二次函数教案实用5篇

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次函数教案1

关键词： 初中数学教学 学导用 教学方法 教学应用

随着教育教学改革的深入，福建省宁化县教育局在2012年秋提出了适合教育，适合教育就是为每一个学生提供适合的教育。适合教育是以学生发展为本的教育，它根据每位学生的特点施加不同的教育和影响，实现因人而异，因材施教，使学生天性与个性得到发展，潜能得到释放，思维得到开发，成长更有尊严。在数学教学过程中运用“学导用”教学方法，是素质教育的重要体现，被广大宁化县数学教师与社会关注。下面我谈谈在初中数学教学中应用“学导用”教学法的体会与思考。

一、关于数学“学导用”教学方法的理解

所谓“学导用”是指教师在本节课的教学内容前编写成学案，学生根据教师的学案，自主预习阅读教材，自主思考问题，在独立完成的基础上，合作讨论学案上的问题，对每一个问题进行解决，得到结论，然后在小组内交流得失。遇到不懂的问题，生生讨论，教师参与点评。当堂测试巩固本节课学习成果，加深学生的印象。

简单来说，“学导用”实际就是把本节课需要掌握的内容及重难点书面呈现给学生，让学生做到对本节课心中有数，该完成什么，不该做什么。

“学导用”要求数学教师的课前准备要非常充分。（1）数学学案要有明确的目的性，到底要学什么？是新课学案或复习学案还是练习学案，教师要在课前潜心钻研。（2）学案要符合学生的认识特点，不是知识的单一重复，也不是让学生啃硬骨头，要适当地启发，让学生想一想，“跳一跳”就“摸得着”，从而产生思维的火花，产生联想，产生知识的迁移，经历形成新知识的过程，既发展思维又提高能力。（3）心设计学案，让学生充分利用该学案，在学案的引导下，能有效地学习，正确应用所学知识解决新问题。

二、“学导用”教学方法在初中数学教学应用

“学导用”教学方法在初中数学教学中总体分三步走：“学什么”，“怎么学”，“学会了吗”。

（一）学什么？

由于学生自学能力的差异，学案要在课前发给学生，让其对照学案先预习，了解本节学习内容是什么，要掌握什么内容，这个过程正可以培养学生利用新知识与已有经验分析解决问题。如在九年级下册《二次函数y=ax■的图像与性质》中学习目标就是：①用描点法画二次函数图像；②熟悉抛物线的定义及相关概念和对称性；③通过观察、归纳等方法掌握y=ax■型二次函数图像的特征与性质。重点为二次函数y=ax■图像的画法和图像特征的归纳，难点为二次函数y=ax■的性质特征，并能灵活运用。只有了解本节课要学什么，学生才能带着目标学习和解决问题。

（二）怎么学？

要完成学案上的各个问题，必须对教材好好钻研，这时学生就会通过这个学习过程发现自己的弱项，并且解决自己遇到的问题。学案要照顾所有学生，如何引导学生学习？

如《二次函数y=ax■的图像与性质》中先用一个预习案：

一次函数y=2x-1的图像是？摇 ？摇，反比例函数的图像是？摇 ？摇。画函数图像的基本方法是？摇 ？摇。用描点法画函数的图像的一般步骤是？摇 ？摇、？摇 ？摇、？摇 ？摇。画出二次函数y=x■图像。二次函数的图像叫做？摇 ？摇，如上面的二次函数y=x■的图像叫做？摇 ？摇；抛物线y=x■的的对称轴是？摇 ？摇；抛物线与其对称轴的交点叫做抛物线的？摇 ？摇，抛物线y=x■的的顶点是？摇 ？摇；抛物线y=x■的顶点的位置在？摇 ？摇。让学生通过预习完成这些问题，为本节内容的教学做好铺垫。

接着用一个探究案：1.画。在同一坐系中画出二次函数y=1/2x■、y=-1/2x■的图像，并结合函数y=x■的图像考虑这些抛物线有什么共同点和不同点？在同一坐标系中观察函数y=1/2x■、y=-1/2x■的图像，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点？对于动手慢的同学可以让他通过其他同学的二次函数图像观察这些图像的特征。

2.想。观察函数y=x■的图像，试分析函数y随自变量x的变化而如何变化的？函数y是有最大值还是最小值？函数y=x■的呢？y=1/2x■，y=-1/2x■呢？

3.填。设计一个表格学生填填表格涉及二次函数的各类解析式的开口方向，对称轴，顶点，有最大值还是最小值增减性，顶点是最高（低）点（表格略）。

3.比。请同学们结合所画的函数图像思考下列问题，看谁最快最准。

二次函数y=ax■的图像和性质：

1.抛物线y=ax■的对称轴是？摇 ？摇，顶点坐标是？摇 ？摇。

2.当a>0时，抛物线的开口？摇 ？摇，在对称轴的？摇 ？摇（即当x？摇 ？摇时），函数y随x的增大而减小；在对称轴的？摇 ？摇（即当x？摇 ？摇时），函数y随x的增大而增大。此时抛物线有最？摇 ？摇点，即当x=？摇 ？摇时，函数y有最？摇 ？摇值为？摇 ？摇。

3.当a

通过以上四个步骤画，想，填，比，让学生认识到本节课学的是什么。学生通过探究，发现自己对本节知识认识的不足，通过交流探讨，教师点评的方式，加深学生对二次函数y=ax■性质的理解。

（三）学会了吗？

学生经历知识的归纳和探究过程，体会从特殊到一般，类比的思想。但要知道学生是否真正掌握了知识，就要靠当堂测试。当堂测试题是根据本节课的目标与内容设计的测试题目，具有一定的概括性与梯度。通过当堂测试完成知识的迁移与对比，检验本节课的学习效果。并且通过当堂测试为下节内容提供设计目标的重要依据。

如在《二次函数y=ax■的图像与性质》中设计当堂测试如下：

1.函数y=1/4x■的对称轴是？摇 ？摇，顶点坐标是？摇 ？摇，在对称轴的右侧y随x的增大而？摇 ？摇。当x=？摇 ？摇时，函数y有最？摇 ？摇值为？摇 ？摇。

2.已知二次函数y=4x■，下列说法中错误的是（？摇？摇？摇？摇）

A.图像有最低点 B.图像开口向上

C.当x0

3.二次函数y=mx■有最高点，则m是多少？

4.二次函数y=（k+1）x■的图像如右图（图略）所示，则k的取值范围为多少？

5.已知正方形的周长是x，面积是y，（1）求y与x的函数关系式；（2）画出此函数的图像。学生可自主交流批改，展示当堂测试成果，教师也可以课堂展示小组成果，通过检测可以了解学生本节课的掌握情况。课堂上通过对学案的学习，学生进行了互查，讨论，总结。

通过以上三步走，学生不仅对知识的掌握更牢固，而且学会了学习，发展了思维，提高了学习热情。

三、“学导用”教学方法在初中数学教学应用中的思考

“学导用”教学方法在初中数学中应用的情况：（1）在小组讨论或自主学习时出现了几种现象：懂的滔滔不绝，不懂的默默无闻；借讨论在聊天；借自主学习在发呆，等等。（2）在课堂教学中，教师“前怕狼后怕虎”，放不开。（3）学生习惯于被动接受，观念一时难以扭转。（4）时间控制得不好。

次函数教案2

关键词： 二次函数型问题 变式 数学表达能力 习题教学

习题课是数学课堂教学中的一种重要的不可或缺的课型。习题教学的重点在于及时掌握学生在解决数学问题的认知基础和心理状态，对学生易错题进行仔细分析，拓展与变式，提高学生的数学思维能力和数学表达能力。加强习题教学案例分析是提高习题教学效率的切实可行的措施。本文就一个习题教学案例的分析，小结了常见二次函数型问题及其解决思路。

一、一个习题教学案例

设函数f（x）=■（a

（A）-2 （B）-4 （C）-8 （D）不能确定

习题设计说明：本题旨在考查函数f（x）=■（a

二、案例拓展与变式

1.与二次函数定义域有关的问题

（1）已知n∈N■，函数f（x）=n（n+1）x■-（2n+1）x+1图像在轴上截距之和为？摇 ？摇。

分析：已知抛物线与x轴交点的横坐标分别为■、■，这两点间距离为■-■，所以当n∈N■时，所求截距之和为

■[（1-■）+（■-■）+…（■-■）]=■（1-■）=1.

2.与二次函数值域有关的问题

（2）若函数y=lg（ax■+2x+1）（a∈R）的值域为R，则实数a的取值范围为？摇 ？摇。

分析：（1）当a=0时，y=lg（2x+1），其值域是R，符合题意；

当a≠0时，得a>0=4-4a≥0？圳0

3.利用二次函数的性质可以解决定义域和值域共存问题

（3）①若关于x的不等式x■-ax+a+1

②若存在x∈（2，3），使得x■-ax+a+1

分析：①由已知，得=（-a）■-4（a+1）>0，f（2）≤0f（3）≤0？圯a≥5；

②设x■-ax+a-1=0，则（x-1）（x-a+1）=0，

解得x=1或x=a-1.由已知，得抛物线y=x■-ax+a-1与x轴有两个交点（1，0），（a-1，0），且a-1>2，因此a>3.

（4）若关于x的不等式x■-ax+a

解：设f（x）=x■-ax+a，其图像对称轴是x=■.

由=（-a）■-4a>0，解得a4.

当a

由题意得f（-1）

即1+2a

当a>4时，■>2，且f（1）>0，f（2）=4-a

由题意得f（3）

即9-2a

三、结语

对习题教学案例分析与拓展变式是习题教学的一种好的形式。二次函数型问题是易错问题，它是教与学的重点和难点，也是高考与学业考试的重点与难点。二次函数型问题分类与解决有助于学生理解二次函数图像与性质，有利于揭示二次函数型问题常见的解决思路与方法。

参考文献：

次函数教案3

关键词：幂函数；案例设计；创新

一、中职幂函数教学单元的定位

1.课程定位

2.教案设计理念

在中职数学教学过程中，绝大多数执教教师发现，若没有数学认知和自我总结的实践过程，而是仅仅以结论提供方式的记忆式学习，往往容易造成学生解题时的困惑，这与其尚未真正掌握幂函数规律密切相关，故而本教案设计的核心原则在于避免以往的“告诉”式，而是以建构的理念，还学生以知识认知与理解掌握的主动权，鼓励学生在自我探究的过程中发现幂函数基本规律及其性质、属性，并同时结合教师的引导对知识进行确认与巩固，通过反复的、源自于幂函数性质规律各角度的练习，进行幂函数深入学习。“授人以渔”的指导思想让学生学会知识摸索与探求的基本学习规律和技巧。

3.教学基本情况分析

本节课程的授课对象为中职学生，基于其对函数一定量的基本概念与性质认知，函数研究思路与方法也有所熟悉，幂函数课程是结合并运用已知指数和对数函数概念、性质和图象及结题运用，开展教学的知识模块。但由于刚步入中职，对初中学习阶段的各种学习特点及习惯仍有所保留，而且能力和思维模式的发展仍属于转折成型期，所以教师须把握幂函数教学创新的体验、契机，对中职学生进行数学理性思维和类比等思维的培育，并获得幂函数教学的良好效果。

4.教材要求与目标设定

幂函数作为改革教材的重点内容，在现行中职类专业教学的数学教材中处于指数函数与对数函数之后，主要目的在于比对上述函数的复杂性之后，鼓励学生结合指数函数、对数函数进行归纳分析总结。

本教案所涉课程的主要内容为幂函数，主要以结合实例引用概括幂函数概念，在学生了解识记幂函数结构特征的基础上，了解其与指数函数和对数函数的区别，并通过特殊简单函数的图象比对进行观察、分析与总结。教学目标为结合一次、二次和指对函数的特性对比，培养学生数学的对比结合和相应的分析归纳能力，并提升其数形结合、特殊上升到一般、归纳类比的逻辑思维。

二、教学案例实施过程

1.以学生业已熟悉的各类简单函数的引出，进行学生函数思维的重新建立，如运用（1）p=k，（2）S=x2；（3）V=ax3；（4）r=■；（5）v=s・t-1提问学生上述函数在其“形状”变化上的一些共同特点，进而引出y=x，y=x2，y=x3，y=■，y=■，y=■，再结合一定时间的学生讨论，引导学生归纳幂函数的变化特征为以x为自变量，a为特定常数作为其指数所构成的y=xa，这一函数称为幂函数。经过上述幂函数的引入教学，学生被自然地带入对于类似函数的思考研究中，从而获得一定程度的概念性认知。而且该方法突出了本教案设计的“用教材而不是教教材，要创造性地使用教材”的教学创新原则，尊重教材的同时适当创新教材展示与教学设计。

2.基于幂函数引入的课堂导入，使学生获得幂函数理解认知，并提示指出幂函数结构中的x自变量位置，并以其与指数函数的位置进行直观对比，从而将复杂的幂函数与指数函数结构易混淆问题变为简单且不易遗忘的形状识记。同时，可以配合一定量的各种幂函数举例辨别，分辨并总结各类幂函数，在此基础上又对幂函数的形式进一步探析。接着，对幂函数的一般形式进行进一步探析。当然基于课程的教案创新改革必须秉持一贯的教学目标及其实施，也不能一味地进行脱离教学规律的教法创新。

总之，作为逐步发展的教学教法创新过程中的教学革新，都需要广大教学工作者充分结合学生现实、教材现实、教学现实、教育发展现实，中职数学中的幂函数不能以简单的给定义、告性质、做练习的模式进行，更应充分结合学生特点及其自有知识结构体系与认知能力特性，进行综合性创新。

参考文献：

[1]黄邦杰。例谈幂函数的教学设计与教学[J].课程教材教学研究：中教研究，2010.

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关键词：二次函数；创新思维；兴趣

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）是所有高中教师最熟悉的公式，高考很多问题都需要靠这个基本的公式来解决，这个公式是贯穿中学数学教材的始末，有关其图象、性质和应用的讨论和研究已经相当深入，无论是在代数还是几何中，二次函数的运用是十分普遍的，配平法、换元法、解不等式、函数最值问题等都从这个简单的函数方程演变而来，万变不离其宗。可以说，整个中学数学教科书都是围绕这个函数的内涵与外延不断深入的，当学生结束中学时代的学习进入高校，二次函数也是学生进一步深造的基础。笔者有着二十多年的初中和高中数学教学经验，深知这个简单的函数对于整个中学数学教学的重要性，以及它对启发学生思维的益处，在这里谈一些体会，仅供各位高中数学教师参考。

一、以生活实例激发学生学次函数的兴趣

数学虽然是一门注重逻辑思维和抽象性极强的学科，但是也可以从生活中来，到生活中去，以生活中的实例来激发学生学次函数的兴趣，学习的目的也是为生活服务，因此，教学内容也应该与生活密切相关。二次函数因其在生活中运用广泛而有其先天的优势，那就是学生更容易从生活中找到二次函数的原型，以此来培养学生的思维灵活性。新课程改革要求中也明确提出要从学生的生活实际出发，结合学生的生活经验及掌握的知识来创设数学问题。高中数学教学的任务虽然很重，但是教师还是应该积极地创设具有生活性的问题来激发学生兴趣。例如，生活中的喷泉完全符合二次函数的模型，教师在课堂上可以用喷泉的例子来让学生明白二次函数的内涵。还可以利用汽车行驶问题来引起学生学习新知识的兴趣和思维。距离与时间满足公式s=at2，其中s表示距离，t表示时间，是一个特殊的二次函数，教师可以利用这些生活化的问题来引入二次函数的问题，学生带着问题投入到新知识的学习中去，能够非常有效地激发学生的思维，这比空洞的讲解更能够促进学生思维的发散。

二、利用二次函数培养学生建立初步的数学建模思想

由生活中出现的实际问题抽象到数学模型是学生最难攻克的难题，也是学生具备基本数学思维能力的体现。实际问题的数学模型就是要把现实生活中的现象通过抽象的数学模型概括出来，变成抽象的数学形式，舍弃一切与本质无关的属性，它是对原型的数学属性及其关系的一种概括和近似反映，相较于实际生活来说，数学模型更深刻、更精准。通过数学模型抽象出来生活实际，再对数学模型进行探究，学生就能对是世界万物有更深刻的认识。

一般来说，数学建模分为以下几个步骤，首先将实际问题抽象为数学模型，然后运用数学模型求解，找到数学问题的答案，最后从答案验证实际问题。二次函数有其值域、最大值和变形等，这些变化都能从实际生活中找到鲜活的例子，可以说，二次函数不仅可以培养学生的逻辑思维和抽象思维，更让学生从一个全新的角度对整个世界进行探究。

三、利用二次函数的学习提升学生的创新思维能力

记忆最深刻的知识从来都是由自己发现的，这种发现会在学生脑海中留下深刻的印象，更为日后的深入研究打下坚实的基础，自己发现规律是学习的最佳途径，学生也更有兴趣对其规律和性质进行更加深入的探究。二次函数的规律非常明显，因此，在培养学生创新性思维方面有其先天的优势，教师在授课过程中要紧紧抓住二次函数的内涵和规律，对这一问题所包含的值域、最大值、利用二次函数性质解不等式等问题，要充分认识其形式的多样性、图象的直观性以及内容的复杂性，鼓励学生从不同的角度运用所掌握的方法进行解答，从而实现学生问题解答的创新性。

二次函数具有丰富的内涵和外延，作为幂函数的基本形式，它是研究函数性质的最佳代表，不但可以表述出函数、方程和不等式三者之间的联系，还可以以其为基本形式，变化出多种多样的数学问题，考查学生综合的逻辑运算能力和思考能力，锻炼学生综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。教师在教授二次函数时，要将二次函数与生活实际联系起来，创立富含生活型的问题，培养学生学次函数的兴趣，培养他们主动积极思维，从而更好地将二次函数知识与生活紧密的联系到一起，在学次函数知识的同时，不断培养学生主动思维的积极性。

参考文献：

[1]罗明。浅谈二次函数在高中阶段的深化学习[J].四川工程职业技术学院学报，2008（01）.

[2]郭维斌。用二次函数的图像分析一元二次方程根的范围[J].教育革新，2008（07）.

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关键词高一数学；入门教学；方法探讨

高一是数学学习的的一个非常关键时期，由于初、高中数学教材缺乏统筹规划，高中数学教材编写也没有照顾到知识的前后衔接问题，且知识内容的数量剧增，抽象程度高，思维量大（其他各科信息量也大），平常教学进度快、要求较高，以及学生自身学习方式、数学基础等原因，许多初中学生进入高中后不适应。下面先看两个案例。

案例1.某校现在高一新生Y，中考数学成绩六十几分，据本人讲，涉及数与式的计算、解方程或不等式等问题，运算顺序搞不清，公式、法则乱用，很少做对过，函数更是一片空白。几何证明题不知如何下手。该生进入高一后，有学好的愿望，但努力不够，学集合时还勉强跟得上，学函数时几乎听不懂，学三角函数时公式混淆不会用，学向量时因教学进度快等于没有学。期末考试数学成绩25分以内。

案例2.某重点中学现在高一新生X（中考数学成绩一百一十分左右，数学基础较好），大多数时间能听懂老师讲的知识，但学习主动性不强，平时每次考试成绩总在七十分左右，失误较多，解题思路不灵活，期末考试数学成绩近60分。从学生做的笔记看，在讲指数函数前，教师补讲了求函数解析式的方法，求值域的方法，二次函数恒成立问题，对勾函数，函数的对称性和周期性，抽象函数等内容，且要求高，期末考试内容为必修一全部，三角函数，向量的线性运算。

上面的案例在一些学校具有普遍性，值得研究。怎样处理这些问题？笔者结合自己的教学实践谈一谈体会。

一、教师主导方面

要在自身学习和诱导学生学习上下功夫。“每一天我走进教室，我就在想我能学到什么。我是教师，也是学习者，而不只是知识的传递者。”

1.上好第一堂课，产生光环效应。不讲新课，首先可通过自我介绍以及提出对自身的要求，希望在学生心目中树立起较好的形象，拉近与学生的距离，做好“亲其师，信其道”的铺垫作用。可讲以往差生的成功案例，鼓励学生学好数学的信心。“我认为提高学生学习成绩最重要的不在于条件和资源，而在于教师的核心信念。我们必须从一开始就有所有孩子都能够达到最高水平的信念。”其次介绍高中数W的特点，为转变学生学习观念，注意学习方式做准备。最后做一个问卷调查，全面了解学生。问卷内容涉及中考总成绩，数学成绩，什么数学知识学的最好（或最差），有何特长，你的理想是什么，你对新教师期望，你以前数学教师的优点等。

2.做好衔接，承上启下。教师要通过学习《义务教育数学课程标准》或初中数学教科书，搞清初中新课标中已删除或已降低要求的但高中仍需衔接的、需熟练掌握的内容，并在问卷调查的基础上制定好衔接内容的讲解计划，然后有效实施。一般情况下，在讲集合之前可补讲立方和与差的公式，十字相乘法及用它解一元二次方程，根与系数的关系（韦达定理）。在讲函数之前可适当复习一次函数、反比例函数、二次函数，并结合初中知识研究一次分式函数，熟练掌握配方法以及二次函数图像的顶点和对称轴公式。在讲分数指数幂之前可复次根式的有关概念，补讲分子、分母有理化和根号下含有字母的化简与运算，在讲任意角的三角函数之前适当复习初中锐角三角函数知识，并作一些拓展，如同角三角函数间的关系，两锐角互余的三角函数间的关系等。

3.开学初，教师可将本学期所要涉及的重要知识点或思想方法系统的总结并印出来，要求学生贴在书封面里，以便随时翻阅、记忆。平时教学中，注意加强学法指导（班上可自行订阅这类书，特别是班主任教师和任课教师一道利用班会课等时间给予学生系统指导）。

4.教师对这学期教学内容、教学要求、教学进度要有统筹规划、细化，防止拔高教学的要求随意性和盲目性，要不忘初心。平时教学少一些高考化，一些问题，如抽象函数可否淡化处理，尽量不考大题，函数的图像及性质在学完三角函数后再作适当的深化也许更恰当？我个人认为高一上期教学内容定为必修一全部，必修四中的三角函数、平面向量，不讲三角恒等变换。这样教学时间不会太紧，不急于赶进度，也不会因三角公式太多太集中让学生很不适应，更便于必修五中的解三角形的学习。

5.要减少学生懂而不会的现象，须在培养学生思维的灵活性、深刻性上狠下功夫。教学中可尽量采用变式教学，注意一题多解、一题多变、一题多用；多问几个为什么：为什么这样做，为什么这样想，它的背景是什么，为什么这样转化，让学生多层次、广视角、全方位认识数学。最好是每上一课后写好教学反思，每一次测验后要分析得失。因为“一个教师写一辈子教案不一定成为名师，如果一个教师写三年教学反思，则有可能成为名师。”

6.面批作业，及时反馈。每周利用晚自习面批，特别是针对学困生面批，发现问题辅导、及时就错、及时补救练习。

7.每次较大型考试考完后，教师立即公布详尽答案，要求每一题尽量一题多解，学生订正后再有针对性的讲解，对未达标的学生，要求再做一次相似练习题。

二、学生主体方面

一定要明白学习是自己的事。就正如《国际歌》中所说“从来就没有什么救世主，也不靠神仙皇帝，要创造人类的幸福，全靠我们自己”。

1.学生自己学习要积极主动，培养对数学的兴趣，养成好的习惯，习惯于看课本，熟读精思，善于提出问题。

2.准备一个笔记本，记好题，记典型错题，记不懂、不理解的题，记数学规律、数学小结论，记反思，记感想等。每一周交老师检查评价。

3.自选层次，努力达标。根据本班实际和学生自身意愿，可将将作业分成三个层次，课代表三个，每个课代表各负责一个层次的作业。第一层次先将当天学的知识要点抄写在做业本上，然后做课本上的例题或A组习题，第二层次做课本B组习题或练习册上的中档题，第三层次做课本上高档题和练习册上的高档题或教师补充的题，每两周再自行调整。

4.各层次学生每天做一道补充习题，以巩固前面所学内容为主，如此反复，防止知识遗忘。

5.每周做一次小测验，六个选择题，两个填空题，两个解答题，要求这些题全是低中档题，一般能保证百分之八十学生在五十分钟内全部完成。一道较高要求的选做题，供学生选做。测验完后立即公布答案。

6.上课期间，课代表每天课外抽各层次一至二名学生默写重要知识点或做课本上指定的例题、习题或以前的考题。

高中数学教学是一项长期的复杂的艰巨的活动，为了在教学上取得预想的效果，单是指导学生的脑力是不够的，还必须在他身上树立起掌握知识的志向，即创造学习的诱因。教育的最高目标就是激发学生的主动性，培养学生的独立性。从广义上讲，这就是一切教育的最终目的。

参考文献