实用导数证明函数单调性5篇

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导数证明函数单调性篇1

利用导数证明不等式

例1．已知x>0，求证：x>ln(1+x)分析：设f(x)=x－lnx。x[0,+。考虑到f(0)=0，要证不等式变为：x>0时，f(x)>f(0)，这只要证明：

f(x)在区间[0,)是增函数。

证明：令：f(x)=x－lnx，容易看出，f(x)在区间[0,)上可导。

且limf(x)0f(0)x0 由f(x)11x 可得：当x(0,)时，f(x)f(0)0 x1x1 即x－lnx>0，所以：x>0时，x>lnx 评注：要证明一个一元函数组成的不等式成立，首先根据题意构造出一个

函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数），并利 用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要 证的不等式。

例2：当x0,时，证明不等式sinxx成立。证明：设f(x)sinxx,则f(x)cosx1.∵x(0,),∴f(x)0.∴f(x)sinxx在x(0,)内单调递减，而f(0)0.∴f(x)sinxxf(0)0, 故当x(0,)时，sinxx成立。

点评：一般地，证明f(x)g(x),x(a,b),可以构造函数f(x)f(x)g(x)，如果f(x)0,，则f(x)在(a,b)上是减函数，同时若f(a)0,由减函数的定义可知，x(a,b)时，有f(x)0,即证明了f(x)g(x)。

x练习：1.当x0时，证明不等式e1x12x成立。2证明：设fxe1xx12x,则fxex1令g(x)e1x,则g(x)e1.当x0时，gxe10.g(x)在0,上单调递增，而g(0)0.gxg(0)0,g(x)0在0,上恒成立，f(x)在即f(x)0在0,恒成立。0,上单调递增，又f(0)0,ex1x1x20,即x0时，ex222.证明:当x1时,有ln(x1)lnxln(x2).1x12x成立。2分析 只要把要证的不等式变形为

ln(x1)ln(x2),然后把x相对固定看作常数,并选取辅助函

lnxln(x1)数f(x)ln(x1).则只要证明f(x)在(0,)证明: 作辅助函数f(x)ln(x1)(x1)lnxlnxln(x1)xlnx(x1)ln(x1)于是有f(x)x12x

lnxx(x1)ln2x因为 1xx1, 故0lnxln(x1)所以 xlnx(x1)ln(x1)

（1，）因而在内恒有f(x)0,所以f(x)在区间(1,)内严格递减.又因为1x1x,可知f(x)f(x1)即 ln(x1)ln(x2)lnxln(x1)所以 ln2(x1)lnxln(x2).利用导数知识证明不等式是导数应用的一个重要方面，也成为高考的一个新热点，其关键是构造适当的函数，判断区间端点函数值与0的关系，其实质就是利用求导的方法研究函数的单调性，通过单调性证明不等式。

x2例3.证明不等式xln(1x)x,其中x分析 因为例6中不等式的不等号两边形式不一样,对它作差ln(1x)(x),则发现作差以后

21x)求导得不容易化简.如果对ln(1,这样就能对它进行比较.1xx2证明: 先证 xln(1x)

2x2设 f(x)ln(1x)(x)(x0)

21x210)00 f(x)则 f(0)ln(1x1x1xx0 即 1x0 x20

x2f(x)0,即在(0,)上f(x)单调递增

1xx2f(x)f(0)0 ln(1x)x

21x)x;令 g(x)ln(1x)x 再证 ln(则 g(0)0 g(x)11 1x１ln(1x)x x0 1 g(x)0 １xx2xln(1x)x

2 练习：3（2001年全国卷理20）已知i,m,n是正整数，且1imn

证明：(1m)n(1n)m

分析：要证(1m)n(1n)m成立，只要证

ln(1m)nln(1n)m

即要证11ln(1m)ln(1n)成立。因为m

11ln(1m)ln(1n)； mn从而：(1m)n(1n)m。

评注：这类非明显一元函数式的不等式证明问题，首先变换成某一个一元函数式分别在两个不同点处的函数值的大小比较问题，只要将这个函数式找到了，通过设函数，求导判断它的单调性，就可以解决不等式证明问题。难点在于找这个一元函数式，这就是“构造函数法”，通过这类数学方法的练习，对培养分析问题、解决问题的能力是有很大好处的，这也是进一步学习高等数学所需要的。

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导数证明函数单调性篇2

题目：已知x＞1，证明x＞ln（1+x）。

题型：

分值：

难度：

考点：

解题思路：令f(x)=x-ln(1+x)(x>1)，根据它的导数的符号可得函数f(x)在1)=1-ln2>0，从(1,+)上的单调性，再根据函数的单调性得到函数f(x)>f（而证得不等式．

解析：解：设f(x)=x-ln(1+x)(x>1)，f¢(x)=1-1x，=1+x1+x

又x>(x)>0，f(x)=x-ln(1+x)在(1,+)上单调递增，1，f¢

f(x)>f(1)=1-ln2>0，即x-ln(1+x)>0，x>ln(1+x).答案：略.点拨：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，对数类型的函数的求导法则以及构造函数法.本题的关键是构造出函数

证明题常用的一种方法.f(x)=x-ln(1+x)(x>1)，构造函数法是

导数证明函数单调性篇3

导数证明不等式

一、当x>1时,证明不等式x>ln(x+1)

f(x)=x-ln(x+1)

f(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)

x>1,所以f(x)>0,增函数

所以x>1,f(x)>f(1)=1-ln2>0

f(x)>0

所以x>0时，x>ln(x+1)

二、导数是近些年来高中课程加入的新内容，是一元微分学的核心部分。本文就谈谈导数在一元不等式中的应用。

例1.已知x∈(0，)，求证:sinx

导数证明函数单调性篇4

用导数证明不等式

最基本的方法就是将不等式的的一边移到另一边，然后将这个式子令为一个函数f(x).对这个函数求导，判断这个函数这各个区间的单调性，然后证明其最大值(或者是最小值)大于0.这样就能说明原不等式了成立了!

1.当x>1时,证明不等式x>ln(x+1)

设函数f(x)=x-ln(x+1)

求导，f(x)=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0

所以f(x)在(1，+无穷大)上为增函数

f(x)>f(1)=1-ln2>o

所以x>ln(x+

12..证明：a-a^2>0其中0

f(a)=a-a^

2f(a)=1-2a

当00;当1/2

因此，f(a)min=f(1/2)=1/4>0

即有当00

>0,证明：不等式x-x^3/6

先证明sinx

因为当x=0时，sinx-x=0

如果当函数sinx-x在x>0是减函数，那么它一定

求导数有sinx-x的导数是cosx-1

因为cosx-1≤0

所以sinx-x是减函数，它在0点有最大值0，知sinx

再证x-x³/6

对于函数x-x³/6-sinx

当x=0时，它的值为0

对它求导数得

1-x²/2-cosx如果它

要证x²/2+cosx-1>0x>0

再次用到函数关系，令x=0时，x²/2+cosx-1值为0

再次对它求导数得x-sinx

根据刚才证明的当x>0sinx

x²/2-cosx-1是减函数，在0点有最大值0

x²/2-cosx-10

所以x-x³/6-sinx是减函数，在0点有最大值0

得x-x³/6

利用函数导数单调性证明不等式x-x²>0，x∈(0,1)成立

令f(x)=x-x²x∈

则f(x)=1-2x

当x∈时,f(x)>0,f(x)单调递增

当x∈时,f(x)

故f(x)的最大值在x=1/2处取得，最小值在x=0或1处取得

f(0)=0,f(1)=0

故f(x)的最小值为零

故当x∈(0,1)f(x)=x-x²>0。

i、m、n为正整数，且1

求证(1+m)^n>(1+n)^m

方法一：利用均值不等式

对于m+1个数，其中m个(2+m)，1个1,它们的算术平均数大于几何平均数，即

/(m+1)>^

即1+m>(2+m)^

即(1+m)^(1/m)>^

由此说明数列{(1+m)^(1/m)}是单调递减的。

方法二：导数方法

令f(x)=(1+x)^(1/x),x>0

求导数

f(x)=(1+x)^(1/x)*/x^2

为了考察f(x)的正负

令g(x)=x/(1+x)-ln(1+x),x>=0

g(x)=-x/(1+x)^20

因此g(x)0,亦即f(x)

因此f(x)在(0,+∞)上单调递减。

令a*b*c=k的3次方

求证(1+a)的-(1/2)次方加(1+b)的-(1/2)次方加(1+c)的-(1/2)次方>=(1+k)的-(1/2)次方

化成函数，f(x)，求导，可知其单调区间，然后求最大最小值即可。

理论上所有题目都可以用导数做，但有些技巧要求很高。

(1+a)^-1/2+(1+b)^-1/2+(1+c)^-1/2

=(1+a)^-1/2+(1+b)^-1/2+(1+k^3/ab)^-1/2=f(a,b)

对a求导，f(a,b)a=0，可得一个方程，解出即得。

导数证明函数单调性篇5

证法一：（n为自然数）f(x)=lim [(x+δx)^n-x^n]/δx =lim(x+δx-x)[(x+δx)^(n-1)+x*(x+δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+δx)+x^(n-1)]/δx =lim [(x+δx)^(n-1)+x*(x+δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+δx)+x^(n-1)] =x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+...x^(n-2)*x+x^(n-1)=nx^(n-1)

证法二：（n为任意实数）

f(x)=x^n lnf(x)=nlnx(lnf(x))=(nlnx) f(x)/f(x)=n/x f(x)=n/x*f(x)f(x)=n/x*x^n f(x)=nx^(n-1)

（2）f(x)=sinx f(x)=lim(sin(x+δx)-sinx)/δx=lim(sinxcosδx+cosxsinδx-sinx)/δx =lim(sinx+cosxsinδx-sinx)/δx=lim cosxsinδx/δx=cosx

（3）f(x)=cosx f(x)=lim(cos(x+δx)-cosx)/δx=lim(cosxcosδx-sinxsinδx-cosx)/δx =lim(cosx-sinxsinδx-cos)/δx=lim-sinxsinδx/δx=-sinx

（4）f(x)=a^x f(x)=lim(a^(x+δx)-a^x)/δx=lim a^x*(a^δx-1)/δx（设a^δx-1=m，则δx=loga^(m+1)）

=lim a^x*m/loga^(m+1)=lim a^x*m/[ln(m+1)/lna]=lim a^x*lna*m/ln(m+1)=lim a^x*lna/[(1/m)*ln(m+1)]=lim a^x*lna/ln[(m+1)^(1/m)] =lim a^x*lna/lne=a^x*lna

若a=e，原函数f(x)=e^x 则f(x)=e^x*lne=e^x

（5）f(x)=loga^x f(x)=lim(loga^(x+δx)-loga^x)/δx

=lim loga^[(x+δx)/x]/δx=lim loga^(1+δx/x)/δx=lim ln(1+δx/x)/(lna*δx)=lim x*ln(1+δx/x)/(x*lna*δx)=lim(x/δx)*ln(1+δx/x)/(x*lna)=lim ln[(1+δx/x)^(x/δx)]/(x*lna)=lim lne/(x*lna)=1/(x*lna)

若a=e，原函数f(x)=loge^x=lnx则f(x)=1/(x*lne)=1/x（6）f(x)=tanx f(x)=lim(tan(x+δx)-tanx)/δx=lim(sin(x+δx)/cos(x+δx)-sinx/cosx)/δx =lim(sin(x+δx)cosx-sinxcos(x+δx)/(δxcosxcos(x+δx))=lim(sinxcosδxcosx+sinδxcosxcosx-sinxcosxcosδx+sinxsinxsinδx)/(δxcosxcos(x+δx))=lim sinδx/(δxcosxcos(x+δx))=1/(cosx)^2=secx/cosx=(secx)^2=1+(tanx)^2

（7）f(x)=cotx f(x)=lim(cot(x+δx)-cotx)/δx=lim(cos(x+δx)/sin(x+δx)-cosx/sinx)/δx =lim(cos(x+δx)sinx-cosxsin(x+δx))/(δxsinxsin(x+δx))=lim(cosxcosδxsinx-sinxsinxsinδx-cosxsinxcosδx-cosxsinδxcosx)/(δxsinxsin(x+δx))=lim-sinδx/(δxsinxsin(x+δx))=-1/(sinx)^2=-cscx/sinx=-(secx)^2=-1-(cotx)^2

（8）f(x)=secx f(x)=lim(sec(x+δx)-secx)/δx=lim(1/cos(x+δx)-1/cosx)/δx =lim(cosx-cos(x+δx)/(δxcosxcosδx)=lim(cosx-cosxcosδx+sinxsinδx)/(δxcosxcos(x+δx))=lim sinxsinδx/(δxcosxcos(x+δx))=sinx/(cosx)^2=tanx*secx

（9）f(x)=cscx f(x)=lim(csc(x+δx)-cscx)/δx=lim(1/sin(x+δx)-1/sinx)/δx =lim(sinx-sin(x+δx))/(δxsinxsin(x+δx))=lim(sinx-sinxcosδx-sinδxcosx)/(δxsinxsin(x+δx))=lim-sinδxcosx/(δxsinxsin(x+δx))=-cosx/(sinx)^2=-cotx*cscx

（10）f(x)=x^x lnf(x)=xlnx(lnf(x))=(xlnx) f(x)/f(x)=lnx+1 f(x)=(lnx+1)*f(x)f(x)=(lnx+1)*x^x（12）h(x)=f(x)g(x)h(x)=lim(f(x+δx)g(x+δx)-f(x)g(x))/δx =lim [(f(x+δx)-f(x)+f(x))*g(x+δx)+(g(x+δx)-g(x)-g(x+δx))*f(x)]/δx =lim [(f(x+δx)-f(x))*g(x+δx)+(g(x+δx)-g(x))*f(x)+f(x)*g(x+δx)-f(x)*g(x+δx)]/δx =lim(f(x+δx)-f(x))*g(x+δx)/δx+(g(x+δx)-g(x))*f(x)/δx=f(x)g(x)+f(x)g(x)（13）h(x)=f(x)/g(x)h(x)=lim(f(x+δx)/g(x+δx)-f(x)g(x))/δx =lim(f(x+δx)g(x)-f(x)g(x+δx))/(δxg(x)g(x+δx))=lim [(f(x+δx)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+δx)-g(x)+g(x))*f(x)]/(δxg(x)g(x+δx))=lim [(f(x+δx)-f(x))*g(x)-(g(x+δx)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(δxg(x)g(x+δx))=lim(f(x+δx)-f(x))*g(x)/(δxg(x)g(x+δx))-(g(x+δx)-g(x))*f(x)/(δxg(x)g(x+δx))=f(x)g(x)/(g(x)*g(x))-f(x)g(x)/(g(x)*g(x))=[f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(g(x)*g(x))x（14）h(x)=f(g(x))h(x)=lim [f(g(x+δx))-f(g(x))]/δx =lim [f(g(x+δx)-g(x)+g(x))-f(g(x))]/δx（另g(x)=u，g(x+δx)-g(x)=δu）=lim(f(u+δu)-f(u))/δx=lim(f(u+δu)-f(u))*δu/(δx*δu)=lim f(u)*δu/δx=lim f(u)*(g(x+δx)-g(x))/δx=f(u)*g(x)=f(g(x))g(x)

总结

（x^n）=nx^(n-1)（sinx）=cosx（cosx）=-sinx（a^x）=a^xlna（e^x）=e^x（loga^x）=1/(xlna)（lnx）=1/x(tanx)=(secx)^2=1+(tanx)^2(cotx)=-(cscx)^2=-1-(cotx)^2(secx)=tanx*secx(cscx)=-cotx*cscx(x^x)=(lnx+1)*x^x [f(x)g(x)]=f(x)g(x)+f(x)g(x)[f(x)/g(x)]=[f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(g(x)*g(x))[f(g(x))]=f(g(x))g(x)