劳动的自然属性；抽象劳动反映的是商品生产者的社会关系，是劳动的社会属性。其统一性表现在：具体劳动和抽象劳动不是各自独立存在的两种劳动或两次劳动，它们在时间上和空间上是统一的。

3、价值规律的内容和作用

(p148-150)内容：商品的价值量由生产商品的社会必要劳动时间决定，商品交换以价值量为基础，按照等价交换的原则进行。

作用：第一，自发地调节生产资料和劳动力在社会各生产部门之间的分配比 例；第二，自发地刺激社会生产力的发展；第三，自发地调节社会收入分配。

价值规律在对经济活动进行自发调节时，必然会产生一些消极的后果。其一，可能导致垄断的发生，阻碍技术的进步；其二，可能引起商品生产者的两极分化；其三，价值规律自发调节社会资源在社会生产各个部门的配置，可能出现比例失调的状况，造成社会资源的浪费。

4、不变资本和可变资本区分的依据、内容及其意义

(p159-160)（1）划分依据：资本的不同部分在剩余价值生产过程中的作用不同。

（2）内容：以生产资料形式存在的资本，在生产过程中只转变自己的物质形态而不改变自己的价值量，不发生增殖，这部分资本叫不变资本。

可变资本是用来购买劳动力的那部分资本。可变资本的价值在生产过程中不是被转移到新产品中去，而是由工人的劳动再生产出来的。在生产过程中，工人新创造的价值包括劳动力自身的价值和剩余价值。由于这一部分资本的价值不是不变的，而是一个可变的量，所以叫可变资本。

（3）划分意义：第一，进一步揭示了剩余价值的源泉，表明了雇佣劳动者的剩余劳动是剩余价值的唯一源泉；第二，为确定资本家对工人的剥削程度提供了科学的依据。

5、生产自动化条件下剩余价值的源泉

(p163)第一，不论是机器人、自动化生产线还是无人工厂，它们在本质上依然是物化劳动或不变资本的实物形式，其价值只能借助工人的具体劳动发生转移，不能创造新价值，更不能创造剩余价值；第二，在生产自动化条件下，直接从事生产劳动的工人相对减少，而从事科研、设计、技术和管理劳动的人员日益增加；第三，“总体工人”中的脑力劳动的比重不断增大，劳动的复杂程度和强度日益提高，从而成为生产力特别高的劳动，这种劳动会创造出更多的价值和剩余价值。

总之，资本主义条件下的生产自动化是资本家获取高额剩余价值的手段，而雇佣工人的剩余劳动仍然是这种剩余价值的唯一源泉。

6、产业资本循环的三个阶段及其实现的前提条件

(p166-167)产业资本循环的第一个阶段是购买阶段，即生产资料和劳动力的购买阶段；第二个阶段是生产阶段，即生产资料和劳动力按一定比例结合在一起从事资本主义生产的阶段；第三个阶段是售卖阶段。

产业资本正常循环的条件：第一，产业资本的三种职能形式必须在空间上同时并存，即产业资本必须按照一定比例同时并存于货币资本、生产资本和商品资本三种形式中；第二，产业资本的三种职能形式必须在时间上继起，即产业资本循环的三种职能形式必须保持时间上的依次连续性。

7、资本主义经济危机的本质特征和爆发的根本原因 （p171-172）（1）经济危机的本质特征是生产的相对过剩，即相对于劳动人民有支付能力的需求来说社会生产的商品显得过剩，而不是绝对过剩。

（2）经济危机爆发的根本原因是资本主义的基本矛盾，这种基本矛盾具体表现在以下两个方面：第一，生产无限扩大的趋势与劳动人民有支付能力的需求相对缩小的矛盾；第二，个别企业内部生产的有组织性和整个社会生产的无政府状态之间的矛盾。

第五章

1、垄断形成的原因

(p185)第一，当生产集中发展到相当高的程度，极少数企业就会联合起来，操纵和控制本部门的生产和销售，实行垄断，以获取高额利润；第二，企业规模巨大，形成对竞争的限制，也会产生垄断；第三，激烈的竞争给竞争各方带来的损失越来越严重，为了避免两败俱伤，企业之间会达成妥协，联合起来，实行垄断。

2、垄断条件下竞争存在的原因及特点

(p185-186)（1）垄断条件下竞争存在的原因。垄断是在自由竞争中形成的，但垄断形成后并不能消除竞争，原因有以下三点。第一，垄断并没有消除产生竞争的经济条件，即没有消除商品经济；第二，垄断必须通过竞争来维持；第三，社会生产是复杂多样的，任何垄断组织都不可能把包罗万象的社会生产都包下来。 (2)特点：第一，竞争的目的不同；第二，竞争的手段不同；第三，竞争的范围不同；第四，竞争的破坏性不同。

3、国家垄断资本主义形成的原因、主要形式、作用及其实质

(p189-192)(1)原因：国家垄断资本主义的形成是科技进步和生产社会化程度进一步提高的产物，是资本主义基本矛盾进一步尖锐化的必然结果。首先，社会生产力的发展，要求资本主义生产资料在更大的范围内被支配，从而促进了国家垄断资本主义的产生；其次，经济波动和经济危机的深化，要求国家垄断资本主义的产生；最后，缓和社会矛盾，协调利益关系，要求国家垄断资本主义的产生。

（2）主要形式：第一种是国家所有并直接经营的企业；第二种是国家与私人共有、合营企业；第三种是国家通过多种形式参与私人垄断资本的再生产过程；第四种是宏观调节和微观规制。

（3）作用：首先，国家垄断资本主义的出现在一定程度上有利于社会生产力的发展；其次，有利于缓解资本主义生产的无政府状态，促进社会经济较为协调的发展；再次，通过国家的收入再分配手段，使劳动人民的生活水平有所改善和提高；最后，加快了这些国家国民经济的现代化进程。 (4)实质：国家垄断资本主义在本质上是资产阶级国家力量同垄断组织力量结合在一起的垄断资本主义。国家垄断资本主义有各种不同形式，其实质都是私人垄断资本利用国家机器来为其发展服务的手段，是私人垄断资本为了维护垄断统治和获取高额垄断利润，而和国家政权相结合的一种垄断资本主义形式，是资产阶级国家在直接参与社会资本的在生产过程中，代表资产阶级总利益并凌驾于个别垄断资本之上，对社会经济进行调节的一种形式。

4、经济全球化的动因和后果

(p198-199)（1）经济全球化的动因：第一，科学技术的进步和生产力的发展；第二，跨国公司的发展；第三，各国经济体制的变革。 （2）经济全球化的后果：

积极作用：第一，使资源在全球范围加速流动，发展中国家可以引进先进技术和管理经验，缩短与发达国家的差距；第二，可以吸引外资，扩大就业；第三，解决销售问题，以对外贸易带动本国经济发展；第四，借助比较优势组建大型跨国公司，参与全球化进程。

消极作用：第一，发达国家和发展中国家之间的差距扩大；第二，在经济增长中忽视社会进步，环境恶化与经济全球化有可能同时发生；第三，各国特别是相对落后国家原有的经济体制、政府领导能力、社会设施、政策体系、价值观念和文化都面临着全球化的冲击，国家内部和国际社会出现不同程度的治理危机；第四，经济全球化使各国之间的经济联系越来越密切，爆发全球经济危机的风险不断扩大。

5、当代资本主义新变化的表现、原因和实质 （p200-207）

（1）当代资本主义新变化的表现

首先是生产资料所有制的变化。在资本主义发展的初期，个体资本所有制是占主导地位的所有制形式；19世纪末20世纪初，私人股份资本成为占主导地位的所有制形式；第二次世界大战后，国家资本所有制形成并发挥重要作用，法人资本所有制成为占主导地位的资本所有制形式。

其次是劳资关系和分配关系的变化。第一，职工参与决策；第二，终身雇佣；第三，职工持股；第四，社会福利制度的建立。

第三，社会阶层、阶级结构的变化。一是资本家的地位和作用已经发生很大变化；二是高级职业经理成为大公司经营活动的实际控制者；三是知识型和服务型劳动者的数量不断增加，劳动方式发生了新变化。

第四，经济调节机制和经济危机形态的变化。表现在：经济危机的四个阶段之间的差别有所减弱，各阶段的交替过程已不如过去那样明显；金融危机、债务 危机频繁发生；危机突发性显著，强度大，传导迅速，波及面广；经济复苏缓慢。

第五，政治制度的变化。首先，国家行政机构的权限不断加强；其次，政治制度出现多元化趋势；再次，重视并加强法制建设；最后，改良主义政党在政治舞台上的影响日益扩大。

（2） 当代资本主义新变化的原因

首先，科学技术革命和生产力发展，是资本主义变化的根本推动力量；其次，工人阶级争取自身权利和利益的斗争，是推动资本主义变化的重要力量；再次，社会主义制度初步显示的优越性对资本主义产生了一定影响；最后，主张改良主义的政党对资本主义制度的改革，也对资本主义的变化发挥了重要作用。

（3） 当代资本主义新变化的实质

首先，当代资本主义发生的变化从根本上说是人类社会发展一般规律和资本主义经济规律作用的结果。

其次，当代资本主义发生变化是在资本主义制度基本框架内的变化，并不意味着资本主义生产关系的根本性质发生了变化。

高数知识点总结(上册【第四篇】

高数知识点总结（上册） 函数：

绝对值得性质： (1)|a+b||a|+|b|

（2）|a-b||a|-|b|

（3）|ab|=|a||b|

a|a|(b0)(4)|b|=|b|

函数的表示方法：

（1）表格法

（2）图示法

函数的几种性质：

（1）函数的有界性（2）函数的单调性

（3）函数的奇偶性（4）函数的周期性 反函数：

（3）公式法（解析法）

1yf(x)yf(x)存在，且是单定理：如果函数在区间[a,b]上是单调的，则它的反函数值、单调的。

基本初等函数：

（1）幂函数

（3）对数函数

（5）反三角函数 复合函数的应用 极限与连续性： 数列的极限：

（2）指数函数 （4）三角函数

定义：设xn是一个数列，a是一个定数。如果对于任意给定的正数（不管它多么小），总存在正整数N，使得对于n>N的一切xn，不等式

limxnxn极限，或称数列收敛于a，记做naxna都成立，则称数a是数列xn的，或xna（n）

收敛数列的有界性： 定理：如果数列xn收敛，则数列xn一定有界

推论：（1）无界一定发散（2）收敛一定有界（3）有界命题不一定收敛

函数的极限：

定义及几何定义 函数极限的性质：

limf(x)Axx0 （1）同号性定理：如果，而且A>0(或A<0)，则必存在x0的某一邻域，当x在该邻域内（点x0可除外），有f(x)0（或f(x)0）。 （2）如果xx0limf(x)A，且在x0的某一邻域内（xx0），恒有f(x)0（或f(x)0），则A0（A0）。

limf(x)limf(x) （3）如果xx0存在，则极限值是唯一的

（4）如果存在，则在f(x)在点x0的某一邻域内（xx0）是有界的。 无穷小与无穷大：

注意：无穷小不是一个很小的数，而是一个以零位极限的变量。但是零是可作为无穷小xx0f(x)的唯一的常数，因为如果f(x)0则对任给的0，总有，即常数零满足无穷小的定义。除此之外，任何无论多么小的数，都不满足无穷小的定义，都不是无穷小。 无穷小与无穷大之间的关系：

1（1）如果函数f(x)为无穷大，则f(x)为无穷小

1（2）如果函数f(x)为无穷小，且f(x)0，则f(x)为无穷大

具有极限的函数与无穷小的关系：

（1）具有极限的函数等于极限值与一个无穷小的和

（2）如果函数可表为常数与无穷小的和，则该常数就是函数的极限 关于无穷小的几个性质：

定理：

（1）有限个无穷小的代数和也是无穷小 （2）有界函数f(x)与无穷小a的乘积是无穷小

推论：

（1）常数与无穷小的乘积是无穷小 （2）有限个无穷小的乘积是无穷小 极限的四则运算法则：

定理：两个函数f(x)、g(x)的代数和的极限等于它们的极限的代数和 两个函数f(x)、g(x)乘积的极限等于它们的极限的乘积

极限存在准则与两个重要极限：

准则一（夹挤定理）

设函数f(x)、g(x)、h(x)在xx0的某个邻域内（点x0可除外）满足条件：

（1）g(x)f(x)h(x) （2）xx0xx0limg(x)A，xx0limh(x)A

则 准则二

单调有界数列必有极限

定理：如果单调数列有界，则它的极限必存在 limf(x)A

重要极限：

sinx1x0x（1） lim

1cosx12x02 x（2）

lim11xlim（1）elim(1x)xex（3）x或x0

无穷小阶的定义： 设、为同一过程的两个无穷小。

lim

（1）如果0，则称是比高阶的无穷小，记做o() ，则称是比低阶的无穷小

（2）如果lim

（3）如果limc(c0,c1)，则称与是同阶无穷小 1，则称与是等阶无穷小，记做~

（4）如果lim几种等价无穷小：

对数函数中常用的等价无穷小： x0时，ln(1x)~x(x0)

loga(1x)~1x(x0)lna

三角函数及反三角函数中常用的等价无穷小： x0时，sinx~xtanx~x1cosx~12x2arcsinx~xarctanx~x

指数函数中常用的等价无穷小： x0时，ex1~xax1exlna1~lna

xn 二项式中常用的等价无穷小：

x0时，(1x)1~axan1x1~函数在某一点处连续的条件：

limf(x)f(x0)xx0 由连续定义可知，函数f(x)在点x0处连续必须同时满足下列三个条件： （1）f(x)在点x0处有定义

limf(x)xxf(x)xx00（2）当时，的极限存在 （3）极限值等于函数f(x)在点x0处的函数值f(x0)

如果函数f(x)在点x0处连续，由连续定义可知，当xx0时，f(x)的极限一定存在，反极限与连续的关系：

之，则不一定成立

函数的间断点：

分类：第一类间断点 （左右极限都存在） 第二类间断点（有一个极限不存在） 连续函数的和、差、积、商的连续性： 定理：如果函数f(x)、g(x)在点x0处连续，则他们的和、差、积、商（分母不为零）在点x0也连续 反函数的连续性： 定理：如果函数yf(x)在某区间上是单调增（或单调减）的连续函数，则它的反函数x(y)也在对应的区间上是单调增（或单调减）的连续函数

最大值与最小值定理：

值 推论：如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，则f(x)在a,b上有界

定理：设函数f(x)在闭区间a,b上连续，两端点处的函数值分别为f(a)A,f(b)B(AB)，而是介于A与B之间的任一值，则在开区间(a,b)内至少有一点定理：设函数f(x)在闭区间a,b上连续，则函数f(x)在闭区间a,b上必有最大值和最小介值定理：

，使得

f（) (ab）

推论（1）：在闭区间上连续函数必能取得介于最大值与最小值之间的任何值

推论（2）：设函数f（x)在闭区间a,b上连续，且f(a)f(b)0（两端点的函数值异号），则在(a,b)的内部，至少存在一点，使f(）0

导数与微分 导数： 定义：y'limx0f(xx)f(x)x

导数的几何定义：函数在图形上表示为切线的斜率

函数可导性与连续性之间的表示：

如果函数在x处可导，则在点x处连续，也即函数在点x处连续

一个数在某一点连续，它却不一定在该点可导 据导数的定义求导： （1）y'|xx0limf(x0x)f(x0)ylimx0xx0x

（2）y'|xx0limxx0f(x)f(x0)xx0

f(xx)f(x)x （3）y'|xx0limx0基本初等函数的导数公式：

（1）常数导数为零(c)'0

nn1(x)'nx（2）幂函数的导数公式

（3）三角函数的导数公式

(sinx)'cosx

(cosx)'sinx 1(cotx)'csc2x2(secx)'secxtanx sinx

(cscx)'cscxcotx

(tanx)'1sec2x2cosx

（4）对数函数的导数公式： （5）指数函数的导数公式：

xx(e)'e（6）

(logax)'11logaexxlna

(ax)'axlna

（7）反三角函数的导数公式：

1x2

1(arctanx)'1x2 (arcsinx)'1

(arccosx)'11x2 1(arccotx)'1x2

函数和、差、积、商的求导法则： 法则一（具体内容见书106）

(uv)'u'v'

(uv)'u'v'

函数乘积的求导法则： 法则二（具体内容见书108）

(uv)'u'vuv'

uu'vuv'()'vv2 函数商的求导法则： 法则三（具体内容见书109）

复合函数的求导法则：（定理见书113页）

反函数的求导法则：

反函数的导数等于直接函数导数的倒数 基本初等函数的导数公式：（见书121页）

d2yddy()2dxdx 高阶导数：二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 dx求n阶导数：（不完全归纳法）

(sinx)(n)sin(xn）(cosx)(n)cos(xn）2

2隐函数的导数：（见书126页）

对隐函数求导时，首先将方程两端同时对自变量求导，但方程中的y是x的函数，它的导dy'ydx数用记号（或表示）

对数求导法：先取对数，后求导（幂指函数）

x(t)（t）y(t)由参数方程所确定的函数的导数：

dydydtdy1'(t)dxdtdxdtdx'(t)dt

微分概念：

函数可微的条件

如果函数f(x)在点x0可微，则f(x)在点x0一定可导 函数f(x)在点x0可微的必要充分条件是函数f(x)在点x0可导 dyf'(x0)x

函数的微分dy是函数的增量y的线性主部（当x0），从而，当

x很小时，有ydy

通常把自变量x的增量x称为自变量的微分，记做dx。即于是函数的微分可记为

dyf'(x)'dyf(x)dx，从而有dx

基本初等函数的微分公式： 几个常用的近似公式：

f(x)f(0)f'(0)x

n

1x11xn

sinxx（x用弧度）

e21x

tanxx（x用弧度）

ln(1x)x

中值定理与导数应用

罗尔定理：如果函数f(x)满足下列条件

（1）在闭区间a,b上连续 （2）在开区间a,b内具有导数

'（3）在端点处函数值相等，即f（a)f(b)，则在a,b内至少有一点，使f(）0

拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足下列条件

（1）在闭区间a,b上连续

（2）在开区间a,b内具有导数，则在a,b内至少有一点，使得f（b)f(a)f'（）(ba） 定理几何意义是：如果连续曲线yf(x)上的弧AB除端点处外处处具有不垂直于x轴的切线，那么，在这弧上至少有一点c，使曲线在点c的切线平行于弧AB 推论：如果函数f(x)在区间a,b内的导数恒为零，那么f(x)在a,b内是一个常数

柯西中值定理：如果函数f(x)与F(x)满足下列条件

（1）在闭区间a,b上连续 （2）在开区间a,b内具有导数

‘F（3）（x)在a,b内的每一点处均不为零，则在a,b内至少有一点使得f(b)f(a)f'（）'F（b）F(a)F(）

罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广 洛必达法则：（理论根据是柯西中值定理）

00未定式

1、xa情形

定理：如果 (1)当xa时，f(x)与(x)都趋于零

'''f(x)(x)（2）在点a的某领域（点a可除外）内，与都存在且(x)0

f'(x)f(x)f(x)lim'limlimxaxa(x)xa(x)（3）(x)存在（或为），则极限存在（或为），且f'(x)lim'xa(x)=

在一定条件下通过分子、分母分别求导数再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则

2、x情形

推论：如果（1）当x时，f(x)与(x)都趋于零

'''f(x)(x)（2）当|x|>N时，与都存在且(x)0

f'(x)f(x)f(x)lim'limlimx(x)x(x)x（3）(x)存在（或为），则极限存在（或为），且f'(x)lim'x(x)=

未定式

1、xa情形

如果（1）xa时，f(x)与(x)都趋于无穷大

'''f(x)(x)（2）在点a的某领域（点a可除外）内，与都存在且(x)0

f'(x)f(x)f(x)lim'limlimxa(x)xa(x)xa(x)（3）存在（或为），则则极限存在（或为），且=f'(x)lim'xa(x)

2、x情形 推论：如果（1）x时，f(x)与(x)都趋于无穷大

'''f(x)(x)（2）当|x|>N时，与都存在且(x)0

f'(x)f(x)lim'limxa(x)xa(x)（3）存在（或为），则则极限存在（或为），且f'(x)f(x)lim'limxa(x)xa(x)=

0注意：

1、洛必达法则仅适用于0型及型未定式

2、当泰勒公式（略）

迈克劳林公式（略） 函数单调性的判别法： f'（x)limxa'(x)(x）不存在时，不能断定

f（x)xa(x)(x）lim不存在，此时不能应用洛必达法则

必要条件：设函数f(x)在a,b上连续，在a,b内具有导数，如果f(x)在a,b上单调增

''a,bf(x)0f加（减少），则在内，（(x)0）

充分条件：设函数f(x)在a,b上连续，在a,b内具有导数，'a,bf（1）如果在内，(x)0，则f(x)在a,b上单调增加 'a,bf（2）如果在内，(x)0，则f(x)在a,b上单调减少

函数的极值及其求法

极值定义（见书176页） 极值存在的充分必要条件

'xxf(x)f00必要条件：设函数在点处具有导数，且在点处取得极值，则(x)0

函数的极值点一定是驻点

导数不存在也可能成为极值点

'f驻点：使(x)0的点，称为函数f(x)的驻点

充分条件（第一）：设连续函数f(x)在点x0的一个邻域（x0点可除外）内具有导数，当x由小增大经过x0时，如果 'f（1）(x)由正变负，则x0是极大点

'f（2）(x)由负变正，则x0是极小点 'f（3）(x)不变号，则x0不是极值点

'；;xf(x)0ff(x)0充分条件（第二）：设函数在点0处具有二阶导数，且，(x0)0

；;f（1）如果(x0)0，则f(x)在x0点处取得极大值 ；;f（2）如果(x0)0，则f(x)在x0点处取得极小值

函数的最大值和最小值（略）

曲线的凹凸性与拐点： 定义：设f（x)在a,b上连续，如果对于a,b上的任意两点x1、x2恒有f(x1x2f(x1f(x2)）22，则称f(x)在a,b上的图形是（向上）凹的，反之，图形是（向上）凸的。

判别法：

定理：设函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内具有二阶导数

；;f(a,b)（1）如果在内(x0)0，那么f(x)的图形在a,b上是凹的 ；;f(a,b)（2）如果在内(x0)0，那么f(x)的图形在a,b上是凸的

拐点：凸弧与凹弧的分界点称为该曲线的拐点。

不定积分

原函数：如果在某一区间上，函数F(x)与f(x)满足关系式： F'(x)f(x)或dF(x)f(x)dx，则称在这个区间上，函数F(x)是函数f(x)的一个原函数 结论：如果函数f(x)在某区间上连续，则在这个区间上f(x)必有原函数

定理：如果函数F(x)是f(x)的原函数，则F(x)C（C为任意常数）也是f(x)的原函数，且f(x)的任一个原函数与F(x)相差为一个常数 不定积分的定义：

f(x)dx定义：函数f(x)的全体原函数称为f(x)的不定积分，记做

（f(x）dx)'f(x)d（f(x）dx)f(x)dx不定积分的性质： 性质一：

或

f及'

(x)dxf(x)C或df(x)f(x)C

性质二：有限个函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和。即

[f1(x)f2(x)fn(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxfn(x)dx

性质三：被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即

kf(x)dxkf(x)dx（k为常数，且k0 kdxkxC基本积分表： （1）（k是常数）

xa1xdxC(a1)a1（2）

a 1dxln|x|Cx（3）

x

e（4）xdxexC

axadxC(a0,a1)lna（5）

（6）sinxdxcosxC

（7）cosxdxsinxC

12dxsecxdxtanxC2（8）cosx

1dxcsc2xdxcotxCsecxtanxdxsecxC2（9）sinx （10）

（11）cscxcotxdxcscxC

（12）

11x2dxarcsinxC

（13）11x2dxarctanxC

'第一类换元法（凑微分法） f[(x)](x)dxF[(x)]C

tanxdxln|cosx|C

cotxdxln|sinx|C

第二类换元法：变量代换

被积函数若函数有无理式，一般情况下导用第二类换元法。将无理式化为有理式 基本积分表添加公式：

结论：

22ax如果被积函数含有，则进行变量代换xasint化去根式

22如果被积函数含有xa，则进行变量代换xatant化去根式

22xa如果被积函数含有，则进行变量代换xasect化去根式

分部积分法：

对应于两个函数乘积的微分法，可推另一种基本微分法---------分部积分法 udvuvvdu

分部积分公式

三角函数指数函数

1、如果被积函数是幂函数与

令u等于幂函数 的积，可以利用分部积分法

对数函数

2、如果被积函数是幂函数与反三角函数的积，可使用分部积分法

对数函数 令u=反三角函数

3、如果被积函数是指数函数与三角函数的积，也可用分部积分法。 定积分

定积分的定义

定理：如果函数f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积

定理：如果函数在[a,b]上只有有限个第一类间断点，则f(x)在[a,b]上可积 定积分的几何意义：

bf(x)dx

1、在[a,b]上f(x)0，这时a的值在几何上表示由曲线yf(x)、x轴及二直线x=a、x=b所围成的曲边梯形的面积

2、在[a,b]上f(x)0，其表示曲边梯形面积的负值

3、在[a,b]上，f(x)既取得正值又取得负值 几何上表示由曲线yf(x)、x轴及二直线x=a、x=b所围成平面图形位于x轴上方部分的面积减去x轴下方部分的面积 定积分的性质：

性质

一、函数和（差）的定积分等于他们的定积分的和（差），即

aaa

性质

二、被积函数中的常数因子可以提到积分号外面，即

b[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dxkf(x)dxkf(x)dxabbbba（k是常数）

性质

三、如果将区间[a,b]分成两部分[a,c]和[c,b]，那么

baf(x)dxf(x)dxf(x)dxacbcb、

性质

四、如果在[a,b]上，f(x)1，那么af(x)dxdxbaab

f(x)dx0性质

五、如果在[a,b]上，f(x)0，那么a 性质

六、如果在[a,b]上，f(x)g(x)，那么

bbaf(x)dxg(x)dxab

性质

七、设M及m，分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值，则

f(x)dx

m(b-a)aM(b-a) (a

八、积分中值定理

bab ……估值定理

如果函数f（x)在闭区间[a,b]上连续，那么在积分区间[a,b]上至少有一点，使得  f(x)dxf（）(ba）微积分基本公式

积分上限的函数：(x)f(t)dtax （axb）

性质：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么积分上限的函数‘(x)f(t)dtax在[a,b]上dx(x)f(t)dtf(x)adx具有导数，且

定理：在区间[a,b]上的连续函数f(x)的原函数一定存在

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且F(x)是f(x)的任意一个原函数，那么ba牛顿——莱布尼茨公式



f(x)dxF(b)F(a)

定积分的换元法

假设（1）函数f(x)在区间[a,b]上连续；

（2）函数x(t)在区间[，]上单值，且具有连续导数；

x(t)的值在[a,b]上变化，a，（）b，（3）当t在区间[，]上变化时，且（）b则有定积分的换元公式a f(x)dxf[(t)]'(t)dt

设f(x)在区间[a,a]上连续，则

f(x)dx0f(x)a（1）如果函数为奇函数，则 （2）如果函数f(x)为偶函数，则a20aaf(x)dx2f(x)dx0a

0

定积分的分部积分法 sinxdx2cosnxdxn

'''''[a,b]u(x)v(x)u(x)v(x)(uv)uvvu设、在上具有连续导数、，那么，在等式的两边

bbb(uv)uv'dxvu'dxaaa分别求a到b的定积分得

b……定积分的分部积分公式

bbb'bb'uvdx(uv)vudxudv(uv)vduaaaaaa即 或

无穷区间上的广义积分

limf(x)dx定义：设函数f(x)在区间[a,]上连续，取b>a，如果极限ba存在，则称此极

b限为函数f(x)在区间[a,]上的广义积分，记做a无界函数的广义积分（见书279页） 定积分的应用（见书286页）

元素法

在极坐标系中的计算法

f(x)dx即af(x)dxlimf(x)dxbab

高数知识点总结【第五篇】

高数重点知识总结

1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(yax)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c)

2、分段函数不是初等函数。

x2xxlim1

3、无穷小：高阶+低阶=低阶

例如：limx0x0xxsinx4、两个重要极限：(1)lim1x0x(2)lim1xex01x1lim1e xxg(x)x经验公式：当xx0,f(x)0,g(x)，lim1f(x)xx0exx0limf(x)g(x)

例如：lim13xex01xx03xlimxe3

5、可导必定连续，连续未必可导。例如：y|x|连续但不可导。

6、导数的定义：limx0f(xx)f(x)f'(x)xxx0limf(x)f(x0)f'x0

xx07、复合函数求导：dfg(x)f'g(x)g'(x) dx

例如：yxx,y'2x2x1 2xx4x2xx1

18、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx x2y21例如：解：法(1)，左右两边同时求导，2x2yy'0y'x ydyx法(2)，左右两边同时微分，2xdx2ydydxy9、由参数方程所确定的函数求导：若yg(t)dydy/dtg'(t)，则，其二阶导数：dxdx/dth'(t)xh(t)d(dy/dx)dg'(t)/h'(t)dyddy/dxdtdt 2dxdxdx/dth'(t)

210、微分的近似计算：f(x0x)f(x0)xf'(x0) 例如：计算 sin31

11、函数间断点的类型：(1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如：ysinx（x=0x是函数可去间断点），ysgn(x)（x=0是函数的跳跃间断点）(2)第二类：振荡间断点和无穷间断点；例如：f(x)sin（x=0是函数的振荡间断点），y数的无穷间断点）

12、渐近线：

水平渐近线：ylimf(x)c

x1x1（x=0是函xlimf(x)，则xa是铅直渐近线。 铅直渐近线：若，xa斜渐近线：设斜渐近线为yaxb,即求alimxf(x)，blimf(x)ax

xxx3x2x1例如：求函数y的渐近线

x2113、驻点：令函数y=f(x)，若f'(x0)=0，称x0是驻点。

14、极值点：令函数y=f（x)，给定x0的一个小邻域u(x0,δ），对于任意x∈u（x0,δ），都有f(x)≥f(x0)，称x0是f(x)的极小值点；否则，称x0是f(x)的极大值点。极小值点与极大值点统称极值点。

15、拐点：连续曲线弧上的上凹弧与下凹弧的分界点，称为曲线弧的拐点。

16、拐点的判定定理：令函数y=f(x)，若f“(x0)=0，且x0；x>x0时，f“(x)<0或x0，称点（x0，f(x0)）为f(x)的拐点。

17、极值点的必要条件：令函数y=f(x)，在点x0处可导，且x0是极值点，则f'(x0)=0。

18、改变单调性的点：f'(x0)0，f'(x0)不存在，间断点（换句话说，极值点可能是驻点，也可能是不可导点）

19、改变凹凸性的点：f”(x0)0，f''(x0)不存在（换句话说，拐点可能是二阶导数等于零的点，也可能是二阶导数不存在的点）

20、可导函数f(x)的极值点必定是驻点，但函数的驻点不一定是极值点。

21、中值定理：

（1)罗尔定理：f(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，则至少存在一点，使得f'(）0

（2)拉格朗日中值定理：f(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，则至少存在一点，使得f(b)f(a)(ba)f'(）

（3)积分中值定理：f(x)在区间[a,b]上可积，至少存在一点，使得bf(x)dx(ba)f(）

a22、常用的等价无穷小代换：

x~sinx~arcsinx~arctanx~tanx~ex1~2(1x1)~ln(1x)1cosx~12x2111tanxsinx~x3,xsinx~x3,tanxx~x3263

23、对数求导法：例如，yxx，解：lnyxlnx1y'lnx1y'xxlnx1 y24、洛必达法则：适用于“

0”型，“”型，“0”型等。当0xx0,f(x)0/，g(x)0/，f'(x)，g'(x)皆存在，且g'(x)0，则limf(x)f'(x)limg(x)xx0g'(x)

例

如，xx0exsinx10excosx0exsx1ilimlimlim x0x20x02x0x02225、无穷大：高阶+低阶=高阶

例如，

26、不定积分的求法

（1）公式法

（2）第一类换元法（凑微分法）

23x12x3limnx2x5x22xlim4 5x2x3(3)第二类换元法：哪里复杂换哪里，常用的换元：1)三角换元：a2x2，可令xasint；x2a2，可令xatant；x2a2，可令xasect

2)当有理分式函数中分母的阶较高时，常采用倒代换x

27、分部积分法：udvuvvdu，选取u的规则“反对幂指三”，剩下的作v。分部积分出现循环形式的情况，例如：excosxdx,sec3xdx

1t