证明相似【实用4篇】

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相似教案【第一篇】

相似

1．成比例线段

用同一长度单位度量两条线段所得量数的比叫做这两条线段的比．

如果线段a和b的比等于线段c和d的比，那么线段a，b，c，d叫做成比例线段，记作ac或a∶b＝c∶d，其中a，c叫做比的前项，b，d叫做比的后项，b，c叫做比例内bd若项，a，d叫做比例外项，d叫做a，b，c的

(3)相似三角形的对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；(4)相似三角形周长比等于相似比；

(5)相似三角形面积的比等于相似比的平方． 6．相似多边形的性质

(1)相似多边形的对应角相等；

(2)相似多边形对应边的比等于相似比；(3)相似多边形周长的比等于相似比；

(4)相似多边形面积的比等于相似比的平方． 7．直角三角形中的成比例线段

如图13－1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，则(1)△ADC∽△ACB∽△CDB(可拆成三对相似三角形)；

图13－1(2)CD2＝AD·DB；(注：用时要证明)(3)AC2＝AD·AB，BC2＝BD·BA；(注：用时要证明)(4)CD·AB＝AC·BC．(注：用时要证明)8．位似

(1)如果两个多边形相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这两个多边形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．

(2)如果两图形F与F′是位似图形，它们的位似中心是点O，相似比为k，那么

①设A与A′是一对对应点，则直线AA′过位似中心O点，并且②设A与A′，B与B′是任意两对对应点，则

OA'ABk若直线AB，A′B′不通过位AB似中心O，则AB∥A′B′．

(3)利用位似，可以将一个图形放大或缩小．

(4)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k． ．．．．9．相似图形的应用

二、例题分析

例

1已知：如图13－2，点P是边长为4的正方形ABCD内一点，PB＝3，BF⊥BP于点B，试在射线BF上找一点M，使得以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，作图并指出相似比k的值．

图13－2

分析

由已知，∠ABP＝∠CBF．欲使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，只要使夹∠ABP及∠CBF的两边对应成比例．

解

如图13－3．

图13－3 ∵AB⊥BC，PB⊥BF，∴∠ABP＝∠CBF．

BM14BM1BC，即，BM1＝3时，△CBM1∽△ABP．相似比k＝1． 3BPAB44BM2BCBM2416当即,BM2时，△CBM2∽△PBA．相似比k 4ABBP33316∴当BM＝3或BM时，以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，相似比分

3当4别为1和

3说明

(1)对于探究三角形相似的条件这类问题，可从“角的关系在先、边的关系在后”的思维顺序入手，由于题目条件中只有一组对应角相等，因此就考虑这组对应角的四条线段何时对应成比例，由于点C可以与点A对应(此时点M与点P对应)，点C也可以与点P对应(此时点M与点A对应)，因此有两种情形．

(2)注意当相似比k＝1时，两个相似图形全等，因此，全等图形是相似图形的特例． 例

2已知：如图13－4，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q

图13－4

(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1的除外)；(2)求BP∶PQ∶QR的值．

解

(1)△BCP∽△BER，△PCQ∽△RDQ，△PCQ∽△PAB，△PAB∽△RDQ．(2)∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，∴BC＝AD＝CE，AC∥DE．

PBPR,PC1 RE2又∵PC∥DR，∴△PCQ∽△RDQ． ∵点R是DE中点，∴DR＝RE．

PQPCPC1,∴QR＝2PQ． QRDRRE2又∵BP＝PR＝PQ＋QR＝3PQ，∴BP∶PQ∶QR＝3∶1∶2． 说明

(1)如图13－5，“若DE∥BC，则△ADE∽△ABC”．这是用平行线截得三角形构成相似三角形，得到成比例线段常见的基本图形结构．

图13－5(2)对于例2，还可进一步思考研究其他问题，例如，在已知条件不变的前提下，若△PCQ的面积为S，你能用含S的代数式分别表示图13－4中其他各图形的面积吗？并说明你的理由．

(1)△BPC的面积＝______．理由是__________________________________________；(2)△ABP的面积＝______．理由是__________________________________________；(3)四边形PCER的面积＝______．理由是____________________________________；(4)四边形APRD的面积＝______．理由是____________________________________； „„

例3 如图13－6，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝60°，P为下底BC上一点(不与B，C重合)，连接AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE＝∠B．

图13－6(1)你认为图中哪两个三角形相似，为什么？(2)当点P在底边BC上自点B向C移动的过程中，是否存在一点P，使得DE∶EC＝5∶3?如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由．

解

(1)△ABP∽△PCE．其理由是除∠B＝∠C外，由于∠APE＝∠B＝60°，∠APC＝∠B＋∠BAP＝∠APE＋∠CPE，∴∠BAP＝∠CPE．由“两角对应相等，两三角形相似”可得△ABP∽△PCE．

BCAD2，腰长AB＝CD＝2CF＝4，这样原2问题转化为在底边BC上是否存在一点P，使得CE＝．(2)作DF⊥BC于F，由已知可得CF＝假设存在P点，使CE＝，由△ABP∽△PCE，得

BPAB，可得BP·PC＝AB·CECEPC＝6．

设BP＝x，∵BC＝BP＋PC＝7，∴PC＝7－x．

∴x(7－x)＝6，即x2－7x＋6＝0． 解得x1＝1，x2＝6．

答

当BP＝1或BP＝6时，使得DE∶EC＝5∶3．

例4 如图13－7，正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．

图13－7(1)求证：Rt△ABM∽Rt△MCN；

(2)设BM＝x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；

(3)当M点运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN，并求x的值． 解

(1)在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝4，∠B＝∠C＝90°． ∵AM⊥MN，∴∠AMN＝90°．

∴

∠CMN＋∠AMB＝90°．

在Rt△ABM中，∠MAB＋∠AMB＝90°，∴∠MAB＝∠CMN． ∴Rt△ABM∽Rt△MCN．(2)∵Rt△ABM∽Rt△MCN，ABBM4x，即

MCCN4xCNx24xCN

4yS梯形ABCN1x24x4(4)2411x22x8(x2)2当x＝2时，y取最大值，最大值为10．(3)∵∠B＝∠AMN＝90°，∴要使△ABM∽△AMN，只需由(1)知

AMAB MNBMAMAB MNMC∴BM＝MC．

∴当点M运动到BC的中点时，△ABM∽△AMN，此时x＝2．

例5 如图13－8，在正方形ABCD中，AD＝12，点E是边CD上的动点(点E不与端点C，D重合)，AE的垂直平分线FP分别交AD，AE，BC于点F，H，G，交AB的延长线于点P．

图13－8

(1)设DE＝m(0＜m＜12)，试用含m的代数式表示(2)在(1)的条件下，当

FH的值； HGFH1时，求BP的长． HG2解

(1)如图13－9，过点H作MN∥AB，分别交AD，BC于M，N点．在正方形ABCD中，图13－9

∵AD∥BC，∴△FMH∽△GNH．

FHMH HGHN∵FH垂直平分AF，∴在△ADE中，H是AE的中点． 又∵MH∥DE，∴M是AD的中点． 11DE由已知，不难得出四边形ABNM是矩形． ∴MN＝AB＝AD＝12． MHHN12,1HGHN24m12m2其中0＜m＜12．

FH1m1时，，解得m＝8． HG224m2欲求BP的长，只要求AP的长．

在Rt△ADE中，∵AD＝12，DE＝8，2 AE413,AH213,sinEAD13(2)当∵FP⊥AE于点H，∠DAP＝90°，∴∠P＝∠EAD．

AH13, sinP∴BP＝AP－AB＝13－12＝1．

说明

(1)在解

(2)在解

图13－12

∵∠FDE＋∠4＝90°，∴∠FDE＝∠1．∴△DEF∽△HGM．

DEEF HGGM而EF＝b－a，DE＝a，HG＝b－c，GM＝c，即aba,得ac＝(b－a)(b－c)． bcc整理可知b(a＋c)＝b2，而b≠0，∴a＋c＝b．

例8(2008哈尔滨市)已知菱形ABCD的边长是6，点E在直线AD上，DE＝3，连接BE，与对角线AC相交于点M，则解

MC的值是______． AM2 3提示

注意题中给出的“点E在直线AD上”这个条件，因此有两种情况．

MCBC2；(2)AMAEMCBC2 点E在AD的延长线上时，如图13－13(b)，△CMB∽△AME，AMAE3(1)点E在线段AD上时，如图13－13(a)，△CBM∽△AEM．

图13－13

四、课标考试达标题(一)选择题

1．如图13－14，AB∥CD，AE∥FD，AE，FD分别交BC于点G，H，则图中共有相似三角形（）．

图13－14 A．4对

B．5对 C．6对

D．7对

2．如图13－15所示，小刚身高AB为，测得他站立在阳光下的影子AC长为，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子AD长为，那么小刚举起的手臂BE超出头顶

（）．

图13－15 A． B． C． D． 3．如图13－16，在△ABC中，AB＞AC，过AC边上一点D作直线与AB相交，使得构成的新三角形与△ABC相似，这样的直线共有（）．

图13－16 A．1条

B．2条 C．3条

D．4条

4．如图13－17，王华同学晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，他继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是米，那么路灯A的高度AB等于（）．

图13－17 A．米

B．6米 C．米

D．8米

5．如图13－18，在8×8正方形的网格上，若使△ABC∽△PBD，则点P应在（）．

图13－18 A．P1处

B．P2处 C．P3处

D．P4处

6．如图13－19，把△PQR沿着PQ的方向平移到△P′Q′R′的位置，它们重叠部分的面积是△PQR面积的一半，若PQ＝2，则此三角形移动的距离PP′是（）．

图13－19 A．1 2B．

C．1

D．21

(二)填空题

7．已知：如图13－20，在△ABC中，AD∶DB＝1∶2，DE∥BC交AC于E，若△ABC的面积等于81，则四边形BCED的面积为______．

图13－20 8．如图13－21，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，点G，H在DC边上，BC＝12，GH1DC.若AB＝10，则图中阴影部分的面积为______． 2

图13－21 9．如图13－22，△ABC与△A′B′C′的位似中心为点O，若AB＝2，A′B′＝5，则△ABC与△A′B′C′的面积比是______，AC与A′C′的比是______．

图13－22 10．如图13－23，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作

11．如图13－24，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE并延长交BC的延长线于点F，连接DC，BE．若∠BDE＋∠BCE＝180°，写出图中三对相似三角形(注意：不得加字母和线)；请在你所找出的相似三角形中选取一对，说明它们相似的理由．

图13－24

12．如图13－25，在□ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE．F为AE上一点，且∠BFE＝∠C．

图13－25(1)求证：△ABF∽△EAD；

(2)若AB＝4，∠BAE＝30°，求AE的长；

(3)在(1)、(2)的条件下，若AD＝3，求BF的长．(计算结果可含根号)

13．如图13－26，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．

图13－26(1)求梯形ABCD的面积；

(2)求四边形MEFN面积的最大值；

(3)试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，写出正方形MEFN的面积．

参考答案

相似三角形的六大证明技巧【第二篇】

实用标准文档

第 2 讲

模块一

相似三角形 6 大证明技巧

相似三角形证明方法

相似三角形的判定方法总结：

1.平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 2.三边成比例的两个三角形相似。（SSS）3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。(SAS)4.两角分别相等的两个三角形相似。(AA)

5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL)相似三角形的模型方法总结： “反 A”型与“反 X”型。示意图

A

E

结论

反 A型：

如图，已知△ ABC，∠ ADE =∠ C，则△ ADE ∽

C

D B

△ ACB（AA），∴ AE·AC=AD ·AB.若连 CD、BE，进而能证明△ ACD ∽△ ABE(SAS)

B

A

O

D

“类射影”与射影模型

示意图

A

D C

B C

反X型：

如图，已知角∠ BAO=∠ CDO，则△ AOB∽△ DOC

（AA），∴ OA·OC=OD ·OB.若连 AD，BC，进而能证明△ AOD∽△ BOC.结论

类射影：

如图，已知△ ABC，∠ ABD =∠ C，则△ ABD ∽ △ ACB（AA），∴ AB2 =AD ·

射影定理

如图，已知∠ ACB=90°，CH⊥ AB 于 H，则

A

H

B

AC 2 AH AB,BC 2 BH BA,HC 2

HA HB

精彩文案

“旋转相似”与“一线三等角”

示意图

结论

旋转相似：

E

如图，已知△ ABC∽△ ADE，则

A

AB

B

D

AC

AD，AE

∠ BAC =∠DAE，∴∠ BAD =∠CAE，C

∴△ BAD∽△ CAE（SAS）

D

E

一线三等角：

如图，已知∠ A=∠ C=∠DBE，则△ DAB ∽△ BCE（AA）

A

B

C

巩固练习

反 A型与反 X型

已知 △ ABC 中，∠ AEF= ∠ ACB，求证：（1）AE AB EBO= ∠ FCO（3）∠ OEF=∠ OBC，∠ OFE=∠ OCB

AF AC（2）∠ BEO= ∠ CFO，∠

A

E

F

O

B

C

类射影

如图，已知 AB

AC AD，求证：

BD

BC

AB AC

A

D

C

B

射影定理

已知△ ABC，∠ ACB=90°，CH⊥ AB 于 H，求证： AC 2 AH AB，BC 2 BH BA，HC2 HA HB

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模块二

比例式的证明方法

通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开 “平行线模型”（A 型，X 型，线束型），也离不开上述的 6 种“相似模型”。但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题。合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。

在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧

.技巧一：三点定型法

技巧二：等线段代换

技巧三：等比代换

技巧四：等积代换

技巧五：证等量先证等比

技巧六：几何计算

技巧一：三点定型

例 1 如图，平行四边形

．

DC CF

AE AD

ABCD 中，E 是 AB 延长线上的一点，DE交BC于F，求证：

D

C F

B

E

A

90，M为BC的中点，DM 例 2 如图，△ ABC 中，BAC

BC 交 CA 的延长线于

D，交 AB于 E．求证： AM

2MD ME

D

A

E

B

M

C

例 3

如图，在 Rt △ ABC 中，AD 是斜边 BC 上的高，交AD于F．求证：

BF

ABC 的平分线 BE交 AC 于E，AB ． BC

BE

A

E

F

B

D

C

精彩文案

技巧二：等线段代换

悄悄地替换比例式中的某条线段⋯ 例 4

如图，在 △ ABC，AD 平分∠ BAC，AD 的垂直平分线交 AD 于 E，交 BC 的延长线于

例 5

例 6 7

例

F，求证： FD 2 FB FC

A

E

B

D C

F

如图，四边形

ABCD

是平行四边形，点CE

E在边 BA的延长线上，交 AD 于 F，ECAD

．求证： AC BE CE AD ．

D

C

F

E

A B

如图，△ ACB 为等腰直角三角形，AB=AC，∠ BAC=90°，∠ DAE=45°，求证：

AB

BE CD

A

B

D

E

C

△ ABC 如图，AD 上一点，过C

中，AB AC，AD 是中线，P 是CF∥AB

作，延长 BP交 AC 于 E，交 CF 于 F ．求证： BPPE PF．

A

F

E

P

B

D

C

实用标准文档

技巧三：等比代换

例 8

如图，平行四边形 于 F，求证： OB

ABCD 中，过 B 作直线 AC、AD 于 O，E、交 CD 的延长线

OE OF ．

例 9

例 10精彩文案

F AE

D

O

B

C

如图，在 △ ABC 中，已知 A 90时，AD BC 于 D，E 为直角边 AC 的中点，过 D、E 作直线交 AB 的延长线于 F ．求证： AB AF

AC DF．

A

E

B

D

C

F

如图，在 △ ABC 中（AB ＞ AC）的边 AB 上取一点 D，在边 AC 上取一点 E，使AD AE，直线 DE 和 BC 的延长线交于点 P ．求证： BP CE

CP BD

A

D

B

E

C

P

技巧四：等积代换

例 11 如图，△ ABC 中，BD、CE 是高，EH

BC 于 H、交 BD于 G、交 CA 的延长

例 12

例 13

例 14线于 M ．求证： HE

2HG MH ．

M

A

E

D

G

B

H

C

如图，在 △ ABC 中，AD

BC于D，DE

AB于E，DF

AC于F，连 EF，求证：∠ AEF=∠ C

A

E

F

B

D

C

如图，在 △ ABC 中，BAC

90，D为AC中点，AE

BD，E 为垂足，求证：

CBDECD ．

A

D

E

C

B

在 Rt△ABC 中，AD⊥ BC，P 为 AD 中点，MN⊥ BC，求证 MN

2AN NC

A

N

P

B

D M

C

实用标准文档

技巧五：证等量先证等比

例 15 已知，平行四边形 ABCD 中，E、F 分别在直线

分别交 AC 于 M、N.，求证： AM=、CD 上，EF//AC，BE、BF

A

E

M

F

N

D

B

C

例 16 已知如图 AB=AC，BD //AC，AB//CE，过 A 点的直线分别交

证： AM=NC，MN //、CE 于 D、E.求

E

A

D

N

M

B

C

例 17 如图，△ ABC 为等腰直角三角形，点 P 为 AB 上任意一点，PF ⊥ BC，PE⊥ AC，AF 交 PE 于 N，BE 交 PF 于 M.，求证： PM =PN，MN//

E

N P

M

C

F

B

精彩文案

例 18 如图，正方形 BFDE 内接于△ ABC，CE 与 DF 交于点 N，AF 交 ED 于点 M，CE

19与 AF 交于点 P.求证：（1）MN//AC；（2）EM =

M

D E

P

N

B

C

F

（※）设 E、F 分别为 AC、AB 的中点，D 为 BC 上一点，P 在 BF 上，DP //CF，Q 在 CE 上，DQ//BE，PQ 交 BE 于 R CF

RS，交

于，求证：

S

PQ

A

F

EG

Q

R

PS

C

B D

例

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作 MK //BD，MN//AC，例 20（※）如图，梯形 ABCD 的底边 AB 上任取一点 M，过分M

别交 AD、BC 于 K、N，连 KN，分别交对角线 AC、BD 于 P、Q，求证： KP=

C

O

Q

P

K

R

A

M

N

S

B

技巧六：几何计算

例 21（2016 年四月调考）如图，在△

ABC 中，AC＞ AB，AD 是角平分线，AE 是中线，BF⊥ AD 于 G，交 AC 于点 M，EG 的延长线交 AB 于点 H.（1）求证： AH =BH，（2）若∠ BAC=60 °，求

FG的值。DG

A

H

M

F G D

E

B

C

精彩文案

例 22（2016 七一华源）如图：正方形

ABCD 中，点 E、点 F、点 G 分别在边 BC、AB、CD 上，∠ 1＝∠ 2＝∠ 3＝ α.求证：（1）EF ＋EG＝ AE（2）求证： CE＋ CG＝ AF

相似复习教案【第三篇】

相似复习教案

教学目标：

知识与技能目标：

1.加深了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段，认识图形的相似、位似等概念和性质； 2.理解相似图形的性质与判定、位似的性质与把一个图形放大或缩小，在同一坐标系下感受位似变换后点的坐标的变化规律。过程与方法目标：1.经历知识探究的过程，使学生将实际问题转化为相似三角形这一数学模型，达到熟练、灵活运用；在解决实际问题的过程中，提高学生建立数学模型的能力。2.经历对图形的观察、探究、交流、归纳的的过程，提高同学们的画图能力和对图形的感知意识．

情感态度与价值观：在教学活动中发展学生的转化意识和探究合作交流的习惯；更进一步地体会相似三角形的实际应用价值；让学生深刻地体会到数学来源于生活，又应用到生活中， 增加学生应用数学知识解决实际问题的经验和感受；提高学生对图形的感知水平，发展学生的审美意识． 教学重点：利用相似三角形性质和判定的知识解决实际的问题；位似的应用及在平面直角坐标系中作位似图形

教学难点：如何把实际问题抽象为相似三角形、位似形这一数学模型。教学过程：

一、教师引入本节课课题，学生自主复习，然后小组内自主交流总结知识点。教师深入学生中查看完成的情况．记录下所出现的问题，以便集中处理．找学生展示学习成果．

教师给与点评和分析，同时就刚才检查过程中发现的问题处理好，就本单元所用知识一并总结．

根据学生的复习情况，师生共同总结本章重要知识点并多媒体展示。

二、衔接中考，强调重要知识点一，即对应角相等，对应边成比例。

知识点一：

并提出例题，及时强化。给予学生充分的思考时间。学生自主思考，完成练习。

练习：如图，四边形ABCD和EFGH相似，求∠ D、∠G的大小和EH的长度。

知识点二：相似三角形的性质和判定

多媒体出示重要知识点，给予学生充分地时间，把自己整理的知识点有遗漏的补充完整。对于5号6号学生给予时间对其进行强化记忆。

多媒体出示相似三角形性质和判定的中考题，学生自主思考，小组讨论，教师行间巡视，及时解决问题，及时了解学生的出错点和难点。

教师提出问题，学生开始解答． 对于问题6，学习小组可展开讨论，最后小组推举出代表叙述解答本题的思路．

教师听取后，及时地补充、完善、鼓励，最后给出题目的详细讲解．

教师出示，点拨解决思路，学生书写解题的过程，并总结解决此题所用到的知识点有哪些。知识点三：位似

1、两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的相似叫做位似，点O叫做位似中心．

2、利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小 位似变换中对应点的坐标变化规律： 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k.知识点出示后，及时出示中考题进行练习。

教师出示例题，学生尝试独立完成；教师展示个别同学的成果

三、课堂小结：这节课你学会了什么？你的收获是什么？

四、达标检测：

2.如图，矩形ABCD中，m为BC上一点。DE⊥Am于E，若AB=6，AD=20，Bm=8，求DE的长．

3.（2015德州）

如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，求证：AD•BC=AP•BP．

（2）探究

如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．（3）应用 请利用（1）（2）获得的经验解决问题：

如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出了，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A，设点P的运动时间 为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切时，求t的值．

当堂达标在课堂上要及时进行反馈，尤其第三题是2015德州中考题，很具有代表性，学生自主思考，小组合作后，学生如有困难，教师可给予思路的引导和适当的帮助，此题需要做出重点讲解。

五、作业布置 作业布置：

必做题：导训52页：

1、8题

53页14题

选做题：

57页16题

学生认真完成作业，进一步巩固知识．

几何证明选讲第一讲：相似三角形【第四篇】

几何证明选讲

>知识框图

第一讲 相似三角形的判定及有关性质

一．考纲要求

掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理。

二．知识梳理

1.平行线等分线段定理

平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。

推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。

2.平分线分线段成比例定理

平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

3.相似三角形的判定及性质

(1)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。

判定定理1：两角对应相等，两三角形相似。AA

判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。SAS

判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。SSS

(2)直角三角形相似的判定：

引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；

（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。

定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比

1例，那么这两个直角三角形相似。

(3)相似三角形的性质：

相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比； 相似三角形周长的比等于相似比；

相似三角形面积的比等于相似比的平方。

相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。4.直角三角形的射影定理 射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。三．诊断练习

1．如图1，ΔABC中，∠1=∠B，则Δ∽Δ．此时若AD=3，BD=2，则AC=． 2.如图2，CD是RtΔABC的斜边上的高．

（1）若AD=9，CD=6，则BD=；（2）若AB=25，BC=15，则BD=．

┐

D

B

C图1 图

23．两个三角形相似，它们的周长分别是12和18，周长较小的三角形的最短边长为3，则另

一个三角形的最短边长为． 4.在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且AE：EB=1：2，DE与AC交于点F，B 若△AEF的面积为6cm2，则△ABC的面积为cm2． E

5.如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE交BC

DBF

于F，则=.FCF四．范例导析

1.如图，△ABC中，AB＝AC，AD是边BC的中线，P是AD上一点，CF//AB，BP的延长线分别交AC、CF于点E、F，求证：BP2＝PE·PF

D

C

2．在ABC中，CDAB于D，DEAC于E，DFBC于F,求证：CEF∽CBA

五．练习巩固

1.（2011安徽）如图4，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=,F分别为

B

AD，BC上点，且EF=3，EF∥AB，则梯形ABCD与梯形EFCD的面积比为

2.(2011年高考陕西卷理科15)（几何证明选做题）如图BD,AEBC,ACD90,且AB6,AC4,AD12,则BE0

3.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，ABb,CDa,E为AD边上的任意一点，EF

∥AB，且EF交BC于点F，某学生在研究这一问题时，发现如下事实：

DEAEDEAEDE

1时，有EF2时，有EF3时，有EF

ab2a2b3a3b

①当②当③当

； ； ．

4AE

DE当k时，参照上述研究结论，请你猜想用k表示EF的一般结论是____.AE

4.已知：

AD垂直于BC交于D，AB-BD=AC-CD求证：三角形ABC为等腰三角形