初二数学勾股定理的知识点总结 （精编4篇）

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初二数学勾股定理的知识点总结1

勾股定理

这个定理在*又称为“商高定理”(相传大禹治水时，就会运用此定理来解决治水中的计算问题)，在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理”。(毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”)。

他们发现勾股定理的时间都比*晚(*是最早发现这一几何宝藏的国家)。目前初二学生开始学习，教材的证明方法大多采用赵爽弦图，证明使用青朱出入图。

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a^2+b^2=c^2。

1.探索勾股定理

⑴勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

2.能得到直角三角形吗

⑵如果三角形的三边长a,b,c满足 ，则这个三角形是直角三角形。其中满足 的三个正整数a,b,c叫勾股数

3.**怎么走最近

立体图形与侧面剪开

提醒大家的是：勾股定理是余弦定理的一个特例。

初二数学勾股定理的知识点总结2

勾股定理应用举例：

1、已知直角三角形的任意两边求第三边。

2、已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系。

3、证明包含平方（算术平方根）关系的几何问题。

4、构造方程（或方程组）计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实际问题。

平面展开——最短路径问题求解方法：

解决此类问题时，要先确定好该路径的起点终点，以及立方体的平面展开图，借助勾股定理来求得路径的长度。由于展开的方法可以多种，因此对于路径的求解也是有多种方法，在这里必定有一个最小值，此值为最短路径。

1、勾股数的定义：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，成为勾股数。

2、常见的勾股数有哪些：

（1）3，4，5

（2）6，8，10

（3）8，15，17

（4）7，24，25

（5）5（)，12，13

（6）9，12，15。

3、勾股数组的规律：

（1）如果a为一个大于1的奇数，b、c是两个连续自然数，且，则a，b，c为一组勾股数；

（2）如果a，b，c为一组勾股数，那么na，nb，nc也是一组勾股数，其中n（n≥1）为自然数；

初二数学勾股定理的知识点总结3

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c，那么a2+b2=c2(勾股定理公式)

直角三角形性质定理：

1.直角三角形两直角边a，b的`平方和等于斜边c的平方。即a2+b2=c2。

2.在直角三角形中，两个锐角互余。

3.在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半(即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2)。

4.直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。

5.在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。其逆定理也成立，即在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。

7.直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D 则BD:DC=AB:AC

勾股数的探索4

初中数学课本苏科版（八年级上册）《综合与实践活动》第26页《勾股数的探索》，课本部分内容如下：

与直角三角形三条边长对应的三个正整数（a，b，c）称为勾股数。《周髀算经》中记载的“勾三股四玄五”中的（3，4，5）就是一组最简单的勾股数。显然，这组数的整数倍，如（6，8，10），（9，12，15），（12，16，20）等都是勾股数。

当然，勾股数远远不止这些，如（5，12，13），（8，15，17）等也都是勾股数。

怎样探索勾股数呢？即怎样的一组正整数（a，b，c），才能满足关系式a2+b2=c2？

活动1：设（a，b，c）为一组勾股数，填表：

活动2：（1）在表1中，a为奇数，正整数b和c之间的数量关系是_____，b、c与a2之间的关系是_____，根据以上规律，写出勾股数（13，_____，_____）.

（2）一般的，当a=2n+1（n为正整数）时，请给出计算勾股数的一组公式。

活动3：（1）在表2中，a为大于4的偶数，正整数b和c之间的数量关系是_____，b、c与a2之间的关系是_____，根据以上规律，写出勾股数（16，_____，_____）.

（2）一般的，当a=2n（n>2正整数）时，请给出计算勾股数的一组公式。

课本答案：活动1：40，60、61；35，48、50.

活动2：（1）c=b+1，b+c=a2，84，85.

（2）（2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1）

活动3：（1）c=b+2，b+c=a2，63，65.

（2）（2n，n2-1，n2+1）

对教材的分析与理解：

（1）对于勾股数（a，b，c）中，当a为奇数时，c比b大1，即c=b+1，于是，b+c=a2，b=（a2-1）.所以，只要给定一个奇数a的值，就可以求出b的值，再求出c的值，最后求出勾股数组（a，b，c）的值。

（2）对于勾股数（a，b，c）中，当a为大于4的偶数时，c比b大2，即c=b+2，于是，b+c=a2，b=（a2-22）.所以，只要给定一个偶数a的值，就可以求出b的值，再求出c的值，最后求出勾股数组（a，b，c）的值。

探索与发现：怎样探索勾股数呢？在已知一个数a的条件下，这样的一组正整数（a，b，c），并且满足关系式a2+b2=c2中的正整数b和c是唯一的吗？

请看下面的表3和表4：

观察表3，当a为奇数时，发现正整数b和c之间的数量关系不仅仅是c=b+1，还可以是c=b+3，和c=b+5，c=b+7，c=b+9…b、c

与a2之间的关系又是什么呢？.

经过仔细的观察与思考，我们发现c比b大的数有1，3，5，7，9…这些数正好是a中正的真奇数因数。

观察表4，当a为大于4的偶数时，发现正整数b和c之间的数量关系不仅仅是c=b+2，还可以是c=b+4，和c=b+6，c=b+8，c=b+10…b、c与a2之间的关系又是什么呢？

经过仔细的观察与思考，我们发现c比b大的数有2，4，6，8，10…的这些数，正好是a中正的真偶数因数。

所以，只要给出一个数a的值，我们就很快地找到a的真因数m，通过a和m的数值就可以求出b、c的值，从而求出勾股数（a，b，c）.

结论：一般的，在勾股数（a，b，c）中，a

（1）当a为奇数时，m是a的真奇数因数，

则有：c=b+m，b+c=2，b=（a2-m2）.

（2）当a为大于4的偶数时，m是a的真偶数因数，

则有：c=b+m，b+c=a2，b=（a2-m2），

运用：（1）已知，a=21，求勾股数（a，b，c）.

解：a=21是奇数，m=1，3，7（21的真奇数因数1，3，7）.

①当m=1时，b=（a2-m2）=（212-12）=220，c=b+m=221，

勾股数（a，b，c）=（21，220，221）.

②当m=3时，b=（a2-m2）=（212-32）=72，c=b+m=75，

勾股数（a，b，c）=（21，72，75）.

③当m=7时，b=（a2-m2）=（212-72）=28，c=b+m=35，

勾股数（a，b，c）=（21，28，35）.

满足条件的勾股数（a，b，c）有三组：

即（a，b，c）=（21，220，221），（21，72，75），（21，28，35）。

（2）已知，a=24，求勾股数（a，b，c）.

解：a=24是偶数，m=2，4，6，8，12（24的真偶数因数2，4，6，8，12）

①当m=2时，b=（a2-m2）=（242-22）=143，c=b+m=145，

勾股数（a，b，c）=（24，143，145）.

②当m=4时，b=（a2-m2）=（242-42）=70，c=b+m=74，

勾股数（a，b，c）=（24，70，74）.

③当m=6时，b=（a2-m2）=（242-62）=45，c=b+m=51，

勾股数（a，b，c）=（24，45，51）.

④当m=8时，b=（a2-m2）=（242-82）=32，c=b+m=40，

勾股数（a，b，c）=（24，32，40）.

⑤当m=12时，b=（a2-m2）=（242-122）=18，c=b+m=30，

勾股数（a，b，c）=（24，18，30）.

满足条件的勾股数（a，b，c）有五组：

即（a，b，c）=（24，143，145），（24，70，74），（24，45，51），（24，32，40），（24，18，30）.

（作者单位 江苏省南京市六合区瓜埠初级中学）