2023中考数学因式分解的九种方法优推4篇

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初三数学因式分解法【第一篇】

许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等。把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下：

1、提公因法

如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1、分解因式x -2x -x（2003淮安市中考题）  解：x -2x -x=x（x -2x-1）

2、应用公式法

由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

例2、分解因式a +4ab+4b （2003南通市中考题） 解：a +4ab+4b =（a+2b）

3、分组分解法

要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a（m+n）+b（m+n），又可以提出公因式m+n，从而得到（a+b）（m+n）

例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = （m -5m ）+（-mn+5n） =m（m-5）-n（m-5） =（m-5）（m-n）

4、 十字相乘法

对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m，c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为（ax+d）（bx+c）

例4、分解因式7x2 -19x-6 分析： 1 -3 7 2

2-21=-19

解：7x2 -19x-6=（7x+2）（x-3）

5、配方法

对于那些不能利用公式法的。多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

例5、分解因式x2 +3x-40 解x2 +3x-40=x +3x+（ ） -（ ） -40 =（x+ ） -（ ） =（x+ + ）（x+ - ） =（x+8）（x-5）

6、拆、添项法

可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。

例6、分解因式bc（b+c）+ca（c-a）-ab（a+b）

解：bc（b+c）+ca（c-a）-ab（a+b）=bc（c-a+a+b）+ca（c-a）-ab（a+b）

=bc（c-a）+ca（c-a）+bc（a+b）-ab（a+b）=c（c-a）（b+a）+b（a+b）（c-a）=（c+b）（c-a）（a+b）

7、换元法

有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。

例7、分解因式2x2 - x -6x -x+2

解：2x -x -6x -x+2=2（x +1）-x（x +1）-6x =x [2（x + ）-（x+ ）-6

令y=x+ ， x [2（x + ）-（x+ ）-6 = x [2（y -2）-y-6] = x （2y -y-10） =x （y+2）（2y-5） =x （x+ +2）（2x+ -5） = （x +2x+1） （2x -5x+2） =（x+1） （2x-1）（x-2）

8、求根法

令多项式f（x）=0，求出其根为x ，x ，x ，……x ，则多项式可因式分解为f（x）=（x-x ）（x-x ）（x-x ）……（x-x ）

例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 解：令f（x）=2x +7x -2x -13x+6=0

通过综合除法可知，f（x）=0根为 ，-3，-2，1 则2x +7x -2x -13x+6=（2x-1）（x+3）（x+2）（x-1）

9、图象法

令y=f（x），做出函数y=f（x）的图象，找到函数图象与X轴的交点x ，x ，x ，……x ，则多项式可因式分解为f（x）= f（x）=（x-x ）（x-x ）（x-x ）……（x-x ）

例9、因式分解x +2x -5x-6 解：令y= x +2x -5x-6

作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2 则x +2x -5x-6=（x+1）（x+3）（x-2）

10、主元法

先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。

例10、分解因式a （b-c）+b （c-a）+c （a-b）

分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列

解：a （b-c）+b （c-a）+c （a-b）=a （b-c）-a（b -c ）+（b c-c b） =（b-c） [a -a（b+c）+bc] =（b-c）（a-b）（a-c）

11、利用特殊值法

将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。

例11、分解因式x +9x +23x+15

解：令x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7

注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值 则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）

12、待定系数法

首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

例12、分解因式x -x -5x -6x-4

分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。

解：设x -x -5x -6x-4=（x +ax+b）（x +cx+d） = x +（a+c）x +（ac+b+d）x +（ad+bc）x+bd 所以解得

则x -x -5x -6x-4 =（x +x+1）（x -2x-4）

初中数学良好学习习惯【第二篇】

1、课堂不认真听课

孩子的基础知识主要来自于课堂学习，而课堂效率高不高，很大程度上取决于孩子课上是否认真听课，倘若上课开小差，就很容易错过某个重点知识的讲解，导致课下花费很多时间去理解。

在这里建议孩子：

(1)同一时间只做一件事，不一心二用；

(2)学习要有计划性和目标性，并围绕计划和目标展开学习任务；

(3)做作业时，放在周围的东西一定要与当时学习的内容有关，从而减少注意力的分散，比如做语文时，就不要把数学摆到能看到地方；

(4)长时间的学习容易出现思维停滞的现象，所以要学会在合适的时候切换科目或者休息片刻。除了试卷练习外，建议在家里每学一小时，休息10分钟；

(5)身体是革命的本钱，精神不好，注意力肯定不能集中，所以平时得锻炼身体，劳逸集合；

(6)通过由易到难解决问题，建立学习自信心，培养学习兴趣，让兴趣和自信引导学习，近而提高集中力；

(7)学习之前的1小时内，避免做一些让自己兴奋的事，如剧烈运动后，人的身体是亢奋的，学习集中力会很低；

(8)课前要有预习，并在听课时要有主动性，尽量在听懂的基础上做笔记，而不是一味抄笔记，否则根本就没有思考的空间，实在听不懂一定要标记出来，课下尽快找老师或者听懂了同学给自己讲讲。

需要注意的是，预习是为了上课时发现和解决问题，而有的同学却觉得自己预习了，上课就不认真听了，这是不可取的。

2、学习无规划

很多孩子在学习上不知道自己要干什么，该干什么，老师和家长让做什么，自己就做什么。要知道，成绩好的学生一般计划性都很强，小到每日计划，大到学年计划都安排好了。所以，一个针对性地学习计划是很有必要的。

制定学习计划的思路：

学习计划是一个系统的计划，计划应该包括平时计划、阶段计划和长远计划：

计划类型

计划说明

平时计划

通常的学习常规和临时性安排为内容

阶段计划

以一个月或一个学期为一个周期

长远计划

长远计划以一年或几年为周期

在制定学习计划时，我们应先考虑的是长远计划，它应该是孩子的整个学期的最终学习目标或者升学目标，比如更长远的小升初择校，中考、高考进入哪所大学；稍小的长远目标可以是期末考试后年级排名在多少位，或者是数学能够考到多少分等；

其次，要想实现这个长远计划，就需要告诉孩子将长远计划分解成阶段计划，比如中考要考进想去的学校，那自己的成绩应该达到多少分，达到这个分数，要分阶段做好哪些事才能实现这个目标；再比如数学要提高30分，最近几周我要将哪块知识学好，要练多少题等；

确定好阶段计划后，还要将阶段计划分解成平时计划，比如要学好数学不等式，具体要再练哪些题，需要在哪一天完成等。

这样一步一步分解下来，大目标就变成中目标，中目标再变成小目标，执行起来就比较容易，可有效避免学习计划的不切实际造成孩子难以执行流于形式。

初三数学因式分解法【第三篇】

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。

1、运用公式法

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，

例如：

（1）a2-b2=（a+b）（a-b）；

（2）a2±2ab+b2=（a±b）2；

（3）a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）；

（4）a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）。

下面再补充几个常用的公式：

（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2；

（6）a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）；

（7）an-bn=（a-b）（an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1）其中n为正整数；

（8）an-bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1），其中n为偶数；

（9）an+bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1），其中n为奇数。

运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式。

例1 分解因式：a3+b3+c3-3abc。

本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式（6）。

分析 我们已经知道公式（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

的正确性，现将此公式变形为a3+b3=（a+b）3-3ab（a+b）。

这个公式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导。

解 原式=（a+b）3-3ab（a+b）+c3-3abc=[（a+b）3+c3]-3ab（a+b+c）

=（a+b+c）[（a+b）2-c（a+b）+c2]-3ab（a+b+c）=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）。

2、拆项、添项法

因式分解是多项式乘法的逆运算。在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零。在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项。拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解。

例2 分解因式：x3-9x+8。

分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧。

解法1 将常数项8拆成-1+9。

原式=x3-9x-1+9

=（x3-1）-9x+9

=（x-1）（x2+x+1）-9（x-1）

=（x-1）（x2+x-8）。

解法2 将一次项-9x拆成-x-8x。

原式=x3-x-8x+8

=（x3-x）+（-8x+8）

=x（x+1）（x-1）-8（x-1）

=（x-1）（x2+x-8）。

解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3。

原式=9x3-8x3-9x+8

=（9x3-9x）+（-8x3+8）

=9x（x+1）（x-1）-8（x-1）（x2+x+1）

=（x-1）（x2+x-8）。

解法4 添加两项-x2+x2。

原式=x3-9x+8

=x3-x2+x2-9x+8

=x2（x-1）+（x-8）（x-1）

=（x-1）（x2+x-8）。

说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种。

3、换元法

换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰。 例3 分解因式：（x2+x+1）（x2+x+2）-12。

分析 将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难。我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了。

解 设x2+x=y，则

原式=（y+1）（y+2）-12=y2+3y-10

=（y-2）（y+5）=（x2+x-2）（x2+x+5）

=（x-1）（x+2）（x2+x+5）。

说明 本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试。

4、双十字相乘法

分解二次三项式时，我们常用十字相乘法。对于某些二元二次六项式（ax2+bxy+cy2+dx+ey+f），我们也可以用十字相乘法分解因式。

例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3。我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为

2x2-（5+7y）x-（22y2-35y+3），

可以看作是关于x的二次三项式。

对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为 （x+2y）（2x-11y）=2x2-7xy-22y2； （x-3）（2x+1）=2x2-5x-3；

（2y-3）（-11y+1）=-22y2+35y-3。 这就是所谓的双十字相乘法。

用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：

（1）用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图（有两列）；

（2）把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx。

例4 分解因式：

x2-3xy-10y2+x+9y-2 解：

原式=（x-5y+2）（x+2y-1）

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，

例如： （1）a2-b2=（a+b）（a-b）；

（2）a2±2ab+b2=（a±b）2；

（3）a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）；

（4）a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）。

下面再补充几个常用的公式：

（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2；

（6）a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）；

（7）an-bn=（a-b）（an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1）其中n为正整数；

（8）an-bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1），其中n为偶数；

（9）an+bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1），其中n为奇数。

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，

例如： （1）a2-b2=（a+b）（a-b）；

（2）a2±2ab+b2=（a±b）2；

（3）a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）；

（4）a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）。

下面再补充几个常用的公式：

（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2；

（6）a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）；

（7）an-bn=（a-b）（an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1）其中n为正整数；

（8）an-bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1），其中n为偶数；

（9）an+bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1），其中n为奇数。

因式分解的方法与技巧【第四篇】

1、 提公因法

如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1、 分解因式x3 -2x 2-x

x3 -2x2 -x=x(x2 -2x-1)

2、 应用公式法

由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

例2、分解因式a2 +4ab+4b2

解：a2 +4ab+4b2 =(a+2b)2

3、 分组分解法

要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)

例3、分解因式m2 +5n-mn-5m

解：m2 +5n-mn-5m= m 2-5m -mn+5n

= (m2 -5m )+(-mn+5n)

=m(m-5)-n(m-5)

=(m-5)(m-n)

4、 十字相乘法

对于mx2 +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)

例4、分解因式7x2 -19x-6

分析： 1 ×7=7, 2×(-3)=-6

1×2+7×(-3)=-19

解：7x2 -19x-6=(7x+2)(x-3)

5、配方法

对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

例5、分解因式x2 +6x-40

解x2 +6x-40=x2 +6x+( 9) -(9 ) -40

=(x+ 3)2 -(7 ) 2

=[(x+3)+7]*[(x+3) – 7]

=(x+10)(x-4)

6、拆、添项法

可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。

例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

=(c+b)(c-a)(a+b)

7、 换元法

有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。

例7、分解因式2x4 –x3 -6x2 -x+2(也叫相反式，在这里以二次项系数为中心对称项的系数是相等的，如四次项与常数项对称，系数相等，解法也是把对称项结合在一起)

解：2x 4–x3 -6x2 -x+2=2(x4 +1)-x(x2 +1)-6x2

=x2 {2[x2 + ()2]-(x+ )-6}

令y=x+ ,

x2 {2[x2 +( )2]-(x+)-6}

= x2 [2(y2 -2)-y-6]

= x2 (2y2 -y-10)

=x 2(y+2)(2y-5)

=x2 (x+ +2)(2x+ -5)

= (x2 +2x+1) (2x2 -5x+2)

=(x+1)2 (2x-1)(x-2)

8、 求根法

令多项式f(x)=0,求出其根为x1,x2 ,x3 ,……xn ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x1 )(x-x 2)(x-x3 )……(x-xn ) (一般情况下是试根法，并且一般试-3,-2,-1,0,1,2,3这些数是不是方程的根)

例8、分解因式2x4 +7x3 -2x2 -13x+6

解：令f(x)=2x4 +7x3 -2x2 -13x+6=0

通过综合除法可知，f(x)=0根为 ，-3，-2，1 ,

则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)

9、 图象法(这种方法在以后学函数的时候会用到。现在只是作为了解内容，它和第八种方法是类似的)

令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,……xn ，则多项式可因式分解为

f(x)= f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3)……(x-xn )

例9、因式分解x3 +2x2 -5x-6

解：令y= x3 +2x2 -5x-6

作出其图象，可知与x轴交点为-3，-1，2

则x3 +2x 2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)

10、 主元法

先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。

例10、分解因式a2 (b-c)+b2 (c-a)+c2 (a-b)

分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列

解：a2 (b-c)+b2 (c-a)+c2 (a-b)=a2 (b-c)-a(b2 -c 2)+bc(b-c)

=(b-c) [a2 -a(b+c)+bc]

=(b-c)(a-b)(a-c)

11、 利用特殊值法

将2或10(或其它数)代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。例11、分解因式x 3+9x2 +23x+15

解：令x=2，则x3 +9x 2+23x+15=8+36+46+15=105

将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7

注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值

则x3 +9x2 +23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)

12、待定系数法

首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

例12、分解因式x4 –x3 -5x2 -6x-4

如果已知道这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。

解：设x4 –x3 -5x2 -6x-4=(x2 +ax+b)(x2 +cx+d)

= x4 +(a+c)x3 +(ac+b+d)x2 +(ad+bc)x+bd

从而a+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4

所以 解得

则x4 –x3 -5x2 -6x-4 =(x 2+x+1)(x2 -2x-4)。