九年级上册数学教案【参考5篇】

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数学九年级上册优秀教案【第一篇】

教学目标

1、通过观察、类比，使学生理解和掌握比的基本性质，并会运用这个性质把比化成最简单的整数比。

2、通过学习，培养学生观察、类比的能力，渗透转化的数学思想方法，培养学生思维的灵活性。

3、通过教学，使学生学会与人合作的意识，并能与他人互相交流思维的过程和结果。

教学重难点

教学重点：理解比的基本性质，掌握化简比的方法 。

教学难点：化简比与求比值的不同。

教学过程

一、创设情境，生成问题

师：同学们，昨天我们刚刚学习了有关比的意义，谁能说说

1、什么叫比？

2、比与除法和分数有什么关系？

（生自由发言）我们以前还学过了分数的基本性质和除法中的商不变性质，还记得吗？谁来说一说？

课前准备：

同桌互相说一说：

1、除法中商不变的性质是什么？你能举例说明吗？

2、举例说明分数的基本性质。

二、探索交流，解决问题

1、猜测比的基本性质

除法有“商不变性质”，分数也有“分数的基本性质”，根据比与除法和分数的关系，同学们猜想看看，比有没有基本性质？如果有，这条基本性质的内容是什么？（学生猜测，并相互补充）

2、验证猜测：学生以四人小组为单位，讨论研究。

汇报（预设）：

① 6÷8=(6×2)÷(8×2)=12÷16

6：8=(6×2)∶(8×2)=12：16

6：8=(6÷2)∶(8÷2)=3：4

6÷8=(6÷2)÷(8÷2)=3÷4

② :=÷=

×5=2 ×5=

2:=2÷=

③ (3/4)÷(5/4)= (3/4)×(4/5)=3/5=

3/4×(2/3)=1/2 4/5×(2/3)=5/6

1/2 :(5/6)=1/2×(5/6)=

……

小组派代表说明验证过程，其他同学补充说明。

结论：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。（板书课题）

问：为什么0除外？（生自由回答）

这句话中你觉得哪些字比较重要？

相同的数可以是什么数？

不可以是什么数？

说一说：比的基本性质与商不变性质和分数的基本性质有什么联系和区别？

3、比的性质的应用

① 最简整数比

师：我们在学习分数的基本性质时，利用它化简分数，约分，通分，其实我们学习比的基本性质也可以用来化简比，把比化成最简整数比，知道什么是最简整数比吗？（生自由发言）

结论：最简整数比就是比的前项和后项都是整数，而且比的前项和后项的公因数是1，这就是最简整数比。

讨论：

怎样理解“最简单的整数比”这个概念？

小组里议一议。

师小结： 必须是一个比；前项、后项必须是整数，不能是分数或小数；前项与后项互质。

② 教学例1：化成最简整数比

课件出示例题，

写出这两面联合国旗的长和宽的比，并化成最简单的整数比。

课件出示例题的两面旗的图，

这两个比有什么关系呢？仔细观察，这两个比的前项，后项是怎么变化的，存在着怎样一个变化规律呢？

生独立解决，小组交流汇报方法。

15∶10

15 : 10=(15÷5)：(10÷5)=3：2

想：5是15和10的什么数？为什么要除以5?

180 : 120=(15÷___)：(10÷___)=3：2

想：除以什么呢？

这两个比的什么变了，什么没有变？

把下面的比化成最简单的整数比。

：2 1/6 ：2/9

三、巩固应用，内化提高

1、看谁的眼睛看得准？（根据比的基本性质判断下面各题）

2、 把下面各比化成最简单的整数比。

应用这个性质可以把一个比化成最简单的整数比？

（1）。需要怎样做才能化成最简单的整数比？

（2）。这样做到底有什么根据？

3、归纳化简比的方法:

（1） 整数比

——比的前后项都除以它们的最大公约数→最简比。

（2） 小数比

——比的前后项都扩大相同的倍数→整数比→最简比。

（3） 分数比

——比的前后项都乘它们分母的最小公倍数→整数比→最简比。

四、课堂小结

通过今天的学习，你又学习了哪些知识？什么是比的基本性质？应用比的基本性质如何把整数比、分数比、小数比化成最简单的整数比？

五、课后延伸：

有一个两位数，十位上的数和个位上的数的比是2:3。十位上的数加上2，就和个位上的数相等。这个两位数是多少？

板书设计：

比的基本性质

比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。

内容和内容解析【第二篇】

（一）内容

一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式。

（二）内容解析

一元二次方程是方程在一元一次方程基础上 “次”的推广，同时它是解决诸多实际问题的需要，为勾股定理、相似等知识提供运算工具，是二次函数的基础。

针对一系列实际问题，建立方程，引导学生观察这些方程的共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念及一般形式。在这个过程中，通过归纳具体方程的共同特点，得出一元二次方程的概念，体现了研究代数学问题的一般方法；一般形式ax2+bx+c=0也是对具体方程从“元”（未知数的个数）、“次数”和“项数”等角度进行归纳的结果；a≠0的条件是确保满足 “二次”的要求，从另一个侧面为理解一元二次方程的概念提供了契机。

数学九年级上册优秀教案【第三篇】

教学目标

1、使学生掌握百分数、小数互化的方法，并能正确的互化。

2、在学习互化的过程中使学生认识到这二者之间的内在联系，为后面学习百分数的计算和应用打下基础。

3、在学习的过程中培养学生的分析思维和抽象概括能力。

教学重难点

使学生理解掌握百分数和小数互化的方法。

教学工具

课件

教学过程

一、活动(一)复习准备

1、课件出示复习题。

张宇跳绳个数是陈聪的倍。

王志祥跳绳个数是陈聪的6/5.

刘星宇跳绳个数是陈聪的%。

思考：这三个人谁跳得最多，怎么比较？

2、引入新课。

在生产、工作和生活中进行统计和分析时，为了便于统计和比较，我们常用百分数表示一些数据。除了用百分数表示，还可以用什么数表示？

这节课我们就来学习百分数和小数的互化以及百分数和分数的互化。

二、活动(二)百分数和小数的互化。

（1）回忆小数化分数的过程。

（2）小数要化成百分数，分母应是多少？怎样使它的分母变成100呢？

三、活动(三) 百分数化成小数

1、例1:把,,化成百分数。

①小数化百分数分几步进行？

②学生回答，教师板书：=25/100=25%

③怎样化成分母是100的分数？根据什么？

④“做一做”:把下面各小数化成百分数。

3

⑤观察例1的各小数，化成百分数后发生了怎样的变化？

你所做的练习的各数是不是也发生了同样的变化？这一变化符合什么？

⑥现在你能很快地把下列小数化成百分数吗？（口答）

2、例2:把27%，135%，%化成小数。

学生自己试做，学生总结方法

①说一说百分数化小数的方法。

②观察百分数化成小数发生了什么变化？

③把下面各百分数化成小数

15% 80% %

3、小结。

通过刚才的分析、归纳，谁能说一说百分数和小数怎样互化？

四、巩固与提高

1、P80“做一做”

2、练习十九的第2题

五、作业

练习十九的第1题

课后习题

练习十九的第1题

数学九年级上教案【第四篇】

活动目标

1、尝试实验，获得有关容量守恒的经验。

2、乐意动手动脑探究水的变化，了解它的主要特性。

活动准备

1、趣味练习：容量比较)

2、标有刻度的瓶子，水，记录纸，笔。

活动过程

一、观察提问

1.出示趣味练习：容量比较

教师：小朋友看一看这六瓶水是一样多的吗？你是怎么知道的？

小结：现在我们想办法做一下实验，比较一下水的多少吧。

二、实验操作

1、教师：用什么办法验证呢？怎么操作？

要求：实验用的两瓶水不能混在一起，实验时动作慢一点，避免将水洒出影响实验结果。

2、记录实验结果

(1)高矮不同的两只瓶子

方法是通过比较水位 的高低，我们可以看出瓶子的水是一样的。

原来瓶子的高矮是不影响水的多少的。

(2)粗细不同的两只瓶子小

选择两个相同的空瓶，把装在大小不同的瓶内的饮料倒入其中，比较出饮料一样多。

方法，任选一个瓶子，将一瓶饮料倒入，用笔画或粘纸条的方法做标记，

把饮料倒出后再将另一瓶饮料倒入该瓶，看饮料位置与原来留下的标记是否一致，

比较出饮料一样多原来瓶子的粗细是不影响水的多少的。

(3)一只含内容物的的瓶子内容物为石子

方法是取出瓶中石子，比较水位的高低。

内容物为海绵小结：方法是将海绵中的水挤回瓶中，比较水位的高低。

原来瓶子里面是否有物体是不影响水的多少的。

3、总结：瓶子的高矮、粗细、内含物是不影响水的多少的，这种现象就叫做容量守恒。

三、活动延伸

想一想，如果把两块一样重的橡皮泥塞进不同形状的瓶子里，橡皮泥会变重吗？

回去试试看吧！

九年级上册数学教案【第五篇】

一元二次方程

1、通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2+bx+c=0(a≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念。

2、了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解。

重点

通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2+bx+c=0(a≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题。

难点

一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别。

活动1　复习旧知

1、什么是方程？你能举一个方程的例子吗？

2、下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式。

(1)2x-1　(2)mx+n=0　(3)1x+1=0　(4)x2=1

3、下列哪个实数是方程2x-1=3的解？并给出方程的解的概念。

活动2　探究新知

根据题意列方程。

1、教材第2页　问题1.

提出问题：

（1）正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？

（2）本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？

（3）这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程。

2、教材第2页　问题2.

提出问题：

（1）本题中有哪些量？由这些量可以得到什么？

（2）比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有5个队参赛，每个队比赛几场？一共有20场比赛吗？如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场？

（3）如果有x个队参赛，一共比赛多少场呢？

3、一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数。

提出问题：

本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？

4、一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少？

活动3　归纳概念

提出问题：

（1）上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？

（2）类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字？

（3）归纳一元二次方程的概念。

1、一元二次方程：只含有________个未知数，并且未知数的次数是________，这样的________方程，叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

提出问题：

（1）一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？

（2）为什么要限制a≠0，b，c可以为0吗？

(3)2x2-x+1=0的一次项系数是1吗？为什么？

3、一元二次方程的解（根)：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(根）。

活动4　例题与练习

例1　在下列方程中，属于一元二次方程的是________.

(1)4x2=81;(2)2x2-1=3y;(3)1x2+1x=2;

(4)2x2-2x(x+7)=0.

总结：判断一个方程是否是一元二次方程的依据：(1)整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)含有未知数的项的次数是2.注意有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系数为0，这样的方程不是一元二次方程。

例2　教材第3页　例题。

例3　以-2为根的一元二次方程是（　　）

+2x-1=0 =0

+x+2=0 +x-2=0

总结：判断一个数是否为方程的解，可以将这个数代入方程，判断方程左、右两边的值是否相等。

练习：

1、若(a-1)x2+3ax-1=0是关于x的一元二次方程，那么a的取值范围是________.

2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。

(1)4x2=81;(2)(3x-2)(x+1)=8x-3.

3、教材第4页　练习第2题。

4、若-4是关于x的一元二次方程2x2+7x-k=0的一个根，则k的值为________.

答案：≠1;2.略；3.略；=4.

活动5　课堂小结与作业布置

课堂小结

我们学习了一元二次方程的哪些知识？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么限制？你能解一元二次方程吗？

作业布置

教材第4页　习题第1～7题。

解一元二次方程

配方法（3课时）

第1课时　直接开平方法

理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题。

提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程。

重点

运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程，领会降次——转化的数学思想。

难点

通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程。

一、复习引入

学生活动：请同学们完成下列各题。

问题1：填空

(1)x2-8x+________=(x-________)2;(2)9x2+12x+________=(3x+________)2;(3)x2+px+________=(x+________)2.

解：根据完全平方公式可得：(1)16　4;(2)4　2;(3)(p2)2　p2.

问题2：目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？

二、探索新知

上面我们已经讲了x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=±3，如果x换元为2t+1，即(2t+1)2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢？

（学生分组讨论）

老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±3

即2t+1=3，2t+1=-3

方程的两根为t1=1，t2=-2

例1　解方程：(1)x2+4x+4=1　(2)x2+6x+9=2

分析：(1)x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x+2)2=1.

（2）由已知，得：(x+3)2=2

直接开平方，得：x+3=±2

即x+3=2，x+3=-2

所以，方程的两根x1=-3+2，x2=-3-2

解：略。

例2　市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到 m2，求每年人均住房面积增长率。

分析：设每年人均住房面积增长率为x，一年后人均住房面积就应该是10+10x=10(1+x)；二年后人均住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2

解：设每年人均住房面积增长率为x，

则：10(1+x)2=

(1+x)2=

直接开平方，得1+x=±

即1+x=，1+x=-

所以，方程的两根是x1==20%，x2=-

因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-应舍去。

所以，每年人均住房面积增长率应为20%。

（学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？

共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程。我们把这种思想称为“降次转化思想”。

三、巩固练习

教材第6页　练习。

四、课堂小结

本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2=p(p≥0)的方程，那么x=±p转化为应用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程，那么mx+n=±p，达到降次转化之目的。若p<0则方程无解。

五、作业布置

教材第16页　复习巩固1.第2课时　配方法的基本形式

理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题。

通过复习可直接化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤。

重点

讲清直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤。

难点

将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧。

一、复习引入

（学生活动）请同学们解下列方程：

(1)3x2-1=5　(2)4(x-1)2-9=0　(3)4x2+16x+16=9　(4)4x2+16x=-7

老师点评：上面的方程都能化成x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式，那么可得

x=±p或mx+n=±p(p≥0)。

如：4x2+16x+16=(2x+4)2，你能把4x2+16x=-7化成(2x+4)2=9吗？

二、探索新知

列出下面问题的方程并回答：

（1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？

（2）能否直接用上面前三个方程的解法呢？

问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，求场地的长和宽各是多少？

（1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有此特征。

（2）不能。

既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：

x2+6x-16=0移项→x2+6x=16

两边加(6/2)2使左边配成x2+2bx+b2的形式→x2+6x+32=16+9

左边写成平方形式→(x+3)2=25降次→x+3=±5即x+3=5或x+3=-5

解一次方程→x1=2，x2=-8

可以验证：x1=2，x2=-8都是方程的根，但场地的宽不能是负值，所以场地的宽为2 m，长为8 m.

像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法。

可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。

例1　用配方法解下列关于x的方程：

(1)x2-8x+1=0　(2)x2-2x-12=0

分析：(1)显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；(2)同上。

解：略。

三、巩固练习

教材第9页　练习1，2.(1)(2)。

四、课堂小结

本节课应掌握：

左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程。

五、作业布置

教材第17页　复习巩固2，3.(1)(2)。第3课时　配方法的灵活运用

了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤。

通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目。

重点

讲清配方法的解题步骤。

难点

对于用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，通常把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方；对于二次项系数不为1的一元二次方程，要先化二次项系数为1，再用配方法求解。

一、复习引入

（学生活动）解下列方程：

(1)x2-4x+7=0　(2)2x2-8x+1=0

老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题。

解：略。　(2)与(1)有何关联？

二、探索新知

讨论：配方法解一元二次方程的一般步骤：

（1）先将已知方程化为一般形式；

（2）化二次项系数为1;

（3）常数项移到右边；

（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；

（5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±q;如果q<0，方程无实根。

例1　解下列方程：

(1)2x2+1=3x　(2)3x2-6x+4=0　(3)(1+x)2+2(1+x)-4=0

分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式。

解：略。

三、巩固练习

教材第9页　练习2.(3)(4)(5)(6)。

四、课堂小结

本节课应掌握：

1、配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤。

2、配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性。在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到。

五、作业布置

教材第17页　复习巩固3.(3)(4)。

补充：(1)已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，求x+y+z的值。

（2）求证：无论x，y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是正数。　公式法

理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程。

复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程。

重点

求根公式的推导和公式法的应用。

难点

一元二次方程求根公式的推导。

一、复习引入

1、前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程

(1)x2=4　(2)(x-2)2=7

提问1　这种解法的（理论）依据是什么？

提问2　这种解法的局限性是什么？（只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程。）

2、面对这种局限性，怎么办？（使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式。）

（学生活动）用配方法解方程　2x2+3=7x

（老师点评）略

总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）。

（1）先将已知方程化为一般形式；

（2）化二次项系数为1;

（3）常数项移到右边；

（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；

（5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±q;如果q<0，方程无实根。

二、探索新知

用配方法解方程：

(1)ax2-7x+3=0　(2)ax2+bx+3=0

如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题。

问题：已知ax2+bx+c=0(a≠0)，试推导它的两个根x1=-b+b2-4ac2a，x2=-b-b2-4ac2a（这个方程一定有解吗？什么情况下有解？）

分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a，b，c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去。

解：移项，得：ax2+bx=-c

二次项系数化为1，得x2+bax=-ca

配方，得：x2+bax+(b2a)2=-ca+(b2a)2

即(x+b2a)2=b2-4ac4a2

∵4a2>0，当b2-4ac≥0时，b2-4ac4a2≥0

∴(x+b2a)2=(b2-4ac2a)2

直接开平方，得：x+b2a=±b2-4ac2a

即x=-b±b2-4ac2a

∴x1=-b+b2-4ac2a，x2=-b-b2-4ac2a

由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c而定，因此：

（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a，b，c代入式子x=-b±b2-4ac2a就得到方程的根。

（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式。

（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法。

公式的理解

（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根。

例1　用公式法解下列方程：

(1)2x2-x-1=0　(2)x2+=-3x

(3)x2-2x+12=0　(4)4x2-3x+2=0

分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可。

补：(5)(x-2)(3x-5)=0

三、巩固练习

教材第12页　练习1.(1)(3)(5)或(2)(4)(6)。

四、课堂小结

本节课应掌握：

（1）求根公式的概念及其推导过程；

（2）公式法的概念；

（3）应用公式法解一元二次方程的步骤：1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0;2)找出系数a，b，c，注意各项的系数包括符号；3)计算b2-4ac，若结果为负数，方程无解；4)若结果为非负数，代入求根公式，算出结果。

（4）初步了解一元二次方程根的情况。

五、作业布置

教材第17页　习题4，　因式分解法

掌握用因式分解法解一元二次方程。

通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题。

重点

用因式分解法解一元二次方程。

难点

让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题更简便。

一、复习引入

（学生活动）解下列方程：

(1)2x2+x=0（用配方法）　(2)3x2+6x=0（用公式法）

老师点评：(1)配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为12，12的一半应为14，因此，应加上(14)2，同时减去(14)2.(2)直接用公式求解。

二、探索新知

（学生活动）请同学们口答下面各题。

（老师提问）(1)上面两个方程中有没有常数项？

（2）等式左边的各项有没有共同因式？

（学生先答，老师解答）上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解。

因此，上面两个方程都可以写成：

(1)x(2x+1)=0　(2)3x(x+2)=0

因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是(1)x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-12.

(2)3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2.（以上解法是如何实现降次的？）

因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法。

例1　解方程：

(1)=0　(2)x(x-2)+x-2=0　(3)5x2-2x-14=x2-2x+34　(4)(x-1)2=(3-2x)2

思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？

解：略　（方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积。）

练习：下面一元二次方程解法中，正确的是（　　）

A.(x-3)(x-5)=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7

B.(2-5x)+(5x-2)2=0，∴(5x-2)(5x-3)=0，∴x1=25，x2=35

C.(x+2)2+4x=0，∴x1=2，x2=-2

=x，两边同除以x，得x=1

三、巩固练习

教材第14页　练习1，2.

四、课堂小结

本节课要掌握：

（1）用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用。

（2）因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.

五、作业布置

教材第17页　习题6，8，10，　一元二次方程的根与系数的关系

1、掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用。

2、培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力。

3、渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。

4、培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神。

重点

根与系数的关系及其推导

难点

正确理解根与系数的关系。一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系。

九年级数学上册教案：二次根式

二次根式

教材内容

1、本单元教学的主要内容：

二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式。

2、本单元在教材中的地位和作用：

二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础。

教学目标

1、知识与技能

（1）理解二次根式的概念。

（2)理解 (a≥0)是一个非负数，（ ）2=a(a≥0）， =a(a≥0)。

（3）掌握 ？ = (a≥0，b≥0)， = ？ ；

= (a≥0，b>0)， = (a≥0，b>0)。

（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减。

2、过程与方法

（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念。再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简。

（2)用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘(除）法规定，并运用规定进行计算。

（3)利用逆向思维，得出二次根式的乘(除）法规定的逆向等式并运用它进行化简。

（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，给出最简二次根式的概念。利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的。

3、情感、态度与价值观

通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力。

教学重点

1、二次根式 （a≥0)的内涵。 (a≥0)是一个非负数；（ ）2=a(a≥0）； =a(a≥0)及其运用。

2、二次根式乘除法的规定及其运用。

3、最简二次根式的概念。

4、二次根式的加减运算。

教学难点

1、对 （a≥0)是一个非负数的理解；对等式（ ）2=a(a≥0）及 =a(a≥0)的理解及应用。

2、二次根式的乘法、除法的条件限制。

3、利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式。

教学关键

1、潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点。

2、培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，培养学生一丝不苟的科学精神。

单元课时划分

本单元教学时间约需11课时，具体分配如下：

二次根式 3课时

二次根式的乘法 3课时

二次根式的加减 3课时

教学活动、习题课、小结 2课时

二次根式

第一课时

教学内容

二次根式的概念及其运用

教学目标

理解二次根式的概念，并利用 (a≥0)的意义解答具体题目。

提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题。

教学重难点关键

1、重点：形如 (a≥0)的式子叫做二次根式的概念；

2、难点与关键：利用“ (a≥0)”解决具体问题。

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：

问题1：已知反比例函数y= ，那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐标是___________.

问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________.

问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________.

老师点评：

问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3.因为点在第一象限，所以x= ，所以所求点的坐标（ ， ）。

问题2：由勾股定理得AB=

问题3：由方差的概念得S= 。

二、探索新知

很明显 、 、 ，都是一些正数的算术平方根。像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式。因此，一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。

（学生活动）议一议：

1.-1有算术平方根吗？

的算术平方根是多少？

3、当a<0， 有意义吗？

老师点评:(略)

例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 、 、 、 (x>0)、 、 、- 、 、 (x≥0，y≥0)。

分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或0.

解：二次根式有： 、 (x>0)、 、- 、 (x≥0，y≥0)；不是二次根式的有： 、 、 、 。

例2.当x是多少时， 在实数范围内有意义？

分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0， 才能有意义。

解：由3x-1≥0，得：x≥

当x≥ 时， 在实数范围内有意义。

三、巩固练习

教材P练习1、2、3.

四、应用拓展

例3.当x是多少时， + 在实数范围内有意义？

分析：要使 + 在实数范围内有意义，必须同时满足 中的≥0和 中的x+1≠0.

解：依题意，得

由①得：x≥-

由②得：x≠-1

当x≥- 且x≠-1时， + 在实数范围内有意义。

例4(1)已知y= + +5，求 的值。（答案:2）

（2）若 + =0，求a2004+b2004的值。（答案: ）

五、归纳小结（学生活动，老师点评）

本节课要掌握：

1、形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。

2、要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数。

六、布置作业

1、教材P8复习巩固1、综合应用5.

2、选用课时作业设计。

3、课后作业:《同步训练》