平行线分线段成比例定理（优推4篇）

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平行线分线段成比例定理【第一篇】

1.

作底边上的高，构成两个全等的直角三角形，这是用得最多的一种方法；

2.作一腰上的高；

3过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形。

梯形

1.垂直于平行边

2.垂直于下底，延长上底作一腰的平行线

3.平行于两条斜边

4.作两条垂直于下底的垂线

5.延长两条斜边做成一个三角形

菱形

1.

连接两对角

2.

做高

平行四边形

1.垂直于平行边

2. 作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形 3. 做高——形内形外都要注意

矩形

1.

对角线

2.作垂线

很简单。无论什么题目，第一位应该考虑到题目要求，比如AB=AC+BD....这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。还有一些关于平方的考虑勾股，A字形等。

三角形

图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等）。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

解几何题时如何画辅助线？

①见中点引中位线，见中线延长一倍。

在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。

②在比例线段证明中，常作平行线。

作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。

③对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有

1、过上底的两端点向下底作垂线

2、过上底的一个端点作一腰的平行线

3、过上底的一个端点作一对角线的平行线

4、过一腰的中点作另一腰的平行线

5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交

6、作梯形的中位线

7、延长两腰使之相交

四边形

平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形里面作高线，平移一腰试试看。

平行移动对角线，补成三角形常见。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线

一．

添辅助线有二种情况：

1按定义添辅助线：

如证明二直线垂直可延长使它们，相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。

2按基本图形添辅助线：

每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们 把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下：

（1）平行线是个基本图形：

当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线

（2）等腰三角形是个简单的基本图形：

当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。

（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：

出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。

（4）直角三角形斜边上中线基本图形

出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。

（5）三角形中位线基本图形

几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。

（6）全等三角形：

全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线

（8）特殊角直角三角形

当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三边比为1：1：√2；30度角直角三角形三边比为1：2：√3进行证明

二．

基本图形的辅助线的画法

1.三角形问题添加辅助线方法

方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。

方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。

方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。

方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。

2.平行四边形中常用辅助线的添法

平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：

（1）连对角线或平移对角线：

（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形

（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线

（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。

（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。 3.梯形中常用辅助线的添法

梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：（1）在梯形内部平移一腰。（2）梯形外平移一腰（3）梯形内平移两腰（4）延长两腰（5）过梯形上底的两端点向下底作高 （6）平移对角线（7）连接梯形一顶点及一腰的中点。（8）过一腰的中点作另一腰的平行线。（9）作中位线 当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。

作辅助线的方法

一：中点、中位线，延线，平行线。

如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。

二：垂线、分角线，翻转全等连。

如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。

三：边边若相等，旋转做实验。

如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。

四：造角、平、相似，和、差、积、商见。

如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。”

托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）

九：面积找底高，多边变三边。

如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。

如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。

另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即“割补”有二百多种，大多数为“面积找底高，多边变三边”。

初中几何辅助线

一 初中几何常见辅助线口诀

人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。

三角形

图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

线段和差及倍半，延长缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角去。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

四边形

平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形问题巧转换，变为和。

平移腰，移对角，两腰延长作出高。

如果出现腰中点，细心连上中位线。

上述方法不奏效，过腰中点全等造。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，比例中项一大片。

切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。

分析综合方法选，困难再多也会减。

虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

二 由角平分线想到的辅助线

口诀：

图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。

三 由线段和差想到的辅助线

口诀：

线段和差及倍半，延长缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角去。

遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：

1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；

2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。

对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。

一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，

四 由中点想到的辅助线

口诀：

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。

（一）

、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形

（二）

、由中点应想到利用三角形的中位线

（三）

、由中线应想到延长中线

（四）

、直角三角形斜边中线的性质

（五）

、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线

（六）中线延长

口诀：三角形中有中线，延长中线等中线。

题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。

五 全等三角形辅助线

找全等三角形的方法：

（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；

（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；

（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；

（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

三角形中常见辅助线的作法：

①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种：

1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．

2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．

3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．

4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．

六 梯形的辅助线

口诀：

平行线分线段成比例定理【第二篇】

一、概念和定理的学习

在平面几何里要接触大量的概念和定理，这些概念和定理是学习几何的基础，是进行推理论证的依据。

1、概念要注重理解它们的含义，会画其图形，并能用几何语言表达。例如：将一条线段分成两条相等的线段的点，叫作线段的中点。不能满足于记住，而要进一步结合图形用几何语言表达概念的含义。如点A、B、C在同一直线上， AC=BC C是线段AB的中点。反过来，如果C是线段AB的中点，则AC=BC，或者AC=BC= AB，AB=2AC=2BC。由此可得对于线段AC、BC、AB三条线段任知道一条线段，根据上述关系式可得其他线段。

2、定理不能死记硬背，更不能以为自己背过了就会应用。必须分清其条件和结论以及适用的图形，否则会使理由说的不充分，证得的结论不可信。例如：对角线相等的平行四边形是矩形。条件有二；（1）对角线相等（2）平行四边形（即对角线互相平分）这样才能得到矩形结论，两个条件缺一不可。若分不清就会造成“顺次连结某四边形各边中点得到的四边形是菱形，则原四边形是矩形”的错误。应是对角线相等的四边形，包括矩形，但不一定是矩形。

二、例题和练习题的学习

通过例题和练习题的学习，不仅能加深对概念、定义、定理、公式和法则等基础知识的理解，加强解题技巧的培养，而且在提高分析问题、解决问题的能力，开发智力等方面能发挥独特的效应。有些同学“课堂上听得懂，一做作业就头疼”的毛病，就是对例题和练习题处理不当，每一个数学题目就像一个完整的机器，有许多个小零件组成，哪一个部位有问题都很难达到目的。例题起了个导航的作用。在教师讲例题前，我们应充分思考自己动脑动手，自己寻找突破口，然后听教师讲解，进行对比比较，概括归纳，在此基础上总结出归律。对于练习题，我们不能满足于会做某个题，而应达到一题多解，举一反三，触类旁通的程度。

三、证题方法的学习

我们跟老师学习的是方法，而不是学会某个题，几何证题关键是分析。不会分析就不会证题，几何证题的分析思路可分两条。

一条是分析法。即根据已知或题设推到结论，不过几何题目一步就能推出的很少，由条件引发联想，有时会有几个中间结果。

已知中的条件不只一个时，常从其中一个条件联想，对每一个中间结果随时联想，直到结论，把这个过程写出来就是证明。

另一条是综合法。从结论入手，寻找结论成立须具备的条件，已知中已有时，这样的题不多，也简单。若没有把这些条件作为结论，继续倒着推上去，最后与已知条件一致时即可。不过注意有些题目需要两头凑。

四、学习后的总结

数学题目浩如烟海，千变万化，要想把所有的数学题目学完这是不现实的。这就要求我们在学习中要由例及类，由此及彼，由点及面。要做到这一点最好的办法就是归纳总结。

1、常见辅助线的总结：平面几何难学其中难点之一就是辅助线的添加。辅助线是沟通命题中已知和求证结论的桥梁，因此添加辅助线是几何证明的重要手段。困难在于千变万化，方法千差万别，但也有一定的规律可循。正确添加的大致条件有二，一要充分审题，搞透题意。二要熟练掌握基本定理几基本图形的性质。如圆中一些常见辅助线。

① 见弦作弦心距，应用垂径定理。

② 见直径连圆周角得直角。

③ 见切点连圆心得垂直。

④ 见切线作过切点的弦得弦切角。

⑤ 两圆相切作公切线或连心线。

⑥ 两圆相交连公共弦或连心线。

2、基本图形的总结：所为基本图形，是指反映概念和定理的图形，在做题中它有两个作用。一是可帮助我们很快地找到解题途径。二是帮助我们很快找到要添加的辅助线。如相似三角形中常见的图形有（1）“8”字型（包括平行型和非平行型）（2）“A”字型（包括平行型和非平行型）（3）“子母型”。 再如直角三角形斜边上的高的基本图形中需要记住的结论很多。除直角相等外还有两组相等的角，还有互余的角，任意两个直角三角形都相似，射影定理，两直角边的积等于斜边和斜边上的高的积等等。我们在做题时要善于从复杂的图形中分解出基本图形，抓住本质，排除赶扰。

平行线分线段成比例定理【第三篇】

我们在初中数学教学中经常会碰到一些条件比较分散的几何综合题，这时候我们就应该采取一些方法把这些条件集中起来，常用的方法就是图形变换，即平移、旋转、对称、相似变换、等积变形等，添加辅助线是图形变换的具体表现。下面我们通过一些例子，重点谈谈平移法、旋转法、对称法这几种变换方法在几何证明题中的具体运用。

一、平移法

平移法就是把某个图形沿着一定的方向从一个位置平移到另一个位置的方法。平移法的依据是利用“平行四边形的性质”和“中位线定理”，平移法在梯形的有关计算和证明中表现得较为充分，如过一点作腰的平行线、构造平行四边形和三角形、把腰平移到同一个三角形中、把两底平移到同一条直线上等。

例l 如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B+∠C=90°，E、F分别是AD、BC的中点。求证：EF=1/2（BC-AD）。

探求：由结论中的BC-AD是两底的差，想办法把AD移到BC上，考虑到E是AD的中点，故过E分别作EM∥AB，EN∥DC，交BC分别于M、N，则MN=BC-AD。再结合平行线的性质和直角三角形的性质，问题得证。

二、旋转法

旋转法就是把某个图形绕着一定的点进行旋转，从一个位置旋转到另一个位置。在正方形中，旋转法使用较多，圆中的四点共圆也可以把一个角旋转到所需要的位置上。

例2 如图2，已知点P是正方形ABCD内一点，PA∶PB∶PC=1∶2∶3，求∠APB的度数。

探求：已知条件非常简单，学生如果没有学习旋转法或对旋转法比较生疏的话，一下子很难求解。我们要想办法把已知条件集中起来，如正方形是旋转图形、三条线段的比以及直角三角形的性质（勾股定理）等。具体方法：把BAP绕B点按顺时针旋转900，转到BCE处，故有∠APB=∠CEB、BP=BE、AP=CE，同时设PA=x、PB=2x、PC=3x，可求出PE=2，最后利用勾股定理的逆定理可以得到答案。

例3 如图3，以RtABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形CE和正方形BF，且CDAB于D，求证：（AF+AD）2=EF2-

CD2 。

探求：从结论上看，AF、AD接成一条线段，又都是平方的形式，由此想到勾股定理，故延长FA至D'，使AD'=AD，再证AED'≌ACD，从而得证。实际上也可以看做是把ACD绕点A按顺时针旋转900到ACD处。

三、对称法

对称法就是把某个图形以定直线为轴对折到对称的位置上的方法，常常以角平分线、线段的中垂线为轴。

例4 如图4，已知AD是ABC

的角平分线，

且AC

求证：CD

探求：在AB上取AE=AC，连结DE，显然有ACD≌AED。也就是把ACD翻折到AED位置上，可得∠BED=∠FCD>∠B，获证。

四、截长补短法

截长补短法是初中数学几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系。具体说就是把a=b+c转化为b=a-c或反过来使用，寻求问题的解决方法。截长补短法是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想。

五、加倍折半法

加倍折半法具体地说就是把a=2b转化为b=1/2 a或反过来运用。在证明角的2倍或1/2以及线段的2倍或1/2中运用较多所作的辅助线一般是角的平分线或取线段的中点。

六、截取、延长法

截取法、延长法就是在证明线段或角不等关系时，在长线段上取一段等于短线段或把短线段延长等于长线段，构成全等三角形，将要比较的量转化到可以比较的同一个三角形中。前面讲的例4也可以采用这种方法，即延长AC至F，使AF=AB，连结DF，再证明ABD≌AFD，所以BD=DF，在DFC中进行比较，可以得证。

七、相似变换法

就是利用相似比改变图形的大小而不改变其形状的方法。利用相似三角形的性质可以解决有关平行、比例和面积等问题。另外还有等积变形法，就是不改变图形的面积只改变图形的形状的方法，利用“同底等高的三角形面积不变”的定理解决问题。在此不再举例。

关于“平行线分线段对应成比例”的证明【第四篇】

关键词：平行线；面积；成比例

中图分类号：G648 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2017）02-0144-01

正文：人教版九年级下在讲解平行线分线段对应成比例定理部分用的是度量法，此方法对于线段为整数时，容易测量出，但对于线段不为整数，特别是无理数时，不便测量，而且度量有时可能会有误差。本文用面积法来证明其结论。

（一）预备知识：比例性质

已知ba=dc可得性质①b+aa=d+cc，性质②b-aa=d-cc，性质③b+da+c=ba=dc。

（二）命题1：如图1，在RtABC中，∠C=90°，DE∥BC，求证：ADAB=AEAC=DEBC。

证明：用面积法证明，连接DC，BE，如图2.由DE∥BC，BDE和BCE等底等高因而SVBDE=SVDCE，tSVABE=SVADC。过点E作EFAB于F。

由面积公式可得12・AB・EF=12・DE・AC，即EFDE=ACAB⑴

且SVADE=12・AD・EF=12・AE・DE，即EFDE=AEAD⑵

由⑴⑵可得ACAB=AEAD，即ACAE=ABAD，由比例性质②，可得AC-AEAE=AB-ADAD即ECAE=BDAD，也有ECAC=BDAB.过D点作DGBC于G，四边形DGCE为矩形，因而DE=GC，由于DG∥AC，由前面的证明可得GCBC=ADAB，因而有DEBC=ADAB，综上可得ADAB=AEAC=DEBC。

（三）命题2：如图3，在ABD中，EF∥BD，交AB于E，交AD于F，求证：AEAB=AFAD=EFBD。

证明：过A点作ACBD于点D，交EF于点G，如图4，

由命题1可得，在RtABC中，AEAB=EGBC=AGAC，在RtACD中，AFAD=GFCD=AGAC，因而有AEAB=AFAD=EGBC=GFCD，对后面两个式子运用比例性质③可得EGBC=GFCD=EG+GFBC+CD=EFBD，因而有AEAB=AFAD=EFBD。

（四）命题3：如图5，任意两条直线11，12，与另外三条平行直线13，14，15，求证：AEAB=GHGI。

证明：过A点做AD平行于GI交14于F，交15于D，如图6.由于AG∥DI，AD∥GI，因而四边形ADIG是平行四边形，故AD=GI，同理可得在YAFHG中有AF=GH，由命题2可得，AEAB=AFAD，等量代换可得AEAB=GHGI。命题得证。

再由比例性质可得另外的两个结论：AEBE=GHHI，BEAB=HIGI。

参考文献：

[1] 谢贤忠。引导学生知其所以然 . 初中数学教与学，2015，3

[2] 谢裕宏。重视教材"探究活动"，专业自主增设课时。 中学数学，2015，4