数列求和方法精编4篇

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数列求和方法范文1

数列极限是数学这门学科的重要内容之一。对于一些复杂极限，直接按照极限的定义来求就显得很困难，不仅计算量大，而且不一定就能求出结果。因此，为了解决求极限的问题，我们在研究比较复杂的数列极限问题时，通常先考查该数列极限的存在性问题；如果有极限，我们再考虑如何计算此极限(也就是极限值的计算问题)。这就是极限理论的两个基本问题。求数列极限的方法多种多样，比如：化简通项求极限、单调有界原理求极限等。现在我通过一些具体的例子，和大家一起探讨求数列极限的常用技巧与方法。

二、求数列极限的常用技巧与方法

1. 化简通项求极限

在求一些比较复杂的数列极限，特别是处理通项为n项和式的一类很特殊的极限时，经常先对通项进行化简，化简时往往利用链锁消去法。其工作原理如下：

若an=∞,an≠0,则(-)=(-)+(-)+…+（-）=-。因此（-）=（-）=。

应用时往往需要把通项xk中的xk裂项为xk=-），具体实施可用待定系数法。

例1： 求极限。

解： (-1)k+1=(-1)k+1(+)=-[-]，(-1)k+1=-(-=-(-1-1(n∞)，所以=1。

2. 利用级数求n项和式的极限

通项为和式的数列极限，可以化为积分或级数求和问题，当然也是计算这类数列极限的一个重要方法。

设xn=ak，若级数ak收敛，则{xn}收敛且xn=ak。

由此，我们常可求数列级数ak的和，从而求得xn。

例2：求极限。

解： 考虑数项级数，现求其和，为此考虑幂级数。

该幂级数的收敛域为[-1,1]。设和函数为S(x),则在(-1,1)内s''''(x)==(-x2)n=-。

s(x)=s''''(t)dt=-dt=arctgx-x，

所以 ==s(1)=arctg1-1=-1。

3. 利用单调有界原理求数列的极限

利用单调有界原理，解决了一些特殊数列的极限问题，在用单调有界原理证明数列极限的存在问题时，首先根据给出数列的通项公式，列举该数列的前几项，然后根据观察，初步判断已给数列的单调性和有界性。最后采用数学归纳法来验证观察所得出的结论，看看是否可以采用单调有界原理来证明此数列的存在问题。

计算极限除了上面讲的方法还有很多，比如讨论如何应用我们学过的幂级数、定积分、O-Stolz公式、泰勒展式、微分中值定理等方法计算数列极限。主要是我们如何通过实例来阐述求数列极限中体现出的数学逻辑思维方法，如利用简单的初等函数（特别是高中数学中的基本初等函数）的麦克劳林展开式，往往能求得一些特殊形式的数列极限。还比如我们可以利用级数收敛性判定极限存在性，知道由于级数与数列可以有的时候相互转化，因此使得级数与数列的性质有了必然的联系。这样，数列极限的存在性及数列极限的求解，就可以可转化为研究级数收敛性问题，我们利用O-Stolz公式计算数列极限、应用泰勒公式求数列极限，就可以减少做题的过程，使这个问题更容易地解决。不过总的来说，像有的方法仅限于求两个无穷小量的乘积或除的极限，而对两个无穷小数列非乘且非除的极限，以上方法不能直接去做，因此用Taylor公式代换是解决这类数列极限问题的一种很好的方法。还有利用微分中值定理求极限，利用数列函数的增减性求数列函数的最大值和最小值，还有数列函数的图像等方面都被广泛应用。其实数列它是一种特殊的函数，是一种定义域为正整数集的特殊的函数，因此它也像一般函数一样具有单调性。

数列单调性也是它的重要性质，数列的单调性应用非常广泛。求解数列极限的方法还有很多，比如把通项an=f(n)拓展为[1，∞)上的函数f(x)，然后应用洛必达法则，或利用结果 =a?圯=a(其中an>0)以及均值定理等都可以求出极限。还有在高中阶段求数列的极限的时候，可以将比较复杂数列极限的问题，通过变形或化简。比如用分组求和法、错位求和法求极限，分母有理化、还有分母分子同时都除以n的最高次幂的方法将它化简。这样我们可以将它转化成为简单基本数列极限的问题，就可以求出所要得到的极限。但是我们解决数列的极限问题时应该灵活运用我们所学的数列极限的有关方法与技巧，注意要认真思考，多联想所学的知识，要学会学以致用。函数极限只是把数列极限进一步深度话。但是函数极限与数列极限有类似的四则运算的法则，求函数极限的基本思想也是运用求数列的各种方法技巧的互相转化问题，尤其在实施转化时，可注意方法与技巧的转化，就可以仿照求数列极限的一些方法与技能。

夫参署者，集众思，广忠益也。山草香为大家整理的4篇数列求和方法到这里就结束了，希望可以帮助您更好的写作数列求和公式。

数列求和方法范文2

关键词：数列求和；方法；技巧

在高中数学的学习过程中，数列知识是非常重要的一个知识点。然而，数列求和又是数列学习中一个非常难的问题，技术性要求较强，覆盖面非常广，所以对高中生的运算能力、逻辑推理能力和分析问题的能力要求较高。因此，在数列求和的过程中，学生必须深入挖掘题干预设条件，从中找出存在的规律，以便更好地解决数列求和的问题。其中，在数列知识学习中，等比、等差数列的前n项和可以直接使用通项公式进行求和，而非等比、等差数列知识在学习过程中，其前n项和的求和关键则是从分析通项公式出发，准确把握数列的结构特征，如果能够将其转化为等差数列或者等比数列求和，便可以直接采用等差数列和等比数列的公式进行计算。同时，或者使用变通项，或者裂项等方法来消除其中的中间项，再采用等比或者等差数列的求和公式进行计算，以达到求和的目的；如果数列的通项项数是n的一次、二次、一次多项式的形式，还可以巧妙地转化成为正整数的平方数列、立方数列等形式进行求和。

一、数列求和的方法和技巧

1.公式法

在高中数学课程的教学过程中，数列的学习是非常重要的一部分内容。然而，很多数列出现的形态不相同，导致学生在解题的过程中难以快速准确地判断它是等比数列还是等差数列，所以很难进行深入理解。因此，在高中数学数列的学习过程中，有效结合数列的教学内容进行深入分析，合理地将数列进行变形和转化，以便能够更加正确地掌握数学知识的规律与技巧，从而更加准确地解决数列求和中的问题。其中，通过利用变形、利用公式法进行求和运算，其主要包括拆、合、减、倒等相加的方法。尤其是进行一些典型的数列问题求解时，通过采用变形和转化的形式全面增强自身的思维能力，从根本上提升学生的学习效率。

2.分组求和法

对于数列{an}，若an=bn，且数列{bn}、}…都能求出其前n项之和，则在求{an}的前n项和时，可采用该法。

3.倒序相加法（或倒序相乘法）

（1）倒序相加法

在教材上推导等差数列{an}前n项与Sn的公式：

Sn=，就使用的是该法，推导过程参考教材。

（2）倒序相乘法

例如：已知a、b为两个不相等的证书，在a、b之间插入n个证书，使它们构成以a为首项，b为末项的等比数列，求插入的这n个证书的积pn。

解：设插入的这n个证书为a1、a2、a3、…an，且数列a、a1、a2、a3、…、an、b成等比数列

则ab=a1・aa-1=a2・aa-2=…

Pn=a1・a2・a3・a4…an ①

又Pn=an・an-1・an-2・an-3…a1 ②

由①*②可得Pn2=（a1an）・（a2an-2）・…・（a2na1）=（ab）n

Pn=（ab）

二、高考中数列求和方法的要求

首先，就数列求和方法与技巧等方面内容的学习，其基础且应用最为广泛的基本数列形式为等差数列和等比数列。同时，其他形式的数列问题也能通过合理的变形转化为等比或等差数列，然后再通过等比或等差数列的相关公式来完成。因此，学习数列求和最重要的便是等比或等差数列的学习，学生也容易掌握该知识点。

其次，通项公式是等比与等差数列中非常重要的学习内容之一，也是最常用的表达形式之一。因此，通项公式的学习可将其视之为数列求和的核心学习内容，对此，教师在进行数列求和方法与技巧教学时，应首先引导学生理解通项公式的含义，深入了解通项公式的作用并学会利用通项公式解数列任意一项的具体值。

最后，在数列求和过程中，递推也是数列中常见的表达形式之一。其中递推主要包括一阶线性递推、二阶线性递推、二次函数递推、勾函数递推等。上述集中递推方式均为高中数列求和的重要内容。因此，教师在教学过程中，有必要针对上述内容展开有针对性的训练。

总而言之，数列求和的方法与技巧在整个高中阶段的数学学习中占据着十分重要的地位，也是学生学习高等数学的重要基础。因此，在数列求和问题的学习过程中，我们应该注重把握其重要的学习方法和技巧，有效提升自己的思维转化能力，从而全面提升自己的数学素养。

参考文献：

1.代丽华。数列求和的几种方法[J].数学学习与研究，2013（15）：90.

2.黎东辉。高考试题中几种常见的数列求和方法[J].赤子（上中旬），2015（17）：279-280.

3.邵凤花。数列求和的几种常用方法[J].学园，2014（11）：143.

数列求和方法范文3

关键词：级数；前n项和；通项；递推

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2013）33-159-01

依照某种规律排列着的一列数 ， ， …， 称为数列，记为 若把这列数列的前 项用加号连接起来， + + …+ 它就称为级数，记为 ，其中 称为数列或级数的通项。

对于一个数列（级数），除了研究通项并进而研究它的一些性质外，还要研究计算前 项的和的方法。对于等差数列、等比数列，高中已经学习了它们的求和公式，那么当出现其它的数列（级数）该怎样求出它的前 项之和呢？我们下面对有限项级数求和进行讨论。

一、公式法（直接求和法）

对于等差级数或等比级数求前 项的和，用已得到的公式：

等差级数： =

等比级数： =

例1 求和：（ + ）+（ + ）+…（ + ） （ 0， 1， 1）.

分析 上面各个括号内均由两项组成，其中各括号内的前一项与后一项分别组成等比数列，分别求出这两个等比数列的和就能得到所求式子的和。

解 当 0， 1， 1时，

（ + ）+（ + ）+…（ + ）

=（ ）+（ + +… ）

= +

= + .

用公式法直接求和很简单，但是当我们遇到较复杂的级数求和怎么办呢？

下面对其它级数求和进行讨论。

二、分解法（化归法）

某些数列虽然不是等差数列或等比数列，但是可以通过适当的变换转化等差数列或等比数列来求前 项和。

三、待定系数法

利用数列求和的基本定理，当数列的通项 是项数的次函数时，该数列的前 项之和 是项数 的 次函数。再利用待定系数法可以求出这类数列的前 项之和。

四、裂项法

如果一个级数的每一项都能化为两项之差，其中前一项化得两项之差的减数恰与后一项化得两项之差的被减数相同，一减一加，中间项全部相消为零，那么这个数列前项 之和就是第一项的被减数与第末项的减数之差。

如 = - ，则级数{ }的前 项和是1- .

有时，为了通过和差相消求和，先要对其进行和差化积，如通项的分母有和差时，就应这样进行。

五、逐差法

一个级数的结构规律并不明显时，可考虑用逐差法来求和。

对于数列 ： ， ， …， ，观察其通项，由 组成的数列 叫做一阶递差数列，由 = 组成的数列 叫做二阶递差数列。依此类推，若到第 阶递推数列可以求出其前 项之和，那么就逐渐递推求得 阶递推数列的和。依此，直到推出原数列的和，这种方法称为逐差求和法。

综上所述，我们可以看出：有限项级数求和的问题在中学数学解题中的运用不仅广泛而且灵活。这种源于课本，基于教材的解题和方法值得介绍。通过研究这些方法在解题中的运用不仅可以让我们更好地理解级数的知识，提高观察，思考解决数学问题的能力，还可以培养我们的思维方法。当然本文的论述在研究的深度和广度上还不够完善，还有待于在以后的学习中不断的探索和研究。

参考文献

数列求和方法范文4

一、等差等比数列求和――公式法

等差数列求和的公式：

1.等差数列求和公式：Sn==na1+d

2.等比数列求和公式：Sn=na1 （q=1）

=

（q≠1）

例1.（1）求数列3，6，9，12…的前n项和：

（2）求数列1，2，4，8…的前n项和：2n-1

注：①等差数列求和注意三点：首项，公差，项数

②等比数列求和注意三点：首项，公比，项数

③等差等比求和公式中项数易错

二、数列通项an=等差+等比――分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，但这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常数列的和或差，用分组求和。

例2.（1）数列{an}的通项公式an=2n+2n-1，求前n项和。

分析数列的通项公式为an=2n+2n-1，而数列{2n}和{2n-1}分别是等比数列、等差数列，用分组结合法：

解：Sn=（21+1）+（22+3）+…+（2n+2n-1）

=（21+22+…+2n）+（1+3+…+2n-1）

=2n+1-2+n2

三、an=――列项求和

列项求和的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了，只剩下有限的几项。

例3.求Sn=1+++…+

分析.求和先看通项，此数列的通项an==2（-），用列项求和。

解：Sn=2[（1-）+（-）+（-）+…+（-）]

=

练习：在数列{an}中，an=++…+，又bn=，求数列{bn}的前n项的和。

注：裂项后返回去验证配凑k.

四、an=等差-等比――错位相减法

求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法，错位相减是推导等比数列求和的方法。

例4.求Sn=1+3x+5x2+7x3+…+（2n-1）xn-1（x≠1）

分析{（2n-1）xn-1}的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{xn-1}的通项之积，用错位相减法。

解：Sn=1+3x+5x2+7x3+…+（2n-1）xn-1（x≠1）………①

xSn=1x+3x2+5x3+7x4+…+（2n-1）xn………（设制错位）②

①-②得（1-x）Sn=1+2x+2x2+2x3+2x4+…+2xn-1-（2n-1）xn

x≠1

（1-x）Sn=1+2x・-（2n-1）xn

Sn=

注：①要考虑当公比x为值1时为特殊情况

②错位相减时要注意末项

练习：设a≠0求数列a，2a2，3a3…nan…的前n项和

五、距首末距离相等的两项和相等――倒序相加

倒序相加是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加。

例5.求证：C0

n+3C1

n+5C2

n+…+（2n+1）Cn

n=（n+1）2n

证明：设Sn=C0

n+3C1

n+5C2

n+…+（2n+1）Cn

n…………①

把①式右边倒转过来得：

Sn=（2n+1）Cn

n+（2n-1）Cn-1

n+…+3C1

n+C0

n

QCm

n=Cn-m

n

Sn=（2n+1）C0

n+（2n-1）C1

n+…+3Cn-1

n+Cn

n…………②

①+②得：2Sn=（2n+2）（C0

n+C1

n+…+Cn-1

n+Cn

n）=2（n+1）・2n

Sn=（n+1）・2n