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合并同类项精编教案(最新4篇)

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合并同类项优秀教案【第一篇】

教学目标

1、会利用合并同类项的方法解一元一次方程;(重点)

2、通过对实例的分析、体会一元一次方程作为实际问题的数学模型的作用。(难点)

教学过程

一、情境导入

1、等式的基本性质有哪些?

2、解方程:(1)x—9=8;(2)3x+1=4;

3、下列各题中的两个项是不是同类项?

(1)3xy与—3xy;(2)0、2ab与0、2ab;

(3)2abc与9bc;(4)3mn与—nm;

(5)4xyz与4xyz;(6)6与x;

4、能把上题中的同类项合并成一项吗?如何合并?

5、合并同类项的法则是什么?依据是什么?

二、合作探究

探究点一:利用合并同类项解简单的一元一次方程

例1解下列方程:

(1)9x—5x=8;

(2)4x—6x—x=15、

解析:先将方程左边的同类项合并,再把未知数的`系数化为1。

解:(1)合并同类项,得4x=8、

系数化为1,得x=2、

(2)合并同类项,得—3x=15、

系数化为1,得x=—5、

方法总结:解方程的实质就是利用等式的性质把方程变形为x=a的形式。

探究点二:根据“总量=各部分量的和”列方程解决问题

例2足球表面是由若干个黑色五边形和白色六边形皮块围成的,黑、白皮块数目的比为3∶5,一个足球表面一共有32个皮块,黑色皮块和白色皮块各有多少个?

解析:遇到比例问题时可设其中的每一份为x,本题中已知黑、白皮块数目比为3∶5,可设黑色皮块有3x个,则白色皮块有5x个,然后利用相等关系“黑色皮块数+白色皮块数=32”列方程。

解:设黑色皮块有3x个,则白色皮块有5x个,根据题意列方程3x+5x=32,解得x=4,则黑色皮块有3x=12(个),白色皮块有5x=20(个)、

答:黑色皮块有12个,白色皮块有20个。

方法总结:解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的数量关系,列出方程,再求解。此题的关键是要知道相等关系为:黑色皮块数+白色皮块数=32,并能用x和比例关系把黑皮与白皮的数量表示出来。

三、板书设计

1、用合并同类项的方法解简单的一元一次方程。

解方程的步骤:

(1)合并同类项;

(2)系数化为1(等式的基本性质2)、

2、找等量关系列一元一次方程。

列方程解应用题的步骤:

(1)设未知数;

(2)分析题意找出等量关系;

(3)根据等量关系列方程;

(4)解方程并作答。

教学反思

本节从复习入手,帮助学生回顾合并同类项的相关知识,为学习用合并同类项解方程做好铺垫。教学中采用引导发现的方法,课堂训练中鼓励自己动手,体现学生在课堂上的主体地位;整个教学过程中充分调动学生学习积极性,培养学生合作学习,主动探究的习惯。

合并同类项优秀教案【第二篇】

一、教材分析:

1、教材所处的地位及作用:

本节课选自新人教版数学七年级上册§节,是学生进入初中阶段后,在学习了用字母表示数,单项式、多项式以及有理数运算的基础上,对同类项进行合并、探索、研究的一个课题。合并同类项是本章的一个重点,其法则的应用是整式加减的基础,也是以后学习解方程、解不等式的基础。另一方面,这节课与前面所学的知识有千丝万缕的联系:合并同类项的法则是建立在数的运算的基础之上;在合并同类项过程中,要不断运用数的运算。可以说合并同类项是有理数加减运算的延伸与拓广。因此,这节课是一节承上启下的课。

2、 学情分析:

七年级学生刚刚跨入少年期,理性思维的发展还有很有限,他们在身体发育、知识经验、心理品质方面,依然保留着小学生的天真活泼、对新生事物很感兴趣、求知欲望强、具有强烈的好奇心与求知欲,形象直观思维已比较成熟,但抽象思维能力还比较薄弱。于是我根据学生和中小学教材衔接的特点设计了这节课。

二、教学目标:

1.知识目标:

(1)使学生理解多项式中同类项的概念,会识别同类项。

(2)使学生掌握合并同类项法则。

(3)利用合并同类项法则来化简整式。

2.能力目标:

(1)、在具体的情景中,通过观察、比较、交流等活动认识同类项,了解数学分类的思想;

并且能在多项式中准确判断出同类项。

(2)、在具体情景中,通过探究、交流、反思等活动获得合并同类项的法则,体验探求规律的思想方法;并熟练运用法则进行合并同类项的运算,体验化繁为简的数学思想。

3.过程与方法:组织学生参与学习、讨论,在合作探究活动中获取知识。

4.情感态度与价值观:激发学生的求知欲,培养独立思考和合作交流的能力,让他们享受成功的喜悦。

三、教学重点、难点:

根据学生的认知水平、认知能力以及教材的特点,确定以下重、难点:

重点:同类项的概念、合并同类项的法则及应用。

难点:正确判断同类项;准确合并同类项。

四、教学方法与教学手段:

(1)教法分析:

基于本节课内容的特点和七年级学生的心理特征,我在教学中选择互助式学习模式,与学生建立平等融洽的关系,营造自主探索与合作交流的氛围,共同在实验、演示、操作、观察、练习等活动中运用多媒体来提高教学效率,验证结论,激发学生学习的兴趣。

(2)学法分析:

教学过程是师生互相交流的过程,教师起引导作用,学生在教师的启发下充分发挥主体性作用。七年级的学生,从认知的特点来看,学生爱问好动、求知欲强,想象力丰富,对实际操作活动有着浓厚的兴趣,对直观的事物感知欲较强,是形象思维向抽象思维逐步过渡的阶段,他们希望得到充分的展示和表现,因此,在学习上,应充分发挥学生在教学中的主体能动作用,让学生自己通过观察、类比、活动、猜想、验证、归纳,共同探讨,进行小组间的讨论和交流、利用课件和实物自主探索等方式,激发学习兴趣,培养应用意识和发散思维。

五、教学过程:

温故而知新

1. —5+3=       ,       4—2=         .

2. —2 ab 的系数      是次数是

3. 组成多项式2x y-3 xy2+1的项分别为    ,    ,    .

4.  30米+50米=            .

复习旧知识,为新知识作铺垫,激发学生的求知欲

创设情境一

问题1:

我们到动物园参观时,发现老虎与老虎关在一个笼子里,熊猫与熊猫关在另一个笼子里。为何不把老虎与熊猫关在同一个笼子里呢?

问题2:

(1)在日常生活中,你发现还有哪些事物也需要分类?能举出例子吗?如:垃圾、零钱、水果及各种产品分类.

(2)生活中处处有分类的问题,在数学中也有分类的问题吗?

目的在于引发和提高学生学习的积极性,启发学生的探索欲望,加强学科联系,并注意联系生活,同时为本课学习做好准备和铺垫。

形成概念

议一议: 有八只小白兔,每只身上都标有一个单项式,你能根据这些单项式的特征将这些小白兔分到不同的房间里吗?(无论你用几个房间)

10a和20a  2b2 和 6b2   -9xy和 5xy  5ab 和 -13ab

2.思考:归为同类需要有什么共同的特征?(引导学生看书,让学生理解同类项的定义)

让学生充分发挥主体作用,从自己的视点去观察、归纳、总结得出同类项的概念。

强化概念

1、“真真假假”下列每组式子分别是同类项吗?为什么?

(1)    x与y; (2)a b与ab ;-3pq与3pq;

(4)abc与aca 与a ;(5)a b与a bc;

2、K取何值时,-3 x y与-x y是同类项?

3、  填充:

在( )内填上相应字母,使得2( )3( )2与-x2y3是同类项;

使学生牢固掌握同类项的知识,进一步加强对同类项概念的理解。增强应用意识,培养学生的发散思维。

创设情景二

如果一个多项式中含有同类项,那么常常把同类项合并起来,使结果得到简化,那么怎样才能把同类项合并起来呢?请同学们思考下面的问题?

以生活实例为切入点,通过对简单的、熟悉的数量运算,激发学生学习合并同类项的欲望,从而较自然的引入新课题。

层层追问

引出法则

合并同类项的步骤

巩固法则

尝试训练

问题1:

3ab+5ab=_______理由是________

-4xy2+2xy2=_______ 理由是_______

-3a+2b=           理由是_______

问题2:

不在一起的同类项能否将同类项结合在一起?为什么?

例如:6xy-10x2-5yx+7x2

运用加法交换律和结合律将同类项结合在一起,原多项式的值不变。

合并同类项:

把同类项合并成一项就叫做合并同类项

法则:

(1)系数:各项系数相加作为新的系数

(2)字母以及字母的指数不变。

合并同类项一般步骤:

4x2+2x+7+3x-8x2-2        (找出多项式中的同类项)

=4x2-8x2+2x+3x+7-2         (交换律)

=(4x2-8x2 )+(2x+3x)+(7-2)  (结合律)

=(4-8)x2 +(2+3)x+(7-2)     (分配律)

=-4x2+5x+5

尝试训练一:

(1)  3x-8x-9x

(2)  5a2+2ab-4a2-4ab

(3)  2x-7y-5x+11y-1

尝试练习二:

当x=2,y=3时

求多项式 2x-7y-5x+11y-1 的值。

对比计算:同桌采用两种不同的方法来计算,以得出较优化的方法——先化简,再求值。

例题:已知a= 3   , b=4,

求多项式2a2b-3a-3a2b+2a 的值.

分解难度,设计过渡问题,使学生能自然的感受法则的探索过程。

以一道例题的训练为桥梁来得出合并同类项的一般步骤。体现新课程中以学生为主,注重学生参与的理念。

小组共练互批,及时纠错,共同提高。

求多项式的值,常常先合并同类项,化简后再求值,这样比较简便。

课堂小结

谈一谈:通过本课的学习你有何收获?

课堂感悟:

1、什么叫合并同类项?

把多项式中的同类项合并成一项,叫合并同类项

2、合并同类项的法则是什么?

把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变

必做题:

1、在下列代数式中,指出哪些是同类项。

2x2 ,0 ,-3x ,-x2y ,(x+y)2 ,xy2, x2y ,6x ,-x2y ,   , -x2 ,2(x+y)2 ;

2、合并同类项

①3y+2y  ②3b-3a3+1+a3-2b

③2y+6y+2xy-5   ④6mn+4m2n-3mn+5mn2

3、填充:

(1)在( )内填上相应字母,使得2( )3( )2与5x2y3是同类项;

(2)若x3ym和xny2是同类项,则 =              ;

(3)若(n-3)x2yz和x2yz是同类项,则             ;

选做题:你会玩下面的两个数字游戏吗?游戏步骤:任写一个两位数   交换十位和个位数,得到一个新两位数   求这两个两位数的和。做完后观察结果,你发现了什么?这个规律对任何一个两位数都成立吗?如果成立,如何说明呢?你能自编一个数学游戏吗?这个游戏有什么特点?与同伴一起玩这个游戏。

通过对熟悉的事物,让学生感受到数学就在身边,激发学生想象力,启迪创新,应用意识。

小组讨论

进一步让学生巩固基本知识,渗透数学分类思想;使知识结构更完善。

必做题进一步巩固学生所学知识,及时发现和弥补知识缺陷,起到课后巩固和反馈作用。在第二项作业中利用游戏为下面的学习埋下了伏笔,这样就可以激发学生想象力,启迪创新,应用意识。

合并同类项优秀教案【第三篇】

学习方式:

从具体问题情景中探索体会合并同类项的含义。

逆用乘法分配律探求合并同类项法则。

通过多角度的练习辨别同类项,加 深对概念的理解,培养思维的严密性。

教学目标:

1、在具体情境中理解、掌握同类项的定义;

2、在具体情境中, 让学生了解合并同类项的法则,能进行同类项的合并。

3、能运用合并同类项化简多项式,并根据所给字母的值,求多项式的值。

4、通过“合并同类项”的学习,继续培养学生的运算能力。

教学的重点、难点和疑点

1、重点:同类项的概念,合并同类项的法则。

2、难点:理解同类项的概念中所含字母相同,且相同字母的次数也相同的含义。

3、疑点:同类项与同次项的区别。

教具准备

投影仪(电脑)、自制胶片

教学过程:

提出问题

创设情景 (出示投影)

如图的长方形由两个小长方形组成,求这个长方形的面积。

①当学生列出代数式 8n+5n时,可引导学生是否还有其他表示方法,启发学生得出:

(8+5)n

②接着引导学生写出等式:

8n+5n=(8+5)n=13n

启发学生观察上式是怎样的一种变化;

它类似于我们前面学过的什么运算律

为什么8n与5n可以合并成一项(组织学生充分

讨论,从而引出同类项的概念)

③同类项的概念

举出一些具有代表性的同类项的实际例子。

如:-7a2b , 2a2b ;

8n , 5n ;

3x2, -x2

引导学生观察上面给出的几组代数式具有什么共同特点:

①所含的字母相同

②相同字母的指数也相同

教师顺势提出同类项的概念

强调同类项必须满足以上两条

④结合长方形面积问题,引出合并同类项的概念:把同类项合并成一项就叫做合并同类项。 学生观察,思考

讨论交流

(反例巩固) 出示问题;

x与y,

a2b与ab2,

-3pa与3pa

abc与ac,

a2和a3 是不是同类项

(给学生留下足够的思考时间,引导学生紧紧结合同类项的两个条件进行判断)

其中:a2b与ab2可让学生充分讨论交流。

(教师强调“必须是相同字母的指数相同”这句话的含义,从而分清同类项与同次项的区别)

(引导学生题后反思,同类项与它们的系数无关,只与所含的字母及字母的指数有关)。

紧扣定义

加以判别

例1 根据乘法分配律合并同类项

(1)-xy2+3xy2 (2) 7a+3 a2+2a- a2+3

(教师强调乘法分配律的`逆运用)

(学生板书完毕后,教师引导学生观察合并的前后发生了什么变化?其中系 数怎样变化的?字母及字母的指数又怎样变化了)

由此引导学生总结出合并同类项的法则:

在合并同类项时,只把同类项的系数相加减,字母和字母的指数不变。

学生思考

解答(找二生板演其他学生独立写出过程)

总结法则

可根据情况适当复习关于乘法分配律的有关知识

通过上面的实例,学生对怎样合并同类项的问题已有较深刻的印象,但还不能用完整的数学语言将其叙述出来,教师要积极引导,让学生动脑思考。

应用法则

例2,合 并同类项

①3a+2b-5a-b

②-4ab+8-2b2-9ab-8

给学生留有足够的独立的思考时间

找二生到黑板上板演。

学生 板演后,教师组织 学生交流评价,根据出现的问题,作点拔,强调。

强调:合并同类项的过程实质上就是同类项的系数相加减的过程,在系数相加时,不要遗漏符号,字母和字母的指数都不变。

教师不给任何提示

学生在练习本上完成,然后同桌同学互相交换评判。

(二生到黑板上板演)

变式

应用 补充例题

例3,求代数式的值

①2x2-5x+x2+4x-3 x2-2 其中x=

②-3 x2+5x- x2+x-1 其中x=2

出示 例题后,教师不要给任何提示,先让学生独立思考。

部分学生会直接把x= 代入式中去计算,出现这一情况后,教师可积极引导。

问:还有没有其 他方法?学生仔细观察后不难发现先合并化简后,再代入求值,此时教师可提出让学生对比分析哪种方法简便。从而强调,先化简再求值会使运算变得简便。

独立完成

分析比较

寻求简便方法

随堂

练习 1、合并同类项

①3y+ y=__________

②3b-3a2+1+a3-2b=____ _______

③2y+6y+2xy-5=_____________

2、求代数式的值

8 p2-7q+6q-7p2-7

其中p=3 q=3

练习交流合作

教师可根据情况适当补充

小结今天你学会了哪些知识?获得了哪些方法,

有什么体会? 自己总结

作业教材课后习题

合并同类项优秀教案【第四篇】

教材分析

本节课是学生在学习了用字母表示数、单项式、多项式以及有理数的基础上,对同类项合并、探索、研究的一个课程。合并同类项是本章的一个重点,其法则的应用是整式加减的基础,也是以后学习解方程、解不等式的基础。另一方面,这节课与前面所学的知识有千丝万缕的联系:合并同类项的法则是建立在数的运算的基础之上;在合并同类项过程中,要不断运用数的运算。即合并同类项是有理数运算的延伸与拓展,是简化数学运算的常用方法,对于解决一些实际问题和进一步学习有着深远的意义。因此,这节课具有承上启下的作用。

学情分析

新知识的学习应建立在学生的已有认知发展水平上,因此从学生己有的生活知识经验出发,通过观察、思考、讨论,把几个代数式进行分类,从而引出同类项这个概念,理解同类项的定义以及满足同类项的条件。合并同类项是在 “乘法分配律”基础上的延伸和拓展,合并同类项是式的运算,可类比“乘法分配律”数的运算来学习。通过引导学生类比数的运算来进行式的运算,利用关于数的分配律对式子进行化简,充分体现“数式通性”。让学生体会由数到式、由具体到一般的思想方法,以及体会数学来源于生活,又作用于生活,从而激发学生学习数学的兴趣。

教学重点和难点

重点:同类项的定义;合并同类项

难点:识别同类项;合并同类项

教学过程

一、复习单项式、多项式的概念及有理数的运算律,导入新课

让学生回忆、发言,最 后老师加以补充、巩固。

设计意图:复习相关概念及有理数的运算,为合并同类项打基础。

活动一:观察单项式:3x2y, -4xy2, -3, 5x2y, 2xy2, 5,把其中具有相同特征的项归为一类,你是怎么分类的?

设计意图:知识来源于生活,又服务于生活。分类是日常生活中常见的问题,由分类引出同类项的概念,顺理成章。通过观察、思考、分析、归纳识别同类项的特征,为合并同类项作准备。

“物以类聚,人以群分”,我们常常把具有相同特征的项归为一类。同学们,你们认为上述单项式中哪些项可以归一类?为什么?可分为几类?给出一定的时间,让学生通过观察、思考、交流、归纳得出:3x2y与5x2y可归为一类,-4xy2与2xy2可归为一类,-3与5也可归为一类,共可分为三类。其中3x2y与5x2y中只有系数不同,各自所含的字母相同,都是x、y,并且x的指数都是2,y的指数都是1;-4xy2与2xy2也只有系数不同,各自所含的字母相同,都是x、y,并且x的指数都是1,y的指数都是2。这是同类项的特征:所含字母相同;‚相同字母的指数也分别相同,从而引出同类项概念,引出课题,板书课题:合并同类项。

二、讲授新课

板书:1、同类项的特征:所含字母相同;相同字母的指数也分别相同

2、同类项概念:所含字母相同,相同字母的指数也分别相同的项,叫做同类项;

几个常数项也是同类项。

想一想:1、下列各式中具有上述特征吗?他们是不是同类项?

(1) 10a与20a;     (2)-9x2y3 和 5x2y3;     (3) 4m2n和-4nm2;

(4) 4abc与4ac;    (5) mn与-mn;          (6) 23与42

2、如果3xmy2与4xyn是同类项,则 m =     , n =

注意:★同类项与字母顺序无关;     ★同类项与系数无关!

设计意图:强化同类项的特征,加深对同类项概念的理解,感受收获知识的喜悦。识别同类项是本课的关键,是重点内容之一,是合并同类项的基础和需要。

活动二:乐乐一家去肯德基:爸爸吃2个汉堡包、1个鸡翅,1杯可乐。妈妈吃1个汉堡包、2个鸡翅,1杯可乐。乐乐吃1个汉堡包,1个鸡翅,1杯可乐如果让乐乐去买这些东西,他怎样对服务员说呢?

乐乐说:我买     个汉堡包,     个鸡翅,     杯可乐。

同学们回答了上面的问题,得出共同结论:现实生活中为了方便,往往要对事物进行分类,同时同一类的东西可以合并在一起。

设计意图:新问题能引起学生的兴趣,激发学生探求新知的欲望,让学生带着问题去探究合并同类项的方法和依据。

探究1:(1)运用有理数的运算定律计算:8n+5n = (8+5)n = 13n

100×2+252×2=( ________ )×2=     ×2

100×(-2)+252×(-2)= ( ________ )×(-2)=     ×(-2)

(2)根据(1)中的方法完成下面的运算,并说说其中的道理。

100t + 252t=(_________)t=     t

探究2 :填空:(1) 100t-252t=(_____    )t=     t

(2) 3x2+2x2=(__    _ )x2=     x2

(3) 3a2b-4a2b=(___    )a2b=     a2b

设计意图:让学生在独立完成的基础上,观察、分组讨论, 通过类比数的运算,探究式的运算。让学生体会有理数的运算定律在整式运算中同样适用,并从中找到合并同类项的方法依据。体验探求规律的思想方法,及合作的愉快、成功的喜悦。

板书:

3、合并同类项:把多项中的同类项合并为一项,叫做合并同类项。

4、合并同类项法则:把同类项的系数相加,字母和字母的指数保持不变。

5、合并同类项的依据:乘法分配律

小练习:判断下列合并是否正确,错误的改正

1、5 x2+6 x2=11x4      2、5x+2y=7xy       3、5 x2-3 x2=2      4、16xy-16xy=0

练习:仿照式子 2a+3a=(2+3 )a = 5a计算

1、    2x - 3x =                            2、 - 2x - 3x =

3、- 2m + 3m =                             4、 - 5y + 4y =

设计意图:让学生在理解和适当记忆合并同类项法则后,尝试进行两项的合并练习,熟悉法则并对合并时的符号有所把握。

活动三 :用不同记号标出下列各多项式中的同类项,并合并同类项:

(1) 4x2+2x+7+3x-8x2-2     (2) -3x2y+2x2y+3xy2-2xy2     (3) 4a2+3b2+2ab-4a2-4b2

给出一定的时间让学生思考、讨论、计算,最后师生共同完成解题过程

设计意图:做标记是为了让学生做到不重不漏,进一步区分不同的同类项,继而合并同类项,加深对合并同类项方法的理解。

解:(1)  4x2    + 2x + 7 + 3x - 8x2 – 2       (2) -3x2y +2x2y +3xy2-2xy2

=(4-8)x2+(2+3) x+(7-2)               =(-3+2) x2y+(3-2) xy2

=-4 x2+5x+5                            =- x2y+ xy2

(3) 4a2 + 3b2 + 2ab - 4a2 - 4b2

=(4-4)a2+(3-4) b2+2ab

=- b2+2ab

如果一个多项式中有同类项,那么我们常常要把同类项合并起来,使得结果简化。

练习:(1)a-3m+2a+2m                      (2)5x-y-2x+2y

活动四:提问:在我们合并同类项的过程中,哪一类我们容易出错?谁有好的办法能有效地降低错误?

如a-3m+2a+2m  ,能有效地降低错误的办法:

1、还原成加法:原式= a+(-3m)+2a+2m

=(a+2a)+〔(-3m)+2m〕=3a-m

2、正在前,负在后:原式= a+2a+2m-3m

=(a+2a)+(2m-3m )=3a- m

3、用生活意义去理解:-3m表示减3m,2m表示加上2m,

合起来最后效果即减去m,即-m。

设计意图:通过对学生此类问题的错误预设,知道学生在此要出错,让做对的学生介绍其正确方法,能有效的减少错误,并能提高本节的课堂学习效率,同时能调动学生学习的积极性,也能树立学生的自信心。

活动五:当x=-2时,求多项式3x2+4x-2x2-x+x2-3x-1 值

设计意图:通过学生的观察、讨论、比较,最后得出:这类题目是要先合并多项中的同类项,再代数进去求值,这样就可以使得计算简便。

解:3x2+4x-2x2-x+x2-3x-1 =(3-2+1)x2+(4-1-3)-1  =2x2-1

当x=-2时,   原式=2×(-2)2-1=2×4-1=7

三、小结:

通过同学们的研讨我们发现,一个数学概念的引入往往是运算的需要,或者是问题的需要。要学好数学知识首先就应该养成观察与思考的习惯,其次应逐步形成透过现象看本质的思维品质。

1、同类项必备的条件:

(1)所含字母相同。

(2)相同字母的指数分别相同。

2、只有同类项才能合并,不是同类项的不能合并;

3、合并同类项,只合并系数,字母与字母的指数不变;

4、在求代数式的值时,可先合并同类项将代数式化简,

然后再代入数值计算,这样往往会简化运算过程。

四、作业:课本91页习题第1题全部,第2题的第(1)小题

板书设计

合并同类项

1、同类项的特征:                 2、合并同类项法则:

(1)所含字母相同。                 把同类项的系数相加,

(2)相同字母的指数分别相同。        字母和字母的指数保持不变。

3、合并同类项的依据:乘法分配律

4、例题讲解:(1) 4x2+2x+7+3x-8x2-2        (2) -3x2y+2x2y+3xy2-2xy2

5、总结系数异号时的有效降低错误的合并方法:

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