《二次函数》教案4篇

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次函数教案【第一篇】

知识与技能

1、会用描点法画函数y=ax2(a＞0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质。

2、体会数形结合的转化，能用y=ax2(a＞0)的图象和性质解决简单的实际问题。

过程与方法

经历探索二次函数y=ax2(a＞0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯。

情感态度

通过动手画图，同学之间交流讨论，达到对二次函数y=ax2(a＞0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性。

教学重点

1、会画y=ax2(a＞0)的图象。

2、理解，掌握图象的性质。

教学难点

二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程。

一、情境导入，初步认识

问题1 请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么？二次函数图象是什么形状呢？

问题2 如何用描点法画一个函数图象呢？

教学说明

①略；

②列表、描点、连线。

二、思考探究，获取新知

探究1 画二次函数y=ax2(a＞0)的图象。

画二次函数y=ax2的图象。

教学说明

①要求同学们人人动手，按“列表、描点、连线”的步骤画图y=x2的图象，同学们画好后相互交流、展示，表扬画得比较规范的同学。

②从列表和描点中，体会图象关于y轴对称的特征。

③强调画抛物线的三个误区。

误区一:用直线连结，而非光滑的曲线连结，不符合函数的变化规律和发展趋势。

误区二：并非对称点，存在漏点现象，导致抛物线变形。

误区三:忽视自变量的取值范围，抛物线要求用平滑曲线连点的同时，还需要向两旁无限延伸，而并非到某些点停止。

次函数教案【第二篇】

本节课在二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象的基础上，进一步研究y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象，并探索它们之间的关系和各自的性质。旨在全面掌握所有二次函数的图象和性质的变化情况。同时对二次函数的研究，经历了从简单到复杂，从特殊到一般的过程：先是从y=x2开始，然后是y=ax2，y=ax2+c，最后是y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c.符合学生的认知特点，体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性。

在教学中，主要是让学生自己动手画图象，通过自己的观察、交流、对比、概括和反思[

等探索活动，使学生达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解。并能利用它的性质解决问题。

二次函数y=ax2+bx+c的图象(一)

教学目标

（一）教学知识点[

1、能够作出函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象，并能理解它与y=ax2的图象的关系。理解a，h，k对二次函数图象的影响。

2、能够正确说出y=a(x-h)2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。

（二）能力训练要求

1、通过学生自己的探索活动，对二次函数性质的研究，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解。

2、经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生的探索能力。

（三）情感与价值观要求

1、经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。

2、让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。

教学重点

1、经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象的作法和性质的过程。

2、能够作出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象，并能理解它与y=ax2的图象的关系，理解a、h、k对二次函数图象的影响。

3、能够正确说出y=a(x-h)2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。

教学难点

能够作出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象，并能够理解它与y=ax2的图象的关系，理解a、h、k对二次函数图象的影响。

教学方法

探索比较总结法。

教具准备

投影片四张

第一张：（记作 A）

第二张：（记作 B）

第三张：（记作 C）

第四张：（记作 D）

教学过程

Ⅰ。创设问题情境、引入新课

[师]我们已学习过两种类型的二次函数，即y=ax2与y=ax2+c，知道它们都是轴对称图形，对称轴都是y轴，有最大值或最小值。顶点都是原点。还知道y=ax2+c的图象是函数y=ax2的图象经过上下移动得到的，那么y=ax2的图象能否左右移动呢？它左右移动后又会得到什么样的函数形式，它又有哪些性质呢？本节课我们就来研究有关问题。

Ⅱ。新课讲解

一、比较函数y=3x2与y=3(X-1)2的图象的性质。

投影片：( A)

（1）完成下表，并比较3x2和3(x-1)2的值，

它们之间有什么关系？

X -3 -2 -1 0 1 2 3 4

3x2

3(x-1)2

（2）在下图中作出二次函数y=3(x-1)2的图象。你是怎样作的？

（3）函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的对称轴和顶点坐标分别是什么？

(4)x取哪些值时，函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大？x取哪些值时，函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而减小？

[师]请大家先自己填表，画图象，思考每一个问题，然后互相讨论，总结。

[生](1)第二行从左到右依次填：，3，0，3， 12，27，48;第三行从左到右依次填48，27，12，3，0，3， 12，27.

（2）用描点法作出y=3(x-1)2的图象，如上图。

（3)二次函数）y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象形状相同，开口方向也相同，但对称轴和顶点坐标不同，y=3(x-1)2的图象的对称轴是直线x=1，顶点坐标是(1，0)。

（4）当x1时，函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大，x1时，y=3(x-1)2的值随x值的增大而减小。

[师]能否用移动的观点说明函数y=3x2与y=3(x-1)2的图象之间的关系呢？

[生]y=3（x-1)2的图象可以看成是函数）y=3x2的图象整体向右平移得到的。

[师]能像上节课那样比较它们图象的性质吗？

[生]相同点：

a.图象都中抛物线，且形状相同，开口方向相同。

b. 都是轴对称图形。

c.都有最小值，最小值都为0.

d.在对称轴左侧，y都随x的增大而减小。在对称轴右侧，y都随x的增大而增大。

不同点：

a.对称轴不同，y=3x2的对称轴是y轴y=3(x-1)2的对称轴是x=1.

b. 它们的位置不问。[来源]

c. 它们的顶点坐标不同。 y=3x2的顶点坐标为(0，0)，y=3(x-1)2的顶点坐标为(1，0)，

联系：

把函数y=3x2的图象向右移动一个单位，则得到函数y=3(x-1)2的图像。

二、做一做

投影片：( B)

在同一直角坐标系中作出函数y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象。并比较它们图象的性质。

[生]图象如下

它们的图象的性质比较如下：

相同点：

a.图象都是抛物线，且形状相同，开口方向相同。

b. 都足轴对称图形，对称轴都为x=1.

c. 在对称轴左侧，y都随x的增大而减小，在对称轴右侧，y都随x的增大而增大。

不同点：

a.它们的顶点不同，最值也不同。y=3(x-1)2的顶点坐标为()，最小值为=3(x-1)2+2的顶点坐标为(1，2)，最小值为2.

b. 它们的位置不同。

联系：

把函数y=3(x-1)2的图象向上平移2个单位，就得到了函数y=3(x-1)2+2的图象。

三、总结函数y=3x2，y=3(x-1)2，y=3(x-1)2+2的图象之间的关系。

[师]通过上画的讨论，大家能够总结出这三种函数图象之间的关系吗？

[生]可以。

二次函数y=3x2，y=3(x-1)2，y=3(x-1)2+2的图象都是抛物线。并且形状相同，开口方向相同，只是位置不同，顶点不同，对称轴不同，将函数y=3x2的图象向右平移1个单位，就得到函数y=3(x-1)2的图象；再向上平移2个单位，就得到函数y=3(x-1)2+2的图象。

[师]大家还记得y=3x2与y=3x2-1的图象之间的关系吗？

[生]记得，把函数y=3x2向下平移1个平位，就得到函数y=3x2-1的图象。

[师]你能系统总结一下吗？

[生]将函数y=3x2的图象向下移动1个单位，就得到了函数y=3x2-1的图象，向上移动1个单位，就得到函数y=3x2+1的图象；将y=3x2的图象向右平移动1个单位，就得到函数y=3(x-1)2的图象：向左移动1个单位，就得到函数y=3(x+1)2的图象；由函数y=3x2向右平移1个单位、再向上平移2个单位，就得到函数y=3(x-1)2+2的图象。

[师]下面我们就一般形式来进行总结。

投影片：( C)

一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数为y=ax2+c，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k的图象。

（1）将y=ax2的图象上下移动便可得到函数y=ax2+c的图象，当c0时，向上移动，当c0时，向下移动。

（2）将函数y=ax2的图象左右移动便可得到函数y=a(x-h)2的图象，当h0时，向右移动，当h0时，向左移动。

（3）将函数y=ax2的图象既上下移，又左右移，便可得到函数y=a(x-h)+k的图象。

因此，这些函数的图象都是一条抛物线，它们的开口方向，对称轴和顶点坐标与a，h，k的值有关。

下面大家经过讨论之后，填写下表：

y=a(x-h)2+k 开口方向 对称轴 顶点坐标

a0

a0

四、议一议

投影片：(2， D)

（1）二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的对称轴和顶点坐标分别是什么？

（2）二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的对称轴和顶点坐标分别是什么？

（3）对于二次函数y=3(x+1)2，当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？二次函数y=3(x+1)2+4呢？

[师]在不画图象的情况下，你能回答上面的问题吗？

[生](1)二次函数y=3(x+1)2的图象与y=3x2的图象形状相同，开口方向也相同，但对称轴和顶点坐标不同，y=3(x+1)2的图象的对称轴是直线x=-1，顶点坐标是(-1，0)。只要将y=3x2的图象向左平移1个单位，就可以得到y=3(x+1)2的图象。

（2）二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与y=-3x2的图象形状相同，只是位置不同，将函数y=-3x2的图象向右平移2个单位，就得到y=-3(x-2)2的图象，再向上平移4个单位，就得到y=-3(x-2)2+4的图象y=-3(x-2)2+4的图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标是(2，4)。

（3）对于二次函数y=3(x+1)2和y=3(x+1)2+4，它们的对称轴都是x=-1，当x-1时，y的值随x值的增大而减小；当x-1时，y的值随x值的增大而增大。

Ⅲ。课堂练习

随堂练习

Ⅳ。课时小结

本节课进一步探究了函数y=3x2与y=3(x-1)2，y=3(x-1)2+2的图象有什么关系，对称轴和顶点坐标分别是什么这些问题。并作了归纳总结。还能利用这个结果对其他的函数图象进行讨论。

Ⅴ。课后作业

习题

Ⅵ。活动与探究

二次函数y= (x+2)2-1与y= (x-1)2+2的图象是由函数y= x2的图象怎样移动得到的？它们之间是通过怎样移动得到的？

解：y= (x+2)2-1的图象是由y= x2的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的，y= (x-1)2+2的图象是由y= x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的。

y= (x+2)2-1的图象向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到y= (x-1)2+2的图象。

y= (x-1)2+2的图象向左平移3个单位，再向下平移3个单位得到y= (x+2)2-1的图象。

板书设计

二次函数y=ax2+bx+c的图象（一) 一、1. 比较函数y=3x2与y=3(x-1）2的

图象和性质（投影片 A）

2、做一做（投影片 B）

3、总结函数y=3x2，y=3(x-1)2y= 3(x-1)2+2的图象之间的关系（投影片 C）

4、议一议（投影片 D）

二、课堂练习

1、随堂练习

2、补充练习

三、课时小结

四、课后作业

备课资料

参考练习

在同一直角坐标系内作出函数y=- x2,y=- x2-1,y=- (x+1)2-1的图象，并讨论它们的性质与位置关系。

解：图象略

它们都是抛物线，且开口方向都向下；对称轴分别为y轴y轴，直线x=-1;顶点坐标分别为(0，0)，(0，-1)，(-1，-1)。

y=- x2的图象向下移动1个单位得到y=- x2-1 的图象；y=- x2的图象向左移动1个单位，向下移动1个单位，得到y=- (x+1)2-1的图象。

次函数教案【第三篇】

教学目标：

1、使学生进一步理解二次函数的基本性质；

2、渗透解析几何，数形结合，函数等数学思想。培养学生发现问题解决问题，及逻辑思维的能力。

3、使学生参与教学过程，通过主体的积极思维，体验感悟数学。逐步建立数学的观念，培养学生独立地获取知识的能力。

教学重点：初步理解数形结合的数学思想

教学难点：初步理解数形结合的数学思想

教学用具：微机

教学方法：探究式、小组合作学习

教学过程：

例1、已知：抛物线y=x2－（m2－1）x－2m2－2

⑴求证：无论m取什么实数，抛物线与x轴一定有两个交点

⑵m取什么实数时，两交点间距离最短？是多少？

解：

△ =(m2－1)2＋4(2m2＋2)

=m4－2m2＋1＋8m2＋8

=m4＋6m2＋9

=(m2＋3)2

m2≥0

∴m2＋3＞0

∴△＞0

∴抛物线与x轴有两个交点

问题：为什么说当△＞0时，抛物线y =ax2+bx+c与x轴有两个交点。（能否从数和形两方面说明）

设计意图：在课堂上创设让学生说数学的机会，学会合作学习，以达到①经验共享，在思维的碰撞中共同提高。②学会合作，消除个人中心。③发现自我，提高参与度。④弘扬个体的主体性，形成健康，丰富的个性。

数：点在曲线上，点的坐标满足曲线的方程。反之，曲线方程的每一个实数解对应的点都在曲线上。抛物线与x轴的交点，既在抛物线上，又在x轴上。所以交点的坐标既满足抛物线的解析式，也满足x轴的解析式。设交点坐标为（x，y）

∴

这样交点问题就转化成求这个二元二次方程组的解。代入y =0，消去y，转化成ax2+bx+c=0这个一元二次方程求根问题。根据以前学过的知识，当△＞0时， ax2+bx+c=0有两个不相等的实根。∴y =ax2+bx+c

y =0

有两个不等的实数解

∴抛物线与ｘ轴交于两个不同的点。

形：顶点在ｘ轴上方，且开口向下。或者顶点在ｘ轴下方，且开口向上。

设计意图：渗透解析几何的基本思想

使学生掌握转化思想使学生在解题过程中，感知数学的直观性和形式化这二重性。掌握数形结合，分类讨论的思想方法。逐步学会数学的思维。

转化成代数语言为：

小结：第一种方法，根据解析几何的基本思想。将求曲线的交点问题，转化成求方程组的解的问题。

第二种方法，借助于图象思考问题，比较直观。发现规律后，再用数学的符号语言将其形式化。这既体现了数学中的数形结合的思想方法，也是探索解数学问题的一般方法。

思考：试从数、形两方面说明抛物线与x轴的交点个数与判别 式的符号的关系。

设计意图：数学学习是一个再创造的过程，不能等同于数学知识的汇集，而要让学生经历数学知识的创造过程。使主体积极地参与到学习中去。以数学知识为载体，揭示出蕴涵于其中的数学思想方法，逐步形成数学观念。

⑵m取什么实数时，两交点间距离最短？是多少？

解：设二次函数与x轴的两交点为(x1,0)，(x2,0)

解法㈠ 由⑴可知m为任何实数时， 都有△＞0

解①

∴ x1＋x2=m2－1

x1·x2=－2(m2＋1)

∴│x2－x1│=

=

=

=

=m2＋3

∴当m =0时，两交点最小距离为3

这里两交点间距离是m的函数

设计意图：培养学生的问题意识。在解题过程中，发现问题，并能运用已有的数学知识，将其一般化，形式化，解决问题，体会数学问题解决的一般方法。培养学生独立地获取数学知识的能力。渗透函数思想

问题： 观察本题两交点间距离与判别式的值之间有何异同？具有一般的规律吗？如何说明。

设x1、x2 为ax2+bx+c =0的两根

可以推出：

还可以理解为顶点到x轴距离最短。

设计意图：在对比、分析中，明确概念，揭示知识间的联系，帮助学生建立良好的认知结构。

小结：观察这道题的结论，我们猜测出规律，将其一般化，推导出这个公式，这是学习数学知识的一般方法。

解法㈡：用十字相乘法或求根公式法求根。

思考：一元二次方程与二次函数的关系。

思考：求m取什么实数时，y =x2－（m2－1）x －2 m2－2被直线y =2所截得的线段最短？是多少？

练习：

观察函数 的图象，回答：

（1）y>0时，x的取值范围如何？

（2）y=0时，x取什么值？

（1）y<0时，x的取值范围如何？

小结：数与形是数学中相互依赖的两个方面。图形比较直观，可以启发思路；而数学的严格证明也是必不可少的。直观性和形式化是数学的两重性。

探究活动

探究问题：

欣欣日用品零售商店，从某公司批发部每月按销售合同以批发单价每把8元购进雨伞（数量至少为100把），欣欣商店根据销售记录，这批雨伞以零售单价每把为14元出售时，月销售量为100把，数学教案－二次函数y=ax2+bx+c 的图象，初中数学教案《数学教案－二次函数y=ax2+bx+c 的图象》。如果零售单价每降价元 ， 月销售量就要增加5把。

（1） 欣欣日用品零售商店以零售单价14元出售时，一个月的利润为多少元？

（2） 欣欣日用品零售商店为了扩大销售记录，现实行降价销售，问分别降价元、元、元、元、元、3元时的利润是多少？

（3） 欣欣日用品零售商店实行降价销售后，问降价多少元时利润最大？最大利润为多少元？

（4） 现在该公司的批发部为了再次扩大这种雨伞的销售量，给零售商制定如下优惠措施：如果零售商每月从批发部购进雨伞的数量超过100把，其超过100把的部分每把按原价九五折（即百分之95）付费，但零售价每把不能低于10元。欣欣日用品零售商店应将这种雨伞的零售单价定为每把多少元出售时，才能使这种雨伞的月销售利润最大？最大月销售利润是多少元？（销售利润=销售款额—进货款额）

解：（1）（14—8） （元）

（2）638元、728元、748元、792元、792元、750元。

（3）设降价 元时利润最大，最大利润为 元

=

=

=

∴ 当 时， 有最大值

元

（4）设降价 元时利润最大，利润为 元

（其中 ）。

化简，得 。

，

∴ 当 时， 有最大值。

∴ 。

数学教案－二次函数y=ax2+bx+c 的图象

次函数数学教案【第四篇】

通过学生的讨论，使学生更清楚以下事实：

(1)分解因式与整式的乘法是一种互逆关系；

(2)分解因式的结果要以积的形式表示；

(3)每个因式必须是整式，且每个因式的`次数都必须低于原来的多项式 的次数；

(4)必须分解到每个多项式不能再分解为止。

活动5：应用新知

例题学习：

P166例1、例2(略)

在教师的引导下，学生应用提公因式法共同完成例题。

让学生进一步理解提公因式法进行因式分解。

活动6：课堂练习

练习；

2. 看谁连得准

x2-y2 (x+1)2

9-25 x 2 y(x -y)

x 2+2x+1 (3-5 x)(3+5 x)

xy-y2 (x+y)(x-y)

3.下列哪些变形是因式分解，为什么？

(1)(a+3)(a -3)= a 2-9

(2)a 2-4=( a +2)( a -2)

(3)a 2-b2+1=( a +b)( a -b)+1

(4)2πR+2πr=2π(R+r)

学生自主完成练习。

通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对因式分解意义的理解是否到位，以便教师能及时地进行查缺补漏。

活动7：课堂小结

从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？明白了哪些道理？

学生发言。

通过学生的回顾与反思，强化学生对因式分解意义的理解，进一步清楚地了解分解因式与整式的乘法的互逆关系，加深对类比的数学思想的理解。

活动8：课后作业

课本P170习题的第1、4大题。

学生自主完成

通过作业的巩固对因式分解，特别是提公因式法理解并学会应用。

板书设计(需要一直留在黑板上主板书)

提公因式法 例题

1.因式分解的定义

2.提公因式法