勾股定理小论文精彩5篇
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勾股定理小论文【第一篇】
一、充分挖掘教材的“做”资源
在初中苏教版的教材中不乏让学生通过动手来解决问题的实例，教学中，教师要引导学生在掌握基本数学定义、概念、定理的基础上来动手解决问题。如在教材中有“数学活动”和“课题学习”栏目，目的就是让学生能通过理论学习后动手来解决问题。以八年级上册为例，该册教材中共安排了六个“数学活动”，如其中的“利用轴对称图形设计图形”，要使学生能设计出轴对称图形，首先就得明白“什么是轴对称图形？什么叫两个图形成轴对称？轴对称主要有哪些性质？”而当学生在设计中，对这些知识的学习不再是由教师讲授，更多的是学生自主的探究过程，主动性更强。同时，教师还可以利用为班级、学校设计班徽、校徽等活动来引导学生将对称图形应用于生活实践中，提高学生的实践能力。
教学中，教师不能固守于对知识的传授教学，哪怕是以新课程理念来进行教学，也不能只将教学的重点放在提高学生的解题能力上，更要注重学生操作能力的培养。以梯形中位线教学为例，教学中，教师先让学习小组任意画出一个梯形ABCD并作出中位线EF，然后以三角形中位线为过渡，提出问题“梯形中位线和上下底到底存在什么关系”，接着以实验形式组织学生探究。实验中引导学生通过画梯形和中位线，量角度、讨论交流来探究梯形中位线和梯形上下底的关系，效果甚于直接讲述。
二、注重从生活中来引导学生“做”起来
生活是广泛的，在生活中蕴含着丰富的数学知识，引导学生以数学的眼光来看待生活，在生活中发现数学问题并运用数学知识解决这些问题，从而提高学生的实践能力。
如在学校开展运动会中，教师可以引导学生思考当跑道线宽、道宽和终点位置确定时，如何进行起点的确定？在标枪、铅球、铁饼比赛中，角度如何确定等问题，让学生根据实际生活情况而运用数学知识进行解决。再如在学习了勾股定理后，组织学生对旗杆进行测量，同样也可以利用勾股定理来对池塘的宽度进行测量。
其次，注重课堂的拓展。我们无法将数学知识全部应用于生活，但在数学课堂中学习的知识，教师可以引导学生通过另一种方式去“做”。目前，随着互联网的广泛应用，数学学习方式也更丰富。教学中，教师可以借助这些外在条件来拓展课堂。如在勾股定理的学习中，教师让学生回家后利用互联网来收集相关勾股定理的证明方面，寻找勾股数，发现其中的规律，通过资料的收集，了解勾股定理的历史，并寻找生活中勾股定理应用的例子，最后形成一个小论文。再次教学时，通过展示、交流，能较好地拓展学生的知识面，对提高学生的学习兴趣也大有裨益。
当然，在课堂中教师也可以通过组织学生进行数学实验活动来引导学生在观察、实验、分析、猜想、归纳中发现数学，让数学学习成为一种再创造。如教师提出问题“把一张三角形纸片剪成两个三角形，能使它们刚好相似吗？”来引导学生思考能不能剪，如果能剪，要怎么剪？接着以剪纸活动来进行实验证明，在剪纸中发现很多学生都以特殊三角形入手来解决这个问题。同样，在学习“三角形内角和和多边形内角和”的过程中，教师也同样可以利用剪纸活动来进行实验。
三、注重“做”的时间和空间的保障
动手实践是培养创新能力的有效方法，教学中，要保证“做”能达到预期的教学目标，教师还要注重控制好“做”的时间和空间。
首先在时间控制上，要在短短的40分钟内让学生从假设到实验，从导入到总结，这就需要教师事先做好科学的计划。如在三角形的内角和的学习中，教师首先要布置学生准备一些形状各异的三角形纸片、量角器。教学中，先给学生3分钟时间测出各自三角形的内角和，然后提出问题“如果不用量角器，你有什么办法能快速地知道一个三角形的内角和是180°”来作为过渡，引导学生展开探究，在探究中通过拼一拼（如将两个三角形平凑为一个正方形或长方形）、摆一摆（两个同学将各自的三角形挑选后进行组合摆放）、剪一剪（将一般三角形剪为特殊三角形）等活动，让学生在做中通过利用旧知识来思考问题，从而获得新知识。
勾股定理小论文范文【第二篇】
中图分类号G 文献标识码A
文章编号0450-9889（2015）02A-
0079-02
勾股定理及其逆定理是初中数学中两个非常重要的定理，《全日制义务教育数学课程标准（2011年版）》对其要求是“探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。”笔者有幸参加了江苏省第26届“教海探航”苏派与全国名师课堂教学观摩活动，为期两天的教学观摩让众多教师受益匪浅，现将潘淳老师执教的《勾股定理的逆定理》的教学片段整理出来，与读者共赏。
一、片段呈现
片段1黑板上画出三个三角形（如下图），并提出问题：
图1 图2 图3
问题一：上节课我们一起学习了勾股定理的有关知识，观察黑板上第一个三角形（图1），你能结合图形利用已学的知识得到哪些信息？
生交流后可以得出∠C=90°，AC2+CB2=AB2，面积S=等。
问题二：观察第二个三角形（图2），由条件
生交流后可以得出∠F=90°，DF2+FE2=DE2，面积S=等。
问题三：观察第三个三角形（图3），知道三角形三边长分别是3，4，5，你还能求出三角形的面积吗？
生交流后回答不能，缺少直角条件。
片段2勾股定理的逆定理一定成立吗？提出以下两个问题：
问题一：如果一个三角形的三边分别是3，4，5，那么这个三角形一定是直角三角形吗？如何判断呢？
生交流后给出“构造法”，利用两个三角形全等的基本事实，即“边边边（SSS）”来证明两个三角形全等。
问题二：若将三角形的三边3，4，5替换成a，b，c，还能得出∠C=90°吗？
生交流后使用“构造法”来证明两个三角形全等。
片段3
小活动：数学万花筒
师：根据图中条件，你能得出哪些信息？
生生、师生交流，得出相关结论。
二、教学评析
上述案例是潘淳老师在《勾股定理及其逆定理》中的教学片段。纵观这三个片段，可以发现这节课是一节求证的课，一节启发和开放的课，更是一节生长的课。陶行知曾经说过“课堂文化是生长文化，学生的学习生长状态首先决定于学生自主性的发挥，让自主成为课堂文化的基础。”本节课通过师生、生生合作探究，对“未知”不懈的“追问”，让学生主动建构，探究出未知的数学世界，达到知识与能力的自然生长。
（一）三角形求解――感受直角的必要性
本次课题是苏科版（江苏科学技术出版社）八年级上册第三章第二节《勾股定理的逆定理》，与旧版《神奇的数组》相比较，更侧重于探索勾股定理的逆定理的过程。因此，在探索勾股定理的逆定理的教学过程中，片段1是按照图①、图②、图③三个单个三角形的顺序来探索特殊三角形的某些特点。其中图1设计目的是已知直角三角形的两条直角边，要求能够利用勾股定理求出斜边长度，进而能够得出这个直角三角形的面积。教师在这个地方的教学处理中希望学生得出三角形的面积，以便在图2也能利用直角三角形性质求解面积，同时讨论图3中的三角形是否也能求出面积？若不能，缺少哪个条件？从而让学生在探索三角形面积的过程中，感受到三角形中直角的必要性，并在这个过程中培养学生解决问题的能力。在这一环节的设计中，为了强调培养学生“数学思考”能力的目的，教师需关注学生的最近发展区，对课堂的“生成”进行合理的“预设”，及时处理好引导与学生自主学习的关系。
（二）同一法的证明――逆定理的探索过程
解读教材是实现“用教材教”的基础。教学参考书中指出勾股定理的逆定理的证明方法是“同一法”。所谓“同一法”就是证明命题B和命题A是同一个对象，具体步骤如下：
第一步需要先构造一个具有A属性的图形B;
第二步证明B图形与已知A的条件符合；
第三步推理说明所做B图形与题设要求是一致的；
第四步是判断A所述图形具有这种属性。
在第一问证明中，师生交流思想，共同构建一个直角边长为3，4的直角三角形，然后证明以3，4，5为边的三角形与之全等，从而确定满足边长为3，4，5的三角形是直角三角形。通过这个具体数值的三角形证明，让学生熟悉同一法的证明过程，接着抛出一个更具一般性的问题，“若将三角形的三边3，4，5替换成a，b，c，还能得出∠C=90°吗？”由学生交流、独立证明。
在这一环节的设计中，教师渗透“同一法”的证明思想，即当定理的条件与结论所指的事件是唯一且范围相同，则原命题的逆命题一定成立。这时若证明原命题较难，可以证明其逆命题的一种间接证法。在这个证明的过程中，强化学生的数学意识，提升学生思维品质并感受数学构思的思辨美、哲学美与艺术美。
（三）数学万花筒――逆定理的简单运用
因为本节课是一节求证、启发、开放、生长的课，教学中渗透了由特殊到一般的探索过程，因此需要让学生经历知识的发生、发展与形成过程，体会形与数的内在联系，并能感受数学定理与逆定理和谐统一的辩证关系。在引导学生利用勾股定理的逆定理解决实际问题时，需要进行变式训练，并进行一题多解、一题多练，从而达到举一反三、触类旁通的目的。因此在课堂结尾处设置一个有趣的小活动――“数学万花筒”。
通过这个小活动，达到以下三个目的：
第一，增加课堂的趣味性，活跃学生思维。兴趣是求知的内在动力。激发起学生的兴趣，学习就会积极主动，学得轻松而有成效。而“数学万花筒”将枯燥乏味的练习题化被动为主动，通过充满童趣的小活动来吸引学生，促使学生积极主动地参与进来，在疲劳的课堂教学中点亮一抹绿色。
第二，巩固和检查本节课学生掌握情况。一节课中，教师讲授完新知后，一般随即开始各种形式和层次的训练、反馈，也就是进行知识的强化和巩固。有别于传统的课堂巩固习题，“数学万花筒”为教师及时提供开放式的学生评价和反馈信息的方法。
勾股定理小论文【第三篇】
在数学活动课中，动和用是整个活动课的重点，学生在活动中思考，感受知识的价值所在，培养学生运用所学数学知识解决实际问题的能力。
下面结合教材中数学活动课的具体实例，来谈谈初中“数学活动课”的作用。
一、加深对课本知识的认识
例如，数学活动“算24”。这是一种比较常见的扑克牌游戏，在一副扑克牌中，把扑克牌中的黑色数字规定为正数，而扑克牌中的红色数字则定为负数，J表示11,Q表示12,K表示13,A表示1,2张JQKER表示O,根据活动课中的规定，把扑克牌平均分给每一个人，每次出4张牌，根据扑克牌上所表示的数进行有理数的混合运算(每张牌只能用1次),按规定算出24.四张同样的扑克牌可以有多种算法，为了培养学生的学习兴趣，提高学生的竞争意识，可采用抢答的方式进行回答，无论是谁，只要提供一种正确的计算方法就可以加分。利用这种方法，并鼓励学生自主创新规则，开发新游戏，让学生在活动中增强数感，提高学生运算速度和对有理数运算的熟练掌握程度，加深学生对课本知识的进一步理解。
二、了解数学史，体会数学美
例如，数学活动“关于勾股定理的研究”。活动前，教师首先将学生进行分组，4个人一组并选定活动的课题，如找勾股数、收集能证明勾股定理的各种方法、挖掘勾股定理的历史、找寻生活中应用到勾股定理的实际例子等。根据以上课题，让学生去图书馆查阅资料、上网站收集所需资料，并把收集到的资料整理好，从中选出自己认为最满意的拼图验证方法来，全班同学进行进一步交流、探索和研究，并将探索的成果总结出来写成小论文的形式。学生通过对勾股定理的研究，对勾股定理的了解更加深刻，并发现勾股定理的历史，体会了数形结合的思想，而且懂得了勾股定理的文化价值。
三、建立数学模型，运用已有知识解决问题
例如，数学活动“拼图公式”。事先准备多张正方形和长方形硬纸片，并一一涂成不同的颜色。教师让学生分小组共同拼出活动课中的图形（数学活动中提供的例图）.要求学生用不同的方法计算出所拼长方形的面积，并写出相应的计算式来。学生经过此次拼图活动，经历了从具体问题――数学问题――建立模型――综合运用已有的知识解决问题的这一过程。从中学会了研究问题的方法，并获得运用已有知识解决问题的经验。
四、激发创新思维，培养数学思想方法
例如，数学活动“正方体涂色”。先准备一个白萝卜，把白萝卜做成一个正方体的形状，在正方体的表面用彩笔涂上颜色，然后把正方体的棱进行二等分，切成8个小正方体。让学生在切的同时注意观察小正方体表面涂色情况，并让学生找出来。如果把正方体的棱进行三等分呢？切得27个小正方体，再让学生观察小正方体表面的涂色情况，以此类推，四等分、五等分、六等分涂色情况如何？切成n等分后呢？学生在经过亲自切正方体的课堂活动后，明白了从特殊到一般的过程，体会了数学在生活中的运用和联系，并获得了研究问题和解决问题的方法和经验，感受到此类问题采用数学归纳思想方法去解答。
又如，数学活动“矩形绿地中的花圃设计”。在一块长42m、宽28m的矩形绿地中，要围出一个花圃来。要求花圃面积应为矩形面积的一半。对于这样一个花圃可以有很多种设计方案，比如，可以在矩形绿地中间另围出一个小型矩形花圃，要使围出的花圃面积与花圃以外四周的绿地面积相同，这样就要使围出花圃后，四周的绿地宽度保持一致，然后画出设计方案，并计算出相关数据，最后谈谈各自设计方案的特点进行交流学习。通过这种开放性的问题解答，既提高了学生的审美情趣，又激发了学生的创新思维和创新意识。
五、强化数学意识，发展合作意识和科学精神
例如，数学活动“测量建筑物的高度”。在此活动中事先要准备的测量工具有卷尺、测角仪；确定要测量的对象：建筑物，建筑物分底部可以到达的和底部不能到达的。学生可以先进行讨论，讨论完后设计出切实可行的具体方案，到室外进行实际测量。活动结束后，让学生写出活动报告，并运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题。活动前应提出安全方面的要求，观察、指导活动作必要的记录，并在活动中积极想办法，克服困难，发展合作意识和科学精神。
勾股定理小论文【第四篇】
关键词：数学作业；作业设计；开放性
中图分类号： 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）15-0079
随着新课程标准的深入实施，课堂的教学观念、课堂的教学形式和教学水平都发生了质的变化，广大教师越来越重视课堂教学的改革，课堂教学的有效性越来越被广大教师所追求，数学教育、教学的模式得到了长足的发展。然而，当前初中数学作业中仍存在着很多问题：作业的内容、形式的单一，动手探究题偏少，作业的设计缺乏多元性，作业量大……这些机械、滞后、封闭的作业模式，无法使学生主动地、积极地、创造性地学习。数学作业如何进一步改变现状，关键在设计常规作业的同时，根据新课标的要求，更应设计开放性作业，要把实践性、趣味性、人文性、可行性融于一体，这样的作业才能把学生从封闭的数学中解放出来，让他们融入学校、家庭、社会广阔的天地中去锻炼、去实践，以达到全面提高学生的数学素养和实践能力。
学生完成数学作业是一种数学活动，有效的数学学习不是单纯地依赖模仿和记忆，而是学生动手实践、自主探索与合作交流，只有这样学生对于数学知识、技能和数学思想才能真正理解和掌握，才能获得广泛的数学活动和经验。开放性作业就是指条件开放，问题开放，解决策略开放的课外作业，不拘泥于文本教材的限制，鼓励学生到生活中去发现、去思考。教师在常规作业的基础上，应尝试设计开放性作业，将多种知识的获得和多种能力的训练有机结合，为学生提供张扬个性，激励创新的空间，使学生在自主、合作、探究的过程中获得良好的情感体验，培养健康的人格。为此，在开放性作业的设计方面，笔者做了以下尝试和探索：
一、收集型作业
顾名思义，就是要求学生围绕一个主题或一个内容，收集相关的资料，同时鼓励学生将搜集的资料以图片、表格、小论文、报告等方式呈现。这种作业设计的基本流程是：提出问题探究教材查找资料成果汇报总结评价。在教学过程中我经常通过布置相关的作业，启发学生针对教材中的某一个例题或一个课后阅读题来进行深入的探讨，以此激发起学生学数学的兴趣。
案例：《勾股定理》课后，笔者布置这样一道作业：1. 以小组为单位从书籍、网上查阅有关勾股定理的历史资料，查找相关的图片；2. 把收集到的资料制作成一份数学手抄报；3. 了解勾股定理的证明方法，研究其中一种证明方法，准备课堂展示。
作业完成效果：学生以小组为单位，用了一周的时间，收集资料制作手抄报，笔者把学生的手抄报在课室的展板上展出，并请学生和家长参与评选。笔者再利用课余时间请学生把勾股定理的证明方法进行交流汇报，最让人高兴的是，除了课本给出的3个证明方法，学生还掌握了其他5种以上的证明方法。
收集型作业，既丰富了学生的课余生活，又提高了学生学习数学的兴趣。
二、调查型作业
现在的社会是一个信息化的社会，我们培养的学生必须符合时展的需要。学生要学会如何有效地获取信息、处理信息，笔者把调查作为一种课外作业类型，调查的内容要有一定的意义，可以实地查看、实人查询，也可以查阅书报、网站，调查得到的数据一定要学生学会分析，最后还要让学生学会把调查意见和建议形成书面报告。
案例：在《统计图的选择》课后，笔者设计这样的作业：
1. 调查本班同学每天上学的方式，并完成下表：
2. 如果教师想清楚的知道我们班上学坐车的同学有多少人，你应选择哪种统计图呢？
3. 通过我们班步行上学的人数你能预测全校大约有多少人步行上学吗？选用哪种统计图比较好？
作业完成效果：学生利用课余时间，调查数据、整理数据、根据题目要求制作合理的统计图表，很快完成了作业并掌握了相关的统计知识，特别是学生通过这个作业能清楚的区别三种统计图的优劣，大大提高了学习效率。
调查型的课外作业，把学习内容和社会联系起来，使学生提高了人际交往、获得信息及实践的能力。
三、探究型作业
心理学研究表明：在人的心灵深处都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者和探索者。而青少年的这种需要特别强烈，教师应结合教学，设计贴近生活的作业，为学生创设学以致用的机会。探究性作业，以实际问题为背景，创设问题情景，激发学生的学习兴趣，引导学生通过对问题的实际探究逐步形成数学概念，培养学生动手解决问题的能力。这种探究性作业的设计能真正体现了学生为主体性，这类作业设计的基本流程是：提出问题―动手做实验―观察记录―解释讨论―得出结论―表达陈述。
案例：在讲授《截一个几何体》课时，笔者设计这样一道预习作业：1. 到市场买一根白萝卜，切出8个小正方体；2. 只用一刀削去正方体的一部分；3. 观察截面是一个什么图形；4. 从不同角度重复试验，看看能得到几种不同的截面；5. 根据实验的结果，尝试总结你的结论。
作业完成效果：第二天上课，学生带着大大小小不同的“萝卜正方体”，愉快地到讲台上展示自己的成果，这节课的内容在学生自己动手实践中顺利地完成了。
探究型作业让学生在动手探究中理解和巩固知识，发展各种能力，培养兴趣。
四、合作型作业
在强调团队精神、团队合作的今天，合作型作业对个体的成长发展具有特殊的价值，不仅获得相互帮助，更重要的能够在相互交流，合作探究过程中激活思维，激发情感，增长能力。学生们在一起合作融洽，学习就变得更加愉快。同时，学生在合作中学会了沟通、互助、分享，既能够尊重他人、理解他人、欣赏他人，也能使自己更好地得到他人的尊重、理解与欣赏。这种合作的意识和品质对学生今后的发展是大有益处的。
案例：在《游戏公平吗》课前，笔者设计了这个合作型作业：
1. 首先学生同桌两人合作，做20次掷硬币的游戏，要求：（1）一人负责掷硬币；（2）一人负责记录数据；（3）借助计算器计算正面朝上的频率（正面朝上的次数和总次数的比）和反面朝上的频率（反面朝上的次数和总次数的比），并填在下面的表格上。
2. 汇总本班各个学习小组实验数据：
3. 累计全班同学的试验结果，分别计算试验累计进行到20次、40次、80次……320次时正面朝上的频率，并完成下面的折线统计图。观察所作折线统计图，你发现了什么规律？
作业完成效果：繁重的实验过程，庞大的实验数据在学生课前的合作中完成了，课堂上学生交流展示实验结果，教学内容轻松愉快地完成了。在统计知识的教学中，需要学生花费时间去获得数据 ，整理数据，分析数据，如果我们善于在课前布置这种合作型作业，为学生进行数学活动提供充分的思维空间和从事数学活动的机会，不但能提高课堂质效，还能提高学生的主动性。
合作型作业通过学生自主的学习活动，让学生在探究的过程中获得对社会的直接感受，尝试与人交流合作的乐趣，增加积极的数学情感体验，学会综合已有的知识来解决问题，感受数学知识服务于社会。
五、创意型作业
数学创作可以拓展学生想象的空间，增强和丰富他们的想象力，可以是数学设计、数学小论文、数学故事等不同形式。学生在对具体对象的问题设计中能体会到学习的快乐和成就感，创造型作业的设计能使学生的数学知识达到融会贯通，并在体验过程中逐渐建立知识体系。
案例：在学完了《停在黑砖上的概率》，笔者布置了如下的创意作业：
动手试一试，看谁的方法多：如图的长方形是一个飞镖游戏靶，请你用黑色的笔设计方案，使得飞镖射中靶子时，落在黑色阴影部分的概率为。
作业完成效果：学生很喜欢这类创作型作业，他们认真的设计方案，得到的方案至少有20种。这次作业我得到了意外的收获：学生在设计这些方案时，并不是盲目的凭感觉画图，而是根据长方形的性质来设计的，看着他们自信地讲解自己的设计方案，我相信此时他们对数学学习是充满憧憬的。
“兴趣是最好的老师”。创意型作业激发学生的学习兴趣，使学生成为学习的热情者。
总之，数学课外作业不仅是教师了解学生和检查教学效果的一个窗口，更是促进学生思维、智力、兴趣、意志等方面健康发展的有效途径，是学生把知识运用于实际的初步实践过程，同时也是培养学生自主学习能力、操作能力以及创新能力的重要手段。我们教师要注重开放性作业的设计，以学生为本，正发挥数学课外作业在教学中的作用，使学生的知识、能力和个性等得到协调发展。
参考文献：
[1] 教育部。数学课程标准（实验稿）[S].北京：北京师范大学出版社，2010.
[2] 陈丽英。新课程背景下实施数学创意作业的探索[J].教育导刊，2012（3）.
[3] 韩秋菊。精心设计练习 促进学生发展[J].小学数学教育，2007（1）.
勾股定理小论文【第五篇】
[关键词] 初中数学；成长；记录袋；内容
从当今查索的相关文件和著作我们发现，大部分都认同学生成长记录袋内容的描述是从两个方面进行的：一是笼统地描述放什么作品；二是对所放的作品根据不同的标准进行归类。 《数学课标》中有关成才记录袋有这样的描述：……成长记录袋里所收录的资料应该反映学生学习进步的一些资料，包括满意的作业、最喜欢的小制作、印象深刻的问题和解决过程、阅读数学读物的体会……数学教育界一致认为，初中生数学成长记录袋可以收录以下一些资料，这些资料应该能反映学生在数学学习方面的探索过程以及他们取得的进步。 （1）在日常生活中发现的数学问题；（2）收集的有关数学方面的资料；（3）解决问题的方案和过程；（4）获得报告或数学小论文；（5）解决问题的反思等。 这些都是从材料的类型去分析的。 由于材料本身的广泛性，很难穷尽所有的东西，所以只是采用列举的方式去刻画它。
有些研究是根据成长记录袋中的内容所具有的不同功能去划分的，如按照成长记录袋中目的的不同而分为过程性成才记录袋、目标型成长记录袋、展示型成长记录袋和评估型成长记录袋。 有的则是两个方面的结合，如表1.
作者从实际教学出发，采用实验的方法，对学生数学成长记录袋的内容进行了长期探索与研究，指导学生记录好个人的成长记录袋。 从所收集的成长记录来看（笔者做了精心的梳理后认为），其作品功能可以归纳为如下几个方面。
对学生知识技能进行归纳、梳理
初中数学记录袋中作品的内容应侧重于学生对数学基本知识的理解和掌握。 我们都知道，每学完一个章节后，教师都要指导学生对自己所学的内容进行整理和回顾，这样就能使学生了解到数学知识之间的相互联系，其中比较典型的是单元小结。 教师在让学生进行知识归纳时，应提出几点要求，如（1）单元小结：知识要点；方法；典型问题小结；经验总结。 （2）每章节一大结：对本章节知识的系统总结，找出规律性的东西；能够清楚地记忆本章节的内容，达到技能熟练、方法应用自如的境界。 （3）记录下学习过程中所遇到的难点以及疑惑点。 （4）写下学习过程中的收获和独特的思维方法。
例1 下面是学生的1篇学习总结。
最近两周我通过学习二元一次方程组后发现了其解法：代入消元法和加减消元法，掌握解二元一次方程组的基本思路是消元，即把二元变一元，把不可解的方程转化成可解的方程。 同样，在解三元一次方程组时，也用了这个思路。 运用二元（三元）一次方程组解决时间应用题是大家普遍觉得难的问题，但它有利于我们分析问题和解决问题能力的培养，也有利于我们创新思维能力的培养。
例2 我班某学生通过手抄报的形式，对整式运算进行了总结（整式的加减、整式的乘除、平方公式、幂的乘除、幂的乘方），并归纳了本班级教师和学生共同探索的方法。
例3 某学生的数学成长记录袋：有理数的运算律。
在我们进行有理数运算时，有的题目计算起来较麻烦，这时，需要借助有理数的运算律来进行简便运算。
先来谈谈一级运算：加减法。 加法有交换律与结合律，用字母表示如下：加法交换律――a+b=b+a，如6+4=4+6；加法结合律――（a+b）+c=a+（b+c），如（1+7）+3=1+（7+3）. 例如，31+（-28）+28+69=31+69+[（-28）+28]=100，这道题利用了加法交换律与结合律。 减法就是反过来，即a-（b+c）=a-b-c. 再来看看二级运算：乘除法。 乘法有交换律、结合律与分配律，用字母表示如下：乘法交换律――a・b=b・a，如×4=4×；乘法结合律――（a・b）・c=a・（b・c），如（×25）×4=×（25×4）；乘法分配律――a（b+c）=ab+ac，如10×
+=10×+10×. （备注：除法没有分配律，要先转化成乘法以后才能用分配律）
例4 某同学编制了一个数学学习的场景。
某海军陆战队队员在一个荒岛上训练，他带了28块面包，以每天平均用量为纵坐标0点，他7天的吃饭情况如表2. （多吃的为正）（表2）
（1）他每天各吃多少？
28÷7=4（块）
第一天：4+1=5（块）；
第二天：4-2=2（块）；
第三天：4-2=2（块）；
第四天：4+3=7（块）；
第五天：4-2=2（块）；
第六天：4+2=6（块）；
第七天：=（块）.
（2）他共吃了几块面包？还剩几块？
吃的面包数：5+2+2+7+2+6+=（块），还剩=（块）.
侧重能力方面的内容
《数学标准》中提到：……应该关注学生数学思考、问题解决能力的培养……我们都知道，这些能力主要体现在学生的数学学习过程中以及学习活动中，而数学成长记录袋所关注的恰好就是学生的学习过程和学生的发展过程，所以，数学成长记录袋的内容对于评价学生数学思考的过程以及学生数学问题的解决过程都具有不可估量的作用。
就能力方面的内容而言，我们认为，学生成长记录袋里的作品应该可以包含以下方面的内容：（1）用学过的数学知识展开一定社会范围内的调查，发现并研究一些社会问题。 比如日常生活垃圾的处理、大气污染、水资源的浪费等方面的社会问题调查。 （2）使用了比较独特的方法求得的满意的结果或者是想到了独特的解决问题的方法。 如一题多解。 （3）有创造性的、使用的、新奇的有关数学方面的小制作，有实践意义、创意的小论文。 如各种统计图表的制作；七巧板拼图等。 （4）收集一些日常生活中发现和应用的有关数学的问题。 如宴会、建房、租车预算方案设计中的数学问题。
如某学生收集了关于“一元一次方程的应用”的几个题目：
（1）小明父母月收入大约1280元，月支出大约1060元，每月结余大致相同，若要购买一台3300元的空调，要存钱多久？（解略）
（2）一个环形的交通十字路口已经塞车150辆，已知每分钟驶入路口75辆车，驶出路口78辆车，不考虑其他因素，这个路口要多久才能疏通？（解略）
（3）水库有蓄洪、抗灾、灌溉的功能。 一个水库的额定容积为10亿立方米，目前库存容积4亿立方米，水库有5个大型泄洪闸，每闸流量为每秒万立方米。 现在书库上游有每秒2万立方米的特大洪水来袭，预计将持续一天时间，问：从现在起应开启几个泄洪闸以保水库安全？（解略）
另外，数学成长记录袋中的作品也要做到培养学生的数学反思能力。 所以，数学成长记录袋中的内容不仅仅要反映学生的真实数学水平，而且应有助于学生对数学进行反思。 学生作品的选择可以有多种标准，不管哪种标准，都应该体现出这样一种思想――关注学生的成长过程和成长经验。 在学生的成长记录袋中既可以放一些学生成功的作品、最佳的解题答案，也可以选择一些学生不太成功的作品，易出错的问题试卷等。
侧重情感、价值观方面的内容
成长记录袋是学生的知心朋友，是学生心灵表达的一种载体，它不仅承载着学生知识获得过程中的点点滴滴，而且，还记载着学生的情感和对数学学习的信念。 它不是独立于知识、能力以外而独自存在的，它渗透在知识学习、能力获得的过程中，所以，设计记录袋时，要结合知识的回顾、数学思考的过程、解决问题的经历来体现学生的情感，常用的办法可以是让学生在每个章节的学习之后对其进行有效地回顾与思考。 教师可以提出几个具体的问题让学生去思考，如教学了“勾股定理”之后，可让学生进行回顾与反思，谈谈自己的学习情感和学习态度。 以下设计可供我们借鉴。
下面是某个学生对于“勾股定理”学习后的总结：“我学到了如何用数格子、拼图的方法探索勾股定理。 2002年的世界数学大会在中国举办，会标采用的就是勾股定理的拼图。 令我十分惊讶的是，当我们用四个全等的直角三角形摆出来的其中有一个转动的风车的图形，却作为与外星人联络的信号。 勾股定理有许多种证明方法，除了书上的方法外，我想我还能用边与角的关系来证明勾股定理。 通过“勾股定理”的学习，我发现，只要在学习数学时，自己多提出问题、多思考，多探究，就能把一些复杂的数学问题变得简单化，就能找到学习数学的兴趣。