函数的图像精编4篇
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函数的图象1
一、目的要求
1.使学生能画出正比例函数与一次函数的图象。
2.结合图象，使学生理解正比例函数与一次函数的性质。
3.在学习的基础上，使学生进一步理解正比例函数和一次函数的概念。
二、内容分析
1、对函数的研究，在初中阶段，只能是初步的。从方法上，是用初等方法，即传统的初等数学的方法，而不是用极限、导数等高等数学的基本工具，并且，比起高中对函数的研究，更多地依赖于图象的直观，从研究的内容上，通常，包括定义域、值域、函数的变化特征等方面。关于定义域，只是在开始学习函数概念时，有一个一般的简介，在具体学习几种数时，就不一一单独讲述了，关于值域，初中暂不涉及，至于函数的变化特征，像上升、下降、极大、极小，以及奇、偶性、周期性，连续性等，初中只就一次函数与反比例函效的升降问题略作介绍，其它，在初中都不做为基本教学要求。
2、关于一次函数图象是直线的问题，在前面学习节时，利用几何学过的角平分线的性质，对函数y=x的图象是一条直线做了一些说明，至于其它种类的一次函数，则只是在描点画图时，从直观上看出，它们的图象也都是一条直线，教科书没有对这个结论进行严格的论证，对于学生，只要求他们能结合y=x的图象以及其它一些一次函数图象的实例，对这个结论有一个直观的认识就可以了。
三、教学过程
复习提问：
1.什么是一次函数？什么是正比例函数？
2.在同一直角坐标系中描点画出以下三个函数的图象：
y=2x y=2x-1 y=2x+1
新课讲解：
1.我们画过函数y=x的图象，并且知道，函数y=x的图象上的点的坐标满足横坐标与纵坐标相等的条件，由几何上学过的角平分线的性质，可以判断，函数y=x，这是一个一次函数(也是正比例函数)，它的图象是一条直线。
再看复习提问的第2题，所画出的三个一次函数的图象，从直观上看，也分别是一条直线。
一般地，一次函数的图象是一条直线。
前面我们在画一次函数的图象时，采用先列表、描点，再连续的方法。现在，我们明确了一次函数的图象都是一条直线。因此，在画一次函数的图象时，只要在坐标平面内描出两个点，就可以画出它的图象了。
先看两个正比例项数，
y=
与 y=-
由这两个正比例函数的解析式不难看出，当x=0时，
y=0
即函数图象经过原点。(让学生想一想，为什么？)
除了点(0，0)之外，对于函数y=，再选一点(1，)，对于函数y=-。再选一点(1，一)，就可以分别画出这两个正比例函数的图象了。
实际画正比例函数y=kx(k≠0)的图象，一般按以以下三步：
(1)先选取两点，通常选点(0，0)与点(1，k)；
(2)在坐标平面内描出点(0， o)与点(1，k)；
(3)过点(0，0)与点(1，k)做一条直线。
这条直线就是正比例函数y=kx(k≠0)的图象。
观察正比例函数 y= 的图象。
这里，k＝＞0.
从图象上看， y随x的增大而增大。
再观察正比例函数 y＝- 的图象。
这里，k＝一＜0
从图象上看， y随x的增大而减小
实际上，我们还可以从解析式本身的特点出发，考虑正比例函数的性质。
先看
y=
任取两对对应值。 (x1,y1)与(x2,y2)，
如果x1＞x2，由k＝＞0，得
＞
即 yl＞y2
这就是说，当x增大时，y也增大。
类似地，可以说明的y＝- 性质。
从解析式本身特点出发分析正比例函数性质，可视学生程度考虑是否向学生介绍。
一般地，正比例函数y=kx(k≠0)有下列性质：
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
2、讲解教科书节例1.与画正比例函数图象类似，画一次函数图象的关键是选取适当的两点，然后连线即可，为了描点方便，对于一次函数
y=kx+b(k,b是常数，k≠0)
通常选取
(o，b)与(-
两点，
对于例 l中的一次函效
y=2x+1与y=-2x+1
就分别选取
(o，1)与(一，2)，
还有
(0，1)—与().
在例1之后，顺便指出，一次函数y＝kx+b的图象，习惯上也称为直线) y＝kx+b
结合例1中的两个一次函数的图象，就可以得到与正比例函数类似的关于一次函数的两条性质。
对于一次函数的性质，也可以从一次函数的解析式分析得出，这与正比例函数差不多。
课堂练习：
教科书节第一个练习第l—2题，在做这两道练习时，可结合实例进一步说明正比例函数与一次函数的有关性质。
课堂小结：
1.正比例函数y=kx图象的画法：过原点与点(1，k)的直线即所求图象。
2. 一次函数y＝kx+b图象的画法：在y轴上取点(0，6)，在x轴上取点，0)，过这两点的直线即所求图象。
3.正比例函数y=kx与一次函数y＝kx+b的性质(由学生自行归纳).
四、课外作业
1.教科书习题组第l一3题。
2.选作教科书习题组第1题。
函数的图像2
教学目标
(一)知道函数图象的意义；
(二)能画出简单函数的图象，会列表、描点、连线；
(三)能从图像上由自变量的值求出对应的函数的近似值。
教学重点和难点
重点：认识函数图象的意义，会对简单的函数列表、描点、连线画出函数图象。
难点：对已知图象能读图、识图，从图象解释函数变化关系。
教学过程 设计
(一)复习
1.什么叫函数？
2.什么叫平面直角坐标系？
3.在坐标平面内，什么叫点的横坐标？什么叫点的纵坐标？
4.如果点A的横坐标为3，纵坐标为5，请用记号表示点A(答：A(3，5)).
5.请在坐标平面内画出A点。
6.如果已知一个点的坐标，可在坐标平面内画出几个点？反过来，如果坐标平面内的一个点确定，这个点的坐标有几个？这样的点和坐标的对应关系，叫做什么对应？(答：叫做坐标平面内的点与有序数对一一对应)
(二)新课
我们在前几节课已经知道，函数关系可以用解析式表示。像y=2x+1就表示以x为自变量时，y是x的函数。
这个函数关系中，y与x的对应关系，我们还可以用在坐标平面内画出图象的方法表示。
具体做法是
第一步：列表。(写出自变量x与函数值的对应表)先确定x的若干个值，然后填入相应的y值。
(这种用表格表示函数关系的方法叫做列表法)
第二步：描点，对于表中的每一组对应值，以x值作为点的横坐标，以对应的y值作为点的纵坐标，便可画出一个点。也就是由表中给出的有序实数时，在直角坐标中描出相应的点。
第三步：连线，按照横坐标由小到大的顺序把相邻两点用线段连结起来，得到的图形就是函数式y=2x+1图象。
例1 在同一直角坐标系中画出下列函数式的图像：
(1) y=-3x; (2)y=-3x+2; (3) y=-3x-3.
分析：按照列表、描点、连线三步操作。
解：
它们的图象分别是图13-25中的(1)，(2)，(3).
例2 某化我厂1月到12日生产某种产品的统计资料如下：
(1) 在直角坐标系中以月份数作为点的横坐标，以该月的产值作为点的纵坐标画出对应的点。把12个点画在同一直角坐标系中。
(2) 按照月份由小到大的顺序，把每两个点用线段连接起来。
(3) 解读图像：从图说出几月到几月产量是上升的、下降的或不升不降的。
(4) 如果从3月到6月的产量是持逐平稳增长的，请在图上查询4月15日的产量大约是多少吨？
解：(1)，(2)见图13-26.
(3) 产量上升：1月到2月；3月，4月，5月，6月逐月上升；10月，11月，12月逐月上升。产量下降：8月到9月，9月到10月。产量不升不降：2月到3月；6月到7月，7月到8月。
(4)过x轴上的处作y轴的平行线，与图象交于点A，则点A的纵坐标约，所以4月15日的产量约为吨。
(三)课堂练习
已知函数式y=-2x.用列表(x取-2，-1，0，1，2)，描点，连线的程序，画出它的图象。
(四)小结
到现在，我们已经学过了表示函数关系的方法有三种：
1.解析式法——用数学式子表示函数关系。
2.列表法——通过列表给出函数y与自变量x的对应关系。
3.图象法——把自变量x作为点的横坐标，对应的函数值y作为点的纵坐标，在直角坐标系描出对应的点。所有这些点的集合，叫做这个。用图象来表示函数y与自变量x对应关系。
这三种表示函数的方法各有优缺点。
1.用解析法表示函数关系
优点：简间明了。能从解析式清楚看到两个变量之间的全部相依关系，并且适合于进行理论分析和推导计算。
缺点：在求对应值时，有进要做较复杂的计算。
2.用列表法表示函数关系
优点：对于表中自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把函数值找到，查询时很方便。
缺点：表中不能把所有的自变量与函数对应值全部列出，而且从表中看不出变量间的对应规律。
3.用图象法表示函数关系
优点：形象直观。可以形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质，把抽象的函数概念形象化。
缺点：从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值。
函数的三种基本表示方法，各有各的优点和缺点。因此，要根据不同问题与需要，灵活地采用不同的方法。在数学或其他科学研究与应用上，有时把这三种方法结合起来使用，即由已知的函数解析式，列出自变量与对应的函数值的表格，再画出它的图像。
(五)作业
1.在图13-27中，不能表示函数关系的图形有( ).
(A) (a),(b),(c) (B)(b),(c),(d) (C) (b),(c)(e) (D)(b),(d),(e)
2.函数 的图象是图13-28中的( ).
3.矩形的周长是12cm，设矩形的宽为x(cm),面积为y(cm2).
(1) 以x为自变量，y为x的函数，写出函数关系式，并在关系式后面注明x的取值范围；
(2) 列表、描点、连线画出此函数的图象。
4.(1) 画出函数y=- x+2的图象(在-4与4之间，每隔1取一个x值，列表；并在直角坐标系中描点画图)；
(2) 判断下列各有序实数地是不是函数。y=- x+2的自变量x与函数y的一对对应值，如果是，检验一下具有相庆坐标的点是否在你所画的函数图像上：
5.画出下列函数的图象：
(1) y=4x-1; (2)y=4x+1.
6.图13-29是北京春季某一天的气温随时间变化的图象。根据图象回答，在这一天：
(1)8时，12时，20时的气温各是多少；
(2)最高气温与最低气温各是多少；
(3)什么时间气温高，什么时间气温最低。
7.画出函数y=x2的图象(先填下表，再描点，然后用平滑曲线顺次连结各点)；
8.画出函数 的图象(先填下表，再描点，然后用平滑曲线顺序连结各点)：
作业 的答案或提示
1.选(C).因为对应于x的一个值的y值不是唯一的。
2.选(D).当x＜0时，｜x｜=-x,所以 ,当x＞0时，｜x｜=x,所以
3.
(1) y=x(6-x)其中0＜x＜6，(图13-30).
(2)
4.
5.
见图13-32.
6.(1) 8时约5℃，12时约11℃，20时约10℃.
(2) 最高气温为12℃，最低气温为2℃.
(2) (2) 14时气温最高，4时气温最低。
7.
课堂教学设计说明
1.在建立平面直角坐标系后，点的坐标(有序实数对)与坐标平面内的点一一对应；不同的坐标与不同的点一一对应；函数关系与动点轨迹一一对应。把抽象的数量关系与形象直观的图形联系起来，通过解读图象，了解抽象的数量关系，这种“数形结合”，是数学中的一种重要的思想方法。
2.本课的目标是使学生会画函图象，并会解读图象，即会从图象了解到抽象的数量关系。为此，先在复习旧课时，着重提问会标平面上的点与有序实数对一一对应。接着在新课开始时介绍了画函数图象的三个步骤。
3.教学设计中的例3，即训练学生从已有数据画图象，又训练学生逆向思维、解读图象、在图象上估计某日产量的能力。对函数图象功能有一个完整的认识。
4.在小结中，介绍了函数关系的三种不示方法，并说明它们各自的优缺点。有利于对函数概念的透彻理解。
5.作业 中的第1～3题，对训练函数概念及函数图象很有帮助。
第1题，目的要说明，对于x的一个值，必须是唯一的值与之对应。而(b),(c),(e)都是对于x一个值，y有不止一个值与之对应，所以y不是x的函数。本题还训练解读形的能力。
第2题，训练学生分类讨论的数学思想，在去掉绝对值符号对，必须分x≥0与x＜0讨论。
第3题，训练学生根据已知条件建立函数解析式，并列表、描点、连线画出图象的能力。
这些都是学习函数问题时应具备的基本功。
函数的图象3
教学目标：
1、培养学生看图识图的能力。
2、在识图过程中，渗透数形结合的数学思想。
3、从不同知识的背景提取的对象，可以使学生认识到数学的广泛应用性。
4、激发学生学习数学的兴趣，培养学生的探索精神
教学重点：培养学生看图识图的能力
教学难点：渗透数形结合的数学思想
教学用具：计算机、投影机
教学方法：谈话法、分组讨论
教学过程：
1、阅读习题的第四题
学生阅读后，老师可以提问学生，分别回答：
下图是北京春季某一天的
2、提出看图说图的重要性
随着计算机的普及，很多软件都可以做到输入解析式后，立刻显示出函数图象来，这样看图、识图就变得相当重要了。从上题就可以看出，图形的表示更直观，一目了然。也便于分析结论。数学不仅有数的一面，也有“形”的一面。美国著名数学家M克莱茵曾指出：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄。但是当这两门科学结合成伴侣时，它们就相互吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善。”数学具有广泛的应用性，其它学科和日常生活都可以找到应用数学解决问题的例子。
3、为学生提供相对丰富的素材，体会以图识性。
例1、如图所示，A、B两条曲线表示A、B两种物质在不同温度时的相应溶解度，现有未饱和的A、B溶液各一杯，它们的温度都是 .如果不准增加A、B两种溶质，请你想一想，用什么办法能分别把它们变成饱和溶液？
（读题后，可组织学生分组讨论。若学生还没有学习相应的化学知识，老师可以解释一下。一般学生都能理解。关键是学生都从图中看出了什么。既有定量的分析，又能得出定性的规律）.
从A、B的溶解度曲线分析，随着温度升高，A物质的溶解度增大很快，而物质B的溶解度变化不大，针对这两种不同的特征，可以采用不同的方法。
如对未饱和的A溶液，可以采用降低温度的使它饱和因为根据A物质的曲线，可以看出，降低温度，物质A的溶解度会迅速减小。
而对B物质来讲，它的溶解度受温度的影响变化不大，要把不饱和溶液变为饱和，就需要用减少溶剂的办法。把溶液加热，使溶剂蒸发掉一些。溶剂逐渐减少到一定程度，不饱和的溶液就会变成饱和的了。
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函数的图像4
正弦函数、余弦函数的图像和性质（第一课时）
（一）教学具准备
直尺、圆规、投影仪。
（二）教学目标
1.了解作正、余弦函数图像的四种常见方法。
2.掌握五点作图法，并会用此方法作出 上的正弦曲线、余弦曲线。
3.会作正弦曲线的图像并由此获得余弦曲线图像。
（三）教学过程 （可用课件辅助教学）
1.设置情境
引进弧度制以后， 就可以看做是定义域为 的实变量函数。作为函数，我们首先要关注其图像特征。本节课我们一起来学习作正、余弦函数图像的方法。
2.探索研究
（1）复习正弦线、余弦线的概念
前面我们已经学习过三角函数线的概念及作法，请同学们回忆一下什么叫正弦线？什么叫余弦线？（师画图1）
设任意角 的终边与单位圆相交于点 ，过点作 轴的垂线，垂足为 ，则有向线段 叫做角 的正弦线，有向线段 叫做角 的余弦线。
（2）在直角坐标系中如何作点
由单位圆中的正弦线知识，我们只要已知一个角 的大小，就能用几何方法作出对应的正弦值 的大小来，请同学们思考一下，如何用几何方法在直角坐标系中作出点 ？
教师引导学生用图2的方法画出点 .
我们能否借助上面作点 的方法在直角坐标系中作出正弦函数 ， 的图像呢？
①用几何方法作 ， 的图像
我们知道，作函数的图像的步骤是：列表、描点、连结；如果我们用列表法得出各点的坐标，就会因各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值不够精确，使得描点后画出的图像误差也大，为克服这一不足，我们用前面作点 的几何方法来描点，从而使图像的精确度有了提高。
（边画图边讲解），我们先作 在 上的图像，具体分为如下五个步骤：
a.作直角坐标系，并在直角坐标系中 轴左侧画单位圆。
b.把单位圆分成12等份（等份越多，画出的图像越精确）.过单位圆上的各分点作 轴的垂线，可以得到对应于0， ， ， ，…， 角的正弦线。
c.找横坐标：把 轴上从0到 （ ）这一段分成12等分。
d.找纵坐标：将正弦线对应平移，即可指出相应12个点。
e.连线：用平滑的曲线将12个点依次从左到右连接起来，即得 ， 的图像。
②作正弦曲线 ， 的图像。
图为终边相同的角的三角函数值相等，所以函数 ， ， 且 的图像与函数 ， 的图像的形状完全一样，只是位置不同，于是我们只要将函数 ， 的图像向左、右平移（每次 个单位长度），就可以得到正弦函数数 ， 的图像，如图1.
正弦函数 ， 的图像叫做正弦曲线。
③五点法作 ， 的简图
师：在作正弦函数 ， 的图像时，我们描述了12个点，但其中起关键作用的是函数 ， 与 轴的交点及最高点和最低点这五个点，你能依次它们的坐标吗？
生：（0，0）， ， ， ，
师：事实上，只要指出这五个点， ， 的图像的形状就基本确定了，以后我们常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连结起来，就得到函数的简图，这种作图的方法称为“五点法”作图。
④用变换法作余弦函数 ， 的图像
因为 ，所以 ， 与 是同一个函数，即余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移 个长度单位角得到，余弦函数的图像叫做余弦曲线，如图2，师：请同学们说出在函数 ， 的图像上，起关键作用的五个点的坐标。
生：（0，1）， ， ， ，
3.例题分析
例1画出下列函数的简图：
（1） ， ；
（2） ， .
解：（1）按五个关键点列表
0
0
1
0
－1
0
1
2
1
0
1
利用五点法作出简图3
师：请说出函数 与 的图像之间有何联系？
生：函数 ， 的图像可由 ， 的图像向上平移1个单位得到。
（2）按五个关键点列表
0
1
0
－1
0
1
－1
0
1
0
－1
利用五点法作出简图4
师： ， 与 ， 的图像有何联系？
生：它们的图像关于 轴对称。
练习：
（1）说出 ， 的单调区间；
（2）说出 ， 的奇偶性。
参考答案：（1）由 ， 图像知、 ， 为其单调递增区间， 为其单调递减区间
（2）由 ， 图像知 是偶函数。
4.总结提炼
（1）本课介绍了四种作 ， 图像的方法，其中五点作图法最常用，要牢记五个关键点的选取特点。
（2）用平移诱变法，由 这不是新问题，在函数一章学习平移作图时，就使用过，请同学们作比较。应该说明的是由 平移量是不惟一的，方向也可左可右。
5.演练反馈，（投影）
（1）在同一直角坐标系下，用五点法分别作出下列函数的图像
① ， ② ，
（2）观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件的 的区间。
① ， ② ， ③ ， ④
（3）画出下列函数的简图
① ， ② ， ③ ，
参考答案：
（1）
（2）① ， ， ② 、 ，
③ ④
（3）
（五）板书设计
课题
1.正、余弦函数线
2.作点
3.作 ， 的图像
4.五点法作正弦函数图像
5.变换法作 的图像
6.五点法作余弦函数图像
7.例题
（1）
（2）
演练反馈
总结提炼
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