二次根式（汇总4篇）

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次根式教案【第一篇】

一、内容解析

本节教材是在学生学习二次根式概念的基础上，结合二次根式的概念和算术平方根的概念，通过观察、归纳和思考得到二次根式的两个基本性质．

对于二次根式的性质，教材没有直接从算术平方根的意义得到，而是考虑学生的年龄特征，先通过 “探究”栏目中给出四个具体问题，让学生学生根据算术平方根的意义，就具体数字进行分析得出结果，再分析这些结果的共同特征，由特殊到一般地归纳出结论．基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解二次根式的性质．

二、目标和目标解析

1．教学目标

（1）经历探索二次根式的性质的过程，并理解其意义；

（2）会运用二次根式的性质进行二次根式的化简；

（3）了解代数式的概念．

2．目标解析

（1）学生能根据具体数字分析和算术平方根的意义，由特殊到一般地归纳出二次根式的性质，会用符号表述这一性质；

（2）学生能灵活运用二次根式的性质进行二次根式的化简；

（3）学生能从已学过的各种式子中，体会其共同特点，得出代数式的概念．

三、教学问题诊断分析

二次根式的性质是二次根式化简和运算的重要基础．学生根据二次根式的概念和算术平方根的意义，由特殊到一般地得出二次根式的性质后，重在能灵活运用二次根式的性质进行二次根式的化简和解决一些综合性较强的问题．由于学生初次学习二次根式的性质，对二次根式性质的灵活运用存在一定的困难，突破这一难点需要教师精心设计好每一道习题，让学生在练习中进一步掌握二次根式的性质，培养其灵活运用的能力。

本节课的教学难点为：二次根式性质的灵活运用。

四、教学过程设计

1．探究性质1

问题1 你能解释下列式子的`含义吗？

师生活动：教师引导学生说出每一个式子的含义．

设计意图让学生初步感知，这些式子都表示一个非负数的算术平方根的平方。

问题2 根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据。

师生活动 学生独立完成填空后，让学生展示其思维过程，说出得到结论的依据．

设计意图学生通过计算或根据算术平方根的意义得出结论，为归纳二次根式的性质1作铺垫．

问题3 从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？

师生活动：引导学生归纳得出二次根式的性质： （ ≥0）.

设计意图让学生经历从特殊到一般的过程，概括出二次根式的性质1，培养学生抽象概括的能力。

例2 计算

（1）

（2）

师生活动：学生独立完成，集体订正。

设计意图巩固二次根式的性质1，学会灵活运用。

2．探究性质2

问题4 你能解释下列式子的含义吗？

师生活动：教师引导学生说出每一个式子的含义．

设计意图让学生初步感知，这些式子都表示一个数的平方的算术平方根。

问题5 根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据。

师生活动 学生独立完成填空后，让学生展示其思维过程，说出得到结论的依据．

设计意图学生通过计算或根据算术平方根的意义得出结论，为归纳二次根式的性质2作铺垫．

问题6 从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？

师生活动：引导学生归纳得出二次根式的性质： （ ≥0）

设计意图让学生经历从特殊到一般的过程，概括出二次根式的性质2，培养学生抽象概括的能力。

例3 计算

（1）

（2）

师生活动：学生独立完成，集体订正。

设计意图巩固二次根式的性质2，学会灵活运用。

3．归纳代数式的概念

问题7 回顾我们学过的式子，如 ___________ （ ≥0），这些式子有哪些共同特征？

师生活动：学生概括式子的共同特征，得得出代数式的概念。

设计意图学生通过观察式子的共同特征，形成代数式的概念，培养学生的概括能力。

4．综合运用

（1）算一算：

设计意图设计有一定综合性的题目，考查学生的灵活运用的能力，第（2）、（3）、（4）小题要特别注意结果的符号。

（2）想一想： 中， 的取值范围是什么？当 ≥0时， 等于多少？当 时， 又等于多少？

设计意图通过此问题的设计，加深学生对 的理解，开阔学生的视野，训练学生的思维。

（3）谈一谈你对 与 的认识。

设计意图加深学生对二次根式性质的理解。

5．总结反思

（1）你知道了二次根式的哪些性质？

（2）运用二次根式性质进行化简需要注意什么？

（3）请谈谈发现二次根式性质的思考过程？

（4）想一想，到现在为止，你学习了哪几类字母表示数得到的式子？说说你对代数式的认识．

6．布置作业：教科书习题第2，4题。

次根式【第二篇】

一、教学过程 

(一)复习提问

1.什么叫二次根式？

2.下列各式是二次根式，求式子中的字母所满足的条件：

(3)∵x取任何值都有2x2≥0，所以2x2+1＞0，故x的取值为任意实数。

(二)二次根式的简单性质

上节课我们已经学习了二次根式的定义，并了解了第一个简单性质

我们知道，正数a有两个平方根，分别记作零的平方根是零。引导学生总结出，其中，就是一个非负数a的算术平方根。将符号看作开平方求算术平方根的运算，看作将一个数进行平方的运算，而开平方运算和平方运算是互为逆运算，因而有：

这里需要注意的是公式成立的条件是a≥0，提问学生，a可以代表一个代数式吗？

请分析：引导学生答如 时才成立。

时才成立，即a取任意实数时都成立。

我们知道

如果我们把 ，同学们想一想是否就可以把任何一个非负数写成一个数的平方形式了。

例1  计算：

分析：这个例题中的四个小题，主要是运用公式 。其中(2)、(3)、(4)题又运用了整式乘除中学习的积的幂的运算性质。结合第（2）小题中的 ，说明 ，这与带分数 。因此，以后遇到 ，应写成 ，而不宜写成 。

例2  把下列非负数写成一个数的平方的形式：

(1)5；  (2)11；  (3)；  (4)

例3  把下列各式写成平方差的形式，再分解因式：

(1)4x2-1； (2)a4-9；

(3)3a2-10； (4)a4-6a2+9.

解：(1)4x2-1

=(2x)2-12

=(2x+1)(2x-1).

(2)a4-9

=(a2)2-32

=(a2+3)(a2-3)

(3)3a2-10

(4)a4-6a2+32

=(a2)2-6a2+32

=(a2-3)2

(三)小结

1.继续巩固二次根式的定义，及二次根式中被开方数的取值范围问题。

2.关于公式 的应用。

(1)经常用于乘法的运算中。

(2)可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式，解决在实数范围内因式分解等方面的问题。

(四)练习和作业

练习：

1.填空

注意第(4)题需有2m≥0，m≥0，又需有-3m≥0，即m≤0，故m=0.

2.实数a、b在数轴上对应点的位置如下图所示：

分析：通过本题渗透数形结合的思想，进一步巩固二次根式的定义、性质，引导学生分析：由于a＜0，b＞0，且｜a｜＞｜b｜.

3.计算

二、作业

教材习题；A组2、3；B组2.

补充作业 ：

下列各式中的字母满足什么条件时，才能使该式成为二次根式？

分析：要使这些式成为二次根式，只要被开方式是非负数即可，启发学生分析如下：

(1)由-｜a-2b｜≥0，得a-2b≤0，

但根据绝对值的性质，有｜a-2b｜≥0，

∴  ｜a-2b｜=0，即a-2b=0，得a=2b.

(2)由(-m2-1)(m-n)≥0，-(m2+1)(m-n)≥0

∴  (m2+1)(m-n)≤0，又m2+1＞0，

∴  m-n≤0，即m≤n.

说明：本题求解较难些，但基本方法仍是由二次根式中被开方数(式)大于或等于零列出不等式。通过本题培养学生对于较复杂的题的分析问题和解决问题的能力，并且进一步巩固二次根式的概念。

三、板书设计

次根式教案【第三篇】

1.请同学们回忆(≥0，b≥0)是如何得到的？

2.学生观察下面的例子，并计算：

由学生总结上面两个式的关系得：

类似地，请每个同学再举一个例子，然后由这些特殊的例子，得出：

（≥0,b0）

使学生回忆起二次根式乘法的运算方法的推导过程。

类似地，请每个同学再举一个例子，

请学生们思考为什么b的。取值范围变小了？

与学生一起写清解题过程，提醒他们被开方式一定要开尽。

对比二次根式的乘法推导出除法的运算方法

增强学生的自信心，并从一开始就使他们参与到推导过程中来。

对学生进一步强化被开方数的取值范围，以及分母不能为零。

强化学生的解题格式一定要标准。

教学过程设计

问题与情境师生行为设计意图

活动二自我检测

活动三挑战逆向思维

把反过来，就得到

（≥0,b0）

利用它就可以进行二次根式的化简。

例2化简：

（1）

（2）(b≥0).

解：（1）（2）练习2化简：

（1）（2）活动四谈谈你的收获

1．商的算术平方根的性质(注意公式成立的条件)．

2．会利用商的算术平方根的性质进行简单的二次根式的化简．

找四名学生上黑板板演，其余学生在练习本上计算，然后再找学生指出不足。

二次根式的乘法公式可以逆用，那除法公式可以逆用吗？

找学生口述解题过程，教师将过程写在黑板上。

请学生仿照例题自己解决这两道小题，组长检查本组的学习情况。

请学生自己谈收获，并总结本节课的主要内容。

为了更快地发现学生的错误之处，以便纠正。

此处进行简单处理是因为有二次根式的乘法公式的逆用作基础理解并不难。

让学困生在自己做题时有一个参照。

充分发挥组长的作用，尽可能在课堂上将问题解决。

次根式【第四篇】

教学建议

知识结构

.

重难点分析

本节的重点是 的化简。本章自始至终围绕着与计算进行，而 的化简不但涉及到前面学习过的算术平方根、二次根式等概念与二次根式的运算性质，还要牵涉到绝对值以及各种非负数、因式分解等知识，在应用中常常需要对字母进行分类讨论。

本节的难点是正确理解与应用公式

.

这个公式的表达形式对学生来说，比较生疏，而实际运用时，则要牵涉到对字母取值范围的讨论，学生往往容易出现错误。

教法建议

1.性质的引入方法很多，以下2种比较常用：

（1）设计问题引导启发：由设计的问题

1） 、 、 各等于什么？

2） 、 、 各等于什么？

启发、引导学生猜想出

（2）从算术平方根的意义引入。

2.性质的巩固有两个方面需要注意：

（1）注意与性质 进行对比，可出几道类型不同的题进行比较；

（2）学生初次接触这种形式的表示方式，在教学时要注意细分层次加以巩固，如单个数字，单个字母，单项式，可进行因式分解的多项式，等等。

（第1课时）

一、教学目标

1.掌握二次根式的性质

2.能够利用二次根式的性质化简二次根式

3.通过本节的学习渗透分类讨论的数学思想和方法

二、教学设计

对比、归纳、总结

三、重点和难点

1.重点：理解并掌握二次根式的性质

2.难点：理解式子 中的 可以取任意实数，并能根据字母的取值范围正确地化简有关的二次根式。

四、课时安排

1课时

五、教具学具准备

投影仪、胶片、多媒体

六、师生互动活动设计

复习对比，归纳整理，应用提高，以学生活动为主

七、教学过程

一、导入  新课

我们知道，式子 （ ）表示非负数 的算术平方根。

问：式子 的意义是什么？被开方数中的 表示的是什么数？

答：式子 表示非负数 的算术平方根，即 ，且 ，从而 可以取任意实数。

二、新课

计算下列各题，并回答以下问题：

（1） ； （2） ； （3） ；

（4） ； （5） ； （6）

（7） ； （8）

1.各小题中被开方数的幂的底数都是什么数？

2.各小题的结果和相应的被开方数的幂的底数有什么关系？

3.用字母 表示被开方数的幂的底数，将有怎样的结论？并用语言叙述你的结论。

答：

（1） ； （2） ； （3） ；

（4） ； （5） ； （6）

（7） ； （8） .

1.（1），（2），（3）各题中的被开方数的幂的底数都是正数；（4），（5），（6），（7）各题中的被开方数的幂的底数都是负数；（8）题被开方数的幂的底数是0.

2.（1），（2），（3），（8）各题的计算结果和相应的被开方数的幂的底数都分别相等；（4），（5），（6），（7）各题的计算结果和相应的被开方数的幂的底数分别互为相反数。

3.用字母 表示（1），（2），（3），（8）各题中被开方数的幂的底数，有

（ ），

用字母 表示（4），（5），（6），（7）各题中被开方数的幂的底数，有

（ ）.

一个非负数的平方的算术平方根，等于这个非负数本身；一个负数的平方的算术平方根，等于这个负数的相反数。

问：请把上述讨论结论，用一个式子表示。（注意表示条件和结论）

答：

请同学回忆实数的绝对值的代数意义，它和上述二次根式的性质有什么联系？

答：

填空：

1.当 _________时， ；

2.当 时， ，当 时， ；

3.若 ，则 ________；

4.当 时， .

答：

1.当 时， ；

2.当 时， ，

当 时， ；

3.若 ，则 ；

4.当 时， .

例1  化简   （ ）.

分析：可以利用积的算术平方根的性质及二次根式的性质化简。

解  ，因为 ，所以 ，所以

.

指出：在化简和运算过程中，把 先写成 ，再根据已知条件中 的取值范围，确定其结果。

例2  化简   （ ）.

分析：根据二次根式的性质，当 时， .

解   .

例3  化简：（1） （ ）； （2） （ ）.

分析：根据二次根式的性质，当 时， .

解  （1） .

（2） .

注意：（1）题中的被开方数 ，因为 ，所以 .

（2）题中的被开方数 ，因为 ，所以 .

这里 的取值范围，在已知条件中没有直接给出，但可以由已知条件分析而得出。

例4  化简 .

分析：根据二次根式的性质，有

.

所以要比较 与3及1与 的大小以确定 及 的符号，然后再进行化简。

解  因为 ， ，所以

， .

所以

.

三、课堂练习

1.求下列各式的值：

（1） ； （2） .

2.化简：

（1） ； （2） ；

（3） （ ）； （4） （ ）.

3.化简：

（1） ； （2） ；

（3） ； （4） ；

（5） ； （6） （ ）.

答案：

1.（1）； （2） .

2.（1） ； （2） ； （3） ； （4） .

3.（1）4； （2）； （3）； （4）－1； （5）4； （6）－1.

四、小结

1.二次根式 的意义是 ，所以 ，因此 ，其中 可以取任意实数。

2.化简形如 的二次根式，首先可把 写成 的形式，再根据已知条件中字母 的取值范围，确定其结果。

3.在化简中，注意运用题设中的隐含条件，如二次根式 有意义的条件是被开方 ，这是隐含条件。

五、作业

1.化简：

（1） ； （2） ；

（3） （ ）； （4） （ ）；

（5） ； （6） （ ， ）；

（7）   （ ）.

2.化简：

（1） ；

（2） （ ）；

（3） （ ， ）.

答案：

1.（1）－30； （2） ； （3） ；

（4） ； （5） ； （6） ； （7） .

2.（1）2； （2）0； （3） .