条件概率范例【优质5篇】

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条件概率【第一篇】

关键词：条件概率；要素；特征；正例；反例

条件概率是概率论的最重要的概念之一。然而执教过这部分内容的教师，都有这样的感受：“条件概率”这一概念比较抽象，学生理解比较困难，遇到实际问题一做就错。如何突破这一难点？下面结合笔者的教学实践，谈谈对条件概率教学的一些建议。

一、结合条件概率的正例，让学生充分领略概念内涵中各要素的不同特征，形成关于条件概率的初步认识

条件概率的定义：设A和B为同一概率空间的两个随机事件，则在已知B发生的条件下，事件A发生的概率称为已知B发生的条件下A发生的条件概率，简称为A关于B的条件概率，记作P（A|B）。

条件概率P（A|B）这一概念的内涵包含三个要素：一个是事件A，另一个是事件B，还有一个是条件关系，三者不可或缺。事件A的特征，在于它的随机性。事件B的特征，在于它的确定性，B是已经发生的事件，不再是随机事件。而条件关系的特征，在于其表达方式的灵活多样性，在许多场合它是由一个显明的条件结构表示的，如“已知……的条件下，求……的概率”等，而在另一些场合中，它却不是用显明的条件结构表示的。

对于条件概率内涵各个要素的相应特征，教师应结合实例有计划、分步骤地进行渗透，正所谓“随风潜入夜，润物细无声”，这样比较容易为学生所接受。

例1.随机抛掷一颗质地均匀的骰子，试解答下列问题：

（1）求掷出的点数不超过3的概率；（2）已知掷出了偶数点，求掷出的点数不超过3的概率。

在例1（2）的条件概率P（A|B）中，A是随机事件；B是已经发生的事件，在这里有很明显的标志：“已知掷出了偶数点”；而条件关系具有一种显明的条件结构：“已知……发生，求……的概率”。在这三个要素中，事件B是关键的核心的要素，其本质特征是“已经发生”，这一点应当充分强调，务必使大家都能够认识到。另外，符号A|B表示在B发生的条件下事件A也发生这一随机事件，n（A|B）表示事件A|B中的样本点数。

例2.某一天甲、乙、丙三人得到一张电影票，他们商定按甲乙丙的顺序抽签确定这张电影票的得主。

（1）已知乙抽到了电影票，求甲抽到电影票的概率；

（2）已知丙没有抽到电影票，求甲抽到电影票的概率。

例2（1）的条件关系具有显明的条件结构：“已知……，求……的概率”。在这种显明的条件关系中，其条件事件可以是形式上的条件。在例2（1）中，由于事件B是在事件A之后发生的，故事件B发生与否不可能在真正意义上影响事件A的发生，故B与A的条件关系只是形式上的条件关系。值得指出，这种条件概率有实际用处，如公安破案中。在例2（2）中，■与A的条件关系也是如此。我们注意到，在例2（1）和（2）中算得的甲抽到电影票的概率是不同的。这是为什么呢？这完全是由于观察者得到的信息不同所致。

紧接着，我们应当引入条件概率的计算公式：如果P（A）＞0，则P（A|B）=■。

证明：对于条件概率的一般情形做出证明并不容易，这里只对古典概型的情形给出证明。设试验E的样本空间是Ω。在已知事件B发生的条件下，B成为新的样本空间，且B的样本点具有等可能性。我们借助韦恩图可以看出：n（A|B）=n（AB）。于是由古典概型的概率公式有P（A|B）=■=■=■=■。

这样就得到了计算条件概率的第二计算方法：公式法。实现了由条件概率向无条件概率的第二次过渡。

二、结合条件概率的反例，对概念的要素再作具体界定，即所谓概念内涵的“深加工”，使学生更准确地把握概念的细节，加深对条件概率的认识

例1.甲、乙两人共同加工100个零件，甲加工60个，正品55个，乙加工40个，正品30个，从中任取1件。求：（1）取到的是正品的概率；（2）取到的是甲生产的正品的概率。

即事件“取到的是甲生产的正品”发生，当且仅当事件“取到的是甲生产的产品”和“取到的是正品”都发生，故任取1件产品，取到的是甲生产的正品的概率为P（AB）=■=。

例2.在一个盒子中有大小一样的20个球，其中有10个红球、10个白球。某人无放回地依次从中摸出2个球，求第1次摸出红球后，第2次摸出白球的概率。

即事件“第1次摸出红球后，第2次摸出白球”发生，当且仅当事件“第一次摸出红球”和“第二次摸出白球”都发生，故其概率为P（A|B）=P（A）P（B|A）=■×■=■=。

三、通过条件概率的变式练习和对“疑似条件概率”的纠错练习，巩固对条件概率的认识

引入条件概率的目的有两个：一是对已知信息的充分利用，这就需要我们正确地计算条件概率；二是以现有的条件概率为基础计算更加复杂的概率。为了巩固对条件概率的这些认识成果，应适当做一些相应的变式练习，但也应控制好难度。在教学中，应先让学生自己解答，再针对学生出现的错误进行剖析，以提高学生的辨析能力。

四、通过对概念本质特征的再挖掘，进一步提高对条件概率的认识水平

值得指出：在条件概率P（A|B）的定义中，还得规定P（B）＞0。这表面上看起来是条件概率P（A|B）的计算公式P（A|B）=■的要求。其实，还有更深层次的原因。这样我们得到了两个相互矛盾的结果：“A与B独立”和“A与B不独立”。为了规避这种矛盾，必须在条件概率P（A|B）的定义中限定P（B）＞0。关于这一点，教师在备课时应当明白，但在教学时则应视学生的实际情况因人制宜，把握好分寸。

在条件概率P（A|B）内涵的诸要素中，事件B是核心要素。“已经发生”，是事件B的本质特征。事件B的这一本质特征，正是我们开启条件概率神秘大门的金钥匙。教学时，我们必须牢牢把

握它。

参考文献：

［1］金天寿。对事件独立性的再认识［J］.数学通报，2012.

［2］杨义群。初等概率教学中定义条件概率的二个问题探讨［J］.教学与研究，1984.

［3］杨志文。一道例题教学的困惑谈条件概率教学［J］.中学数学教学参考，2009.

条件概率【第二篇】

关键词：条件概率； 教学设计； 应用案例

一、前言

条件概率是高中概率阶段的一个重要内容， 对于概率概念的理解以及计算都有重要意义。 由于条件概率与概念既有联系又有区别， 因此， 对于高中学生来说， 容易使其产生理解混乱， 使用概念是不知所措， 因此对于此概念的教学环节设计尤为重要。本论文结合个人的体会， 给出条件概率教学环节设计的要素， 以期能引起同行的讨论， 起到抛砖引玉的效果。

二、导入设计

合适的导入设计对于该条件概率的理解是十分有帮助的。 导入设计要基于学生已经学过的概率模型和计算方法， 这样有利于形成良好的学习迁移。 因此， 在条件概率的设计中， 我设计了两个简单的案例， 重点在于突出条件概率的特点， 而不是偏重于概率计算。 于是， 对计算中的数据进行了简单化处理。

引例1. 某班级有N个同学， 色盲患者有 人， 女同学有 人， 女同学中有色盲的为 人， 如果一个老师随机点名， 恰好点到的为一女同学， 求该女同学为色盲的概率。

解 以A表示“任选一人为色盲”， 以B表示“任选一人为女同学”， 则所求的概率为 ， 显然有 另外一方面， 我们很容易得到

于是我们有

引例2. 设 为有界区域， 若已知B发生， 试求A发生的概率。

解：

定义1. 设 为概率空间， A与B均为事件， 且 ， 定义

称 为在事件B发生的条件下事件A发生的概率。

三、概念理解

在上述引例的教学过程中， 应该引导学生注意如下几点：

1. 条件概率的计算有两个方法， 其中一个是直观理解的那样， 压缩了考虑问题的范围， 即压缩了样本空间。 另外一个是由此归纳出了一个一般化的条件概率的定义， 这个定义本质上是一个公式， 联系了概率与条件概率的关系。

2. 条件概率的定义既是定义也是公式， 在运用这个定义求解概率计算问题时， 取决于我们可以利用的数学条件， 如果条件有利于压缩空间， 则利用直接计算的方法。 如果条件有利于利用已有的概率， 则要利用公式法。 澄清这一点， 有利于学生在应试中更好的发挥所学。

3. 条件概率的认识上有几个容易形成误解的地方， 譬如， 会简单的认为

这其实是不正确的理解， 因此， 需要结合后面的应用例子设计， 让学生更好的理解这个概念。

四、应用环节设计

案例1. 结合引例1， 计算 和 ， 通过对比计算， 既可以很好的理解到 和 是不同的。

参考文献

[1] 金天寿。 浅谈条件概率的教学。 数学通报， 2012年第6期限。

[2] 随倩倩。 评估学生条件概率学习的困难。 华东师范大学硕士毕业论文， 2012年。

条件概率范文【第三篇】

关键词条件概率；概率；随机试验；事件；抽签

一、课本上思考问题的另一种解法

思考问题（见数学选修2―3第二章节）：3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取，如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率是多少？

课本解法：用A表示第一名同学没有抽到中奖奖券的事件，B表示最后一名同学抽到中奖奖券的事件，Y表示抽到中奖奖券，N表示没抽到中奖奖券，则B={NNY}，A={N NY，N Y N}，由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率是n（B）[]n（A）=1[]2，由此引出条件概率定义：P（B|A）=n（AB）[]n（A）

另一解法：用A表示第一名同学没有抽到中奖奖券的事件，B表示最后一名同学抽到中奖奖券的事件，所有的基本事件为两张不中奖奖券和1张能中奖奖券，一名同学抽奖后，剩余的基本事件全体为Ω={1张中奖奖券，1张不能中奖奖券}，含B的基本事件是{1张中奖奖券}，由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率是1[]2，由此启发我们给出条件概率的另一定义：P（B|A）=A发生后剩余的含B的基本事件个数/A发生后剩余的基本事件总数。

本文称之为条件概率的第三定义。本定义较之课本给出的条件概率定义，学生比较容易理解和掌握。

二、条件概率第三定义应用举例

例1 （见数学选修2―3第二章节P60页）在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率。

解 设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，第1次抽到理科题后剩余的题数是4道，其中2道理科题，

由条件概率第三定义可知，

P（B|A）=2[]4，即P（B|A）=1[]2.

例2 （见数学选修2―3第二章节P61页）从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽1张，已知第1次抽到A，求第2次也抽到A的概率。

解 设第1次抽到A为事件B，第2次也抽到A为事件C，第1次抽到A后剩余的基本事件总数是51，第1次抽到A后剩余的A扑克牌有3张，

所以，依据条件概率第三定义得，P（C|B）=3[]51

例3 （见数学选修2―3第二章节P61页）100件产品中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件，已知第1件抽出的是次品，求第2次抽出正品的概率。

解 设第1件抽出的是次品为事件A，第2次抽出正品为事件B，第1件抽出次品后剩余的基本事件总数是99，第1件抽出次品后剩余的含正品的基本事件个数为95，

所以，依据条件概率第三定义得，P（B|A）=95[]99.

例4 （见数学选修2―3第二章节P63页）一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么（1）先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？

（2）先摸出1个白球放回，再摸出1个白球的概率是多少？

解 记先摸出1个白球为事件A，再摸出1个白球为事件B，

（1）先摸出1个白球后剩余的基本事件总数为3，先摸出1个白球后剩余的白球个数是1，故依据条件概率第三定义得，P（B|A）=1[]3.

（2）先摸出1个白球后剩余的基本事件总数为4，先摸出1个白球后剩余的白球个数是2，

故，依据条件概率第三定义得，P（B|A）=2/4，即P（B|A）=1[]2.

运用条件概率第三定义解决以上例题，较之课本给出的定义，更简捷、更能抓住题目的本质。

三、条件概率的两种情形

条件概率P（B|A）为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。在事件A发生的条件下，事件B发生包括两种情形。第一种情形：事件A发生后，事件B才发生；第二种情形：事件A发生的同时，事件B也可能发生。这两种情形的共同点是事件A、B都发生。本文给出的条件概率第三定义适用范围是第一种情形。如果是第二种情形，必须运用课本的条件概率定义。

例如，一个箱子中装有4个白球和3个黑球，一次摸出2个球，在已知它们的颜色相同的情况下，求该颜色是白色的概率？

解 记摸出的2个球颜色相同为事件A，摸出的2个球是白球为事件B，由于事件A发生的同时，事件B也可能发生，故用课本给出的条件概率定义解决，

n（AB）=n（B）=C24，n（A）=C24+C23，

所以，P（B|A）=C24/（C24+C23）.

本文对条件概率的两种分类，以及据此给出的条件概率第三定义，可以较好地帮助学生认清条件概率的本质

参考文献

[1]杨义群。初等概率教学中定义条件概率的两个问题探讨[J].教学与研究（中学数学），1984，（4）：3.

[2]谢国瑞。概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2002.

条件概率范文【第四篇】

关键词：启发式教学；条件概率；随机事件间的独立性

中图分类号： 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）33-0161-02

一、引言

我国古代大教育家孔子曾论述：“不愤不启，不悱不发”，意指对教师来讲，应该通过自己的外因作用，调动起学生的内因的积极性。启发式教学，就是根据教学目的、内容、学生的知识水平和知识规律，运用各种教学手段，采用启发诱导办法传授知识、培养能力，使学生积极主动地学习，以促进身心发展。

对于我们三本经管类院校的学生，其数学基础相对薄弱，如何在学习数学时提高他们的学习积极性是至关重要的。而学习积极性在很大程度上和教师的主导作用有直接关系，因此在全课教学中进行启发式教学，提高学生学习积极性，从而全方位地提高学生的能力。启发式教学对于教师的要求就是引导转化，把知识转化为学生的具体知识，再进一步把学生的具体知识转化为能力。教师的主导作用就表现在这两个转化上，引导是转化的关键。下面我以《概率论与数理统计》中的条件概率、随机事件相互独立的概念的讲解为例，为大家介绍一下我平时在课堂中是如何运用启发式教学法的。

二、教学目标

在教师的引导下，学生们通过自己的演绎推理出条件概率的定义式，进而看透其本质，会应用它解决实际问题。随机事件间的独立，这里的“独立”和我们平时说的“独立”有何区别？通过教师的引导让学生把随机事件A、B间的独立性与概率等式P（AB）=P（A）P（B）等价起来，进而得出引入独立性数学定义的必要性。

三、授课模式

在指导学生学习的过程中，是“授之以鱼”还是“授之以渔”，每一位有远见的教师都会选择后一种答案。教师在授课过程中应逐步引导学生掌握解决问题的方式方法，让学生直接参与探索教学，充分发挥学生的主观能动性，开发学生的创新能力，使学生在学习中有成就感，这样有利于培养他们确立科学的态度和掌握科学的方法。就像我最喜欢的一句英文格言所说“I hear，I see，I do，I understand.”

我的做法是，在课堂上着重问题的创设，提供氛围，让学生在实践活动中发现问题，着手解决问题，使学生成为学习的主人，教师则成为学生的“协作者”。

1.条件概率。

描述性定义：在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率，称为条件概率，记作P（BA）.

问题：条件概率P（BA）如何定义、计算？

引例1 请同学们思考如下问题：

抛掷一枚均匀的骰子，观察其出现点数的情况。设事件A为“偶数点出现”，事件B为“4点出现”。现在来求已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

求解：引导学生分析出已知和所求。

已知：样本空间Ω={1，2，3，4，5，6}，A={2，4，6}，B={4}.

所求：条件概率P（BA）.

再引导学生画出如下文氏图：

其中1是事件AB中的样本点个数，3是事件A中的样本点个数，而样本空间共包含6个样本点。到此处，同学们就很容易想到了古典概率的计算公式，可得出

由学生自己总结归纳出，只要在P（A）>0的条件下，上述式子中的头尾部分具有一般性，就可得到条件概率的数学定义：

定义1 设A，B是样本空间Ω中的两个事件，如果P（A）>0，那么在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率P（BA）定义为

思考：你是否能写出在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P（AB）公式？

显然学生会得到如下定义：

设A，B是样本空间Ω中的两个事件，如果P（B）>0，那么在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P（AB）定义为P（AB）=.

2.两个事件间的独立性。

描述性定义：两个事件A和B相互独立，直观含义是指事件A和B在发生可能性（概率）上相互没有影响。

问题：如何定量描述事件A和B在概率上相互没有影响？

此处提醒学生注意“相互”二字，所以考虑两个方面：

①“在概率上，事件A不影响事件B”，等价于说，P（BA）=P（B）.

结合上面学习的条件概率定义得P（BA）=P（B）？圳P（AB）=P（A）P（B）.

②“在概率上，事件B不影响事件A”，等价于说，P（AB）=P（A）.

结合上面学习的条件概率定义得P（AB）=P（A）？圳P（AB）=P（A）P（B）.

思考：由上述两个方面我们得到什么结论呢？

事件相互独立的数学定义：设A和B是任意两个随机事件，如果P（AB）=P（A）P（B），则称事件A和B相互独立，简称独立。

此处举个例子，来熟悉应用一下该定义：

例 考察抛掷两枚均匀骰子的试验，记事件A为“第一枚点数为4”，事件B为“第二枚点数为3”，请判断 A和B是否独立？

本题利用古典概率和独立性定义很容易得出结论，A和B是相互独立的。但是有同学会发出这样的疑问：老师，我们从自己的经验也能知道A和B是相互独立的，为什么还用这样的概率等式去验证呢？为消除学生的疑问，我又在本题的基础上加上一问：记事件 C为“两枚点数之和为7”，判断A和C是否独立？通过这一问的解决，学生自己会意识到直观经验有时会误导我们，从而理解了随机事件的独立性及引入其严格的数学定义的必要性。

对一些学习能力、基础比较弱的学生，以引导为主，通过引导，来掌握一些上课时不容易掌握的内容，不让他们失去学习的兴趣，并通过一些启发激发他们更好地学习这门课程，变被动的“灌输”式为主动的“汲取”式。

现代教育思想明确指出：“最有效的学习方法就是让学生在体验和创造的过程中学习”。教学，是要通过教师的工作使学生爱学、会学。学生的学习是否有学习积极性非常重要，启发式教学的关键就是调动学生的学习积极性。

参考文献：

条件概率【第五篇】

笔者在讲述人教版高中数学选修2-3条件概率内容时，对P53例2讲解时发现，学生对条件概率与积事件概率很难区分。此题为：

一张储蓄卡的密码有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个。某人在银行自动提款机上取钱时忘记了密码的最后一位数字，求：任意按最后一位数字，第一次按错，第二次按对的概率。

有不少学生的解法如下：

记={第i次按对密码}（i=1，2，3），则P（|）==。分析造成错误的原因主要是对条件概率和积事件概率的区别没有弄清楚。

例题中的条件是连续按两次，相当于从0～9的10个数字中先后取出两个数字，这样样本空间Ω的基本事件总数为10×10=100个，就按对和按错而言，有如下三种情况：（错，错），（错，对），（对，错）。其中第一类有9×8=72种结果，第二类有9×1=9种结果，第三类有1×9=9种结果。第二次才按对是上面三类情况中的第二类，也就是说第一次按错并不是试验前已经发生的，而是与第二次按对是同时发生的。因此，它不是条件概率，而是积事件概率。而“第一次按错的条件下，第二次按对”的概率，这里是指在试验开始前就已经知道“第一次按错”的这个条件。这样样本空间就由{（错，错），（错，对），（对，错）}三类缩小为{（错，错），（错，对）}两类，因此这里所求的概率是在第一次按错后剩下的数字中再按对的概率，即这里所求的概率是附加了条件的事件的概率。根据条件概率的定义，求“在第一次按错的条件下，第二次按对”的概率才为条件概率。

因此，“第二次按对”与“第一次按错的条件下，第二次按对”的概率是有本质区别的，前者属于积事件概率，后者属于条件概率。所以这道题的正确解法为P（）==。

为在实际问题中快速准确地判定条件概率与积事件概率，一定要让学生分清随机试验中的固有条件和附加条件。积事件概率是随机事件在固有条件下同时发生的概率，条件概率是在一定附加条件之下发生的事件的概率。而从广义上讲，任何概率都是条件概率，因为任何事件都产生于一定条件下的试验或观察，即任何试验都有其固有条件，附加条件是指除试验条件之外的附加信息，这种附加信息通常表现为“已知某某事件发生了”。因此，此题中“第一次按错，第二次按对”显然是“随机按密码的最后一位数字”这个试验的固有条件，而不是将“第一次按错”作为“第二次按对”的附加条件。

再例如：10个零件中有8个正品，2个次品，从中任取一个，如果每次取出的是次品，不再放回，再任取一个零件直到取得正品为止。求取得正品前，取出次品1次的概率。