《函数奇偶性》教学设计（12篇）

通过分析函数的对称性，帮助学生理解奇函数与偶函数的定义及性质，培养逻辑思维能力，提升解决问题的技巧，促进数学思维的发展。下面由阿拉网友分享的“《函数奇偶性》教学设计”范文，供您写作参考，希望您喜欢。

《函数奇偶性》教学设计 篇1

今天我说课的课题是高中数学人教A版必修一第一章第三节 函数的基本性质中的函数的奇偶性 ，下面我将从教材分析，教法、学法分析，教学过程，教辅手段，板书设计等方面对本课时的教学设计进行说明。

一、教材分析

(一)教材特点、教材的地位与作用

本节课的主要学习内容是理解函数的奇偶性的概念，掌握利用定义和图象判断函数的奇偶性，以及函数奇偶性的几个性质。

函数的奇偶性是函数中的一个重要内容，它不仅与现实生活中的对称性密切相关，而且为后面学习幂函数、指数函数、对数函数的性质打下了坚实的基础。因此本节课的内容是至关重要的，它对知识起到了承上启下的作用。

(二)重点、难点

1、本课时的'教学重点是：函数的奇偶性及其几何意义。

2、本课时的教学难点是：判断函数的奇偶性的方法与格式。

(三)教学目标

1、知识与技能：使学生理解函数奇偶性的概念，初步掌握判断函数奇偶性的方法；

2、方法与过程：引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构奇函数、偶函数等概念；能运用函数奇偶性概念解决简单的问题；使学生领会数形结合思想方法，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。

3、情感态度与价值观：在奇偶性概念形成过程中，使学生体会数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。

二、教法、学法分析

1.教学方法：启发引导式

结合本章实际，教材简单易懂，重在应用、解决实际问题，本节课准备采用"引导发现法"进行教学，引导发现法可激发学生学习的积极性和创造性，分享到探索知识的方法和乐趣，在解决问题的过程中，体验成功与失败，从而逐步建立完善的认知结构.使用多媒体辅助教学，突出了知识的产生过程，又增加了课堂的趣味性.

2.学法指导：引导学生采用自主探索与互相协作相结合的学习方式。让每一位学生都能参与研究，并最终学会学习.

三、教辅手段

以学生独立思考、自主探究、合作交流，教师启发引导为主，以多媒体演示为辅的教学方式进行教学

四、教学过程

为了达到预期的教学目标，我对整个教学过程进行了系统地规划，设计了五个主要的教学程序：设疑导入，观图激趣。指导观察，形成概念。学生探索、发展思维。知识应用，巩固提高。归纳小结，布置作业。

(一)设疑导入，观图激趣

让学生感受生活中的美：展示图片蝴蝶，雪花

学生举例生活中的对称现象

折纸：取一张纸，在其上画出直角坐标系，并在第一象限任画一函数的图象，以y轴为折痕将纸对折，并在纸的背面(即第二象限)画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形。

问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，观察图象上相应的点的坐标有什么特点

以y轴为折痕将纸对折，然后以x轴为折痕将纸对折，在纸的背面(即第三象限)画出第二象限内图象的痕迹，然后将纸展开.观察坐标喜之中的图形：

问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，观察图象上相应的点的坐标有什么特点

(二)指导观察，形成概念

这节课我们首先从两类对称：轴对称和中心对称展开研究.

思考：请同学们作出函数y=x2的图象，并观察这两个函数图象的对称性如何给出图象，然后问学生初中是怎样判断图象关于轴对称呢此时提出研究方向：今天我们将从数值角度研究图象的这种特征体现在自变量与函数值之间有何规律

借助课件演示，学生会回答自变量互为相反数，函数值相等.接着再让学生分别计算f(1)，f(-1)，f(2)，f(-2)，学生很快会得到f(-1)=f(1)，f(-2)=f(2)，进而提出在定义域内是否对所有的x，都有类似的情况借助课件演示，学生会得出结论，f(-x)=f(x)，从而引导学生先把它们具体化，再用数学符号表示.

思考：由于对任一x，必须有一-x与之对应，因此函数的定义域有什么特征

引导学生发现函数的定义域一定关于原点对称.根据以上特点，请学生用完整的语言叙述定义，同时给出板书：

(1)函数f(x)的定义域为A，且关于原点对称，如果有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数

提出新问题：函数图象关于原点对称，它的自变量与函数值之间的数值规律是什么呢(同时打出y=1/x的图象让学生观察研究)

学生可类比刚才的方法，很快得出结论，再让学生给出奇函数的定义：

(2)函数f(x)的定义域为A，且关于原点对称，如果有f(-x)=f(x)，则称f(x)为奇函数

强调注意点："定义域关于原点对称"的条件必不可少.

接着再探究函数奇偶性的判断方法，根据前面所授知识，归纳步骤：

(1)求出函数的定义域，并判断是否关于原点对称

(2)验证f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)3)得出结论

给出例题，加深理解：

例1，利用定义，判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)=x2+1

(2)f(x)=x3-x

(3)f(x)=x4-3x2-1

(4)f(x)=1/x3+1

提出新问题：在例1中的函数中有奇函数，也有偶函数，但象(4)这样的是什么函数呢?

得到注意点：既不是奇函数也不是偶函数的称为非奇非偶函数

接着进行课堂巩固，强调非奇非偶函数的原因有两种，一是定义域不关于原点对称，二是定义域虽关于原点对称，但不满足f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)

然后根据前面引入知识中，继续探究函数奇偶性的第二种判断方法：图象法：

函数f(x)是奇函数=图象关于原点对称

函数f(x)是偶函数=图象关于y轴对称

给出例2：书P63例3，再进行当堂巩固，

1，书P65ex2

2，说出下列函数的奇偶性：

Y=x4； Y=x-1；Y=x；Y=x-2；Y=x5；Y=x-3

归纳：对形如：y=xn的函数，若n为偶数则它为偶函数，若n为奇数，则它为奇函数

(三)学生探索，发展思维

思考：1，函数y=2是什么函数

2，函数y=0有是什么函数

(四)布置作业

课本P39习题(A组)第6题，B组第3

《函数奇偶性》教学设计 篇2

教学过程设计：

为了完成教学目标，解决教学重点突破教学难点，本节课教学流程设计如下：课前自学→课堂教学（兴趣导入→知识回顾→探索新知→巩固新知→运用新知）→课后提升。

教学环节

课前自学：

任务一

教师：微信群交流预习任务分析梳理教学内容，制定任务单，将学习资源上传至蓝墨云班课，编制测试题。

学生：

1、在微信群接收预习任务。

2、登录蓝墨云班课，查看学习任务单，了解自学要求，明确重点、难点，明确本次课程的教学内容。

任务二：

教师：

1、课前教师将微课“轴对称和中心对称图形”上传至蓝墨云班课。

2、教师启用蓝墨云班课的“头脑风暴”区。让学生观看微课后上网浏览、下载生活中轴对称和中心对称图片并上传至云班课里的头脑风暴区。

3、课前教师根据学生上传的图片情况备课。整理学生分享的图片，精心挑选整合到课堂资源中。

学生：

1、课前学生登录蓝墨云班课观看微课“轴对称和中心对称图形”。

2、学生上网浏览、挑选喜爱的轴对称和中心对称图片并上传至云班课的头脑风暴区。拓宽学生想象和思考空间，集思广益，诱发集体智慧，激活学生的创意与灵感。

任务三

教师：

1、课前教师将微课“函数的奇偶性”上传至蓝墨云班课。

2、教师启用蓝墨云班课的“答疑讨论”区。引导学生讨论点的坐标关于坐标轴、原点对称的点的坐标特征；偶函数、奇函数的图像特征。

3、关注学生在平台上的讨论，及时解答学生的疑惑，梳理学生讨论的.问题，为课堂教学做准备。

学生：

1、课前学生登录蓝墨云班课观看微课“函数的奇偶性”。

2、在答疑讨论区讨论点的坐标关于坐标轴、原点对称的点的坐标特征；偶函数、奇函数的图像特征。学生做好课前准备。

课堂教学

一、兴趣导入

欣赏对称美视频展示：对称美就在我们身边。

教师课前将学生收集的轴对称和中心对称图片制作成视频借助ppt进行展示，兴趣导入本节课。

二、知识回顾

检验学生课前学习情况教师利用蓝墨云班的抢答功能完成对课前知识的考查。教师借助蓝墨云班课的抢答功能对学生课前学习“点的对称性”和“图像法判断函数的奇偶性”进行考查。学生登录蓝墨云班课的抢答功能区进行抢答。对课前自学的知识点“点的对称性”和“图像法判断函数的奇偶性”进行知识内化。利用蓝墨云班里的抢答功能完成对课前知识的考查，使课前与课中的知识衔接水到渠成。

二、探索新知

（一）探索新知1：师生共同探索偶函数的定义

教师：

1、引导学生在几何画板上作出函数f（x）=x2的函数图像。

2、教师引导学生观察f（x）=x2图像上关于y轴对称的两个点的坐标特征。

3、教师引导学生得出偶函数的定义。

学生：

1、学生在几何画板上作出函数f（x）=x2的函数图像。

2、在教师的引导下观察f（x）=x2图像上关于y轴对称的两个点的坐标特征。

3、在教师的引导下得出偶函数的定义。

（二）探索新知2：

教师：学生分组探索奇函数的定义教师对学生小组的探究活动适时给予帮助。

学生：

1、学生在几何画板上作出f（x）=x3的函数图像。

2、学生分小组探索f（x）=x3图像上关于原点对称的两个点的坐标特征。

3、各小组进行阐述。

4、类比偶函数定义得出奇函数的定义。几何画板在偶函数的基础上，学生作出了f（x）=x3的图像，类比得出奇函数的定义。

（三）探索新知3

教师：教师引导学生分组讨论函数定义域关于原点对称是函数具备奇偶性的前提条件PPT展示两个函数图像。

学生：

1、观察教师给的两个函数的函数图像。

2、分小组讨论函数是否具备奇偶性。

3、得出函数具备奇偶性的前提条件是：函数定义域关于原点对称。

三、巩固新知

例题讲解定义法判断函数奇偶性归纳做题步骤

教师：

1、教师讲解课本例4的第两个小题。

2、引导学生归纳用定义法判断函数奇偶性的步骤，并启发学生提炼关键词一看二求三判断。

学生；学生在教师的引导下归纳判断函数奇偶性的步骤，并提炼关键词一看二求三判断，便于记忆。

四、运用新知

课堂练习：

定义法判断函数的奇偶性（图像法进行检验）

教师借助蓝墨云班的小组活动对学生的做题情况进行评价。

1、学生分小组合作交流每组一题（例4的两个小题和练习第2题的四个小题）然后将答案拍照上传至蓝墨云班课的小组活动中。各小组成员自评、互评。

2、利用几何画板绘制上述函数的函数图像利用图像法检验结果。几何画板蓝墨云班课感受由“数”到“形”再由“形”到“数”的转化关系，最后理解定义。

五、课堂小结

用思维导图的形式引导学生进行总结学生从知识、方法两方面进行总结。

课后提升作业

根据学生学习能力的不同从阅读、书写、网络三个层次布置课后作业。

1、请学生课后再次阅读教材（P54——P59）

2、作业本上完成教材P58习题组第题

3、请学生课后登录云班课完成“测试活动（函数的奇偶性——课后）”

4、利用软件设计一个轴对称或中心对称图案发送到云班课的“小组任务（轴对称或中心对称图标——课后）蓝墨云班课根据学生学习能力的不同从阅读、书写、网络三个层次布置课后作业。学生能多角度、多维度、科学地完成作业为后续学习，专业提升打下基础。

《函数奇偶性》教学设计 篇3

教学目标：了解奇偶性的含义，会判断函数的奇偶性。能证明一些简单函数的奇偶性。弄清函数图象对称性与函数奇偶性的关系。

重点：判断函数的'奇偶性

难点：函数图象对称性与函数奇偶性的关系。

一、复习引入

1、函数的单调性、最值

2、函数的奇偶性

（1）奇函数

（2）偶函数

（3）与图象对称性的关系

（4）说明（定义域的要求）

二、例题分析

例1、判断下列函数是否为偶函数或奇函数

例2、证明函数 在R上是奇函数。

例3、试判断下列函数的奇偶性

三、随堂练习

1、函数 （ ）

是奇函数但不是偶函数 是偶函数但不是奇函数

既是奇函数又是偶函数 既不是奇函数又不是偶函数

2、下列4个判断中，正确的是_______.

（1） 既是奇函数又是偶函数；

（2） 是奇函数；

（3） 是偶函数；

（4） 是非奇非偶函数

3、函数 的图象是否关于某直线对称？它是否为偶函数？

《函数奇偶性》教学设计 篇4

教学目标

1、了解函数的单调性和奇偶性的概念，把握有关证实和判定的基本方法。

（1）了解并区分增函数，减函数，单调性，单调区间，奇函数，偶函数等概念。

（2）能从数和形两个角度熟悉单调性和奇偶性。

（3）能借助图象判定一些函数的单调性，能利用定义证实某些函数的单调性；能用定义判定某些函数的奇偶性，并能利用奇偶性简化一些函数图象的绘制过程。

2、通过函数单调性的证实，提高学生在代数方面的推理论证能力；通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生的观察，归纳，抽象的能力，同时渗透数形结合，从非凡到一般的数学思想。

3、通过对函数单调性和奇偶性的理论研究，增学生对数学美的体验，培养乐于求索的精神，形成科学，严谨的研究态度。

教学建议

一、知识结构

（1）函数单调性的概念。包括增函数、减函数的定义，单调区间的概念函数的单调性的判定方法，函数单调性与函数图像的'关系。

（2）函数奇偶性的概念。包括奇函数、偶函数的定义，函数奇偶性的判定方法，奇函数、偶函数的图像。

二、重点难点分析

（1）本节教学的重点是函数的单调性，奇偶性概念的形成与熟悉。教学的难点是领悟函数单调性，奇偶性的本质，把握单调性的证实。

（2）函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾经了解过，但只是从图象上直观观察图象的上升与下降，而现在要求把它上升到理论的高度，用准确的数学语言去刻画它。这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的，因此要在概念的形成上重点下功夫。单调性的证实是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的，许多学生甚至还搞不清什么是代数证实，也没有意识到它的重要性，所以单调性的证实自然就是教学中的难点。

三、教法建议

（1）函数单调性概念引入时，可以先从学生熟悉的一次函数，二次函数。反比例函数图象出发，回忆图象的增减性，从这点感性熟悉出发，通过问题逐步向抽象的定义靠拢。如可以设计这样的问题：图象怎么就升上去了？可以从点的坐标的角度，也可以从自变量与函数值的关系的角度来解释，引导学生发现自变量与函数值的的变化规律，再把这种规律用数学语言表示出来。在这个过程中对一些关键的词语（某个区间，任意，都有）的理解与必要性的熟悉就可以融入其中，将概念的形成与熟悉结合起来。

（2）函数单调性证实的步骤是严格规定的，要让学生按照步骤去做，就必须让他们明确每一步的必要性，每一步的目的，非凡是在第三步变形时，让学生明确变换的目标，到什么程度就可以断号，在例题的选择上应有不同的变换目标为选题的标准，以便帮助学生总结规律。

函数的奇偶性概念引入时，可设计一个课件，以的图象为例，让自变量互为相反数，观察对应的函数值的变化规律，先从具体数值开始，逐渐让在数轴上动起来，观察任意性，再让学生把看到的用数学表达式写出来。经历了这样的过程，再得到等式时，就比较轻易体会它代表的是无数多个等式，是个恒等式。关于定义域关于原点对称的问题，也可借助课件将函数图象进行多次改动，帮助学生发现定义域的对称性，同时还可以借助图象（如）说明定义域关于原点对称只是函数具备奇偶性的必要条件而不是充分条件。

《函数奇偶性》教学设计 篇5

学习目标

1.函数奇偶性的概念

2.由函数图象研究函数的奇偶性

3.函数奇偶性的判断

重点：

能运用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性

难点：

理解函数的奇偶性

知识梳理：

1.轴对称图形：

2中心对称图形：

概念探究

1、 画出函数 ，与 的图像;并观察两个函数图像的对称性。

2、 求出 ， 时的函数值，写出 ， 。

结论： 。

3、 奇函数：___________________________________________________

4、 偶函数：______________________________________________________

概念深化

(1)、强调定义中任意二字，奇偶性是函数在定义域上的整体性质。

(2)、奇函数偶函数的定义域关于原点对称。

5、奇函数与偶函数图像的对称性：

如果一个函数是奇函数，则这个函数的.图像是以坐标原点为对称中心的__________。反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是___________。

如果一个函数是偶函数，则这个函数的图像是以 轴为对称轴的__________。反之，如果一个函数的图像是关于 轴对称，则这个函数是___________。

6. 根据函数的奇偶性，函数可以分为____________________________________.

题型一：判定函数的奇偶性。

例1、判断下列函数的奇偶性：

(1) (2) (3)

(4) (5)

练习：教材第49页，练习A第1题

总结：根据例题，你能给出用定义判断函数奇偶性的步骤?

题型二：利用奇偶性求函数解析式

例2：若f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=x(1-x),求当 时f(x)的解析式。

练习：若f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=x|x-2|,求当x0时f(x)的解析式。

已知定义在实数集 上的奇函数 满足：当x0时， ，求 的表达式

题型三：利用奇偶性作函数图像

例3 研究函数 的性质并作出它的图像

练习：教材第49练习A第3，4，5题，练习B第1，2题

当堂检测

1 已知 是定义在R上的奇函数，则( D )

A. B. C. D.

2 如果偶函数 在区间 上是减函数，且最大值为7，那么 在区间 上是( B )

A. 增函数且最小值为-7 B. 增函数且最大值为7

C. 减函数且最小值为-7 D. 减函数且最大值为7

3 函数 是定义在区间 上的偶函数，且 ，则下列各式一定成立的是(C )

A. B. C. D.

4 已知函数 为奇函数，若 ，则 -1

5 若 是偶函数，则 的单调增区间是

6 下列函数中不是偶函数的是(D )

A B C D

7 设f(x)是R上的偶函数，切在 上单调递减，则f(-2)，f(- ),f(3)的大小关系是( A )

A B f(- )f(-2) f(3) C f(- )

8 奇函数 的图像必经过点( C )

A (a,f(-a)) B (-a,f(a)) C (-a,-f(a)) D (a,f( ))

9 已知函数 为偶函数，其图像与x轴有四个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和是( A )

A 0 B 1 C 2 D 4

10 设f(x)是定义在R上的奇函数，且x0时，f(x)= ,则f(-2)=_-5__

11若f(x)在 上是奇函数，且f(3)_f(-1)

12.解答题

用定义判断函数 的奇偶性。

13定义证明函数的奇偶性

已知函数 在区间D上是奇函数，函数 在区间D上是偶函数，求证： 是奇函数

14利用函数的奇偶性求函数的解析式：

已知分段函数 是奇函数，当 时的解析式为 ，求这个函数在区间 上的解析表达式。

《函数奇偶性》教学设计 篇6

一、教学目标

1.知识与技能目标

（1）理解函数奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法。

（2）能运用函数奇偶性的性质解决一些简单的问题。

2.过程与方法目标

（1）通过观察函数图象，归纳函数奇偶性的特征，培养学生的观察能力、归纳能力和抽象思维能力。

（2）通过函数奇偶性的判断和性质的应用，培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。

3.情感态度与价值观目标

（1）通过函数奇偶性的学习，让学生感受数学的对称美，培养学生的审美情趣。

（2）在探究函数奇偶性的过程中，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。

二、教学重难点

1.教学重点

（1）函数奇偶性的概念。

（2）判断函数奇偶性的方法。

2.教学难点

对函数奇偶性概念的理解及函数奇偶性的判断。

三、教学方法

讲授法、讨论法、探究法。

四、教学过程

1.导入新课

（1）展示一些函数的图象，如y=x，y=|x|，y=x，y=1/x等，让学生观察这些图象的特点。

（2）引导学生发现这些图象有的关于y轴对称，有的关于原点对称。

（3）引出课题：函数的奇偶性。

2.讲解新课

（1）函数奇偶性的概念

①偶函数的概念：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

②奇函数的概念：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

（2）判断函数奇偶性的方法

①定义法：先判断函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数；如果对称，再判断f(-x)与f(x)的关系。

②图象法：如果函数的图象关于y轴对称，则函数是偶函数；如果函数的图象关于原点对称，则函数是奇函数。

（3）举例说明

①以函数f(x)=x为例，说明它是偶函数。

首先，函数f(x)=x的定义域为R，关于原点对称。

然后，f(-x)=(-x)=x=f(x)，所以函数f(x)=x是偶函数。

②以函数f(x)=x为例，说明它是奇函数。

函数f(x)=x的定义域为R，关于原点对称。

f(-x)=(-x)=-x=-f(x)，所以函数f(x)=x是奇函数。

3.课堂练习

（1）判断下列函数的`奇偶性：

f(x)=x

f(x)=x

f(x)=|x|+x

f(x)=1/x

（2）已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=x(1+x)，求当x<0时，f(x)的表达式。

4.课堂小结

（1）总结函数奇偶性的概念和判断方法。

（2）强调函数奇偶性的性质和应用。

5.布置作业

（1）书面作业：课本上的习题。

（2）拓展作业：思考函数奇偶性与函数单调性之间的关系。

五、教学反思

通过本节课的教学，学生对函数的奇偶性有了初步的认识和理解。在教学过程中，要注重引导学生观察函数图象，从图象的对称性入手，引出函数奇偶性的概念，这样可以使学生更容易理解和接受。同时，要通过大量的例题和练习，让学生掌握判断函数奇偶性的方法。在今后的教学中，还可以进一步拓展函数奇偶性的应用，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。

《函数奇偶性》教学设计 篇7

教学目标

1.使学生理解奇函数、偶函数的概念；

2.使学生掌握判断某些函数奇偶性的方法；

3.培养学生判断、推理的能力、加强化归转化能力的训练；

教学重点

函数奇偶性的概念

教学难点

函数奇偶性的判断

教学方法

讲授法

教具装备

幻灯片3张

第一张：上节课幻灯片A。

第二张：课本P58图2—8（记作B）。

第三张：本课时作业中的预习内容及提纲。

教学过程

（I）复习回顾

师：上节课我们学习了函数单调性的概念，请同学们回忆一下：增函数、减函数的定义，并复述证明函数单调性的步骤。

生：（略）

师：这节课我们来研究函数的另外一个性质——奇偶性（导入课题，板书课题）。

（II）讲授新课

（打出幻灯片A）

师：请同学们观察图形，说出函数y=x2的图象有怎样的对称性？

生：（关于y轴对称）。

师：从函数y=f(x)=x2本身来说，其特点是什么？

生：（当自变量取一对相反数时，函数y取同一值）。

师：（举例），例如：

f(-2)=4, f(2)=4,即f(-2)= f(-2)；

f(-1)=1，f(1)=1，即f(-1)= f(1)；

……

由于（-x）2=x2 ∴f(-x)= f(x).

以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y）是函数y=x2的图象上的任一点,那么,与它关于y轴的对称点(-x,y)也在函数y=x2的图象上，这时，我们说函数y=x2是偶函数。

一般地，（板书）如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

例如：函数f(x)=x2+1, f(x)=x4-2等都是偶函数。

（打出幻灯片B）

师：观察函数y=x3的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的`函数值有什么关系？

生：（也是一对相反数）

师：这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？

生：（函数的图象关于原点对称）。

师：也就是说，如果点（x,y）是函数y=x3的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y）也在函数y=x3的图象上，这时，我们说函数y=x3是奇函数。

一般地，（板书）如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x) =－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

例如：函数f(x)=x，f(x) =都是奇函数。

如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。

注意：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：

（1）其定义域关于原点对称；

（2）f(-x)= f(x)或f(-x)=- f(x)必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时。

首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算f(-x)，看是等于f(x)还是等于- f(x)，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。

（III）例题分析

课本P61例4，让学生自看去领悟注意的问题并判断的方法。

注意：函数中有奇函数，也有偶函数，但是还有些函数既不是奇函数也不是偶函数，唯有f(x)=0（x∈R或x∈(-a,a).a>0）既是奇函数又是偶函数。

（IV）课堂练习：课本P63练习1。

（V）课时小结

本节课我们学习了函数奇偶性的定义及判断函数奇偶性的方法。特别要注意判断函数奇偶性时，一定要首先看其定义域是否关于原点对称，否则将会导致结论错误或做无用功。

（VI）课后作业

一、课本p65习题 7。

二、预习：课本P62例5、例6。预习提纲：

1.请自己理一下例5的证题思路。

2.奇偶函数的图角各有什么特征？

板书设计

课题

奇偶函数的定义

注意：

判断函数奇偶性的方法步骤。

小结：

教学后记

《函数奇偶性》教学设计 篇8

一、教学目标

1. 知识与技能目标

（1）理解函数奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法。

（2）能利用函数奇偶性的性质解决一些简单的问题。

2. 过程与方法目标

（1）通过观察函数图象，归纳总结函数奇偶性的特征，培养学生的观察能力和归纳总结能力。

（2）通过函数奇偶性的判断和应用，提高学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观目标

（1）让学生体会数学的对称美，培养学生对数学的兴趣。

（2）通过小组合作学习，培养学生的合作意识和团队精神。

二、教学重难点

1. 重点

（1）函数奇偶性的概念。

（2）判断函数奇偶性的方法。

2. 难点

（1）对函数奇偶性概念的理解。

（2）利用函数奇偶性的性质解决问题。

三、教学方法

讲授法、讨论法、演示法、练习法。

四、教学过程

1. 创设情境，导入新课

（1）展示一些对称的图形，如蝴蝶、雪花等，让学生感受对称美。

（2）提问：在数学中，有没有类似的对称现象呢？引出函数的奇偶性。

2. 观察图象，探索性质

（1）展示一些函数的图象，如 y = x、y = |x|、y = x、y = 1/x 等。

（2）让学生观察这些函数图象的特点，讨论它们的对称性。

（3）引导学生发现：y = x、y = |x| 的图象关于 y 轴对称；y = x、y = 1/x 的图象关于原点对称。

3. 归纳总结，形成概念

（1）根据图象的对称性，归纳出函数奇偶性的概念：

偶函数：一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(-x)=f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数。

奇函数：一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(-x)= -f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数。

（2）强调函数奇偶性的.定义域必须关于原点对称。

4. 例题讲解，巩固概念

（1）例 1：判断下列函数的奇偶性：

f(x)=x+1。

g(x)=x-2x。

h(x)=|x|+x。

（2）分析：根据函数奇偶性的定义，分别计算 f(-x)、g(-x)、h(-x)，然后与 f(x)、g(x)、h(x)进行比较。

（3）解答：

对于 f(x)=x+1，f(-x)=(-x)+1=x+1=f(x)，所以 f(x)是偶函数。

对于 g(x)=x-2x，g(-x)=(-x)-2(-x)= -x+2x= -g(x)，所以 g(x)是奇函数。

对于 h(x)=|x|+x，h(-x)=|-x|+(-x)=|x|-x，既不满足 h(-x)=h(x)，也不满足 h(-x)= -h(x)，所以 h(x)既不是偶函数也不是奇函数。

5. 性质探究，拓展应用

（1）探究函数奇偶性的性质：

偶函数的图象关于 y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称。

偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同。

（2）应用性质解决问题：

例 2：已知奇函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，求 f(x)在(-∞,0)上的单调性。

分析：根据奇函数的性质，奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，所以 f(x)在(-∞,0)上也单调递增。

6. 课堂小结

（1）总结函数奇偶性的概念、判断方法和性质。

（2）强调函数奇偶性的定义域必须关于原点对称。

（3）提醒学生注意函数奇偶性的应用。

7. 布置作业

（1）课本习题。

（2）思考：函数的奇偶性与函数的其他性质有什么联系？

五、教学反思

通过本节课的教学，学生对函数奇偶性的概念有了较好的理解，掌握了判断函数奇偶性的方法，并能利用函数奇偶性的性质解决一些简单的问题。在教学过程中，注重引导学生观察函数图象，归纳总结函数奇偶性的特征，培养了学生的观察能力和归纳总结能力。同时，通过例题讲解和练习，提高了学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。在今后的教学中，要进一步加强对学生的个别辅导，提高教学效果。

《函数奇偶性》教学设计 篇9

课标分析

函数的奇偶性是函数的重要性质，是对函数概念的深化．它把自变量取相反数时函数值间的关系定量地联系在一起，反映在图像上为：偶函数的图像关于ｙ轴对称，奇函数的图像关于坐标原点成中心对称．这样，就从数、形两个角度对函数的奇偶性进行了定量和定性的分析．

教材分析

教材首先通过对具体函数的图像及函数值对应表归纳和抽象，概括出了函数奇偶性的准确定义．然后，为深化对概念的理解，举出了奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数的函数和非奇非偶函数的实例．最后，为加强前后联系，从各个角度研究函数的性质，讲清了奇偶性和单调性的联系．这节课的重点是函数奇偶性的定义，难点是根据定义判断函数的奇偶性．

教学目标

1 通过具体函数，让学生经历奇函数、偶函数定义的讨论，体验数学概念的建立过程，培养其抽象的概括能力．

教学重难点

1理解、掌握函数奇偶性的定义，奇函数和偶函数图像的特征，并能初步应用定义判断一些简单函数的奇偶性．

2 在经历概念形成的过程中，培养学生归纳、抽象概括能力，体验数学既是抽象的又是具体的．

学生分析

这节内容学生在初中虽没学过，但已经学习过具有奇偶性的具体的函数：正比例函数y＝kx，反比例函数 ，（k≠0），二次函数y＝ax2，（a≠0），故可在此基础上，引入奇、偶函数的概念，以便于学生理解．在引入概念时始终结合具体函数的图像，以增加直观性，这样更符合学生的认知规律，同时为阐述奇、偶函数的几何特征埋下了伏笔．对于概念可从代数特征与几何特征两个角度去分析，让学生理解：奇函数、偶函数的定义域是关于原点对称的非空数集；对于在有定义的奇函数y＝f（x），一定有f（0）＝0；既是奇函数，又是偶函数的函数有f（x）＝0，x∈R．在此基础上，让学生了解：奇函数、偶函数的矛盾概念——非奇非偶函数．关于单调性与奇偶性关系，引导学生拓展延伸，可以取得理想效果．

教学过程

一、探究导入

1 观察如下两图，思考并讨论以下问题：

（1）这两个函数图像有什么共同特征？

（2）相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？

可以看到两个函数的图像都关于y轴对称．从函数值对应表可以看到，当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相同．

对于函数f（x）＝x2，有f（－3）＝9＝f（3），f（－2）＝4＝f（2），f（－1）＝1＝f（1）．事实上，对于R内任意的一个x，都有f（－x）＝（－x）2＝x2＝f（x）．此时，称函数y＝x2为偶函数．

2观察函数f（x）＝x和f（x）＝ 的图像，并完成下面的两个函数值对应表，然后说出这两个函数有什么共同特征．

可以看到两个函数的图像都关于原点对称．函数图像的这个特征，反映在解析式上就是：当自变量ｘ取一对相反数时，相应的函数值f（x）也是一对相反数，即对任一x∈R都有f（－x）＝－f（x）．此时，称函数y＝f（x）为奇函数．

二、师生互动

由上面的分析讨论引导学生建立奇函数、偶函数的定义

1 奇、偶函数的定义

如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）就叫作奇函数．

如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝f（x），那么函数f（x）就叫作偶函数．

2 提出问题，组织学生讨论

（1）如果定义在R上的函数f（x）满足f（－2）＝f（2），那么f（x）是偶函数吗？

（f（x）不一定是偶函数）

（2）奇、偶函数的图像有什么特征？

（奇、偶函数的图像分别关于原点、y轴对称）

（3）奇、偶函数的定义域有什么特征？

（奇、偶函数的定义域关于原点对称）

三、难点突破

例题讲解

1 判断下列函数的奇偶性．

注：①规范解题格式；②对于（5）要注意定义域x∈（－1，1〕．

2 已知：定义在R上的.函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）＝x（1＋x），求f（x）的表达式．

解：（1）任取x＜0，则－x＞0，∴f（－x）＝－x（1－x），

而f（x）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x）．∴f（x）＝x（1－x）．

（2）当x＝0时，f（－0）＝－f（0），∴f（0）＝－f（0），故f（0）＝0．

3 已知：函数f（x）是偶函数，且在（－∞，0）上是减函数，判断f（x）在（0，＋∞）上是增函数，还是减函数，并证明你的结论．

解：先结合图像特征：偶函数的图像关于y轴对称，猜想f（x）在（0，＋∞）上是增函数，证明如下：

任取x1＞x2＞0，则－x1＜－x2＜0．

∵f（x）在（－∞，0）上是减函数，∴f（－x1）＞f（－x2）．

又f（x）是偶函数，∴f（x1）＞f（x2）．

∴f（x）在（0，＋∞）上是增函数．

思考：奇函数或偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性有何关系？

巩固创新

1 已知：函数f（x）是奇函数，在〔a，b〕上是增函数（b＞a＞0），问f（x）在〔－b，－a〕上的单调性如何．

2 f（x）＝－x｜x｜的大致图像可能是（ ）

3 函数f（x）＝ax2＋bx＋c，（a，b，c∈R），当a，b，c满足什么条件时，（1）函数f（x）是偶函数．（2）函数f（x）是奇函数．

4 设f（x），g（x）分别是R上的奇函数和偶函数，并且f（x）＋g（x）＝x（x＋1），求f（x），g（x）的解析式．

四、课后拓展

1 有既是奇函数，又是偶函数的函数吗？若有，有多少个？

2 设f（x），g（x）分别是R上的奇函数，偶函数，试研究：

（1）F（x）＝f（x）·g（x）的奇偶性．

（2）G（x）＝｜f（x）｜＋g（x）的奇偶性．

3已知a∈R，f（x）＝a－ ，试确定a的值，使f（x）是奇函数．

4 一个定义在Ｒ上的函数，是否都可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和的形式？

教学后记

这篇案例设计由浅入深，由具体的函数图像及对应值表，抽象概括出了奇、偶函数的定义，符合职高学生的认知规律，有利于学生理解和掌握．应用深化的设计层层递进，深化了学生对奇、偶函数概念的理解和应用．拓展延伸为学生思维能力、创新能力的培养提供了平台。

《函数奇偶性》教学设计 篇10

一、教学目标

【知识与技能】

理解函数的奇偶性及其几何意义.

【过程与方法】

利用指数函数的图像和性质,及单调性来解决问题.

【情感态度与价值观】

体会指数函数是一类重要的函数模型,激发学生学习数学的兴趣.

二、教学重难点

【重点】

函数的奇偶性及其几何意义

【难点】

判断函数的奇偶性的方法与格式.

三、教学过程

(一)导入新课

取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图形，然后按如下操作并回答相应问题：

1 以y轴为折痕将纸对折，并在纸的背面(即第二象限)画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形;

问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质?函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系?

答案：(1)可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于y轴对称;

(2)若点(x，f(x))在函数图象上，则相应的点(-x，f(x))也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等.

(二)新课教学

1.函数的奇偶性定义

像上面实践操作1中的图象关于y轴对称的函数即是偶函数，操作2中的图象关于原点对称的函数即是奇函数.

(1)偶函数(even function)

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.

(学生活动)：仿照偶函数的定义给出奇函数的定义

(2)奇函数(odd function)

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.

注意：

1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质;

2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).

2.具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称;

奇函数的图象关于原点对称.

3.典型例题

(1)判断函数的奇偶性

例1.(教材P36例3)应用函数奇偶性定义说明两个观察思考中的四个函数的奇偶性.(本例由学生讨论，师生共同总结具体方法步骤)

解：(略)

总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称;

2 确定f(-x)与f(x)的关系;

3 作出相应结论：

若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0，则f(x)是偶函数;

若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0，则f(x)是奇函数.

(三)巩固提高

1.教材P46习题 B组每1题

解：(略)

说明：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇非偶函数.

2.利用函数的奇偶性补全函数的图象

(教材P41思考题)

规律：

偶函数的图象关于y轴对称;

奇函数的图象关于原点对称.

说明：这也可以作为判断函数奇偶性的'依据.

(四)小结作业

本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称.单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质.

课本P46 习题(A组) 第9、10题， B组第2题.

四、板书设计

函数的奇偶性

一、偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.

二、奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.

三、规律：

偶函数的图象关于y轴对称;

奇函数的图象关于原点对称.

《函数奇偶性》教学设计 篇11

一、教学目标

1. 知识目标：

理解奇数函数和偶数函数的定义。

掌握判断函数奇偶性的具体方法。

2. 能力目标：

培养学生分析和解决问题的能力，能通过函数图像或代数特征判断函数的奇偶性。

训练学生的逻辑思维能力，能够理解并应用相关性质。

3. 情感目标：

激发学生对数学的兴趣，培养他们的探究精神和团队合作意识。

二、教学重点与难点

重点：

奇数函数和偶数函数的定义及其特性。

典型函数的奇偶性判断方法。

难点：

理解奇偶性与函数图像之间的关系。

三、教学资源

教材内容

函数图像演示软件（如 GeoGebra）

白板与标记笔

学习单（包含相关练习题）

四、教学过程

1. 导入新课 （5分钟）

生活中的例子：介绍几何对称性的概念，引入函数的奇偶性。

提问：大家知道什么是对称吗？如何用数学语言描述？

2. 新知讲解 （15分钟）

(1) 奇偶函数的定义

偶函数：如果对于任意的 x，有 f(-x) = f(x)，则称函数 f(x) 为偶函数。

奇函数：如果对于任意的 x，有 f(-x) = -f(x)，则称函数 f(x) 为奇函数。

(2) 函数奇偶性的'图像特征

偶函数的图像关于 y 轴对称。

奇函数的图像关于原点对称。

(3) 例题分析

通过实例（如 f(x) = x, f(x) = x）来判断奇偶性，并讨论。

3. 课堂讨论 （10分钟）

分组讨论，一组选择一个函数，通过代数方法和图像特征判断该函数的奇偶性，并分享结果。

4. 实践练习 （15分钟）

学生独立完成学习单上的练习题，内容包括：

判断给定函数的奇偶性。

提供图像，要求学生归类奇偶函数。

5. 小结与提高 （5分钟）

汇总课堂内容，总结奇偶函数的定义、特点及判断方法。

提问学生：在实际应用中，奇偶性有什么重要性？

6. 布置作业 （5分钟）

选择若干函数，要求学生课后进行奇偶性判断，并准备下节课的分享。

五、 评估与反馈

课堂参与度和讨论积极性。

学生在练习中的表现。

放弃作业进行针对性反馈。

六、 教学反思

根据学生在课堂和作业中的表现，调整后续教学策略，确保每位学生都能掌握函数奇偶性的概念和应用。

《函数奇偶性》教学设计 篇12

教学分析

本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇(偶)函数的概念.因此教学时，充分利用信息技术创设教学情境，会使数与形的结合更加自然.

值得注意的问题：对于奇函数，教材在给出的表格中留出大部分空格，旨在让学生自己动手计算填写数据，仿照偶函数概念建立的过程，独立地去经历发现、猜想与证明的全过程，从而建立奇函数的概念.教学时，可以通过具体例子引导学生认识，并不是所有的函数都具有奇偶性，如函数y=x与y=2x-1既不是奇函数也不是偶函数，可以通过图象看出也可以用定义去说明.

三维目标

1.理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力.

2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数学思想.

重点难点

教学重点：

函数的奇偶性及其几何意义.

教学难点：

判断函数的奇偶性的方法与格式.

课时安排：

1课时

教学过程

导入新课

思路1.同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢?(学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……)今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢?(学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志)生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢?下面，我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立平面直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢?(学生发现：图象关于y轴对称)数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与y轴对称的函数展开研究.

思路2.结合轴对称与中心对称图形的定义，请同学们观察图形，说出函数y=x2和y=x3的图象各有怎样的对称性?引出课题：函数的奇偶性.

推进新课

新知探究

提出问题

(1)如图1所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性.

图1

(2)如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢?填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征?

表1

x -3 -2 -1 0 1 2 3

f(x)=x2

表2

x -3 -2 -1 0 1 2 3

f(x)=|x|

(3)请给出偶函数的定义.

(4)偶函数的图象有什么特征?

(5)函数f(x)=x2，x∈[-1,2]是偶函数吗?

(6)偶函数的定义域有什么特征?

(7)观察函数f(x)=x和f(x)=1x的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质?

活动：教师从以下几点引导学生：

(1)观察图象的对称性.

(2)学生给出这两个函数的解析式具有什么共同特征后，教师指出：这样的函数称为偶函数.

(3)利用函数的解析式来描述.

(4)偶函数的性质：图象关于y轴对称.

(5)函数f(x)=x2，x∈[-1,2]的图象关于y轴不对称;对定义域[-1,2]内x=2，f(-2)不存在，即其函数的定义域中任意一个x的相反数-x不一定也在定义域内，即f(-x)=f(x)不恒成立.

(6)偶函数的定义域中任意一个x的相反数-x一定也在定义域内，此时称函数的定义域关于原点对称.

(7)先判断它们的图象的共同特征是关于原点对称，再列表格观察自变量互为相反数时，函数值的变化情况，进而抽象出奇函数的概念，再讨论奇函数的性质.

给出偶函数和奇函数的定义后，要指明：

①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质;

②由函数的奇偶性定义，可知函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称);

③具有奇偶性的函数的`图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称;

④可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法;

⑤函数的奇偶性是函数在定义域上的性质，是“整体”性质，而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质，是“局部”性质.

讨论结果：(1)这两个函数之间的图象都关于y轴对称.

(2)

表1

x -3 -2 -1 0 1 2 3

f(x)=x2 9 4 1 0 1 4 9

表2

x -3 -2 -1 0 1 2 3

f(x)=|x| 3 2 1 0 1 2 3

这两个函数的解析式都满足：

f(-3)=f(3);

f(-2)=f(2);

f(-1)=f(1).

可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内任一个x，都有f(-x)=f(x).

(3)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.

(4)偶函数的图象关于y轴对称.

(5)不是偶函数.

(6)偶函数的定义域关于原点对称.

(7)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.奇函数的图象关于原点中心对称，其定义域关于原点对称.

应用示例

思路1

例1判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)=x4;

(2)f(x)=x5;

(3)f(x)=x+1x;

(4)f(x)=1x2.

活动：学生思考奇偶函数的定义，利用定义来判断其奇偶性.先求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，那么再判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x).

解：(1)函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，都有f(-x)=(-x)4=x4=f(x)，

所以函数f(x)=x4是偶函数.

(2)函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，都有f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x)，

所以函数f(x)=x5是奇函数.

(3)函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞)，对定义域内任意一个x，都有f(-x)=-x+1-x=-x+1x=-f(x)，

所以函数f(x)=x+1x是奇函数.

(4)函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞)，对定义域内任意一个x，都有f(-x)=1(-x)2=1x2=f(x)，所以函数f(x)=1x2是偶函数.

点评：本题主要考查函数的奇偶性.函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定义域内任意x，其相反数-x也在函数的定义域内，此时称为定义域关于原点对称.

利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称;

②确定f(-x)与f(x)的关系;

③作出相应结论：

若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，则f(x)是偶函数;

若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，则f(x)是奇函数.

变式训练

设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是(　　)

(x)f(-x)是奇函数

(x)|f(-x)|是奇函数

(x)-f(-x)是偶函数

(x)+f(-x)是偶函数

解析：A中设F(x)=f(x)f(-x)，则F(-x)=f(-x)f(x)=F(x)，即函数F(x)=f(x)f(-x)为偶函数;

B中设F(x)=f(x)|f(-x)|，F(-x)=f(-x)|f(x)|，此时F(x)与F(-x)的关系不能确定，即函数F(x)=f(x)|f(-x)|的奇偶性不确定;

C中设F(x)=f(x)-f(-x)，F(-x)=f(-x)-f(x)=-F(x)，即函数F(x)=f(x)-f(-x)为奇函数;

D中设F(x)=f(x)+f(-x)，F(-x)=f(-x)+f( x)=F(x)，即函数F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数.

答案：D

例2 已知函数f(x)是定义在(-∞，+∞)上的偶函数.当x∈(-∞，0)时，f(x)=x-x4，则当x∈(0，+∞)时，f(x)=__________.

活动：学生思考偶函数的解析式的性质，考虑如何将在区间(0，+∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(-∞，0)上的自变量 对应的函数值.利用偶函数的性质f(x)=f(-x)，将在区间(0，+∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(-∞，0)上的自变量对应的函数值.

解析：当x∈(0，+∞)时，则- x<0.

又∵当x∈(-∞，0)时，f(x)=x-x4，

∴f(x)=f(-x)=(-x)-(-x)4=-x-x4.

答案：-x-x4

点评：本题主要考查函数的解析式和奇偶性.已知函数的奇偶性，求函数的解析式时，要充分利用函数的奇偶性，将所求解析式的区间上自变量对应的函数值转化为已知解析式的区间上自变量对应的函数值.

变式训练

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2+3x，求f(x).

解：当x=0时，f(-0)=-f(0)，则f(0)=0;

当x0，由于函数f(x)是奇函数，则

f(x)=-f(-x)=-[(-x)2+3-x]=-x2+3x，

综上所得，f(x)=

思路2

例1 判断下列函数的奇偶性.

(1)f(x)=2x4，x∈[-1,2];

(2)f(x)=x3-x2x-1;

(3)f(x)=x2-4+4-x2;

(4)f(x)=1+x2+x-11+x2+x+1.

活动：学生思考奇偶函数的定义和函数的定义域的求法.先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(-x)与f(x)的关系.在(4)中注意定义域的求法，对任意x∈R，有1+x2>x2=|x|≥-x，则1+x2+x>0.则函数的定义域是R.

解：(1)∵它的定义域关于原点不对称，∴函数f(x)=2x4，x∈[-1,2]既不是奇函数也不是偶函数.

(2)∵它的定义域为{x|x∈R，且x≠1}，并不关于原点对称，∴函数f(x)=x3-x2x-1既不是奇函数也不是偶函数.

(3)∵x2-4≥0且4-x2≥0，

∴x=±2，

即f(x)的定义域是{-2,2}.

∵f(2)=0，f(-2)=0，

∴f(2)=f(-2)，f(2)=-f(2).

∴f(-x)=-f(x)，且f(-x)=f(x).

∴f(x)既是奇函数也是偶函数.

(4)函数的定义域是R.

∵f(-x)+f(x)

=1+x2-x-11+x2-x+1+1+x2+x-11+x2+x+1

=1+x2-(x+1)2+1+x2-(x-1)2(1+x2-x+1)(1+x2+x+1)

=1+x2-x2-2x-1+1+x2-x2+2x-1(1+x2-x+1)(1+x2+x+1)

=0，

∴f(-x)=-f(x).

∴f(x)是奇函数.

点评：本题主要考查函数的奇偶性.

定义法判断函数奇偶性的步骤是：(1)求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f(-x)与f(x)或-f(x)是否相等;(2)当f(-x)=f(x)时，此函数是偶函数;当f(-x)=-f(x)时，此函数是奇函数;(3)当f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数;(4)当f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)时，此函数既不是奇函数也不是偶函数.

判断解析式复杂的函数的奇偶性时，如果定义域关于原点对称时，通常化简f(-x)+f(x)来判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是否成立.

变式训练

函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞，1)上有最小值，则函数g(x)=f(x)x在区间(1，+∞)上一定(　　)

A.有最小值　　 B.有最大值

C.是减函数 D.是增函数

解析：函数f(x)=x2-2ax+a的对称轴是直线x=a，

由于函数f(x)在开区间(-∞，1)上有最小值，

所以直线x=a位于区间(-∞，1)内，

即a<(x)=f(x)x=x+ax-2，

下面用定义 法判断函数g(x)在区间(1，+∞)上的单调性.

设1

则g(x1)-g(x2)=(x1+ax1-2)-x2+ax2-2

=(x1-x2)+ax1-ax2

=(x1-x2)1-ax1x2

=(x1-x2)x1x2-ax1x2.

∵10.

又∵aa.

∴x1x2-a>0.

∴g(x1)-g(x2)<0.

∴g(x1)

∴函数g(x)在区间(1，+∞)上是增函数，函数g(x)在区间(1，+∞)上没有最值.

答案：D

例2 已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2，都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，且当x>1时f(x)>0，f(2)=1，

(1)求证：f(x)是偶函数;

(2)求证：f(x)在(0，+∞)上是增函数;

(3)试比较f-52与f74的大小.

活动：(1)转化为证明f(-x)=f(x)，利用赋值法证明f(-x)=f(x);(2)利用定义法证明单调性，证明函数单调性的步骤是“去比赛”;(3)利用函数的单调性比较它们的大小，利用函数的奇偶性，将函数值f-52和f74转化为同一个单调区间上的函数值.

(1)证明：令x1=x2=1，得f(1)=2f(1)，∴f(1)=0.

令x1=x2=-1，得f(1)=f[(-1)× (-1)]=f(-1)+f(-1)，∴2f(-1)=0.

∴f(-1)=0.∴f(-x)=f(-1x)=f(-1)+f(x)=f(x).∴f(x)是偶函数.

(2)证明：设x2>x1>0，则

f(x2)-f(x1)=fx1x2x1-f(x1)=f(x1)+fx2x1-f(x1)=fx2x1.

∵x2>x1>0，∴x2x1>1.∴fx2x1>0，即f(x2)-f(x1)>0.

∴f(x2)>f(x1).∴f(x)在(0，+∞)上是增函数.

(3)解：由(1)知f(x)是偶函数，则有f-52=f52.

由(2)知f(x)在(0，+∞)上是增函数，则f52>f74.∴f-52>f74.

点评：本题是抽象函数问题，主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用.判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法，比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较 .其关键是将所给的关系式进行有效的变形和恰当的赋值.

变式训练

已知f(x)是定义在(-∞，+∞)上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x，y，f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).

(1)求f(1)，f(-1)的值;

(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由.

分析：(1)利用赋值法，令x=y=1得f(1)的值，令x=y=-1，得f(-1)的值;(2)利用定义法证明f(x)是奇函数，要借助于赋值法得f(-x)=-f(x).

解：(1)∵f(x)对任意x，y都有f(xy)=yf(x)+xf(y)，

∴令x=y=1时，有f(1×1)=1×f(1)+1×f(1).

∴f(1)=0.

∴令x=y=-1时，有f[(-1)×(-1)]=(-1)×f(-1)+(-1)×f(-1).∴f(-1)=0.

(2)是奇函数.

∵f(x)对任意x，y都有f(xy)=yf(x)+xf(y)，

∴令y=-1，有f(-x)=-f(x)+xf(-1).

将f(-1)=0代入得f(-x)=-f(x)，

∴函数f(x)是(-∞，+∞)上的奇函数.

知能训练

课本本节练习，1,2.

【补充练习】

1.设函数y=f(x)是奇函数.若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3，则f(1)+f(2)=__________.

解析：∵函数 y=f(x)是奇函数，∴f(-2)=-f(2)，f(-1)=-f(1).

∴-f(2)-f(1)-3=f(1)+f(2)+3.∴2[f(1)+f(2)]=-6.∴f(1)+f(2)=-3.

答案：-3

2.已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为[a-1,2a]，则a=__________，b=__________.

解析：∵偶函数的定义域关于原点对称，∴a-1+2a=0.∴a=13.

∴f(x)=13x2+bx+1+b.又∵f(x)是 偶函数，∴b=0.

答案：13　0

3.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为(　　)

A.-1　　　　　　　　　

解析：f(6)=f(4+2)=-f(4)=-f(2+2)=f(2)=f(2+0) =-f(0).

又f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)=0.

∴f(6)=0.故选B.

答案：B

拓展提升

问题：基本初等函数的奇偶性.

探究：利用判断函数的奇偶性的方法：定义法和图象法，可得

正比例函数y=kx(k≠0)是奇函数;

反比例函数y=kx(k≠0)是奇函数;

一次函数y=kx+b(k≠0)，当b=0时是奇函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数;

二次函数y =ax2+bx+c(a≠0)，当b=0时是偶函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数.

课堂小结

本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称.

作业

课本习题组　6，B组　3.

设计感想

单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，而本节设计的题目不多，因此，在实际教学中，教师可以利用课余时间补充，让学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质.在教学设计中，注意培养学生的综合应用能力，以便满足高考要求.

备课资料

奇、偶函数的性质

(1)奇偶函数的定义域关于原点对称;奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.

(2)奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立.

(3)f(-x)=f(x)f(x)是偶函数，f(-x)=-f(x)f(x)是奇函数.

(4)f(-x)=f(x)f(x)-f(-x)=0，f(-x)=-f(x)f(x)+f(-x)=0.

(5)两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数.

奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数;如果函数y=f(x)和y=g(x)的奇偶性相同，那么复合函数y=f[g(x)]是偶函数，如果函数y=f(x)和y=g(x)的奇偶性相反，那么复合函数y=f[g(x)]是奇函数，简称为“同偶异奇”.

(6)如果函数y=f(x)是奇函数，那么f(x)在区间(a，b)和(-b，-a)上具有相同的单调性;如果函数y=f(x)是偶函数，那么f(x)在区间(a，b)和(-b，-a)上具有相反的单调性.

(7)定义域关于原点对称的任意函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即f(x)=f(x)-f(-x)2+f(x)+f(-x)2.

(8)若f(x)是(-a，a)(a>0)上的奇函数，则f(0)=0;

若函数f(x)是偶函数，则f(x)=f(- x)=f(|x|)=f(-|x|).

若函数y=f(x)既是奇函数又是偶函数，则有f(x)=0.