集聚的含义与表示范例【4篇】

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集合的含义与表示【第一篇】

一、 “且”与“交”的关系

先看一个具体例子。

我们知道，由“2是偶数”与“2是质数”都是真命题，可以得到“2是偶数且是质数”是真命题；另一方面，由集合的“交”运算可以知道：由2∈｛偶数｝，2∈｛质数｝，可以得到2∈｛偶数｝∩｛质数｝。如果把“真”对应于“∈”，“且”对应于“交”，那么，“2是偶数是真命题”可以对应于“2∈｛偶数｝”，“2是质数是真命题”可以对应于“2∈｛质数｝”，“2是偶数且是质数是真命题”就可以对应于“2∈｛偶数｝∩｛质数｝”。

从上述例子得到启发，我们可以在逻辑联结词“且”与集合的“交”运算之间建立联系。

我们知道，对于逻辑联结词“且”有：

如果p，q都是真命题，则p∧q是真命题；如果p，q中至少有一个是假命题，则p∧q是假命题。

对于集合的“交”有：

若a∈P，a∈Q，则a∈P∩Q；若aP或aQ，则aP∩Q。把命题p，q分别对应于集合P，Q，“真”“假”“∧”分别对应于“∈”“”“∩”，那么上述关于“且”与“交”的规定就具有形式的一致性。更具体地说，就是“p是真命题”对应于“a∈P”，“q是真命题”对应于“a∈Q”，“p∧q是真命题”对应于“a∈P∩Q”，“p∧q是假命题”对应于“aP∩Q”。

二、“或”与“并”的关系

再看一个具体例子。

我们知道，由“π是无理数”与“π是实数”都是真命题，可以得到“π是无理数或是实数”是真命题。同样由集合的“并”运算可以知道：由π∈｛无理数｝，π∈｛实数｝，可以得到π∈｛无理数｝∪｛实数｝。如果把“真”对应于“∈”，“或”对应于“并”，那么，“π是无理数是真命题”可以对应于“π∈｛无理数｝”，“π是实数是真命题”可以对应于“π∈｛实数｝”，“π是无理数或是实数是真命题”就可以对应于“π∈｛无理数｝∪｛实数｝”。

于是，我们可以在逻辑联结词“或”与集合的“并”运算之间建立联系。

我们知道，对于逻辑联结词“或”有：

如果p，q都是假命题，则p∨q是假命题；如果p，q中至少有一个是真命题，则p∨q是真命题。

对于集合的“并”有：

若aP，aQ，则aP∪Q。 若a∈P，aQ，则a∈P∪Q，或者若aP，a∈Q，则a∈P∪Q。把命题p，q分别对应于集合P，Q，“真”“假”“∨”分别对应于“∈”“”“∪”，那么上述关于“或”与“并”的规定就具有形式的一致性。也就是说“p是真命题”对应于“a∈P”，“p是假命题”对应于“aP”，“q是真命题”对应于“a∈Q”，“q是假命题”对应于“aQ”，“p∨q是假命题”对应于“aP∪Q”，“p∨q是真命题”对应于“a∈P∪Q”。由此我们知道逻辑联结词中“或”的含义与并集中的“或”的含义是一致的，但要注意它们都不同于生活用语中“或”的含义，生活用语中“或”表示“不兼有”，而我们在数学中所研究的“或”则表示“可兼有但不必须兼有”。

三、“非”与“补”的关系

同样我们先看一个具体例子。

若以整数集为全集，则偶数集和奇数集互为补集。由“2是偶数”是真命题，可以得到“2是奇数”是假命题；由“3是偶数”是假命题，可以得到“3是奇数”是真命题。用集合的方式则可表达为：由2∈｛偶数｝，可以得到2｛奇数｝；由3｛偶数｝，可以得到3∈｛奇数｝。如果把“非”“真”“假”分别对应于“补”“∈”“”，那么，命题p和它的否定p可以对应于集合P和它的补集

瘙 綂 UP，“p是真命题”对应于“a∈P”，“p是假命题”对应于“a

瘙 綂 UP”，“p是假命题”对应于“aP”，“p是真命题”对应于“a∈

瘙 綂 UP”。

一般地，对于逻辑联结词“非”有：

若p是真命题，则p是假命题；若p是假命题，则p是真命题。

对于集合的“补”有：

设U为全集， PU，若a∈P，则a

瘙 綂 UP；若aP，则a∈

瘙 綂 UP。

对“非”的理解，可联想集合中“补集”的概念。“非”有否定的意思，一个命题p经过使用逻辑联结词“非”而构成一个复合命题“非p”，当p真时，则“非p”假；当p假时，则“非p”真。若将命题p对应集合P，则命题非p就对应着集合P在全集U中的补集

瘙 綂 UP。

通过上面的叙述我们发现 “非”与“补”的规定也具有形式的一致性。

四、范例剖析

例1 判断下列复合命题的真假，写出其否命题并判断真假：

2属于集合[WTHZ]Q，也属于集合R。[WTBX]

解：此命题用集合符号表示即2∈Q∩R，对应于命题中的“p∧q”，其中p:2∈Q,q:2∈R,因为p为假命题，q为真命题，所以“p∧q”为假命题，故原命题为假命题。其否命题为：2不属于集合Q或不属于集合R，用集合符号表示即2Q∪R，对应于命题中的“p∨q”，其中p:2Q,q:2R,因为p为真命题，q为假命题，所以“p∨q”为真命题，即否命题为真命题。

从上述讨论可以发现：命题与集合之间可以建立对应关系，在这样的对应下，逻辑联结词与集合的运算具有一致性，命题的“且”“或”“非”恰好分别对应集合的“交”“并”“补”。因此，我们就可以从集合的角度进一步认识有关这些逻辑联结词的规定。 教学实践表明，指导学生用集合思想对简易逻辑的有关问题进行解释，有利于加深学生对有关逻辑问题的理解，提高他们的判断能力和分析解决问题的能力，建立严谨的数学思维。

集合的含义与表示【第二篇】

关键词 离散数学；关系；笛卡尔积

中图分类号： 文献标识码：B 文章编号：1671—489X（2012）30—0094—02

离散数学是信息学科尤其是计算机学科的一门重要的专业基础课程，它的主要研究对象是离散结构及其应用，为计算机理论和应用提供必不可少的数学基础及思维方法。其理论和方法大量地应用在数字电路、编译原理、数据结构、操作系统、数据库系统、算法的分析与设计、人工智能、计算机网络等专业课程中，同时也为计算机应用提供必要的数学工具。

然而，该学科的知识点分散、概念抽象，给学生学习和理解带来很大困难。如何学好这门课，对计算机学科的学生来说显得特别重要；如何教好离散数学，从而提高教学质量，是有关教师应该努力探讨和研究的。

本文主要探讨离散数学中关系的教学方法，期望对类似的问题能有参考意义。

1 关系的重要性

关系是离散数学中用来刻画事物之间联系的一个重要的概念，在计算机科学与技术领域中有着广泛的应用。关系数据库模型就是以关系及其运算作为理论基础的[1]。图论中的一个图，实际上也就是相关对象集合上的一个关系。正确理解关系的概念以及关系模型，对于利用关系模型来进行数学建模尤其重要。

2 关系的定义及集合表示

定义1：（二元关系）假设A和B是两个集合，A与B的笛卡尔积A×B的一个子集合，叫做一个A到B的二元关系[2]。

定义2：（多元关系）假设A1，A2，…An是n个集合，它们的笛卡尔积A1×A2×…×An的一个子集合，叫做一个A1，A2，…An间的一个n元关系[3]。

以上的两个定义分别是二元关系和多元关系的定义，但无论是哪个定义，都似乎跟实际中的关系有很大距离，学生很难想象如何将实际中的关系跟这些个抽象的定义联系起来，他们必然要问：为什么要这样定义关系？

现实中的关系一般指事物之间或者对象之间的某种或者某些联系，这些对象之间的关系，也同样可以说是集合的元素之间的关系，以下是一些实际关系的例子。

例1四支球队a、b、c及d队，他们之间进行了一些比赛，以下一张表格记录了他们之间的比赛结果——胜负关系：a胜b、b胜c、c胜a、d胜a、d胜b、d又胜了c。为了简单起见，用（a，b）来表示a胜b，于是可以将所有胜负重新记录表示成{（a，b），（b，c），（c，a），（d，a），（d，b），（d，c），（d，b）}。这就是一张胜负表，该表清楚地表现了这四个队a、b、c、d之间的胜负关系，它就是这四个队之间的一个关系——比赛胜负关系。

当用集合S表示4个队时，S={a，b，c，d}，那么胜负关系表{（a，b），（b，c），（c，a），（d，a），（d，b），（d，c），（d，b）}就是S与S的笛卡尔积S×S的一个子集。也就是说用这个子集合表示了这四个队之间的某轮比赛的胜负关系。

例2一个电话号码簿，它里面记录了很多单位或个人的一些电话号码。不难理解，一个号码本就是一个集合。这个号码本也就是这个集合表示了人和单位跟一些电话号码之间的一种关系，它是一个实实在在的关系。如果用A表示所有有关的单位和人的集合，用B表示所有相关的电话号码的集合，简单地用（a，b）表示a的电话号码是b，其中a∈A，b∈B分别表示A中的一个元素（单位或者人）和B中的一个号码。那么所有这些有关的序对（a，b）就构成电话号码本，就构成这个号码集合。可以看出这个集合正好是A与B的笛卡尔积A×B的一个子集。当有人或有单位的号码发生变化，这个号码本也相应地发生变化，变成另外一个号码本，也就是另外一个集合，另外一个子集合，但仍然是A×B的一个子集。

例3（学生、课程、成绩之间的关系）假设用集合A表示某大学计算机学院的所有学生，B集合表示计算机学院的所有课程，C集合表示不大于100的非负整数的集合，那么学生张三的离散数学考试成绩是95分，就可以表示成（张三，离散数学，95）。将计算机学院所有学生所有课程的这样的记录放在一起，就是一张成绩表，也就是教务管理中的成绩库。那么这个成绩库就是一个集合，这个集合表示的是计算机学院学生，课程和成绩三者之间的一个关系。而这个集合恰好是集合A、B、C的笛卡尔积A×B×C的一个子集。

以上三个例子都说明了同一个问题：无论是一个集合内部元素之间的关系，还是不同集合的元素之间的关系，还是多个集合元素之间的关系，都可以表示成相关集合的笛卡尔积的子集。把笛卡尔积的子集当成一个数学模型，那就可以用这个数学模型来表示关系，包括二元关系和多元关系[4]。

3 抽象关系的具体解释

设集合A={a，b，c，d}，S={（a，b），（c，d）}，显然，那么根据定义1，S是A集合到A集合自身的一个二元关系。这个关系看似是抽象的，但当给a、b、c、d赋予具体的含义，分别表示成张三、李四、王五和赵六4个人，而（x，y）表示为x与y是朋友，那么二元关系S就表示成4个人之间具有的一个朋友关系。其中，张三跟李四是朋友，王五跟赵六也是朋友，但其他人之间都不是朋友。即便是空集，即空关系，在这里可以理解为集合A的人之间没有人有朋友关系。

当然根据不同的情况，也可以给出另外的含义和解释。比如说a=5、b=10、c=3、d=9，那么上面的关系S可以解释为集合A={5，10，3，9}中元素间的整除关系。

这个例子说明，一些集合的笛卡尔积的任何一个子集，也即任一个关系，都可以在某些场合中解释对应为实际的关系。

4 结论

综合上面所述，任何一个现实中的具体的关系，都可以用一个笛卡尔积的子集这个数学模型表示出来；任一个抽象的关系，在给集合的元素赋予具体的含义后，都可以对应地解释为一个实际问题中的具体关系。这样就建立起来笛卡尔积子集跟关系之间的联系，学生再来理解关系的概念也就不再有难度了。通过这样讲解后，也能给学生如何利用数学模型、数学工具表示实际问题的体会。

5 教学中的几点建议

1）离散数学概念繁多，而且抽象。教学时，最好多讲一些相关的应用背景知识，提高学生的学习兴趣和积极性。然后多举一些实际的例子，讲解从具体实例抽象到数学模型、数学概念的演绎过程，对学生学习理解抽象的数学概念，提高抽象思维能力是很有帮助的，同时对于学生以后学习数学建模也是很有用的。

2）鼓励学生自己举例，能够加深对知识的理解，同时提高学生应用知识的能力。

参考文献

[1]屈婉玲，耿素云，张立昂。离散数学[M].2版。北京：清华大学出版社，2009.

[2]Rosen K H. Discrete mathematics and Its Applications[M].4版。北京：机械工业出版社，2007.

[3]洪凡。离散数学基础[M].3版。武汉：华中科技大学出版社，2008.

集合的含义与表示【第三篇】

关键词：高中数学；问题教学；课堂模式；策略；构建

中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）23-212-02

新课改下，互动课堂模式的构建成为大家不懈的探究话题。互动课堂的核心是问题教学。以问题为载体的课堂模式是互动课堂模式的主要表现形式。本文以人教版高中数学《集合》为例，谈谈问题教学模式的基本框架、问题教学的基本目标以及问题教学课堂模式构建的主要策略，以期使问题教学有效、高效。

一、问题教学模式的基本框架

1、教师构建问题情境，提出问题。

2、学生在特定的问题背景下，借助于相关的资料或者是同伴的帮助下，亦或是在教师的引导下而进行意义构建的学习。

如《集合的含义与表示》的学习，问题教学的模式教学，一般是教师创设问题情境，巧妙引导学生初步感知集合的含义；在问题的引领下，让学生了解集合中的元素的含义；再通过具体问题，理解集合元素的性质；通过具体的实际问题，掌握列举法的意义和列举法应注意事项等。

总之，问题贯穿课堂的始终，问题是一条明线，引发学生步步思考，思维能力、思维品质得到提升为暗线，最后，两条线相互交织，促成有效课堂的构建与打造，学生的主体意识得到强化，主体地位得到提升。

二、问题教学课堂模式的教学目标

1、能对问题情境进行分析。

2、能把实际问题构建数学模型。

3、能对数学问题进行转换和归类。

4、能对问题解决过程进行多元评价。

5、能把数学知识和社会生活实际中的数学现象和数学问题联系起来。

三、问题教学模式的构建策略

1、创设问题情境，激发探究兴趣

创设情境的方法，一般有语言描述、多媒体呈现、照片以及实物模型等。如高中数学人教版数学《集合的含义与表示》的学习时，对于“集合的含义”，教师可以用多媒体展示一些情境：正在观看电影的一群大象、飞过15m高塔的一群鸟、正在操场上踢足球的一群学生、正在开展辩论赛的正反方的代表的精彩辩论、一家三口坐在沙发上看电视等的情境，这些情境的给出，除了为课堂创设了浓厚的生活化气息的氛围、浓厚学生学习兴趣外，更重要的是情境创设意义在于让学生初步感知这些情境中的人或者动物和飞鸟等都是一个个的“群体”，初步感知“集合”的意义。

再提出问题：

（1）1-20以内所有的素数；

（2）长春汽车制造厂2013-2014年制造的汽车；

（3）所有的直角三角形；

（4）我们班数学中考成绩分数在80-95分数段的所有学生；

（5）喜欢数学的学生；

（6）2008年背景奥运会金牌获得总数前三名的国家。

……

这些问题的提出，把学生引导到“集合”的中。

2、注重问题的引导，引发数学思维

教师针对提出的几个生活化的问题后，教师可以直接提出：以上的几个例子的共同特征是什么？

教师提出问题后，应由学生自主分析、合作讨论而总结并得出结论。每一个问题中都包涵不同的个体，如1-20之间的素数，包含了2、3、5等8个自然数。教师由此而给出“集合”的概念，以及简明扼要介绍“集合”中的“元素”的定义。

那么，接下来，提出与集合的含义与元素的概念相关的问题，可以引发学生的进一步思考和运用。如：分析这几个实例中的“元素”有哪些。

如提出问题：1-20之间的素数有哪些？让学生先找出或者说出1-20之间的所有素数。在学生分析1-20之间的素数之前，教师的温故知新的问题引导也至关重要：如什么是素数的问题，利于学生找出1-20之间的素数。

在学生找到了1-20之间的素数之后，教师巧妙地引出集合的表示法：我们用{ }表示集合，将不同的元素一一写在{ }内，如这个集合我们用A表示为A={2，3，5，7，11，13，17，19 }。

教师再提出这个集合能不能写成A={17，13，19，3，5，7，11，2 }，一个元素能不能写两次，如x?-4x-4=0的解，是A={2}还是A={2， 2}等，这样的问题，使学生的思维，对知识的理解更加深刻。

3、自主解决问题，培养问题解决的能力

在学生初步了解了集合的意义、元素的概念后，教师的进一步提出问题，让学生思考和自主解决，更是教学的关键。

如（1）A= {3，5}，那么，5和7哪一个是这个集合的元素？

（2）A={6，6，12 }的表示是否正确？

（3）A={亚洲，欧洲 }与B={欧洲，亚洲 }是否表示同一个集合？

（4）A={3，4，5，7，10 }与B={4，5，10 }有什么异同？

对这些问题的探讨，为“集合中元素的性质”的学习埋下伏笔。

4、再设问题，培养创新思维能力

集合的表达法一般有列举法和描述法等。对于列举法，教师可以引导学生从字面思考：什么是列举法？让学生经过思考和讨论，体会到列举法就是一一列举出来各个要素的方法。如1-20中能被5整除的数，可以表示为A={5，10，15，20}，将1-20中能5整除的数有5、10、15和20一一列举在{ }中。再如，世界四大洋，可以表示为A={太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}，之后，再要求学生自主用列举法表示以下集合：

（1）小于10的偶数；（2）方程x?+2x-3=0的解；

（3）小于5的正奇数；

待学生经过仔细的思考、讨论之后，“列举法解决问题的关键是什么？”的问题，既是对问题解决的进一步反思和评价，也是引发学生注意列举法求解容易出错的地方，更把学生带进思维的空间，引领他们一步步思考，使思维走向深入。此外，例题的变式、错题剖析等都是行之有效的方法。

集合的含义与表示【第四篇】

在实际教学中，常听到不少学生发出感叹：数学太难学了！数学真的就那么难学吗？为什么有的学生学起来如鱼得水，而有的学生却困难重重，积重难进？依据我们多年的教学实际和平常与学生的交流，深深体会到数学符号的学习和理解是造成一部分学生数学学习困难的一个相当重要的原因．那么优秀的学生是如何学习和理解数学符号的，他们学习和理解的方式，对于其他学生的学习和我们教师有效地进行符号教学有何启迪，而学习困难的学生学习和理解数学符号的障碍何在，教师应如何依据他们的困难进行教学，带着这些问题，我们调查了洛阳某高中二年级部分不同学力水平的学生对数学符号的学习和理解情况．该高中是一所普通中学．下文中，T表示老师；A1：男生，头脑灵活，数学成绩良好；A2：男生，思想活跃但粗心，数学成绩较好；A3：女生，比较踏实，数学成绩不错；B1：男生，踏实，但反应较慢，数学学习有困难；B2：男生，思想活跃，但不爱学习数学；B3和B4均是女生，数学成绩较差．

一、不同学力水平的学生学习数学符号的个案及其分析

1.不同学力水平的学生理解和记忆y＝ax、y＝xa的个案研究

下面是笔者与两位高中二年级学生之间就数学符号y＝ax、y＝xa的一段对话：

T：在学习中你是如何区别y＝ax、y＝xa的？

B1：不知道，经常把它们两个弄混．

T：你是如何记忆它们的？

B1：主要按课本上学习它们的先后顺序记忆，但后来总是弄混．

A1：初中学过y＝x2，y＝x3等幂的表示形式，所以就想到形如y＝xa的函数为幂函数，另一个就是指数函数．

T：你们能否说出y＝ax、y＝xa的性质？

A1在纸上分别画出了y＝x2和y＝x3的图象，依据y＝x2和y＝x3图象说出y＝xa的性质，而在说明y＝ax的性质时，则画的是y＝2x、y＝3x的图象．

B1：这两个函数的性质是……

T：你能否画图说明？

此时B1努力地回忆这两个函数的图象，但把两种图象混在一起了．

2.关于理解直线a在平面α内和点A在平面α内的数学符号表示的个案

T：直线a在平面α内和点A在平面α内用数学符号怎样表示？

A2：aα和A∈α．

B2：aα和A∈α．

B3：a∈α和A∈α．

B4：aα和Aα．

T：为什么这样表示？

A2：直线和平面都可以看做集合，点看做元素，在代数中集合与集合之间用表示，元素与集合之间用∈表示．

B2：说不出来，反正老师是这样教的．

B3：点和直线都属于平面吧．

B4则画出了直线和点在平面内的图形．

学生B4、B3可能发现直线在平面内，点在平面内，与元素在集合内十分相似，于是就导致了错误的理解和联想．

分析：（1）学力水平高的学生在理解和记忆数学符号时，善于运用自己学过的知识对新知识进行理解和主动加工，使抽象的数学符号被赋予了具体的含义和丰富的经验背景，使新知对于自身来说是可以理解的．比如学生A1在理解和记忆y＝ax、y＝xa的概念和性质时，就能联系到初中学过y＝2x、y＝3x的有关知识；而在第二个案例中学生A2则联想到代数中集合与集合之间、元素与集合之间的符号的表示，并通过对比和概括内化到自己原有的认知结构当中，从而就扩大了自己原有的认知结构，使原有认知结构更加清晰和有序．

（2）学习困难的学生在理解数学符号时弄不清新旧知识之间的内在联系，或者使新旧知识发生了错误的联系，或者他们根本就没有想去寻找新旧知识的联系，换句话，学习困难的学生在学习数学符号时不理解符号的真正含义，既没有要求理解数学符号意义的心向，也没有掌握理解符号含义的方法，致使符号的外在表示和学生个体的内在经验背景脱节，既被动学习又机械记忆，数学符号在个体的认知结构中散落堆积，既加重学习的负担，又成了进一步学习的障碍．

（3）高学力水平的学生在学习和理解数学符号时，能对新知识进行主动的分析和加工，因而在记忆数学符号时就能自觉对数学符号表示的相关内容进行处理，使自己认知结构中相关的概念、公式、定理形成了网状排列，使新知识和旧知识保持了一定的连续性；而学习困难的学生的记忆基本是块状结构，即学什么就记什么，从不思考不同的数学符号所表达的相同的内容，它们记忆的大量数学符号是相互孤立的，即使有联系也是混乱和松散的，有时还是错误的，因此在回忆和提取时往往显得忙乱和无效．

3.不同学力水平的学生在解题中运用数学符号的个案研究

（1）F（x）的定义域为（c，d），求函数F（2x）的定义域，其中c＞0，d＞0．

（2）若F（xb）＝logax，求F（an），其中n∈N，b≠0，a＞0，a≠1．

A1：（1）因为c＜x＜d，所以c＜2x＜d，

即log2c＜x＜log2d，所以函数F（2x）的定义域是（log2c，log2d）．

（2）令xb＝t，则logax＝（logat）/b．

所以F（t）＝（logat）/b，F（an）＝n/b．

T：为什么c＜2x＜d?

A1：因为F（2x）是关于x的一个复合函数，根据复合函数的定义，函数u＝2x的值域应满足F（x）的定义域．

T：为什么令xb＝t，解出F（t）＝（logat）/b？

A1：要求F（an），必须把关于F（x）的对应法则求出来．

A2：（1）因为c＜x＜d，所以c＜2x＜d，即log2c＜x＜log2d，所以函数F（2x）的定义域是（log2c，log2d）．

（2）令xb＝an，则logax＝n/b，

则F（an）＝n/b．

T：F（x）与F（2x）中的x含义相同吗？

A2：虽然都是x，但它们的取值不同，在F（x）中x在（c，d）取值，而F（2x）中的x取值应保证2x∈（c，d），所以两个x含义不同．

B1：（1）F（x）的定义域是（c，d），即x的取值范围为（c，d），F（2x）中x的取值范围也为（c，d），所以F（2x）的定义域为（c，d）．

（2）F（xb）＝logax，所以F＝（logax）/xb，F（an）＝n/anb．

B2：因为F（xb）＝logax，所以F（anb）＝logaan＝n．

分析：（1）学力水平高的学生在理解F（x）与F（2x）时是在理解F（x）本质意义（它只是一个加工的手段和模具）的前提下，把F（x）作为一个结构性概念来理解，因而能把F（x）与F（2x）从结构上看作对应法则是相同的，从而得出c＜2x＜d，而在做第（2）题时，能够从不同的表达式子中，发现内在相同的对应规则，比如A2认为F（xb）＝logax和F（an）具有相同的规则，因此要求F（an），必须把相关的对应法则求出来．

（2）学力水平弱的学生看到符号，只能理解符号的表层的形式的意义，而体会不到其中的内在含义，比如B1认为F（x）与F（2x）中的x是相同的，因而取值范围也应相同，不

能从深层理解到F（x）与F（2x）的对应法则相同，只是自变量不同而已，这也从一个侧面反映出这一部分学生只是把符号F作为一个具体的运算符号，而体会不到函数中F的真正作用，比如学生B1由F（xb）＝logax，得出F＝（logax）/xb，同时这一部分的学生在后来的学习过程中，一方面由于对自己学习过程缺乏概括和总结的习惯和方法，另一方面可能缺乏对自己的思考过程进行反思，因而无法借助自己已有的经验理解形式化的符号运算所包含的意义，从而无法实现符号由方法性到结构性的过渡，因而在解决抽象的符号问题时遇到的困难是在所难免的．

二、数学符号教学的措施

1.在学生感知数学符号的过程中注意引导学生对符号进行主动加工的意识和习惯

在调查中我们发现学习困难的学生理解符号的困难，一方面在于没有掌握对符号进行加工的方法，而另一方面则在于没有对符号进行加工的习惯和意识．因此，在教学中，要处处注意引导学生对符号进行加工（即对符号所表达的内涵进行纵横联系，以激发学生头脑中与此符号有关的知识和经验），以养成他们遇到符号多思考的习惯．比如，在遇到新的符号时要启发学生：这个符号与我们前面学过的哪些知识有联系和区别，有什么样的联系和区别等等，所有这些问题都可以有效帮助学生理解数学符号的意义．同时既要引导学生对相同数学内容善于用不同数学符号进行表示，又要引导学生对数学的自然语言、图形语言、符号语言之间的相互转化（这种做法对于立体几何中数学符号的理解特别有效），以帮助学生理解不同符号内在的逻辑联系和符号自身的数学意义．比如在上述调查学生对直线在平面内和点在平面内的数学符号表示中，当笔者发现学生对这两个符号的错误理解时，就对学生进行了如下的启发和引导：

T：在代数中，集合与集合之间以及元素与集合之间用什么符号表示？

B：集合与集合之间用表示，元素与集合之间用∈表示．

T：在几何中，我们把点看成元素，而把直线和平面看成集合，那么直线在平面内和点在平面内用符号怎样表示？

此时那几个学生都正确地写出了相应的符号．如果教师在教学中时刻注意引导和启发学生对符号进行加工和联系，长此以往学生潜在的加工意识便被唤醒，在遇到数学符号和知识时就会自觉地对符号进行纵横联系，这种对知识进行再加工的意识和习惯一旦形成，也会迁移到其他的学习当中，对其他知识的学习也会有很大的帮助．

2.加强师生之间的交流促进学生对符号意义的理解和概括

在与学生的交谈中我们了解到，学生在理解、记忆数学符号方面的障碍，绝大多数发生在数学符号理解和建构的初期，由于学生没有及时觉察这种不适当或错误的建构，因而就没能采取及时的补救措施．那么如何在学生理解符号的初期，及时发现学生理解的障碍和错误，我们不妨借鉴维果斯基的社会建构的思想：使学生获得的知识经受由学生和老师所组成的这个小的社会共同体的检验，并为使其符合与社会的要求打下坚实的基础．因此，在课堂教学中通过学生与学生的交流，使其能学习他人之长，通过教师对数学符号的理解过程的展示，使学生从中得到启发，以引起个体对符号的理解进行对比和反思，通过学生与教师的交流，教师可以及时得到学生对符号理解的反馈，从中了解学生对符号的理解情况，以便使学生对自身不合理的建构进行调整和补救．

3.提供加工和反思的具体的、可以操作的方法

在提高学生对数学符号进行加工意识的同时，要使学生掌握对符号进行再加工的具体方法和措施．比如可以为学生提高反思的清单：这个符号的含义是什么？能用自己的话重新说一遍吗？这个符号和前面学过的符号之间有联系吗？如果有联系，联系是什么？我能说出来吗？这个符号我为什么理解错了，错误的原因我能找到吗？这些具体的运算中蕴涵有什么规律吗？规律是什么？这个规律可以用来解决那些问题？等等．

总之，我们在对教材进行处理和设计教学情景时，必须首先了解学生对概念、符号、定理的理解情况，掌握学生学习发生困难的地方和根源，这样我们才可以针对每一个学生的认知情况，进行适当的教学．