反三角函数公式总结精编4篇

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反三角函数范文1

[关键词] 锐角三角函数；调查研究

在日常教学中，初中数学教师普遍反映初中学生学习锐角三角函数比较困难，特别是对于三角函数概念的理解更显得困难。同时初中数学教师也反映学生对锐角三角函数理解存在很多问题。为全面了解初中生学习锐角三角函数时的困难，以及困难产生的原因，我们进行了本次抽样调查。同时也希望通过本次调查，能够寻找和确定合理教学要求，适度调整教与学方式方法，从而使学生高水平地理解三角函数概念。

一、关于锐角三角函数的认识

在相似的直角三角形中，当锐角大小确定以后，直角三角形中某两边的比值就随之确定，且有唯一比值与之对应。这就是说，针对每一个锐角，都有唯一一个数值与它对应。基于初中阶段的函数定义：“设在一个变化过程中有两个变量X与Y，如果对于X的每一个值，Y都有唯一的值与它对应，那么就说X是自变量，Y是X的函数”，锐角三角函数符合初中阶段函数定义。但与一次函数、反比例函数和二次函数相比，锐角三角函数是一类特殊的函数。其特殊性主要体现在对应关系及其表示方式上。例如，一次函数对关系中，函数值是通过对自变量的代数运算得到的，并且这种对应关系直接借助于该运算表达式进行表示。而锐角三角函数的函数值不是通过对自变量（角度）的代数运算表达式来表示，而是依托于直角三角形，通过确定与该角具有某种位置关系的某两边的比值得到的，并且使用比较抽象的符号表示某两个边的比值，且不同两边比值采用不同符号。

二、研究方法

（一）样本

调查样本选自三所学校，其中两所学校是辽宁省课程改革示范校，共从中随机选取九年级四个班的147名学生；另一所学校是鞍山市城乡结合部某普通初中，从中随机选取九年级一个班级的29名学生。由于这三所学校都采取了阳光分班，因此，这样选择调查样本保障了样本的代表性。

此外，调查的时间选择在学生均已学习过一次函数、二次函数、反比例函数和锐角三角函数。

（二）调查工具

根据调查目的――调查学生对锐角三角函数概念的理解水平，将问卷分为以下三个方面：学生对函数基本概念的理解，对锐角三角函数概念的理解和锐角三角函数与其他函数的差异。为了考查学生对函数概念的理解情况，我们要求学生写出函数的概念。为了考查学生对锐角三角函数本质的理解，问卷中设计了三个题目。一个是“你认为锐角三角函数的本质体现了什么”并给出三个选项，意在考查学生在有错误选项的干扰下能否选出锐角三角函数的本质描述。第二个题目是“只要角的大小确定了，那么这个角的三角函数值的大小也就确定了，请问你同意这种说法吗？并写出理由”，意在考查学生在特定情境下能否准确表述出锐角三角函数的本质。第三个题目是关于表达式中自变量与因变量的区分，目的为了考查学生在三角函数正弦表达式中能否准确运用函数的概念区分出自变量与因变量。此外，问卷中第四题让学生叙述锐角三角函数与其他函数的不同，意在调查学生对已学知识的整理程度。在问卷题目的设计与修改过程中，我们对特级教师和数学教育研究者进行了访谈，寻求建议，经过反复修改最终确定了问卷的有效性。

三、调查结果

本次调查回收问卷176份，有效问卷161份，整理后得到以下数据。

（一）学生对函数概念的理解水平

试卷中第三题是对学生函数概念理解水平的考查，要求学生写出函数的概念，学生的答案基本分为四类，如表1所示：

%的学生能正确书写出函数的概念“设在一个变化过程中，有两个变量X与Y，如果对于X的每一个值，Y都有唯一的值与它对应，那么就说X是自变量，Y是X的函数”。有%名学生的答案中提到“变量”这一词，例如，有学生写到“函数就是两个变量之间的关系”或“函数是变量X与变量Y的变化过程” 。但没有进一步说明对应关系指的是什么，等等。可见，学生对函数概念理解的准确程度很低。还有一部分学生，虽然知道函数概念，但在表述上不准确不完整。

（二）学生对锐角三角函数本质的理解

试卷中第二题、第五题和第六题考查了学生对锐角三角函数本质的理解。第二题设计为“你认为锐角三角函数的本质体现了什么？”，并给出表2中的三个选项，其中C为正确答案。数据如表2所示：

从上题可以看出，学生正确选出锐角三角函数的概念的人数比较多。但仍旧有%的学生不理解锐角三角函数的概念，分不清锐角三角函数中是哪两个变量之间的对应关系。

第五题是考查学生对锐角三角函数本质理解的判断题，题目设计为“只要角的大小确定了，那么这个角的三角函数值的大小也就确定了，请问你同意这种说法吗？并写出理由”正确答案应是同意该说法。数据如表3所示：

从表3我们可以看出，学生对锐角三角函数本质的理解水平较低，只有%的学生正确判断并写出自己的理由。例如，回答正确的学生提到“因为三角函数值是直角三角形中一个锐角的对边和邻边的比，跟三角形的大小无关”或“大小不同的三角形是相似三角形，所以对应边成比例，只要角一定，边长比就一定”。无法表述原因或完全错误的学生占了大多数（%）。

卷中第六题设计为关于表达式中自变量与因变量的区分，数据如表4所示：

本题为问答题，正确答案为∠A是自变量，是因变量。从问卷上可以看出还是有%的学生能够区分自变量与因变量的，说明这些学生理解锐角三角函数中函数变量的对应关系。而其余学生（%）将边长或∠A的正弦值当作变量的情况值得我们注意。

（三）关于学生对锐角三角函数与其他函数的区分

问卷中第四题考察了学生是否能准确区分锐角三角函数与其他函数的不同，请学生写出关于锐角三角函数与其他函数的区别，数据如表5所示：

本题为问答题，请学生写出锐角三角函数与一次函数、反比例函数和二次函数的区别。学生的答案可分为三类：“表达式不同”、“锐角三角函数是在固定的图形中解决问题”、完全错误。数据显示，学生在学习初中阶段涉及到的各种类型函数后，对知识间的联系程度较低，其表现是%的学生说不出各个函数间的相同与不同之处。

四、讨论

通过问卷调查，本次研究得到的结论是，学生对函数概念的理解水平较低，部分学生不理解锐角三角函数本质，大部分学生不能找出各个函数之间的不同之处。下面我们将从三个方面来分析学生产生问题的原因。

从锐角三角函数的表达式方面来看，由于给三种锐角三角函数赋予了特定的符号（sin、cos、tan）。这三符号在一定程度上没能够直观地给学生所谓的解析式的印象，隐去了函数与自变量之间的关系，即不能像一次函数那样直接呈现函数与自变量的关系，使得学生理解锐角三角函数中的函数与自变量的关系变得困难。

从教材编排看，部分教材将《锐角三角函数》这节课放在一次函数、反比例函数甚至是二次函数之后出现，因此，一次函数、二次函数、反比例函数的学习对三角函数学习产生负迁移，即导致学生误认为函数总是可以用X的解析式来表达的思维定式，从而影响了学生对锐角三角函数的理解。这种思维定式直接导致部分学生分不清锐角三角函数中的自变量和因变量，使得学生对锐角三角函数本质的理解出现困难。

从教师授课方面来看，教师没有从函数概念的高度引导学生理解锐角三角函数，没有说明锐角三角函数是明显地存在“对应”关系的函数，更多的是关注特殊角度所对应的两边比值。这样可能会导致一部分学生无法理解锐角三角函数的本质及与其他函数之间的不同之处。同时，大部分教师在讲授函数部分知识的时候，重视习题练习要多于给学生传授函数思想的应用，这样会弱化学生在函数概念和函数思想上的认识。

[参 考 文 献]

三人行，必有我师焉。上面就是山草香给大家整理的4篇反三角函数公式总结，希望可以加深您对于写作反三角函数的相关认知。

反三角函数范文2

一、选择题（每小题3分，共36分）1.若函数 的图象经过点（ ， ，则函数 的图象不经过第（ ）象限。A .一 B.二 C.三 D.四2.（2013•广东中考）已知 ，则函数 和 的图象大致是（ ） 3.当 ＞0， ＜0时，反比例函数 的图象在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.若函数 的图象经过点（3，-7），那么它一定还经过点（ ）X （3，7） B.（-3，-7） C.（-3，7） D.（-7，-3）5.(2013•沈阳中考)如图所示，ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD＝4，BC＝8，BD∶DC＝5∶3，则DE的长等于（ ）A. B. C. D. 6.(2013•山东东营中考)如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3，4及 那么 的值（ ）A.只有1个 B.可以有2个C.可以有3个 D.有无数个7.(2013•山东聊城中考)如图所示，D是ABC的边BC上任一点，已知AB=4，AD=2，∠DAC=∠B.若ABD的面积为 则ACD的面积为（ ）A. B. C. 购买 只茶杯需15元，则购买茶杯的单价 与 的关系式为（ ）A. （ 取实数） B. （ 取整数）C. （ 取自然数） D. （ 取正整数） 9.在下列四组三角形中，一定相似的是（） A.两个等腰三角形 B.两个等腰直角三角形C.两个直角三角形 D.两个锐角三角形10.若 = = 且3 =3，则2 的值是（）A．14 B．42 C．7 D． 11. 若 = 则 （）A． B． C． D． 12.若 ∽ 且相似比为 ∽ 且相似比为 则 与 的相似比为（）A． B． C． 或 D． 二、填空题（每小题3分，共24分）13.已知 y 与 2x+1 成反比例，且当 x=1 时，y=2，那么当 x=0 时，y= .14.（2013•陕西中考）如果一个正比例函数的图象与反比例函数 的图象交于 、 两点，那么 的值为________.15.若梯形的下底长为x，上底长为下底长的 ，高为y，面积为60，则y与x的函数解析式为__________.（不考虑x的取值范围）16.反比例函数 （k>0）的图象与经过原点的直线 相交于A、B两点，已知A点的坐标为（2，1），那么B点的坐标为 .17.在比例尺为1∶500 000的某省地图上，量得A地到B地的距离约为46厘米，则A地到B地的实际距离约为 千米。18.如图是一个边长为1的正方形组成的网格， 与 都是格点三角形（顶点在网格交点处）,并且 ∽ 则 的相似比是 . 19.如图所示，EF是ABC的中位线，将 沿AB方向平移到EBD的位置，点D在BC上，已知AEF的面积为5，则图中阴影部分的面积为 .20.如图所示，在平行四边形 中 是对角线BD上的点，且EF∥AB，DE∶EB=2∶3，EF=4，则CD的长为 .三、解答题（共60分） 21.（10分）(2013•湖北宜昌中考)如图①所示，在ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,AOBC于点O,F是线段AO上的点(与 不重合),∠EAF=90°,AE=AF,连接FE,FC,BE,BF. ① ②第21题图 (1)求证：BE=BF.(2)如图②所示，若将AEF绕点 旋转，使边AF在∠BAC的内部，延长CF交AB于点 交BE于点 .①求证：AGC∽KGB;②当BEF为等腰直角三角形时，请你直接写出AB∶BF的值。22.（8分）（2013•兰州中考）如图所示，已知反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点A（1，4）和点B（m，－2）.（1）求这两个函数的表达式；（2）观察图象，当x>0时，直接写出 时自变量x的取值范围；（3）如果点C与点A关于x轴对称，求ABC的面积。23.（8分）如图所示，在直角坐标系中，O为坐标原点。 已知反比例函数 的图象经过点A（2，m），过点A作ABx轴于点B，且AOB的面积为 .（1）求k和m的值；（2）点C（x，y）在反比例函数 的图象上，求当1≤x≤3时函数值y的取值范围；（3）过原点O的直线与反比例函数 的图象交于P、Q两点，试根据图象直接写出线段PQ长度的最小值。

24.(8分)已知反比例函数 （k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3）.（1）求这个函数的解析式；（2）判断点B（-1，6），C（3，2）是否在这个函数的图象上；（3）当-3＜x＜-1时，求y的取值范围。25.(8分)在比例尺为1∶50 0 00的地图上，一块多边形地区的周长是72 cm，多边形的两个顶点 、 之间的距离是25 cm，求这个地区的实际边界长和 、 两地之间的实际距离。26.(8分)已知：如图所示，在 中 ∥ 点 在边 上 与 相交于点 且∠ ．求证：（1） ∽ ；（2） 27.(10分)制作一种产品，需先将材料加热达到60 ℃后，再进行操作．设该材料温度为y（℃），从加热开始计算的时间为x（分钟）．据了解，当该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图）．已知该材料在操作加工前的温度为15 ℃，加热5分钟后温度达到60 ℃．（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15 ℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？ 解析：因为函数 的图象经过点（1，-1），所以k=-1，所以y=kx-2=-x-2，根据一次函数的图象可知不经过第一象限。 解析：由 ，知函数 的图象分别位于第一、三象限；由 ，知函数 的图象经过第二、三、四象限，故选 解析：当k＞0时，反比例函数的图象在第一、三象限，当x＜0时，反比例 函数的图象在第三象限，所以选 解析：因为函数图象经过点（3，-7），所以k=-21.将各选项分别代入检验可知只有C项符合。 解析： BC＝BD+DC＝8，BD∶DC ＝5∶3， BD＝5，DC＝3. ∠ =∠ ∠ADC=∠BDE,ACD∽BED, 即 DE= . 解析：当一个直角三角形的两直角边长为6，8，且另一个与它相似的直角三角形的两直角边长为3,4时 的值为5；当一个直角 三角形的一直角边长为6,斜边长为8，另一直角边长为2 且另一个与它相似的直角三角形的一直角边长为3,斜边长为4时 的值为 故 的值可以为5或 . 解析： ∠DAC=∠ ∠ACD=∠BCA， ABC∽DAC， = =4，即 .点拨：相似三角形的面积比等于对应边的比的平方。不要错误地认为相似三角形的面积比等于对应边的比。8. D 解析：由题意知 解析：根据相似图形的定义对各选项分析判断后再利用排除法进行求解。 A.两个等腰三角形，两腰对应成比例， 夹角不一定相等，所以两个等腰三角形不一定相似，故本选项错误；B. 两个等腰直角三角形，两腰对应成比例，夹角都是直角。一定相等，所以两个等腰直角三角形一定相似，故本选项正确；C. 两个直角三角形，只有一直角相等，其余两锐角不一定对应相等，所以两个直角三角形不一定相似，故本选项错误；D. 两个锐角三角形，不具备相似的条件，所以不一定相似，故本选项错误．故选B．10. D 解析：设 则 又 =3，则15 =3，得 = 即 = = = 所以 = ．故选D．11. D 解析： = 故选D．12. A 解析： ∽ 相似比为 又 ∽ 相似比为 ABC与 的相似比为 ．故选A． 解析：因为y 与 2x+1 成反比例，所以设 ，将x=1 ，y=2代入得k=6，所以 ，再将x=0代入得y= 解析：由反比例函数图象的对称性知点A和点B关于原点对称，所以有 , .又因为点 在反比例函数 的图象上，所以 ,故 .15. 解析：由梯形的面积公式得 ，整理得 ，所以 .16.（-2，-1） 解析：设直线l的解析式为y=ax，因为直线l和反比例函数的图象都经过A（2，1），将A点坐标代入可得a＝ ，k＝2，故直线l的解析式为y＝ x，反比例函数的解析式为 ，联立可解得B点的坐标为（-2，-1）. 解析：根据比例尺=图上距离︰实际距离，列比例式直接求得实际距离．设 地到 地实际距离约为 则 解得 厘米=230千米． 地到 地实际距离约为230千米．18. 解析： 先利用勾股定理求出 那么 即是相似比。由图可知 与 的相似比是 . 解析： 是 的中位线， ∥ ∽ . 的面积为5， . 将 沿 方向平移到 的位置， . 图中阴影部分的面积为： ．20. 10 解析： ∥ ∽ 0.又 四边形 是平行四边形， ．21.分析：（1）根据“SAS”可证EAB≌FAB.（2）①先证出AEB≌AFC,可得∠EBA=∠FCA.又∠KGB=∠AGC,从而证出AGC∽KGB.②应分两种情况进行讨论：当∠EFB=90°时，有AB= AF，BF= AF,可得AB∶BF= ∶ ；当∠FEB=90°时，有AB= AF，BF=2AF,可得AB∶BF= ∶2.(1)证明： AOBC且AB=AC, ∠OAC=∠OAB=45°. ∠EAB=∠EAF-∠BAF=45°, ∠EAB=∠FAB. AE=AF,且AB=AB, EAB≌FAB. BE=BF.(2)①证明： ∠BAC=90°,∠EAF=90°, ∠EAB+∠BAF=∠BAF+∠FAC=90°, ∠EAB=∠FAC. AE=AF,且AB=AC, AEB≌AFC , ∠EBA=∠FCA.又 ∠KGB=∠AGC, AGC∽②解： AGC∽KGB, ∠GKB=∠GAC=90°. ∠EBF＜90°.Ⅰ当∠EFB=90°时，AB∶BF= ∶ .Ⅱ当∠FEB=90°时，AB∶BF= ∶2.点拨：（1）证两条线段相等一般借助三角形全等；（2）在判定两个三角形相似时，如果没有边的关系，一般需证明有两个角相等，利用“两角对应相等的两个三角形相似”判定相似；（3）图形旋转前后，对应角相等，对应线段相等。22.分析：（1）先把点A（1,4）的坐标代入 ，求出k的值；再把点B（m，-2）的坐标代入 中，求出m的值；最后把A,B两点的坐标分别代入 ，组成关于a，b的二元一次方程组，解方程组求出a，b即可。（2）由图象可以看出，当0＜x＜1时，y1所对应的图象在y2所对应图象的上方。（3）由题意，得AC=8,点B到AC的距离是点B的横坐标与点A的横坐标之差的绝对值，即等于3，所以 . 解：（1） 点A（1，4）在 的图象上， k＝1×4＝4,故 . 点B在 的图象上， , 故点B（-2，-2）.又 点A、B在一次函数 的图象上， 解得 . 这两个函数的表达式分别为： ， .（2）由图象可知，当 时，自变量x的取值范围为0＜x＜1.（3） 点C与点A关于x轴对称， 点C（1，-4）.如图，过点B作BDAC，垂足为D，则D（1，-2）,于是ABC的高BD＝|1-（-2）|＝3,AC＝|4-（-4）|＝解：（1）因为A（2，m），所以 ， . 所以 ，所以 .所以点A的坐标为 . 把A 代入 ，得 = ，所以k=1. （2）因为当 时， ；当 时， ， 又反比例函数 在 时， 随 的增大而减小，所以当 时， 的取值范围为 .（3）如图，当直线过点（0,0）和（1,1）时线段PQ的长度最小，为2 . 24. 解：（1） 反比例函数 的 图象经过点A（2，3），把点A的坐标（2，3）代入解析式，得 ,解得k=6， 这个函数的解析式为 .（2）分别把点B，C的坐标代入 ，可知点B的坐标不满足函数解析式，点C的坐标满足函数解析式， 点B不在这个函数的图象上，点C在这个函数的图象上。（3） 当x=-3时，y=-2,当x=-1时，y=-6，又由k＞0知，当x＜0时，y随x的增大而减小， 当-3＜x＜-1时，-6＜y＜ -解： 实际距离=图上距离÷比例尺， 、 两地之间的实际距离 这个地区的实际边界长 26. 证明：（1） ∠ ． ∥ ． ． ∽ ． （ 2）由 ∽ 得 ． ． 由 ∽ 得 ．∠ ∠ ∽ ． . . ．27. 解：（1）当 时，为一次函数，设一次函数关系式为 ，由于一次函数图象过点（0，15），（5，60），所以 解得 所以 .当 时，为反比例函数，设函数关系式为 ，由于图象过点（5，60），所以 =300. 综上可知y 与x的函数关系式为 （2）当 时， ，所以从开始加热到停止操作，共经历了20分钟。

反三角函数范文3

教学重点：掌握用反三角函数值表示给定区间上的角

教学难点：反三角函数的定义

教学过程：

一。问题的提出：

在我们的学习中常遇到知三角函数值求角的情况，如果是特殊值，我们可以立即求出所有的角，如果不是特殊值()，我们如何表示呢？相当于中如何用来表示，这是一个反解的过程，由此想到求反函数。但三角函数由于有周期性，它们不存在反函数，这就要求我们把它们的定义域缩小，并且这个区间满足：

(1)包含锐角；(2)具有单调性；(3)能取得三角函数值域上的所有值。

显然对，这样的区间是；对，这样的区间是；对，这样的区间是；

二。新课的引入：

1.反正弦定义：

反正弦函数：函数，的反函数叫做反正弦函数，记作：.

对于注意：

(1)(相当于原来函数的值域);

(2)(相当于原来函数的定义域);

(3);

即：相当于内的一个角，这个角的正弦值为。

反正弦：符合条件()的角，叫做实数的反正弦，记作：。其中，。

例如：，，，

由此可见：书上的反正弦与反正弦函数是一致的，当然理解了反正弦函数，能使大家更加系统地掌握这部分知识。

2.反余弦定义：

反余弦函数：函数，的反函数叫做反余弦函数，记作：.

对于注意：

(1)(相当于原来函数的值域);

(2)(相当于原来函数的定义域);

(3);

即：相当于内的一个角，这个角的余弦值为。

反余弦：符合条件()的角，叫做实数的反正弦，记作：。其中，。

例如：，，由于，故为负值时，表示的是钝角。

3.反正切定义：

反正切函数：函数，的反函数叫做反正弦函数，记作：.

对于注意：

(1)(相当于原来函数的值域);

(2)(相当于原来函数的定义域);

(3);

即：相当于内的一个角，这个角的正切值为。

反正切：符合条件()的角，叫做实数的反正切，记作：。其中，。

例如：，，，

对于反三角函数，大家切记：它们不是三角函数的反函数，需要对定义域加以改进后才能出现反函数。反三角函数的性质，有兴趣的同学可根据互为反函数的函数的图象关于对称这一特性，得到反三角函数的性质。根据新教材的要求，这里就不再讲了。

练习：

三。课堂练习：

例1.请说明下列各式的含义：

(1);(2);(3);(4)。

解：(1)表示之间的一个角，这个角的正弦值为，这个角是；

(2)表示之间的一个角，这个角的正弦值为，这个角不存在，即的写法没有意义，与，矛盾；

(3)表示之间的一个角，这个角的余弦值为，这个角是；

(4)表示之间的一个角，这个角的正切值为。这个角是一个锐角。

例2.比较大小：(1)与；(2)与。

解：(1)设：，;，，

则，，

在上是增函数，，

，即。

(2)中小于零，表示负锐角，

中虽然小于零，但表示钝角。

即：。

例3.已知：，，求：的值。

解：正弦值为的角只有一个，即：，

在中正弦值为的角还有一个，为钝角，即：，

所求的集合为：。

注意：如果题目没有特别说明，结果应为准确值，而不应是近似值，书上均为近似值。

例4.已知：，，求：的值。

解：余弦值为的角只有一个，即：，

在中余弦值为的角还有一个，为第三象限角，即：，

所求的集合为：。

例5.求证：()。

证明：，，设，，

则，即：，即：，

，，

，，即：。

例6.求证：()。

证明：，，设，，

则，即：，即：(*)，

，，

，，即：。

注意：(*)中不能用来替换，虽然符号相同，但，不能用反余弦表示。

反三角函数范文4

关键词高职数学；反三角函数；三角函数图像；求极限

高职数学怎么教是不少老师时下较头疼的一个问题。高职教育不同于普通高校本科教育，而且数学又是一门逻辑性非常强的学科，如果我们把传统的教学方法用在高职数学教学中，就会出现学生难学、老师难教，学生、老师都抱怨的场面，其结果是可想而知的。下面以反三角函数为例，谈一谈自己的做法。

在高等数学中的六种基本初等函数中，反三角函数是最难掌握的内容。事实上很多同学在学完反三角函数的图像与性质后都不太记得清甚至记不得这部分内容了。但正弦、余弦、正切、余切这四个三角函数就不一样了。这部分内容学生在高中已经学得非常扎实，又做过大量练习，所以几乎所有的学生都能记得这四个三角函数的图像和性质。

那我们能不能通过三角函数来解决反三角函数的相关问题呢？如果可以的话，那我们一开始就不用学生去死记反三角函数的图像和性质了。在看到反三角函数这个名词时，学生马上就会有一个反馈：这是三角函数的反函数。此时，我们有两个问题一定要问学生：“1.三角函数在其定义域上有没有反函数？2.什么样的函数有反函数？”这样我们就明确了三角函数只有在某个单调区间上才有反函数，而且是在某个特定的单调区间上的反函数才称之为对应的反三角函数。如正弦函数y=sinx在-π12，π12上的反函数称为反正弦函数y=arcsinx，从而可得反正弦函数y=arcsinx的定义域为[-1，1]，值域为-π12，π12.其余三个反三角函数不再叙述。通过运用让学生在解题过程中对反三角函数的性质进一步巩固。

下面我们来看如何用三角函数的图像求反三角函数的极限。

例1求limx-∞arctanx.

解令y=arctanx.（1）

则x=tany， y∈-π12，π12.（2）

注意（2）式中的x与（1）式中的x是同一x，y也一样。

画出x=tany，y∈-π12，π12的图像：（因为在这个函数中y是自变量，所以横轴用y表示）

由图可见，当x-∞时，y-π12.

故limx-∞arctanx=-π12.

例2求limx+∞arccotx1x.

解（一）由反三角函数的性质知，arccotx是有界函数（0

而当x+∞时，11x是无穷小量，

由无穷小的性质知，limx+∞arccotx1x=0.

当学生忘了反三角函数的性质时，我们怎么求极限呢？

解（二）用类似例1的方法求出limx+∞arccotx=0（不再重述），

limx+∞arccotx1x=limx+∞arccotx·limx+∞11x=0×0=0.

参考文献

＼[1＼]沈跃云，马怀远。应用高等数学 ＼[M＼]. 北京：高等教育出版社，2010：11-12.