高中数学弦切角定理的证明方法 (菁选精编5篇

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弦切角定理1

高二数学（文）选修4-1编写：杨社锋编号：07-08

教研组长：贾敏 教研室主任：田土娟校审：王宏奇

弦切角定理

学习目标：理解弦切角定理的推导过程，掌握切线长定理、弦切角定理的内容及其推论 学习重点：切线长定理及弦切角定理

学习难点：切线长定理、弦切角定理及其推论的应用

一、基础知识回顾:

1切线的判定定理及性质：

2、切线长定理

切线长：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长

以上结论叫做切线长定理：_______________________________________________________ ____________________________________________________

注意：切线长与切线的区别：

______________________________________________________

______________________________________________________

________________________

（1）写出图中所有的垂直关系:

（2）写出图中所有的全等三角形:

（3）写出图中所有的相似三角形:

（4）写出图中所有的等腰三角形：

2弦切角定理及其推论

圆周角∠CAB，让射线AC绕点A旋转，产生无数个圆周角，当AC绕点A旋转至与圆相切时，停止旋转，得∠BAE

问：这时∠BAE还是圆周角吗？为

什么？

像∠BAE这样的角叫做弦切角，请你仿照圆周角的定义，给出弦切角的定义：______________ __________________________________________________________________________________ 问题： 以下各图中的角哪个是弦切角？

思考：(1)弦切角的三要素是什么？

（2）弦切角相对于圆心的位置，分为哪几类？请在右上方画出图。

问题:已知如图，AB是⊙O的一条切线，A为切点，AC是⊙O的一条弦，则∠ADC与∠BAC有什么关系？请给出证明。（提示：类比圆周角定理的证明方法）

结论：弦切角定理：________________________________________________________ 问题：若两个弦切角所夹的弧相等，，那么这两个弦切角相等吗？为什么？

结论：弦切角定理的推论：___________________________________________________ 三质疑互探

例5已知如图12，EF切圆与点D。求证：

EF // BC

例6 已知：如图PA ，PB分别与圆O相切于点A和点B，AC是圆O的直径。求证：

APB2BAC

四、当堂检测

1、 如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，直线EF也是⊙O的切线，切点为Q，交PA、PB为E、F点，已知PA12cm，求△PEF的周长。2. 如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交

于E，F. 求证：EF∥BC.

3、已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径．求证：AC∥OP．

课时作业

1、在△ABC中，AB=5cm BC=7cm AC=8cm, ⊙O与BC、AC、 AB分别相切于 D、 E 、F，则 AF=_____, BD=_______ 、CF=________

2、已知PA、PB切⊙O于A、PA=4，则⊙O的半径为。

3、已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为23，则过点P的两条切线的夹角为度，切线长为。

是⊙O的弦，P是BC延长线上一点，PA与⊙O相切于点A，∠ABC=25°，∠ACB=80，则∠P的度数为_______．

★5.已知⊙O1和⊙O2外切于点B，PB是两圆公切线，PA、PB分别与⊙O1、⊙O2相切于A、C，如果AP=2X-3,PC=X+3，则x=。

6、已知：△ABC内接于⊙O，∠ABC=25°，∠ACB= 75°，过A点作⊙O的切线交BC的延长线于P，则∠APB等于()A．°B．55°C．50°D．40°． 7.已知：如图 7－149，PA，PB切⊙O于A，B两点，AC为直径，则图中与∠PAB相等的角的个

数为()A．1 个；B．2个；C．4个；D．5个． 8.已知如图7－150，四边形ABCD为圆内接四边形，AB是直径，MN切⊙O于C点，∠BCM=38°，那么∠ABC的度数是（）A．38°；B．52°；C．68°；D．42°． 9.已知：如图6，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别相切于点L、M、N、P.

想一想： AB+CD与AD+BC之间有什么关系？说明你结论的正确性。

B，∠APB=60º，DA

O L

C M B

10、如图，AB是⊙O的弦，CD是经过⊙O上的点M的切线。求证： ⑴ 如果AB//CD，那么AM=MB； ⑵ 如果AM=BM，那么AB//CD.

★11.如下图，△ABC的∠BAC的平分线交外接圆于D，交圆的切线BE于E． 求证：（1)．∠EBD=∠DBC；（2）．AB·BE=AE·DC．

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4.弦切角定理2

圆的切线判定定理与性质定理

3、如图，AB是⊙ O的弦， AD是⊙ O的弦切角定理

考纲要求：会证明和应用以下定理：圆的切线判定定理与性质定理和弦切角定理 一：知识梳理

1、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的__________. 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过_______； 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过______. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线

是圆的________.2.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的______________. 推论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等。

二：基本技能：

1、已知一个圆的弦切角等于50°，那么这个弦切角

所夹的弧所对的圆心角的度数为2.如图，AB是直径，点D在AB的延长线上， BD=OB，若CD切⊙O于C点， 则∠CAB的度数为

∠DCB的度数为， ∠ECA的度数为

切线，C为 AB上任一点，∠ACB=1080，变式训练2已知弦AB与⊙O的半径相等，连接OB并延长使BC＝OB. 那么∠BAD =______.(1)问AC与⊙O的位置关系是怎样的； (2)试在⊙O上找一点D，使AD＝AC.

4、如图，PA， PB切⊙ O于 A， B两点，AC⊥PB，且与⊙ O相交于 D，若∠DBC=220

类型二： 弦切角与圆周角定理的应用

则∠APB==________.

解题准备:弦切角与圆周角是很重要的与圆相关的角。其主要功能在于协调与圆相关的各种角（如圆心角､圆周角等），是架设圆 与三角形全等､三角形相似､与圆相关的各种直线(如弦､割线､

切线)位置关系的桥梁，因而弦切角也是确定圆的重要几何定理的关键环节（如证明切割线定理）。 三：典例分析 例1：（2010年高考课标全国卷）

类型一：

圆的切线的性质与判定

如图已知圆上的弧＝，过解题准备:若知圆的切线，C点的圆的切线与BA的延径，从而得到垂直关系。

长线交于E点，证明： 若已知直线与圆有公共点，(1)∠ACE＝∠BCD；

于已知直线即可；(2)BC

2＝BE×CD.

圆心到直线的距离等于圆的半径。

例

1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆．

求证：AC是⊙O的切线．

变式训练1: （2010年高考江苏卷）

如图，AB是圆O的直径，D为圆O

交AB的延长线于点C，若DA＝DC

四：能力提升

1．（海淀二模3）如图，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于点B，连接DB，若D20，则DBE的大小为

()

A. 20B. 40C. 60D. 70

2、（西城二模11）如图，ABC是圆的内接三角形，PA切圆于点A，PB交圆于点D.若ABC60，PD1，BD8，则PAC________,PA________.3.如图，AB是半圆O的直径，C、D是 半圆上的两点，半圆O的切线PC

交AB的延长线于点P，∠PCB＝25°，则∠ADC为()

°°

°° 9.圆内接四边形ABCD的顶点C引切线

MN，AB为圆直径，若∠BCM=380，则∠ABC=()

4、如图，AB是⊙O的直径，EF切⊙O

B. 520

C. 680

D. 420

于C，AD⊥EF于D，AD=2，AB=6，则AC的长为()

10．如右图，A、B是⊙O上的两点， 是⊙O的切线，∠B=70°，则

∠BAC等于（）

A

5、如图，AB是⊙ O的直径， AC， BC是 A. 70° B. 35° C. 20°D. 10°

C

⊙ O的弦， PC是⊙ O的切线，切点为 C∠BAC=350，那么∠ACP等于() 11.如图，AB， AC是⊙O的两条切线， A. 350B. 550C. 650D. 1250

切点分别为 B、 C、 D是优弧BC上的点，已知∠BAC=800，那么∠BDC =______.

6、如图，在⊙ O中， AB是弦， AC是

⊙ O的切线， A是切点，过 B作BD⊥AC

于D，BD交⊙ O于 E点，若 AE平分∠BAD， 则∠BAD= ()

12、

A. 300B. 450

C. 500D. 600

2012高考辽宁文22（本小题满分10分）选修41： 几何证明选讲

7、如图，E是⊙O内接四边形 ABCD两条对角线

如图，⊙O和⊙O/

相交于A,B两点，过A作两圆的切线分的交点，CD延长线与过 A点的⊙ O的切线交于

F点，若∠ABD=440，∠AED=1000，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E。证明 ADAB， 则∠AFC的度数为

别交两圆于C，()

(Ⅰ)ACBDADAB；

F

(Ⅱ) ACAE。

1450C

8、过圆内接△ABC的顶点 A引切线交 BC 延长线于D，若∠B=350，∠ACB=800，则

∠D=()

．600

弦切角定理的证明3

弦切角定理的证明

弦切角定理：定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半。（弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定理证明

证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。过点A作Tp的平行线交BC于D，则∠TCB=∠CDA

∵∠TCB=90-∠OCD

∵∠BOC=180-2∠OCD

∴，∠BOC=2∠TCB

证明：分三种情况：

（1）圆心O在∠BAC的一边AC上

∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA

∵为半圆，(2)圆心O在∠BAC的内部。过A作直径AD交⊙O于D,那么

。

（3）圆心O在∠BAC的外部，过A作直径AD交⊙O于D

那么

2连接并延长TO交圆O于点D，连接BD因为TD为切线，所以TD垂直TC，所以角BTC+角DTB=90因为TD为直径，所以角BDT+角DTB=90所以角BTC=角BDT=角A

3编辑本段弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另图示一边和圆相切的角叫做弦切角。（弦切角就是切线与弦所夹的角）如右图所示，直线pT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB，∠TCA，∠pCA，∠pCB都为弦切角。编辑本段弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半。弦切角定理证明：证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。∵∠TCB=90-∠OCB∵∠BOC=180-2∠OCB∴，∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB（圆心角等于圆周角的两倍）∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧。求证：（弦切角定理）证明：分三种情况：(1)圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA∵为半圆，∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角B点应在A点左侧(2)圆心O在∠BAC的内部。过A作直径AD交⊙O于D,若在优弧m所对的劣弧上有一点E那么，连接EC、ED、EA则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB∴∠CEA=∠CAB∴（弦切角定理）(3)圆心O在∠BAC的外部，过A作直径AD交⊙O于D那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90∴∠CDA=∠CAB∴（弦切角定理）编辑本段弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60°，AB=a求BC长。解：连结OA，OB.∵在Rt△ABC中，∠C=90∴∠BAC=30°∴BC=1/2a(RT△中30°角所对边等于斜边的一半）例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.求证：EF∥BC.证明：连是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC∠EFD=∠BAD∠EFD=∠DAC⊙O切BC于D∠FDC=∠DAC∠EFD=∠FDCEF∥BC例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.证明：∵AB是⊙O直径∴∠ACB=90∵CD⊥AB∴∠ACD=∠B，∵MN切⊙O于C∴∠MCA=∠B，∴∠MCA=∠ACD，即AC平分∠MCD，同理：BC平分∠NCD.

弦切角定理证明方法4

弦切角定理证明方法

（1）连OC、OA，则有OC⊥CD于点C。得OC‖AD，知∠OCA=∠CAD。

而∠OCA=∠OAC，得∠CAD=∠OAC。进而有∠OAC=∠BAC。

由此可知，0A与AB重合，即AB为⊙O的直径。

（2）连接BC，且作CE⊥AB于点E。立即可得△ABC为Rt△，且∠ACB=Rt∠。

由射影定理有AC²=AE*AB。又∠CAD=∠CAE，AC公用，∠CDA=∠CEA，得△CEA≌△CDA，有AD=AE，所以，AC²=AB*AD。

第一题重新证明如下：

首先证明弦切角定理，即有∠ACD=∠CBA。

连接OA、OC、BC，则有

∠ACD+∠ACO=90°

=(1/2)（∠ACO+∠CAO+∠AOC）

=(1/2)(2∠ACO+∠AOC)

=∠ACO+(1/2)∠AOC,所以∠ACD=(1/2)∠AOC，而∠CBA=(1/2)∠AOC（同弧上的圆周角等于圆心角的一半），得∠ACD=∠CBA。

另外，∠ACD+∠CAD=90°，∠CAD=∠CAB，所以有∠CAB+∠CBA=90°，得∠BCA=90°，进而AB为⊙O的直径。

2证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。

∵∠TCB=90-∠OCB

∵∠BOC=180-2∠OCB

∴，∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）

∵∠BOC=2∠CAB（圆心角等于圆周角的两倍）

∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）

证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧。求证：（弦切角定理）

证明：分三种情况：

（1）圆心O在∠BAC的一边AC上

∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA

∵为半圆，∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角(2)圆心O在∠BAC的内部。

过A作直径AD交⊙O于D,若在优弧m所对的劣弧上有一点E

那么，连接EC、ED、EA

则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB

∴∠CEA=∠CAB

∴（弦切角定理）

（3）圆心O在∠BAC的外部，过A作直径AD交⊙O于D

那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90

∴∠CDA=∠CAB

∴（弦切角定理）

编辑本段弦切角推论

推论内容

若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等

应用举例

例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60°，AB=a求BC长。

解：连结OA，OB.

∵在Rt△ABC中，∠C=90

∴∠BAC=30°

∴BC=1/2a（RT△中30°角所对边等于斜边的一半）

例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.

求证：EF∥BC.

证明：连DF.

AD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC

∠EFD=∠BAD

∠EFD=∠DAC

⊙O切BC于D∠FDC=∠DAC

∠EFD=∠FDC

EF∥BC

例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.

证明：∵AB是⊙O直径

∴∠ACB=90

∵CD⊥AB

∴∠ACD=∠B，∵MN切⊙O于C

∴∠MCA=∠B，∴∠MCA=∠ACD，即AC平分∠MCD，同理：BC平分∠NCD.

66弦切角定理5

弦切角定理

一、教学目标

1、 掌握弦切角定义，能说出弦切角定理的内容，会直接应用这些内容解决简单问题；

2、 理解定理的证明，并会解释定理的应用；

3、 能独立完成定理证明，并会灵活运用定理解决有关证明与计算问题；

4、 通过定理教学，了解数学的化归思想、分类思想以及特殊到一般的数学思想。

二、教材分析

重点：弦切角概念的理解，弦切角定理及其推论的发现和应用。

难点：弦切角定理的发现及证明。

三、教法设想

利用建钩主义教学理论，构建“问题——探究——解答——结论——问题——探究”过程，引导学生主动建构新知。

四、学法指导

通过创设情境，留给学生一席观察、想象、假设、验证的空间，指导学生主动探索和研究，发现新知；通过变式训练和开放结论，培养学生的创新精神。

五、教具选择

多媒体电脑、投影机、投影仪各一台，弦切角活动教具。

六、过程设计

1、 弦切角课题的引入

——引导学生亲自演示活动教具：

移动圆周角的一条边，产生无数个圆周角，当动边移至与圆相切位置时，停止移动，共同研究这个角的特性。

——全体学生共同分析，并仿照圆心角、圆周角给这个特殊角命名。

——学生猜出这样的角叫弦切角后，教师板书课题：弦切角定理。

2、 弦切角概念的定义

——教师操纵计算机，进入圆周角变成弦切角的程序。

——学生动手，将观察与感知到的图形画到纸上。

——全体学生对自己画出的弦切角进行研究。

——启发学习上有困难的学生归纳总结，得出弦切角概念的内涵：①顶点在圆周上；②一边与圆相交（弦）③另一边与圆相切。

——提问中等生用数学语言给弦切角概念下定义。

——要求全体学生会解释弦切角定义，明确构成弦切角的三个必要条件。

——以反例巩固定义：

说明弦切角定义中的三个条件缺一不可。

这一段的教学结构是：观察现象——画出图形——揭示属性——通过反例——巩固属性，突出了事实形成的过程。

3、 概念分类

——

一个圆的弦切角有无数多个，我们不可能也不必要对这无数多个弦切角逐一研

究，只要进行分类即可。结合证明圆周角定理的分类，你能把弦切角分类吗？ ——请一位基础较好的学生说出分类的初步想法。

——全体学生根据这种想法分类，画出弦切角的分类图。

——全体学生分组讨论分类标准。

——由基础较好的学生总结分类标准：即以圆心与弦切角的位置关系决定：在角的一边（弦）上，还是在角的外部或内部。

通过类比迁移，新知转化为旧知。

4、 对弦切角定理的探索

——投影仪显示弦切角的特殊情况，如图

——学生观察图形特点，发现此时弦切角是直角，与其所夹

弧的度数为180°。

——由一名中等生解释为什么。

全体学生书面证明圆心在弦切角一条边（直径）上时，得到

弦切角等于它所夹弧度数的一半的结论。

——由特殊猜出结论后，教师提出质疑：特殊情况成立能否推断一般情况也成立，我们下一步应该研究什么？

——由定义和圆周角定理的证明，联想下一步的教学应考虑圆心不在弦切角一条边上的情况。

——计算机显示圆心在弦切角外部和圆心在弦切角内部的两种图形。

——学生分组讨论：怎样实现将一般情况的证明转化为特殊情况。

将知识的形成过程由学生自己给出，使他们具有成就感。

在讨论的过程中既含有分类的数学思想方法，同时也体现了证明数学命题由特殊到一般的思想方法。

5、 弦切角定理的推广

问题：从弦切角概念产生的过程，你能说明与弦切角所夹的弧对着的圆周角之间的关系吗？比较说明他们的异同点。

推论：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角。

6、 概念与定理的应用 ——投影屏幕显示一组判断题：判断正误

⑴圆心角与它的夹弧所对的弦切角相等； ⑵所有的弦切角都小于180°；

——投影屏幕显示图形

⑴图中有几个弦切角？

⑵图中有几个圆周角？

⑶找出具有相等关系的角，并说明理由；

⑷如果∠ABC=40°，求∠BAC、∠BCM、∠CAN、∠BCN和弧BC、AC的度数； ⑸你能根据这个图形自编一道题吗？

在题目的设计上分层次要求，⑸是开放性题目，有利于发展学生的创造性思维。题目的内容，使新旧知识建立了联系，是对本节教学目标的检查与评价。

——书本例2及改编

如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F。求证：①EF∥BC

②若AD与EF交于点G，求证：AF·FC=GF·DC（2001年河南省中考题） （设计意图：培养学生发散思维能力和创新能力）

7、 应用知识促巩固（练习见课本）

8、 小结全文构体系

这节课研究了弦切角的有关知识，通过学习，我们知道在圆中研究角的相互关系时，若有切线的条件，就可考虑应用弦切角定理，为我们解决问题提供了方便。 9. 布置作业

（1） 作业本（全班做）

（2） 将例2改编为

③求证：AB·DC=AC·BD

④若FD、AB延长线交于M。求证：DM2BMAM

⑤若DE=32，DC+CF=6，AE∶AF=3∶2，求EG的长。（学有余力的同学做）王松萍