数学向量知识点总结精编4篇

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数学向量的知识点1

数乘向量

实数和向量a的乘积是一个向量，记作a，且∣a∣=∣∣∣a∣。

当0时，a与a同方向；

当0时，a与a反方向；

当=0时，a=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数，都有a=0。

注：按定义知，如果a=0，那么=0或a=0。

实数叫做向量a的系数，乘数向量a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣∣1时，表示向量a的有向线段在原方向(0)或反方向(0)上伸长为原来的∣∣倍；

当∣∣1时，表示向量a的有向线段在原方向(0)或反方向(0)上缩短为原来的∣∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律：(a)b=(ab)=(ab)。

向量对于数的分配律(第一分配律)：(+)a=a+a.

数对于向量的分配律(第二分配律)：(a+b)=a+b.

数乘向量的消去律：① 如果实数0且a=b，那么a=b。② 如果a0且a=a，那么=。

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数学向量的知识点2

向量的概念、向量的基本定理

内容解读了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。

注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同；两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。

考点二：向量的运算

内容解读向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算；掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系；掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。

命题规律命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。

考点三：定比分点

内容解读掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮助理解。

命题规律重点考查定义和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。由于向量应用的广泛性，经常也会与三角函数，解析几何一并考查，若出现在解答题中，难度以中档题为主，偶尔也以难度略高的题目。

考点四：向量与三角函数的综合问题

内容解读向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。

命题规律命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。

考点五：平面向量与函数问题的交汇

内容解读平面向量与函数交汇的问题，主要是向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。

命题规律命题多以解答题为主，属中档题。

考点六：平面向量在平面几何中的应用

内容解读向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示。在引入向量的坐标表示后，使向量之间的运算代数化，这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起。因此，许多平面几何问题中较难解决的问题，都可以转化为大家熟悉的代数运算的论证。也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中，赋予几何图形有关点与平面向量具体的坐标，这样将有关平面几何问题转化为相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决。

命题规律命题多以解答题为主，属中等偏难的试题。

数学向量的知识点3

1．有向线段的定义

线段的端点A为始点，端点B为终点，这时线段AB具有射线AB的方向。像这样，具有方向的线段叫做有向线段。记作：.

2.有向线段的三要素：有向线段包含三个要素：始点、方向和长度。

3.向量的定义：(1)具有大小和方向的量叫做向量。向量有两个要素：大小和方向。

(2)向量的表示方法：①用两个大写的英文字母及前头表示，有向线段来表示向量时，也称其为向量。书写时，则用带箭头的小写字母，，，来表示。

4.向量的长度（模）：如果向量=，那么有向线段的长度表示向量的大小，叫做向量的长度(或模)，记作||.

5．相等向量：如果两个向量和的方向相同且长度相等，则称和相等，记作：=.

6．相反向量：与向量等长且方向相反的向量叫做的相反向量，记作：-.

7．向量平行（共线）：如果两个向量方向相同或相反，则称这两个向量平行，向量平行也称向量共线。向量平行于向量，记作//.规定： //.

8．零向量：长度等于零的向量叫做零向量，记作：.零向量的方向是不确定的，是任意的。由于零向量方向的特殊性，解答问题时，一定要看清题目中是零向量还是非零向量。

9．单位向量：长度等于1的向量叫做单位向量。

10．向量的加法运算：

(1)向量加法的三角形法则

1１．向量的减法运算

12、两向量的和差的模与两向量模的和差之间的关系

对于任意两个向量，，都有|||-|||||+||.

13．数乘向量的定义：

实数和向量的乘积是一个向量，这种运算叫做数乘向量，记作。

向量的长度与方向规定为：(1)||=|

(2)当0时，与方向相同；当0时，与方向相反。

(3)当=0时，当=时，=.

14．数乘向量的运算律：(1))= (结合律)

(2)(+) =+(第一分配律)(3)(+)=+.(第二分配律)

15．平行向量基本定理

如果向量，则//的充分必要条件是，存在唯一的实数，使得=.

如果与不共线，若m=n，则m=n=0.

16．非零向量的单位向量：非零向量的单位向量是指与同向的单位向量，通常记作。

=||，即==(，)

17．线段中点的向量表达式

点M是线段AB的中点，O是平面内任意一点，则=(+).

18．平面向量的直角坐标运算：如果=(a1，a2)，=(b1，b2)，则

+=(a1+b1，a2+b2);-=(a1-b1，a2-b2);=(a1，a2).

19．利用两点表示向量：如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x2-x1，y2-y1).

20.两向量相等和平行的条件：若=(a1，a2)，=(b1，b2) ，则

=a1=b1且a2=b2.

//a1b2-a2b1=0.特别地，如果b10，b20，则// =.

21．向量的长度公式：若=(a1，a2)，则||=.

22．平面上两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||=.

23．中点公式

若点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中点，则x=，y= .

24．重心公式

在△ABC中，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，A(x3，y3)，，△ABC的重心为G(x，y)，则

x=，y=

2５．（1)两个向量夹角的取值范围是[0，p]，即0，p.

当=0时，与同向；当=p时，与反向

当= 时，与垂直，记作。

(3)向量的内积定义：=||||cos.

其中，||cos叫做向量在向量方向上的正射影的数量。规定=0.

(4)内积的几何意义

与的内积的几何意义是的模与在方向上的正射影的数量，或的模与在 方向上的正射影数量的乘积

当0，90时，0;=90时，

90时，0.

26．向量内积的运算律：

(1)交换率

(2)数乘结合律

(3)分配律

(4)不满足组合律

27．向量内积满足乘法公式

29．向量内积的应用：

数学向量知识点4

1．基本概念：

向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。

2． 加法与减法的代数运算：

(1)若a=（x1,y1 ）,b=（x2,y2 ）则a b=（x1+x2,y1+y2 ）．

向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。

向量加法有如下规律： ＋ = ＋ (交换律); +( +c)=( + )+c （结合律）;

3．实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量。

(1)｜ ｜=｜ ｜｜ ｜;

(2) 当 a＞0时， 与a的方向相同；当a＜0时， 与a的方向相反；当 a=0时，a=0．

两个向量共线的充要条件：

(1) 向量b与非零向量 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ，使得b= ．

(2) 若 =（ ）,b=（ ）则 ‖b ．

平面向量基本定理：

若e1、e2是同一平面内的两个不共线向（)量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ， ，使得 = e1+ e2．

4．P分有向线段 所成的比：

设P1、P2是直线 上两个点，点P是 上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数 使 = ， 叫做点P分有向线段 所成的比。

当点P在线段 上时， ＞0；当点P在线段 或 的延长线上时， ＜0；

分点坐标公式：若 = ； 的坐标分别为（ ）,（ ）,（ ）；则 （ －1）， 中点坐标公式： ．

5． 向量的数量积：

（1）．向量的夹角：

已知两个非零向量 与b，作 = , =b,则AOB= （ ）叫做向量 与b的夹角。

（2）．两个向量的数量积：

已知两个非零向量 与b，它们的夹角为 ，则 b=｜ ｜｜b｜cos ．

其中｜b｜cos 称为向量b在 方向上的投影．

（3）．向量的数量积的性质：

若 =（ ）,b=（ ）则e = e=｜ ｜cos (e为单位向量);

b b=0 （ ，b为非零向量）;｜ ｜= ;

cos = = ．

(4) ．向量的数量积的运算律：

b=b( )b= ( b)= ( b);( ＋b)c= c+bc．

6.主要思想与方法：

本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。