流体力学的课件实用4篇
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流体力学课件1
一、流体的基本特征
1.物质的三态
在地球上，物质存在的主要形式有：固体、液体和气体。
流体和固体的区别：从力学分析的意义上看，在于它们对外力抵抗的能力不同。
固体：既能承受压力，也能承受拉力与抵抗拉伸变形。
流体：只能承受压力，一般不能承受拉力与抵抗拉伸变形。
液体和气体的区别：气体易于压缩；而液体难于压缩；液体有一定的体积，存在一个自由液面；气体能充满任意形状的容器，无一定的体积，不存在自由液面。
液体和气体的共同点：两者均具有易流动性，即在任何微小切应力作用下都会发生变形或流动，故二者统称为流体。
2. 流体的连续介质模型
微观：流体是由大量做无规则运动的分子组成的，分子之间存在空隙，但在标准状况下，1cm3液体中含有×1022个左右的分子，相邻分子间的距离约为×10-8cm。1cm3气体中含有×1019个左右的分子，相邻分子间的距离约为×10-7cm。
宏观：考虑宏观特性，在流动空间和时间上所采用的一切特征尺度和特征时间都比分子距离和分子碰撞时间大得多。
(1) 概念
连续介质(continuum/continuous medium)：质点连续充满所占空间的流体或固体。
连续介质模型(continuum continuous medium model)：把流体视为没有间隙地充满它所占据的整个空间的一种连续介质，且其所有的物理量都是空间坐标和时间的连续函数的一种假设模型：u =u(t,x,y,z)。
(2)优点
排除了分子运动的复杂性。物理量作为时空连续函数，则可以利用连续函数这一数学工具来研究问题。
3.流体的分类
(1)根据流体受压体积缩小的性质，流体可分为：
可压缩流体(compressible flow)：流体密度随压强变化不能忽略的流体。
不可压缩流体(incompressible flow)：流体密度随压强变化很小，流体的密度可视为常数的流体。
注：
(a)严格地说，不存在完全不可压缩的流体。
(b)一般情况下的液体都可视为不可压缩流体(发生水击时除外)。
(c)对于气体，当所受压强变化相对较小时，可视为不可压缩流体。
(d)管路中压降较大时，应作为可压缩流体。
(2)根据流体是否具有粘性，可分为：
实际流体：指具有粘度的流体，在运动时具有抵抗剪切变形的能力。
理想流体：是指既无粘性又完全不可压缩流体，在运动时也不能抵抗剪切变形。
二、惯性
一切物质都具有质量，流体也不例外。质量是物质的基本属性之一，是物体惯性大小的量度，质量越大，惯性也越大。单位体积流体的质量称为密度(density)，单位：kg/m3。
三、压缩性
1.压缩性
流体的可压缩性(compressibility)：作用在流体上的压力变化可引起流体的体积变化或密度变化，这一现象称为流体的可压缩性。压缩性可用体积压缩率k来量度。
2.体积压缩率k
体积压缩率k(coefficient of volume compressibility)：流体体积的相对缩小值与压强增值之比，即当压强增大一个单位值时，流体体积的相对减小值。
3.体积模量K
流体的压缩性在工程上往往用体积模量来表示。体积模量K(bulk modulus of elasticity)是体积压缩率的倒数。
k与K随温度和压强而变化，但变化甚微。
说明：a. K越大，越不易被压缩，当K时，表示该流体绝对不可压缩 。
b. 流体的种类不同，其k和K值不同。
c. 同一种流体的k和K值随温度、压强的变化而变化。
d. 在一定温度和中等压强下，水的体积模量变化不大
一般工程设计中，水的K=2×109 Pa ，说明Dp =1个大气压时， 。Dp不大的条件下，水的压缩性可忽略，相应的水的密度可视为常数。
四、粘度
1.粘性
粘性：即在运动的状态下，流体所产生的抵抗剪切变形的性质。
2.粘度
(1)定义
流体的粘度：粘性大小由粘度来量度。流体的粘度是由流动流体的内聚力和分子的'动量交换所引起的。
(2)分类
动力粘度：又称绝对粘度、动力粘性系数、粘度，是反映流体粘滞性大小的系数，单位：N“s/m2。
运动粘度ν：又称相对粘度、运动粘性系数。
(3)粘度的影响因素
流体粘度的数值随流体种类不同而不同，并随压强、温度变化而变化。
1)流体种类。一般地，相同条件下，液体的粘度大于气体的粘度。
2)压强。对常见的流体，如水、气体等，m值随压强的变化不大，一般可忽略不计。
3)温度。是影响粘度的主要因素。当温度升高时，液体的粘度减小，气体的粘度增加。
a.液体：内聚力是产生粘度的主要因素，当温度升高，分子间距离增大，吸引力减小，因而使剪切变形速度所产生的切应力减小，所以m值减小。
b.气体：气体分子间距离大，内聚力很小，所以粘度主要是由气体分子运动动量交换的
结果所引起的。温度升高，分子运动加快，动量交换频繁，所以粘度增加。
3.牛顿内摩擦定律
a. 牛顿内摩擦定律： 液体运动时，相邻液层间所产生的切应力与剪切变形的速率成正比。
说明：
1)流体的切应力与剪切变形速率，或角变形率成正比。——区别于固体的重要特性：固体的切应力与角变形的大小成正比。
2)流体的切应力与动力粘度m成正比。
3)对于平衡流体du /dy =0，对于理想流体m=0，所以均不产生切应力，即t =0。
b.牛顿平板实验与内摩擦定律
2.牛顿流体、非牛顿流体
牛顿流体(newtonian fluids)：是指任一点上的剪应力都同剪切变形速率呈线性函数关系的流体，即遵循牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体。
非牛顿流体：不符合上述条件的均称为非牛顿流体
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流体力学试卷2
流体力学试卷2
一、名词解释
1雷诺数 2、流线 3、压力体 4、牛顿流体 5、欧拉法 6、拉格朗日法 7、恒定流动 8、流场 9、无旋流动 10、稳定流动 11、不可压缩流体 12、流场 13、无旋流动 14、有旋流动 15、驻点 16控制体 17理想流体
二、简答题
1、流体静压强的特性是什么？
2、尼古拉兹实验分区级意义是什么？ 3、运动粘滞系数r的物理意义是什么？
4、流体动力粘滞系数u的物理意义是什么？ 5、伯努利方程z?
pr?u
2
2g
?
常数中各项的物理意义？
6、简要说明管道流动局部阻力损失产生的机理。
7、下式不可压缩流体N-S方程中，各项的物理意义是什么？ X
8、什么是流体的连续介质模型？它在流体力学中有何作用？
?1?p
??（
?ux?x
22
??x
?
?uy?y
2
2
?
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2
2
）?
dudt
x
三、计算题
1、如图所示，一油缸及其中滑动栓塞，尺寸D=，d=，L=160mm，间隙内充满μ=・S的润滑油，若施加活塞以F=10N的拉力，试问活塞匀速运动时的速度是多少？（10分）
2、如图所示一盛水容器，已知平壁AB=CD=，BC及AD为半个圆柱体，半径R=1m，自由表面处压强为一个大气压，高度H=3m，试分别计算作用在单位长度上AB面、BC面和CD面所受到的静水总压力。
3、原型流动中油的运动粘性系数υp=15×10-5m2/s，其几何尺度为模型的5倍，如确定佛汝德数和雷诺数作为决定性相似准数，试问模型中流体运动粘性系数υm=？
4、如图所示，变直径圆管在水平面内以α=30。弯曲，直径分别为d1=，d2=，过水流量若为Q=/s，P1=1000N/m2时，不计损失的情况下，求水流对圆管的作用
力及作用力的位置。（20分）
5、两水池的水位差H=6m，用一组管道连接，管道的第一段BC长L1=3000m，直径d1=600mm，C点后分为两根长L2=L3=3000m，直径d2=d3=300mm的并联管，各在D点及E点进入下水池。设管道的沿程阻力系数λ=，求总流量Q=？（20分）
1、有一钢板制风管，断面尺寸为
400mm?200mm，管内气流平均速度为
/s，气体运动粘滞系数为
×10?8m2/s，判断管内气体的流态？
2、一高压管末端接喷嘴，如下图所示，已知喷嘴出口直径为10cm，管道直径为
40cm，水在管中流量Q为/s，求管嘴对水流的`作用力。
3、已知不可压缩流体的流速分量为：ux?x2-y2，uy??2xy，uz?0，问该流
动是否为无旋流动？
4、已知平面流动的速度分量为：ux?x?t2，uy??y?t2；求：当t=1是过M（1,1）的流线方程。
5、一车间用直径为的风口送风，风口风速为/s，如长度比例常数
为4，确定实验模型风口风速。若在模型内测得某点气流速度为/s，则车间相应点的速度为多少？（已知空气的运动粘滞系数为
2
/s）
lmln
?116
6、对某一桥墩采用模型比例为
进行实验。已知模型中水流速度为
/s，实测模型桥墩受水流作用力为4N。求原型中相应的流速与作用
力。
7、在水平放置的管线中接弯管，直径从600mm逐渐减小到300mm，水流方
向偏转600如图所示，在直径较大一端压强为172kN/m2,求作用于弯管上的力的大小和方向，①当水不流动时；②当通过的流量为876L/s时；
8、一弧形闸门AB，宽4m，圆心角为求
作
用
于
闸
45，半径为
2m，闸门转轴恰好与水面平齐，
门的水静压力。
9、如下图所示，一水箱侧面开孔并接有一直径为50mm的短管，形成管嘴出流，已知作用水头H=5m，管嘴出流流量系数u=，试问：①管嘴出流流量Q；②靠近水箱一侧管嘴内壁形成真空的原因是什么？③合适的管嘴长度是多少？
0、如图所示，一水平射流冲击光滑平板，流量为Q0,密度？，直径为d0，求：①平
板所受的冲击力。②流量Q1和Q2
11、如下图所示：水箱侧壁接出一根由两段不同管径所组成的管道，已知
d1?200mm，d2?100mm，两管短长均为L=50m，
H?10m，沿程阻力系数
??,?A?,?B?,求：管道中水的流量、流速。
1、一根直径为d
1 = 的水管垂直放置，在上方转90°弯后立即收缩成直径
为d 2 = 喷口，水从此喷入大气中。设喷口水流速度为v2 =20m/s，忽略一切损失，试计算低于喷口h = 4 m处水管截面上的压强p1。
p1
v1d1?v2d2
v1??20??10m/s
?
?z1??
v1
2
2g10
?
2
p2
?
?z2?
v2
2
2g20
2
p19807
2?
5
?4?
2?
p1??10Pa
22、图示为一连接于压力容器的带法兰的收缩出流管嘴。设容器内压力表读数为 p = 106Pa，H = 3m，管嘴大小口直径 D = 5cm，d = 1cm。试求管嘴上螺钉群所受到的总拉力 F。
v1D?v2d
连续性方程v1?5?v2?1
v2?5v1
p1?p??H
静力学基本方程p1?106?9807?3
??10
p1
?v1
2
5
?
伯努利方程
2g
?
5
v2
2
2g?
v1
2
?109807
2?
?
25v1
2
2?
v1?/s
动量方程qV?
14
?Dv1?
2
14
??(5?10
?2
)???10
2?2
m/s
3
?qV(v2?v1)?
5
?F
14
?p1A1?F
?4
F??10?F?
??25?10?1000??10
?2
?4?
3、一贮水箱通过一直径为d的底部小孔排水，设排放时间t与液面高度h，重
力加速度g，流体密度ρ，粘度μ等参数有关，试用量纲分析法 （1）取h, g,ρ为基本量，求包含时间的无量纲量Π1 ； （2） 取d, g,ρ为基本量，求包含粘度的无量纲量Π2 。 解：f(d,t,h,g,?,?)?0
n=6
(1)取h, g,ρ为基本量
?1?hg?t
MTL?L(LT
a1
?2
a1b1c1
)(ML
b1
?3
)T
c1
0?c1
0??2b1?1b1?
12
0?a1?b1?3c1a1??1/2
gh
?1?
t
（2）取d, g,ρ为基本量
?2?d
0a20
g
b2
??
a2
?2
c2
MTL?L(LT)(ML
b2
?3
)MLT
c2
?1?1
0?c2?1c2??1 0??2b2?1b2??1/2 0?a2?b2?3c2?1a2??3/2
?2?d?2?
?3/2
g
?1/2
?
?1
?
??d
3/2
g
5、如图所示的抛物线闸门，宽度为b，铰接在B点上，建立如下坐标系后，抛物线闸门断面的方程为y=H-4x2。
1.求流体作用在闸门上总压力的水平分力Fx大小；（4分） 2.求流体作用在闸门上总压力水平分力Fx的作用中心hD；（4分）
3.求流体作用在闸门上总压力的竖直分力Fz大小；（4分） 4.求流体作用在闸门上总压力竖直分力Fz作用中心xD；（4分） 5.维持闸门平衡所需的F。（4分）
解：抛物线方程
y?H?4x
2
（1）水平分力的大小Fx??hcAx??
H2
Hb?
?Hb2
2
3
1
（2）水平分力压力中心hD?hc?
JchcAx
?
H
?12
H2
2
?b?H
?
?H?b
2H3
（3）垂直分力的大小Fy??Vp??Ab?（4）抛物面面积 A?
H/2
?bH
3
H?4x
2
H
??dxdy
D
?
?
dx?
dy?H
H/3
抛物面形心x?
1
??A
D
xd??
H3H3
H
3
H
?
H/2
xdx
?
H?4x
2
dy?
H
3
H
48H
4
y?
1A
??
D
yd??
H
?
H/2
dx?
4
H?4x
2
ydy?
45
H
竖直分力必然经过形心（（5）合力？F?
2
H
48
2
，
H
45
9H
2
），xD?
?4H
H
3
48
Fx?Fy?
?Hb
6
FH?Fx(H?hD)?FyxD
维持闸门平衡的力
F?
?bH(24?H)
144
22
合力与y轴夹角tg??
FxFy
?
32
H
sin??
Fx
?F
?
如图所示矩形敞口盛水车，长2L(m)，高h=2L (m)，静止时水深h1=L (m)。重力加速度为g(m/s2)。求水刚好不溢出时，盛水车的加速度a的大小。（5分）
解：自由面方程为：ax+gzs=0, 水刚好不溢出时， zs(x=-L)=h-h1，因此，-a(-L)/g=2L-L，即a=g。
五、如下左图所示，水由水箱1经圆滑无阻力的孔口水平射出冲击到以平板上，平板封盖着另一水箱2的孔口，水箱1中水位高为h1，水箱2中水位高为h2，两孔口中心重合，且d1=d2/2，当h1已知时，求h2高度。（10分）
六、如上右图所示断面突然缩小管道，已知两段面的直径分别为d1(mm)，d2(mm)，且d1=2d2=2d，流量为Q（l/s），水银比压计读数h（mmHg），水与水银的密度分别为ρ1、ρ2，求从1-1断面流经2-2断面的能量损失hw。(10分)
如图所示为用于测试新阀门压强降的设备。水从一容器通过锐边入口进入管系，局部损失系数为，钢管的内径均为d(m)，水在钢管内流动的沿程损失系数为λ，用水泵保持稳定的流量Q(m3/s)，水与水银的密度分别为ρ1、ρ2，若在给定流量下水银差压计的示数为H(mm)。
1.计算水通过阀门的局部损失系数；（4分） 2.计算阀门前水的计示压强。（6分）
水银
期末考试流体力学试题3
年1 月
|题号|一|二|三|四
l总分|
|分数
I
I
I
I
|得分|评卷人|
I
I
一 、 选 择题 ( 每 小题 3 分 ，A 臼 跚 共
1.在明渠均匀流中取一六面体，作用在该六面体上的表面力有( A.切向力、正压力
B. 正 压力
C. 正 压 力 、 重 力 D. 切 向 力 、 重 力
2. 在 水 箱 上 接 出 一 条 逐 渐 收 缩 锥 形 管 道 ， 末 端 设 有 间 门 己 控 制 流 量 ， 若 水 箱 内 水 面 随 时
间变化，当阔门开度一定时，管中水流为(
A. 恒 定 均 匀 流
)
B. 恒 定 非 均 匀 流 C. 非 恒 定 均 匀 流
D. 非 恒 定 非 均 匀 流 3. 等 直 径 圆 管 中 紊 流 的 过 流 断 面 流 速 分 布 是 (
A. 呈 抛 物 线 分 布
)
B. 呈 对 数 线 分 布
c.呈椭圆曲线分布
D. 呈 双 线 分 布
781
4. 总 水 头 线 与 测 压 管 水 头 线 的 基 本 规 律 之 一 ， 是 (
A. 总 水 头 线 总 是 沿 程 升 高
)
B. 总 水 头 线 总 是 在 测 压 管 水 头 线 的 上 方
c.测压管水头线沿程升高
D. 测 压 管 水 头 线 总 是 沿 程 下 降 的
5. 跌 水 的 形 成 条 件是 (
)
A.从急流过渡到急流
B. 从 急 流 过 搜 到 缓 流 c.从缓流过渡到缓流
D. 从 缓 流 过 渡 到 急 流
得分|评卷人
二、判断题(每题 2 . 5 分 ， 共15 分 )
1.理想流体与实际流体的区别仅在于，理想流体具有不可压缩性。(
2. 长 管 是 指 管 道 几 何 长 度 较 长 的 管 道 。 (
)
)
3. 对 于 短 管 ， 若 管 路 ( 管 径 、 管 长 及 布 置 ) 完 全 相 同 、 作 用 水 头 相 等 ， 自 由 出 流 与 淹 没 出 流
的流量是相同的。(
)
(
4. 壁 面 粗 糙 的 管 道 一 定 是 水 力 粗糙 管 。 5. 恒 定 流 一 定 是 均 匀 流 。 (
)
) )
6. 在 恒 定 流 情 况 下 ， 流 线 与 迹 线 重 合 。 (
得分|评卷人
三、简答题(每题 5 分 ， 共 2 0 分 )
1.为什么要建立连续介质模型？ 2. 能 量 损 失 有 几 种 形 式 ? 产 生 能 量 损 失 的` 物 理 原 因 是 什 么 ?
3. 简 述 尼 古 拉 兹 实 验 中 沿 程 阻 力 系 数A 的 变 化 规 律 。
782
4. 如 图 所 示 管 路 系 统 ， I 、 皿 段 为 均 匀 管 ， II 段 为 收 缩 管 ( 收 缩 程 度 较 大 ) ，试问：
(1)当阀门开度一定时，若水箱中水面保持不变，各段管中是恒定流还是非恒定流？是均 匀流还是非均匀流？ (2) 当 间 门 开 度 一 定 时 ， 若 水 箱 中 水 面 随 时 间 而 下 降 ， 各 段 管 中 是 恒 定 流 还 是 非 恒 定 流 ?
=口
阀门
Q
H 一一--I- m
!得分|评卷人|
I
I
I
四、计算题(共 5 0 分 )
1.如图所示，容器中盛有水，右侧为一测压管；左侧为 - u形测压管，管中为水银。已知：
h=O. 5m
,h 2 =0. 2m ， 求 右 侧 测 压 管 中 水 面 高 度 h I ==? (1 2 分 )
「 L d i L
容器
寸 2 1 →
783
2. 如 图 所 示 ， 左 侧 为 密 闭 水 箱 ， 水 通 过 一 管 道 流 入 右 侧 水 箱 ， 已 知 左 水 箱 内 自 由 表 面 相 对
压强 p = 2 9 . 4 k Pa ， 两 水 箱 液 面 高 差 H = 2 . Om ， 管 长 l = 5 m ， 管 径 d = 0 . 2 0 m ， 管 路 沿 程 水 头 损 失系数 ;' = 0 . 0 2，在恒定流情况下，求通过流量？ 08 分 )
-?
'7
Pt
~
一一』可
飞7
1
?
I Q 干
3. 如 图 所 示 一 虹 吸 管 ， 上 下 有 水 位 差 为 H = 2 . 5 m ， 虹 吸 管 顶 部 与 上 游 水 面 高 差 为 h [ =
2. Om ， 虹 吸 管 顶 部 前 ， 管 长 为5. Om ， 虹 吸 管 顶 部 后 ， 管 长 为10. Om ， 管 径 d = 0 . 2 m ， 管 道 沿 程
阻力系数 ;' = 0 . 0 2，进口(带有莲蓬头)局部阻力系数~J!l =3. 0 ，每个弯管局部阻力系数 ~ fi =
O. 3 ， 如= 求 :
(1)流量 Q = ?
(2) 虹 吸管最大真空 值车 = ? (20 分 )
pg
” -t!
::t::
J
784
试卷代号 : 1 1 2 3
中央广播电视大学 2 0 0 9 -2 0 1 0学年度第-学期“开放本科”期末考试(半开卷)
流体力学试题答案及评分标准
(供参考)
2010 年1 月
-、选择题{每小题 3分，共 1 5分)
1. D
2. D
2. X 3. .J
3. B
4.
4. B
5. D
二、判断题{每题 2 . 5分，共 1 5分}
1.
X
X
5. X
6. .J
三、简答题{每题 5分，共 2 0分}
1.答：液体(气体)是由分子组成的，分子间有空隙，不连续。工程上研究的流体，关心的是 流体宏观的物理性质。把流体看成为由质点组成的连续体一一连续介质模型。目的是建立描
述流体运动的连续函数。便于应用数学工具，解决工程实际问题。
2. 答 : 有 沿 程 能 量 损 失 和 局 部 能 量 损 失 两 种 。 一 是 因 为 流 体 具 有 粘 滞 性 ， 二 是 因 为 固 体 边界条件的影响。
3. 答 : 尼 古 拉 兹 实 验 揭 示 了 沿 程 阻力 系 数A 的 变 化 规 律 ， 文 字 表 述 或 数 学 公 式 表 述 。
层流 : }， = f刷 ; 水力 光滑 区 : 时ω ; 过渡粗糙 区 : }， = f也 5) 粗糙区(阻力平方区 ) : }， = fφ。
4. 答 :
(1)各段管中都是恒定流； I 、 田 段 为 均 匀 流 . II 段 为 非 均 匀 流 a (2) 各 段 管 中 水 流 都是 非 恒 定 流 。 四、计算题{共 5 0分)
1.解：(1)画出两个等压面(通过 A点画一个，通过 U形测压管中水银液面画一个〉
(2) 列 方 程 z
PA =pgh l
PA 十pgh=PHgh 2
(1)
(2)
2 一05=
(5 分 )
将(1)式带入( 2 )整理得：
hI =(pHgh 2 - p g h ) / p g = 1 3 . 6h2 - h = 1 3 . 6XO.
答 z右侧测压管中水面高度 h I
=2. 22m a
(7 分 )
785
2. 解 z 以 右水 箱 水 面 为 基 准 面 ， 取 a = 1. 0 ， 管 道 进 口 局 部 损 失 'I = ， 管 道 出 口 局 部 损 失
'..=1.
0 ， 管 中 流速 U
(1)把左水箱内自由表面压强换算成液柱高
度
P 29400 JE= 百丽女汇石=3m( 水 柱 )
(2) 列 能 量 方 程 :
(6 分 )
H+主 +问+0+0+ ('I +).去+，..)三
2+3= (+土 + 1. ' ~.
0) 兰
, 2g
y
寸苟 o 乍 U 古d g 巧 = 7 . 0叫 盯 白 τ 5
(3) 流 量 z
膺d 2
11:
0
ω
Q 寸 v = “ . ~.~
O. 22
0
7=0. 2198m 3 /5=219. 8L/s
(6 分 )
答：通过流量 Q = 0 . 2 1 9 8 旷 I s .
3. 解 : (1 ) 以 上 游 水 面 为 基 准 面 ， 列 能 量 方程 z
轩 H+川 =川 +阳 =(ωω2 一一一++0. 3X3+2.. y , 1. 0ω) 一= 一 , _ . y , y . y ” y , _ 0+ v . . 2g
~'Y'2g
5+10 , _ _ , _ _, , _ , _ _ , . _, .J 2. 5 =μ15m/s
_..J
v= 1 v'2g ..1 8. 4 ?
0
QW-zw-n qz
=主子 u = lL-7一 o = 时/5
(8 分 )
(2) 以 上 游 水 面 为 基 准 面 ， 列 上 游 过 流 断 面 和 顶 部2-2 段 间 的 能 量 方 程 z
忡忡忡叫+去+丢+ u ht h ) 二
P. , ,. 1 二 v2 _ _ ,. _ , _ _~ 5 ,_ _ , _ _, 2. 4152 2=-hl-u+ 咛 + 如 + 如 ) 写 = 一 2 . 0 一 ( 川 + 队 0 2 0:2 ++0. 3)寸 7 pg
主主 = - 2 .
0 - 1. 428=-3. 428m(水柱 )
(8 分 )
(4 分 )
3 答： (1)流量 Q = O . 0758m /5
(2) 虹 吸 管 最 大 真空 值发 生 在 顶 部 ， 最 大 真 空 值 为 3 . 4 2 8 m ( 水 柱 )
786
流体力学三大方程的推导4
流体力学三大方程的推导
微分形式连续的性程方
续连程方是体流力学基的本程之方， 流体一动运的续连方，程反流体运动和映流体质 量分的关系，它是在质布守恒量律在定流 力体学的中应用
重。点讨不论表同现式形流的体连续方程。
用一个微六
面体控制体建元微分形式立的续连性程。方 设在流场中一固取不动的微平定六行面体（制体控，在直）角标坐系o xzy中， 六面的边体长取为x d，dy，dz。
看先x 轴方 向的流动流体，A从BC面 D入流面六，从E体FG面流出。H
在x 轴方向出流与入流质之差量
?( ?x u )? (ux?) [ ?u x? xd]ydzdd ? t u? dyxddzt? dx yddzd ?xt?
x
用样同的方法可得在，y方轴和向z方轴向流的出流入与质 量之分别为差
(? u?y ?)y
dx
ydzdd
t?( ?u
z) ddydzdtx z
这？，在样d t时间内通过面六体全的六个面净流出的部质量为
：? ?(ux) ? (u y? )(?? zu )[ ? ? ]dxdydzd t ?x?x ?x
在d t的时内间六面，内体质的量减了 ( 少？
?? xdddydt z ，) ?
t
根质量据守恒定律，流出六面体的净质量等必于六体内面减所的质量
少
?( u? x) ?( u? y )? (?u z) ?? ? [ ?]dxdyzdt d ?? ddyxdzd tx?? y?z ?
这t就直角坐是系标中体运动的流微形分的式连性方续。
?程( ? ux ?)( ? u )y? ( ?u z )?? ? ?? 0??x ? y?z ?
代t单位表时间内，单体位积内 量质净的出 代表流单时位内间单，体积位的 量变质
化这
是就角直坐标中系流体运动微的形式分的连续方性程。
在连续方中程
?
( u?x ) ? ( u?y ) ? ? u z( ?)?? ? ? ?0 ?x ? y? ?z
? ?t? ? di(v? ) ?u( ?ux ) (?? yu ) (? u? z) x ?y??z
利用
散公度： 得到式
?? ? di?(v? u ? )0 t?
用矢量场基利本算公运和式体随数公式导
：得到
? ??? d v iu u?? ? ? ?0 t
??D ? ?? div u ? 0 t
Ddiv(
u?) ? ? d vi u ? u???
? D? ? ? ?? ?u? ? t D?
讨t论
?
? ，0连方续程可简为化 ， ⑴对定常于流动 ，?t
??? d v i? ? v? ? ?t
0di
v ? ?v? 0?压或不
压可流体。
―微分―式
形
表明定常*动运时单位体，内流进流出积质的量等相适用。可
于？ ? D 0，连方续程可化为简 ⑵， 对不于压可缩体流，D t
idv ?v0
D?
?? div v? 0为因 tD
*表对明不压可流，体体积在随运动中体保不持。变用适定常于 不或定常流。体
微分式形的动运方
程
动运程方流是体动运最的本基运的动原学，即理找 流体出运动它受和到的作用之力间关系的数的学表 达式，依的理据原理是论顿牛运动定律或动量定理，的下面 用欧拉法利式形立建微形分的运式动程方
。
作用于体的力流
分析象：对 流体以界中面？ 围包的体为
积体的作流用力表 力
面
?
流体的块
质
量
力
质量
力量质（力力体：是指）作用所有流体于质点力。的
如
重、万有引力等力
（ 。 ）质1力量长是力：它随相程作互用的素之元间距的离 的增而加减，对小一般于体的特流征动距离运言而均，能 示出显。 来（2 ）它是一分布力，分布种于体流的块个整积内体流 ，块所受的体质力与其量围周有其无流体他存在无关系并 通。常情下，作用况流于的质量体通常力就指重力是
。
? 如果
F 示表单质量位的体的质量流，规定其力为 ：?F? ? Fli m?m ?0 ? ?m m?的 体块流的质上量力。 其 中？ ?F 是作用质在为 ?量 难看出，不 F以可看做的分布力密度。例
：如对于处力重用作的物体而言质，量力的布密分度 或者说单？位质的流体的质量量就力是重加速力 g度 。
表面 表力力面是指流：体内之间或者部流与其他体物体之 间的接面上所受到触的相作互用力 。如流体部内粘性应的和力力压流、与固体体触面接 上的摩擦力等 （。1 ）面力表一是种程力短源：分子于间的相作用互。面表力 随互作用元相之间素的离距增而迅速加弱减，有在只 相作用互素元间距离的分子与离距量同时，级面力表显才 现出来 （ 。2流体）块各内部之间的分面表力相是作用而相互抵消 的，互有只处界面于上的流体质所受的点由，界面外流体侧所 施加表的面存在力。 （ 3）面力表也一是分布力种，布分在相互触的接面上。
界
义定位单积面的上面表力：为
?
其中 ?p? 是用作某于个体面流积？上 的？表力
面？ p
?p ? li m? ?0??
?质
力量表和面的比力
较数
因而，构成一个矢量了场
。 矢量？F 是质量力 分布的度密它，是间和空间时点的
函量质力和面表有力着质本差别。的
? 而
矢量p 为流体的力应，矢它不但时是和空间点间 函数，的并在且间每空一还点着随受力面元取向不同而变的化 ? 。 所？要以定应力矢 p 确，须考虑必点的矢 径 、r该受点力 n? 元面的方（向或说者元的面向单法位矢） 以时间及 。t ? ? 切确地应说力是两矢个量（矢r n、） 一和标个量函数 t。
在运
流动体选中取小一面六体体， 元 其z长边别分为 ?：x ,?y ?z, 据牛顿第根定律二：
?
zd ?V? ?xy ?z =质力量+面表 力d
x
?y
tx?
y
为
了出流导体的动方运，首程来分先析体小元受力的情况。
方x质量向力析分x方向的
量力质
? F? mx? F x ?? x ?y? z
x 向表方力分析面周
流体围对体小元的个表六有面面表力的作用，通而六个 侧面过用作小于体沿元 x方
向的面表力别为：分
x?
?
xy??
p?zxx
? xp?xyz?
p
x
xp?x x? ? p ?? ??y?x zx 前后x侧面： ?? ?x?
? xp ?x?y?z x小体所元的受方向的表x力面= 前侧后面之和：? x
?
py x?? 左右侧： ?面？ p y x? ? y y?? ?? ?z ?x ?
p
?yx x??z
p?xz ?? z? ??x?y 下上面侧： ?p x ?z?z ? ?
p ?z?x?x
y
此因，围流周体通六个侧面过用作于小体沿元x向的 方表面力力合：为
? ?px x?p xy?p zx? ? ? ?x ?y?? ? z ??x???yz? ?
x
方 合向力析
分据牛运动定顿：小体律元力等受于其质量加速与度的乘：
积？
?pxx p ?x y?zp x?d u ? ??xy?? ?z xF??x ??y ? z? ?? x???y ?z? d t ?y ?z ?? ?x方程可
简以化为
：du1 ? ? px x p y? x?zxp ? ? F?x? ? ? ? ?td? ? ? ?xy?z ?
?单位质量体流 在 x方的向动运程方
同理
可：得
vd1 ? p? yx? py y?p yz? ??F y?? ? ? ?dt? ? x? y ?? z??
位单量质流体 y在 向的运动方程方d
1w? ?pxz ?p yz ? zzp? ?? Fz ? ? ?? ?d ?t? x? ? ?zy ??
单质位量体流 z在方 向的动方程
运流
体运方程的动遍形式
普矢量
形式
??? ? ? ? ?p z pd 1 V?? p x ?F?y? ? ? ? dt ??? x? y z?
? ? ? ?
? ?
1 dV 者：或 F?? ? ?P dt ?
??? ? ? ?P? ? ?? ?x? y ? z ??
?
xp pxy pxzx ? ?? ? px ypyy py ? ?z? ?pzx zy ppzz
?
微分形的能量方程式
能
量恒守定律自然界的普是规遍，流律体运在过动程 1动能、程方 也是遵循该定律。 中、2流量方热 程立孤系（与统外没有界质量能量的交换）、流：体在运 动过可程以随着各伴形式的种能量之的间相转互换，但3、伯努 利方 总能量起不变的； 程是
孤非系立统：能量的变总化，于外等力包（质量括 力和系外部的表面统）对系力所统的做和所吸功的收量。热
统系能的量
对
于量，主能要指为种形式三内能、：动能重力势能。
单及质位的量能-内----e-：体流子分热运动而具有能量； 的位质单量动能-的-----v/2表示2单位 质量重力的势---能---gz-由：万有力引起与，位的置高有差关
；单
位质量的能量总（储能）存------e-s： 则体为？的流体积系统的量能E:
1
2 s ?ee ?v ? g z2
1
2 E? ? ?e sd ?? ? ?(e? v ?gz )d?? ? 2
力热第学定一
对理于一静个止热的力学系（统起始或和止状态终处静于的止系统：系 统）存能储的增加等于力对外系所统作的功与界外递传给统系的量热和之。
一个确
的流定体也可看作团一热个力系统学流体，
质点在总流中动设， 系该统偏离平态衡不远系：总能量的变化统率包（括能和内动）等于外力能系 对统的功作率功通与过热向系导统传的热功之和率。
于某对系统，单一时位对间统所系的功（作际上实就 是功）率 d用
td
W
表
，单位时间示给系统的热量加 Q用表，则示
系统
能 量E变的化率为 :
D E dW ?? Q t Dt
d系统的总在量能，中已考虑位单质量→←重力的能，则质势 力量作功率中功不将包括重力作功功率 。将热力第一定律应学于流体用运动把上式各项，用关的有流 物理体表示量出，即是来能量方程。
推导微分式形的。量方程能的思路：根据热学力第一律定系统能量 的，变率化等外力单于时位对系间所统的作功与通热传导向系过单位统时
间所的热量传之。和即 : 单位 间时系统量的能化变= 单位间时力对外统所系的作
+ 单功时间位界传递给系外统热的量
外力
对统系作的功=所质 力所量作的+表面力功所的功作外界
递传给系的统量热= 导热传+射热辐 下面有关用的流体物的量来表达上理各述项。
①
单时间系统位能的量化 方法 1
?变( ?u x ? ( ? ) yu ? ? zu) ? ? ??? ?0 x ??y z ??
t微
元系统能量的时间变化也分为两率部分，一部分是控体制内储存能 变的化，其单位时间变化的为率
?
(?e s ) d x d y dz ?t另一
分部为控制面迁移经能量的引起，的位时间经单全控制部面净出流的储存 能为
?
??? ?( ? e ) ?u ?(ve ) ? ( ?w e) s ss?d d yxd ? ?x zy ?z??
?
这
微样系统总元储的能的存时变间率化这为部分两和之
：
?D E ?? ? ? ?? (?? s e )? ?(us ) ? e( ?ves) ? ( ?w e s?)d x d y d zD t? ?t ?x? y? z ?? ??? ?? ( ?es ) ?iv( ?d es v)?d x d y z d ?t ??? ? ?? ?? ?( ?e s ) ?(v ?? ) ?e(s) ??sedivv ? d x d d zy? ?t ? ? ?D ?? ? (? s e ) ??sed iv ? d xv dy z d D? t? ? ??D ? Ds ? ?? ? es ? ?es eivdv ? d x d ydz D t ?t ?D ?? ? ?D esD? ?? ? es ? ?( dvi v )? dx y dd zDt ? D t ?De ?s d ?dxy z dDt
①单
位间系统能时量的化 方变 法 体2数 导 在：t 时 刻微六面元系体统的存能储 ?e
sd
xd y z ，d系统能其量的
随D
s De EDD ?( ?e sxdddzy ) ? ?ddyxzd? es ( d?dxdy )zDt D tDt D t Dse?? d xd dy z系统质量的随 体数 D导
t于由统系量的随体导数等质于。零
0es
D
( ? xdydz ) ?d 0D
t计②算力外微对元所作的 功括质量力包表与面力作所功的
单位时间。质内量所作的力为
功
??Fb1 ? dv x d y d
（z为么什是积点
）表力所作面功的将依各，应力分量分别计。算 x方
向的应单位时间力作所功
为
后面前压的力单时位间所内的作功
? ? ??p xx?u ? ? p? ?d x u d ? ? x p u??? x x d? dy ??z x x? x? ?x ?? ??
左右？面切的单力时位内间作的所
功？
p yx? ? ?? ?? d uy ?? u ? d y ?? p yux? d z xd?? p y x ? ?y y ?? ??? ?? 上
面的下力切单位间内时所作功的
??? ?px ?z ?u ? ?p d?zu dz? ? puzx d?dy x?? ??? x z?z ?z ?? ????
方向x的应单位力时间作所功为 后前压力面
左面右力切
?? ? pyx? ? ?u ? ??? px?x ? ?? u?? ? ?pxx ?? xd x? ? u ? ?x x ? d? xpux ? dy d z ?? ?p y x? ?yd y? u ? ?y? d y ?? pyx u? d d z ?x ? ?? ? ? ????? ? ? ?p? ??? u ?? ??? zx ? zx dpz ??u ? d z ? ? p zux ?d xd y上下切力面 z? ?? ?z ? ? ?
??
?u ? px yp ?xy? u? ??u px? ?pxx ?xu ?? ?pxx ? u d ? ?x xd d yd z? p ?x y ?? udy ? xddy dz?x ? x? ?y y ?? ? ? xx ? ??y y? ?p u ? ? ?? ?p ? ?upz x ?zxu ?z xd z d ? dxy d ?z zz ??? z ??
z
? py x?u?? ? xp x?u p?x ?u z?? ?? (?px u x ?) (p xuy )? pzx( )u ?d ? dy?x zd?d d x d z y?y ? zx ?? xy ?y? ?z? z? ? x? ??? ? ??? (pxxu ) ? ( pyu x) ? (pzx u ) ? xdd d yz? y? ? z? x
?什么等于0为
同， y理 向应的力功作
为？
??? ? ? ( xpyxv ) ?y?( p y vy)? ?z (pyzv) ? d dx dy z?? 同理， z
向的 应作力功为
? ? ??? ? x ? (xzpw) ? ?y ( yz p)w? ? (z pzzw) ? d xd y dz ?
?
将
部全表力所面功作相可加写为
??? ? ? ?? ? ?? ( p )u ?( p ) ?u p u( )dxdy z ?d( v p)? (pv ) (?p v d x) dydz ? y xz xx yy yyz ?x ?xx? ?? y ?z ?y? ?z ? ? ?? x ?? ? ?? ?( p w ) ( ?pw )? ( p w ) z yzz? ? x z ?xdxd yd z? ? zy ?
?? ? ? ? ? ??( p xx ?u xp v y?pxz w )?( p xuy p yy?v ?p y zw ) ? pz(u ? xp zy v p?zz w )? dxddyz y?? z ??x? ?? ? ? ?? (p x ??v ) ? p (y? v) ? ( z p? )v d?x d yd ?zy ? ?z ?x ?这样
对微元，六面，质体力量除（重去）和表力力面单在位时间共的功作
为
W d? ?? ? ??? ?? ?? ? ?? ? ?F ?bv ? (p x v?) ?p(y ? v ) (p ?z? v ?)d x y d zdd tx? ?y ?z? ?
③后最计算加给微元六面体再热量 的里计这的只是算射辐及热传导两种热 。辐热射通是电过磁波对体产流热量，设单生时 位
间内由辐传入单射位量质 体的热流量q，为单位则时间在内微元产内辐射生为
热？
d qx dy d
z导传热通过体表流面入传体流。ABD面元C传微元入热量的
为？k
?T dyd z?x
单时间内通位A过？B? ?C?面元D传微入元的量热
?为 T ?? ? T? k dy d ?z?k y d dz d? x?x ? x ?? x?
于
单位是间经时BCA、 AD? B?C D?两面共？传热量入
为？ ?T?? kdy d z ?d ?x ?x? ? x
?AA ?D? 、 DB ? C?C 两相B对元面位单间传入时热量
? 为？ ?? T? ? k zd d dyx ? ??y? ? y?
?AA BB ?D、?DC?两相对面元C位单时间传热入量
为
? ??T ? d dx yd z ?k ?? z? z?
?
因而
微元体经全部表，单面时间传入位微元的量为
热 ?? ??T ? ? ? T?? ? ? ? ??T? k? ?k ? ? ??? xdd d z ? yk? ? ?? ?x ?? ?x y ? ?? ? yz?? ?z ? ??? ? (k?T) d x dy d
zQ
? [? q ??? (k ?T ) ]dx d yd z 依热力学第一
律定
?D ? ? ? ??? es xdd y d z ? ? F? b1? v? ( px ? v ) t Dx?? ? ? ? ??? ? (p? y ? v)? (pz ? v) ? ?q ? ?? k(T )?? d x d dy z y ?z? ?
D ? ? ? ? e
s? Fb?1?V ? p x (?V ) ? p( ? y )V? (p z ? V )? ? q ? ? (k?? T ) t ?xD y? ?
z?
p x? V ?pxx u ? pxyv ?p xzw ?? p? y V ? ?p xy u? p yy v?p y zw ? ?p? ?z V pz?x u?pzy v ?p z wz上式
右三个量组成端一个了量矢以表并示
?
xp ?xp ? V ? ? p x ?y pz x?
pyxp y ypzy
p
x z? u ?? ?pxxu ? pyxv ? pz x w ? ?? ? ?? zyp ? v? ?? ? p xuy? p yyv ? py wz ? p? ?up v?p w?? ? p z ?zw ? ?? ? x zz yzz?
三个量 和之
? ? ? ??? ? ? (p x? ? )v ?p y( ?v ?) p (z? v )构 成散了度：? x?y ?
?z ? ? ??? ?? ? ? p( x? v) ? ( yp ? v ) (p?z ? ) v div?P( ? )v?x ? y z
?D
?D1 2 ?? s ? e ?e? v ? g z ?? Dt t ?D 2 ?? ?? ?F?b1 ? ? vid(v P v? )? d v(i kgrad T ? ?)
这就是q微分式的形能方量。
将程上式以除？，有
?
1 ?1 D s ? Fbe 1 ? v? di vP( ? v ) ? dv(i krgd aT ? q Dt)? ?
?1 ? 1 D es ?F b 1 v ? div(? ? v P )? dvik( gar T ) ?d qDt ??
式中各的项理物意：义 端左单位为质量体流存储（能包括能、内动量势及）能的化变；率
右端一项第为单位间内质时量（力除重去力）单位质对流体量作所 ；功 二项为单位时第内表面力间单位对质量流所作体功； 的第项三为单时间内位界通外过单质量位流体表面传入的传热，导
四项第为位单间内时加
给单位质流体量的射辐。热