[3000字]初中数学论文 初中数学论文范例实用5篇

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初中数学论文范文字1

1.重视对学生实际运用数学知识来解决问题的能力

从最近几年的中考数学试题能够看出，因为中考是高中学校的招生考试，具有某种意义上的选拔性。所以，在考试试卷上非常重视对“双基”考查，并且注重考察学生的数学能力，也就是运算能力、思维能力、空间概念以及应用所学的知识来分析和解决实际问题的能力，试题注重强调开放性、应用性以及创新意识，所出的试题十分新颖，具有非常强的时代气息。

比如，在2009年广东中考数学考试试题中有这样一道题目：某种电脑病毒的传播速度十分快，假如一台电脑被感染，在经过两轮感染之后就将有8台电脑被感染。请用你学过的数学知识来进行分析，在每轮感染中平均每台电脑会感染到几台电脑。假如不能很好控制病毒，在3轮感染之后受感染的电脑会不会超过70台？这些问题和同学们身边发生的事情息息相关，并能够使同学们了解到电脑病毒所带来的危害，考察学生运用数学知识来解决问题的能力。

2.注重考察学生实际动手获取知识的能力

最近几年中考数学试题中出现不少题目注重考察学生动手来解决实际问题的能力。比如，在2009年天津中考数学试题中有一题：如下图，有一个边长为5的正方形纸片ABCD，将其剪成边长各为a、b的两个小正方形，从而使得a +b =5 ,①a、b的值可以是x，②请你设计一种具有一般性的裁剪方法，并在图中画出裁剪线，拼接出两个小正方形，此外请说明该裁剪方法具有的一般性。像这样的问题，就是考察学生的实际动手能力，学生只有灵活掌握所学的数学知识，才可以运用这门工具来解决问题。

初中数学论文2

（一）没有先进的教学思想和教学理念，不能促进高效数学课堂的创建

创建高效数学课堂就必须要有先进的教学思想和教学理念，这是基础也是最基本的先决条件。创建高效熟悉课堂必须改变传统的教学观念和教学思想。传统的就教学观念是以提高学生考试成绩为主要目的，是为了让学生掌握课本上的基础知识为主，在学校开展的一切教学活动都是以应试教育为总指导方向，完全不能顾及到学生的主体地位，在教学中教师的引导启发作用不能顺利科学地发挥。

（二）教学手段特别单一，教学模式不能及时创新

在初中数学课堂教学中，教学手段起着关键作用，它是决定创造高效课堂的另一关键问题。这一问题解决不好创造高效课堂将大受影响。在传统的数学课堂中，教师主要采用填鸭式或者是灌输式的教学方法，都对学生在学习过程中强调基础知识的掌握，却不对知识的灵活运用进行充分训练和讲解，整个课堂显得枯燥无味。传统教学模式特别死板，一般就是以题海战术为主要方式，以单纯的知识点讲解为课堂主要授课方式，课堂的学习气氛比较呆闷，学生在课堂上没有特别高的参与积极性，不能很好地培养学生学习数学知识的兴趣。

（三）不能很好培养学生的能力，教学效果不理想

初中数学课堂不仅要教会学生数学上的有关知识，更是要培养学生其他方面的能力。而一直以来，一些初中数学教师在这一方面做得不够好，数学知识点的罗列并不能提高学生的动手能力和创造能力，也不能使学生很好地理清解题思路，进而锻炼学生的逻辑思维，学生自己不能对知识点进行灵活自如地运用，这样会极大地阻碍学生参与课题的积极性。

二、根据学生的实际情况选择科学合理的教育教学策略

（一）不断改善自己的教学理念，还学生课题主体地位

要想创建高效的初中数学课堂，就需要教师不断改善自己的教学理念，不断转变自己的教学思想。时代在变化，学生也在变，如果我们再用以前的方法和眼光看待学生，无疑不会取得好的结果。我们只能以先进的教学理念作为支点，来培养学生各项能力和综合素质，要彻底改变过去的那种填鸭式或者满堂灌的数学教学方法，还学生初中数学课堂上的主体地位。教师要注重自己在数学中的教学方向，要把培养学生的逻辑思维能力以及逆向思维能力当成是教学的重点。教师上课之前需要详细掌握学生的基础和学生对数学知识的理解程度，以此为出发点，有针对性地设计教学方案，训练学生的数学基本技能，锻炼学生的数学思维能力和解决问题的能力，进而让学生形成自己的解题思路和考虑问题的方式，从而能够创建高效的初中数学课堂。

（二）创新教学方式，提升教学效率

在教学改革过程中，首先，必须要求初中数学教师对新课堂标准要钻研透彻，知道需要让学生达到怎样的知识高度；其次，教师之间要加强交流和沟通，对教学中遇到的疑问和困惑要及时进行交流沟通，可以向有经验的老教师或者权威教授学者进行咨询；再次，教师在进行教研活动的过程中，必须认真对待，要真正地去做这个事情，不要走过场和作形式，要让教研活动真正的发挥作用，群力群策，对教学难点共同出主意想办法来加以解决，要真正让集体备课能够落在实处。最后，对传统教学方式不能全盘否定，要取其精华去其糟粕，比如讲授法、讲练结合法要穿插在现代教学过程中。

（三）不断深挖教学策略，有效提升数学课堂效率

创建高效课堂必须关注教学策略的研究，中学数学教师需要通过日常培训、理论学习、教学实践来不断深挖教学策略，不断研究教学手段，能够让自己的教学水平不断提升。在初中数学课堂上要注重课堂教学和生活元素的相关联系，要让学生知道学习数学是用于生活，另一方面也可以消除学生学习数学新知时的陌生感，逐渐培养学生解决实际问题的能力。注重创设科学合理、生动有趣的教学情境。在初中数学课堂上建立教学情境，是创建高效数学课堂的重要方法之一，它不会和现代教学模式的改革相违背。初中数学课的教学不能满足于课本知识的传授和课内教学，要让更多的生活元素和其他学科的知识走进数学课堂，能够使数学课堂不断拓展、延伸，充实数学课堂。在丰富的数学课堂内学生能够更高效地吸收数学知识，掌握数学知识的实际应用，提升学生的综合素质。

（四）灵活运用小组教学，善用探究式教学模式

当前小组教学模式已经比较成熟，在小组合作中，可以实现小组讨论、小组合作、小组竞赛等一系列教学活动，并且在小组合作教学活动中，能够最大限度地调动学生的积极性，能够激发学生的表达欲望和学习的积极性，能够提高单位时间内的教学效率。探究式教学需要老师在课堂上进行合理引导、适时点拨，因此，教师在课下备课的时候更需要用心，需要将课本内容仔细梳理，找到和预计到课本中的重难点，设计教学方式和找到难点的突破口，能够有效组织课堂活动使得探究式教学能够顺利科学地进行。在课下教师也可以设计环环相扣的问题，来逐层的剖析一节课中的重难点，来探究课中的内容，逐渐培养学生的探究能力。假如能够培养学生的探究能力，就能够使得学生能够主动发现问题，并通过小组合作来解决这些问题，不断拓宽学生的思维，提升学生的合作能力和动手能力。

（五）注重思维能力的培养，提升学生的综合能力

初中数学论文3

（一）帮助学生养成良好的自主学习习惯。

导学案在数学教学过程中的具体应用能够使学生对导学案的设计内容有大致的了解和掌握，其中所有的设计重点和设计问题都是由学生独立完成的，但从客观角度来讲，也是由学生和学生、学生和教师之间一同总结和讨论完成的。学生能够在与其他人沟通和讨论的过程中，不但增强了自身团队意识，强化了合作能力，懂得分享和倾听，而且还会积极开动脑筋，由被动参与变为主动参与，极大限度的提高了学生的学习主动性和积极性。在对导学案效果进行检验时，数学教师应当结合多数学生的学习效果和学习现状做好有理有据的分析，然后再次进行师生互动，强化学生对已掌握知识点的记忆。除此之外，由于教师在设计数学导读案的过程中会将学生所处的学习阶段看作是考虑因素之一，这就意味着学生要根据学习阶段的不同按照不同的学习方式、学习思路进行不同的学习和探究，不同阶段的学生要重视不同的学习内容，这样对学生养成良好的学习习惯起着积极的促进作用，为今后学生自主学习能力的养成奠定了坚实的基础。再者，导学案的应用目的主要是为了提高学生的主动参与意识，帮助学生养成良好的学习习惯，教师在指导学生完成课前预习任务和课后复习任务的基础上，培养学生的创新能力和数学知识的快速掌握和运用能力，使学生进入一个良性循环的学习状态。

（二）有效培养学习的兴趣，提高教学的效果。

导学案在初中阶段的数学教学中的应用主要目的是为了能够有效的组织初中生进行课前预习，强化预习效果。现代导学案的应用使学生能够主动的参与到团队商讨和小组学习中去，并基于该种情况，进一步扩大初中中的知识范围，掌握有效的数学学习方法。导学案对数学教学效果的提高和作用主要有三个方面：第一，学生能够通过改教学方式进行自主的探究，使学生产生了学习兴趣和学习欲望，同时提高了学生的自信心和荣誉感。第二，在学生无法通过自主学习和集体讨论的方式解决数学难题的情况下，教师可以对其进行正确的指导，帮助他们完成学习任务，不仅能够使学生积极的投入到数学学习中去，还能够最大限度的提高了数学教学效果。第三，教师应科学合理的利用导学案帮助不同年级、不同层次和不同水平的学生共同进步，并在授课过程中有意识的为学生创建一个竞争平台、营造一个良性竞争氛围，利用学生不服输、敢比拼的心理，进一步加深学生对数学的学习兴趣，从而强化数学教学效果。

二、导学案在初中数学教学中的应用

（一）课前导学、提高兴趣。

学生阅读导学案的时候，第一眼经常看见的都是一些基础性的 知识，例如一些数学定理、公式等等，这部分内容的设计理念主要是为了帮助学生回忆和巩固以往接触过和学习过的知识，同时为将要学习的新知识做好铺垫，这也就是说，数学教师在设计导学案的过程中，一定要注意新旧知识的连接性，要是导学案内容连贯、条理清晰、层次分明。导学案的设计以激发学生学习兴趣为主要设计理念，采用灵活多变的教育手段增加各个知识点的趣味性，以保证数学教学任务的高质量完成，例如，我们可以通过让学生亲自动手画图的方式提高学生的学习兴趣。

（二）课上探讨，增强氛围。

1.积极思考。

积极思考主要是用来衡量学生对所学内容的掌握情况和应用能力，让学生通过自己的方式独立思考，创建适合自己的解题思路和学习模式。教师在进行数学教学时可以联系生活中常见的问题来引导学生，提高学生的学习兴趣，比如，教师可以提出这样的问题，一块长6米、宽5米、厚度为10厘米的木板能否通过一扇高4米、宽3米的门？为什么？相信很大一部分学生都会立刻联想到勾股定理，然后求出门的对角线长度，并以此来判断木板到底能否通过门。在实际生活中，木板的的确确是有厚度的，而这也恰恰成为了解这道题的关键，教师可以通过这种方式，提高学生的自主探究能力和独立思考能力。

2.合作学习。

应新课标的规定和要求，教师可以根据导学案的设计内容将学生分为几个小组，并确保每组学生的整体水平接近一致，让学生根据题目自行确认小组内部人员的任务，共同商讨和解决问题，这种学生与学生之间、小组与小组之间的竞争气氛能够帮助学生尽可能的开动脑筋，积极的完成学习任务，数学教师在这一过程中应适当的起到指导和鼓励的作用，并在任务完成以后对各小组进行系统、客观、正确的评价。学生在合作学习时能够互相帮助、互相鼓励、互相交流、互相完善、互相扶持和互相启发，不但学习内容和知识技能得到了进一步的完善和发展，而且思维方向、思维意识也开始向多方面发展。

（三）课后巩固，强化提高。

课后巩固是指对学过知识的再次理解、再次反思、再次回顾和再次应用，同时要求学生在这一过程中能够有所收获，因此，教师在设计数学导学案的过程中一定要特别注意每个学生的知识水平，制定有难度梯度的题目，尽可能的保证每名同学都能所有收获和领悟。

三、结语

数学初中论文4

论文关键词：关于数学思维与数学教育的思考

数学教育的一个重要任务就是培养学生的数学思维能力。努力提高学生的数学思维能力。不仅是数学教育进行“再教育”的需要，更重要的是培养能思考，会运筹善于随机应变。适应信息时展的合格公民的需要。本文从数学思维的特征，品质出发。结合中学数学教育的实际。探讨了中学数学教育如何有效地培养学生数学思维能力的问题。

1、数学思维及其特征

思维就是人脑对客观事物的本质、相互关系及其内在规律性的概括与间接的反映。而数学思维就是人脑关于数学对象的思维。数学研究的对象是关于现实世界的空间形式与数量关系。因而数学思维有其自己的特征。

第一，策略创造与逻辑演绎的有机结合。一个人的数学思维包括宏观和微观两个方面。宏观上。数学思维活动是生动活泼的策略创造。其中包括直觉、归纳、猜测、类比联想、合情推理、观念更新、顿悟技巧等方面，微观上，要求数学思维具有严谨性。要求严格遵守逻辑思维的基本规律。要言必有据，步步为营，进行严格的逻辑演绎。事实上。任何一种新的数学理论。任河一项新的数学发明。只靠严谨的逻辑演绎是推不出来的。必须加上生动的思维创造。诸如特殊化一般化。归纳、类比、顿悟等等。一旦有了新的想法。采取了新的策略。掌握了新的技巧。通过反复深入地提出猜想。加以修正。不断完善。才有可能产生新的数学理论。也可以说。数学思维过程总是似真推理与逻辑推理相互交织的过程。似真推理起着为逻辑思维探路。定向的作用。可以用来帮助在数学领域中发现新命题。提出可能的结论。找到解题的途径与方法等。其中。类比推理和不完全归纳推理更是两种重要的策略推理形式；而逻辑推理则是似真推理的延续和补充。由似真推理所获得的结论。往往需要借助逻辑推理作进一步的论证、证实。因此。数学思维只有将策略创造与逻辑演绎有机结合。才能显示出强大的生命力。

第二、聚合思维与发散思维的有机结合。发散思维是指从不同方向、不同侧面去考虑问题，从多种途径去求得解答的一种思维活动。它是创造性思维的一个重要特征。其特点是具有流畅性、变通性和独特性。通常所说的一题多解。多题一解。命题推广、升维策略、降维策略等都于这方面的反映。聚合思维是以“集中”为特点的一种思维。其特点是具有指向性、比较性、程性等论文开题报告范例。在数学思维活动中，这两种思维也是常常被交替使用的。在解决一个较为复杂的数学问题时，为了探查解题思路。人们总是要将思维触角伸向问题的各个方面。考虑各种可能的解模式。并不断地进行尝试。设法找到具体的思路。在探测思路的过程中。又要对具体问题进行具体分析，要集中注意力初中数学论文，集中攻击目标，找到问题的突破口或关键。因此，在数学教学中。要注将聚合思维与发散思维有机结合，特别要重视发散发性思维的训练。

2、数学思维品质

数学思维能力高低的重要标志是数学思维品质的优劣，为了提高学生的数学思维能力，弄清数学思维品质的内容是必要的，但对这个问题的争论很多，我们认为数学思维品质至少应包含以下几个方面的内容。

第一，思维的灵活性，它是指思维转向的及时性以及不过多地受思维定向的影响。善于从旧的模式或通常的制约条件中摆脱出来。思维灵活的学生，在数学学习中，善于进行丰富的联想，对问题进行等价转换，抓住问题的本质，快速及时地调整思维过程。

第二，思维的批判性。它是指对已有的数学表述或论证提出自己的见解，不是盲目服从，对于思想上已经完全接受了的东西，也要谋求改善，包括修正、改进自己原有的工作，事实上，数学本身的发展就是一个“不断提出质疑，发现问题、提出问题进行争论。直到解决问题的过程。

第三、思维的严谨性。它是指考虑问题的严密、准确、有根有据。在思维过程中，善于运用直观的启迪，但不停留在直观的认识水平上；注重运用类比、猜想、但不轻信类比，猜想的结果；审题时不但要注意明显的条件。而且要挖掘其中隐含的不易被察觉的条件：运用定理、公式时要注意定理、公式成立的条件；在概念数学中初中数学论文，要弄清概念的内涵与外延。仔细区分相近或易混的概念，正确地运用概念，在解决问题时，要给出问题的全部解答，不重不漏，这些都是思维严谨性的表现。

第四、思维的广阔性。它是指思维的视野开阔，对一个问题能从多方面洞察。具体表现为对一个事实能从多方面解释。对一个对象能用多种方式表达，对一个题目能想出各种不同的解法。等等。如果把数学比作一座大城市。那么它间四面八方延伸的大路。正好表现出数学思维发展和应用的广阔性。

第五、思维的深刻性。它是指数学思维的抽象逻辑性的深刻程度。是抽象慨括能力的重要标志。它以抽象思维为基础。对事物在感性认识的基础上。经过“去粗取精。去伪存真，由此及彼。由表及理”的加工制作。上升到理性认识。它要求人们在考虑问题时，一入门就能抓住事物的本质。把握事物的规律。能发现常人不易发现的事物之间的内在联系。

第六、思维的敏捷性。它是思维速度与效率的标志。它以思维的合理性为基础。所谓合理性。主要反映在解决问题时。方法简明。单刀直入，不走弯路，?辣荃杈叮快速获？.它往往是思维深刻性。灵活性的派生物。

第七、思维的独创性。它以直觉思维和发散思维为基础，善于对知识、经验从思维方法的高度上进行概括，灵活迁移。重新组合，在更高的层次上作移植与杂交。思人所未思。想人所未想，具有思维新颖，别具一格。出奇制胜，异峰突起，独树一帜等特点。

以上，我们列举了数学思维品质的几个方面。这些方面是相互联系。互为补充的，是一个有机结合的统一体。数学教育中。要根据不同的素材。灵活选择恰当的教学方法。有意识、有计划、有目的的培养学生的数学思维品质。

3、培养学生数学思维品质的教学方法

数学教育必须重视数学思维品质的培养；数学教育也有利于培养学生良好的思维品质。蕴含在数学材料中的概念、原理、思想方法等。是培养学生良好思维品质的极好素材。作为数学教师，只有在培养学生的思维品质方面下功夫。方能有效地提高数学教学的质量。

第一、应使学生对数学思维本身的内容有明确的认识，长期以来，在数学教学中过分地强调逻辑思维，特别是演绎逻辑初中数学论文，都是教师注重给学生灌输知识。忽视了思维能力的培养。只注重结论，忽视了知识发生过程的教学，造成学生机械模仿，加大练习量，搞“题海战术”，抑制了学生良好的数学思维品质的形成。我们应当使学生明白，学习数学，不仅仅是为了学到一些实用的数学知识，更重要的是得到数学文化的熏陶。其中包括数学思维品质。数学观念。数学思想和方法等，因此，数学教师必须从培养学生的优秀思维品质出发。冲破传统数学教学中把数学思维单纯理解为逻辑思维的旧观念，直觉、想象、合情推理、猜测等非逻辑思维也作为数学思维的重要组成部分。在数学教学中，要通过恰当的途径，引导学生探索数学问题，要充分暴露数学思维过程，这样，数学教育就不仅仅是赋予给学生以“再现性思维”.更重要的是给学生赋予了“发现性思维”。

第二、优化课堂教学结构，实现思维品质教育的最优化。优良思维品质的培养，是渗透在数学教育的各个环节之中的，但中心环节是在课堂教学方面论文开题报告范例。因此。我们必须紧紧抓好课堂教学这个环节。在课堂教学中，学生的思维过程，实质上主要是揭示和建二新旧知识联系的过程当然也包含了建立新知识同个体的新的感知的联系。在这里我们要特别强调知识发生过程的教学。所谓知识发生过程，通常指的是概念的形成过程，结论的探索与推导过程。方法的思考过程。这些实际上是学生学习的主要思维过程，为了加强知识发生过程的教学，我们可从如下几个方面着手：首先。要创设问题情境。激起意向。弓i_起动机。思维处问题起初中数学论文，善于恰到好处地建立问题情境，可以调动学生的学习积极性，使之开启思维之门其次。要注重概念形成过程的教学。概念是思维的细胞。在科学认识中有重大作用。因此，数学教学必须十分重视概念的准确度与清晰度。概念的形成过程是数学教学中最重要的过程之一。那种让学生死记硬背概念。忽视概念形成过程以图省事的做法是实在不可取的。有经验的教师把概念的形成过程归结为。“引进一酝酿一建立一巩固一发展”这样五个阶段，采用灵活的教学方法。取得了良好的教学效果最后。要重视数学结论的推导过程和方法的思考过程。数学教学中的结i仑通常是通过归纳、类似、演绎等方法进行探索的，我们要善于发现隐含于教材内容中的思维素材。有意识地让学生自己去发现一些数学结论，帮助学生掌握基本的数学思想和方法。比如分析法。综合法。类比法。归纳法。演译法，映射法(尤其是关系映射反演原则)，反证法，同一法等等。数学方法的思考过程其实就是解决问题的思维过程。教师要通过对具体问题的分析。引导学生掌握从特殊到一般。从具体到抽象再到更广泛的具体等一般的思考问题的方法。

第三、激发学生数学学习的动力。重视数学的实际应用。唤起学生学习的主动性和自觉性数学学习的动力因素包括数学学习的动机、兴趣、信念、态度、意志、期望、抱负水平等。数学学习的动力因素不仅决定着数学学习的成功与否。而且决定着数学学习的进程：不仅影响着数学学习的效果，而且制约着数学能力的发展和优秀数学品质的形成。事实证明。在数学上表现出色的学生，往往与他们对数学的浓厚兴趣。对数学美的追求。自身顽强的毅力分不开因此，在数学教学中，教师要利用数学史料的教育因素。数学中的美学因素。辩证因素。困难因素。以及数学的广泛应用性等，不断激发学生的学习兴趣，激励学生勇于克服困难。大胆探索鼓励学生不断迫求新的目标，不断取得新的成功。

参考文献：

[1]张奠宙，唐瑞芬，刘鸿坤等。数学教育学[M]，江西教育出版杜，1991年11月。

[2]王仲眷。数学思维与数学方法论[M]，高等教育出版杜，1989年11月；

[3]郭思乐。思维与数学教学[M]. 人民教育出版，1991年6月

[4]邹瑞珍。学与教的心理学[M]. 华东师范大学出版杜。，1992年6月

初中数学论文5

1．个案1—由失败中获取有用的信息

例1若a、b、c为互不相等的实数，且x／（a－b）＝y／（b－c）＝z／（c－a），求x＋y＋z．

解：由等比定理得

x／（a－b）＝y／（b－c）＝z／（c－a）

①

＝（x＋y＋z）／［（a－b）＋（b－c）＋（c－a）］．

②

但是，②式的分母为零

（a－b）＋（b－c）＋（c－a）＝0，

③

我们的解题努力失败了．

评析：这是一个失败的解题案例，文［3］谈到了调整解题方向后的一些处理，其实都用到③式．所以，失败的过程恰好显化了题目的一个隐含条件，这是一个积极的收获，当我们将不成功的②式去掉，把目光同时注视①式与③式时，①式使我们看到了两条直线重合：

xX＋yY＋z＝0，

④

（a－b）X＋（b－c）Y＋（c－a）＝0．

⑤

而③式又使我们看到了直线⑤通过点

X＝1，

Y＝1．

作一步推理，直线④也通过点（1，1），于是

x＋y＋z＝0．

与文［3］相比，这是一个不无新意的解法，其诞生有赖于两点：

第1，从失败的解题中获取一条有用的信息，即③式．

第2，对①式、③式都作“着眼点的转移”，从解析几何的角度去看它们．

有了这两步，剩下来的工作充其量在30秒以内就可以完成．

2．个案2—尚未成功不等于失败

设f（n）为关于n的正项递增数列，M为大于f（1）的正常数，当用数学归纳法来证不等式

f（n）＜M（n∈N）

①

时，其第2步会出现这样的情况：假设f（k）＜M，则

f（k＋1）＝f（k）＋a（a＝f（k＋1）－f（k）＞0）＜M＋a，

②

无法推出f（k＋1）＜M．

据此，许多人建议，用加强命题的办法来处理，还有人得出这样的命题（见文［4］P．32及文［5］P．12）：

命题设｛f（n）｝为关于n的正项递增数列，M为正常数，则不等式f（n）＜M（n∈N）不能直接用数学归纳法证明．

评析：不等式①没能用递推式②证出来，有两种可能，其一是数学归纳法的功力不足，其二是数学归纳法的使用不当．把“不会用”当作“不能用”，其损失是无法弥补的．

我们分析上述处理的“尚未成功”，关键在于递推式②，这促使我们思考：f（k＋1）与f（k）之间难道只有一种递推关系吗？

确实，有的函数式其f（k＋1）与f（k）之间的关系很复杂，无法用数学归纳法来直接证明；而有的关系则较简单，仅用加减乘除就可以表达出来．但无论是“很复杂”还是“较简单”，其表达式都未必惟一，文［6］P．278给出过一个反例，说明上述“命题”不真：

例2用数学归纳法证明

f（n）＝1＋（1／2）＋（1／22）＋…＋（1／2n－1）＜2．

讲解：当n＝1时，命题显然成立．

现假设f（k）＜2，则

f（k＋1）＝f（k）＋（1／2k）＜2＋（1／2k），

由于2＋（1／2k）恒大于2，所以数学归纳法证题尚未成功．

然而，这仅是“方法使用不当”．换一种递推方式，证明并不困难．

f（k＋1）＝1＋（1／2）f（k）＜1＋（1／2）×2＝2．

下面一个反例直接取自文［4］的例2．

例3求证（1／1！）＋（1／2！）＋（1／3！）＋…＋（1／n！）＜2．

证明：当n＝1时，命题显然成立．

假设n＝k时命题成立，则

（1／1！）＋（1／2！）＋…＋（1／k！）＋［1／（k＋1）！］

＝1＋（1／2）＋（1／3）·（1／2！）＋…＋（1／k）·［1／（k－1）！］＋［1／（k＋1）］·（1／k！）＜1＋（1／2）｛1＋（1／2！）＋…＋［1／（k－1）！］＋（1／k！）｝＜1＋（1／2）×2＝2．

这表明n＝k＋1时命题成立．

由数学归纳法知，不等式已获证．

3．个案3—对尚未成功的环节继续反思

文［7］有很好的立意也有很好的标题，叫做“反思通解·引出简解·创造巧解”，它赞成反思“失败”并显示了下面一道二次函数题目的调控过程：

例4二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的图象经过点（－1，0），是否存在常数a、b、c使不等式

x≤f（x）≤（x2＋1）／2

①

对一切实数x都成立？若存在，求出a、b、c；若不存在，说明理由．

讲解：作者从解两个二次不等式

（x2＋1）／2－f（x）≥0，

f（x）－x≥0．

开始（解法1＜＞），经过数形结合的思考（解法2）等过程，最后“经学生相互讨论后得到巧解”（解法4）：由基本不等式

（x2＋1）／2≥（x＋1）／22≥x

②

对一切实数x都成立，猜想

f（x）＝（x＋1）／22．

③

经检验，f（x）满足条件f（－1）＝0，所以f（x）存在，a＝（1／4），b＝（1／2），c＝（1／4）．

我们不知道命题人的原始意图是否只考虑“存在性”，按惯例，“若存在，求出a、b、c”应该理解为“若存在，求出一切a、b、c”．从这一意义上来看上述巧解，那就存在一个明显的逻辑疑点：诚然，③式是满足①的一个解，但是在x与（x2＋1）／2之间的二次函数很多，如

f1（x）＝（1／2）x＋（1／2）（x2＋1）／2，

f2（x）＝（1／3）x＋（2／3）（x2＋1）／2，

f3（x）＝（1／4）x＋（3／4）（x2＋1）／2，

……

这当中有的经过点（－1，0），有的不经过点（－1，0），巧解已经验证了f1（x）经过点（－1，0）从而为所求，我们的疑问是：怎见得其余的无穷个二次函数就都不过点（－1，0）呢？

也就是说，“巧解”解决了“充分性”而未解决“必要性”，解决了“存在性”而未解决“惟一性”．究其原因，是未找出x与（x2＋1／2）之间的所有的二次函数．抓住这一尚未成功的环节继续思考，我们想到定比分点公式，①式可以改写为

f（x）＝｛［（x2＋1）／2］＋λx｝／（1＋λ）（λ＞0），

④

或f（x）＝λ（x2＋1）／2＋（1－λ）x（0＜λ＜1）．⑤

一般情况下λ应是x的正值函数（文［8］默认λ为常数是不完善的；同样，2000年高考理科第20题（2），＝an＋bn设

ancos2θ，

bnsin2θ

是错误的），但由于f（x）为二次函数，λ只能为常数．为了在④中求出λ，把f（－1）＝0代入④即可求出λ＝1（或⑤中λ＝1／2）．

②式与④式的不同，反映了特殊与一般之间的区别，反映了“验证”与“论证”之间的区别．其实，原［解法1］出来之后，立即就可以得出②式，与是否应用“基本不等式”无关．同样，原［解法1］中作者思考过的“推理是否严密”在“巧解”中依然是个问题．这种种情况说明，我们不仅要对解题活动进行反思，而且要对“反思”进行再反思．下面一个解法请读者思考错在哪里？

解：已知条件等价于存在k＜0，使

［f（x）－x］［f（x）－（x2＋1）／2］＝k≤0，

把x＝－1时，f（x）＝0代入得k＝－1，

从而［f（x）－x］［f（x）－（x2＋1）／2］＝－1，

即f2（x）－［（x＋1）2／2］f（x）＋（x3＋x＋2）／2＝0．

由此解出的f（x）为无理函数，不是二次函数，所以本题无解．

作为对反思进行再反思的又一新例证，我们指出文［9］例2（即1997年高考难题）第1问，可以取λ＝a（x2－x）∈（0，1）（λ是x的函数），则

f（x）＝a（x1－x）（x2－x）＋x

＝λx1＋（1－λ）x，

据定比分点的性质有x＜f（x）＜x1．

1罗增儒．解题分析—解题教学还缺少什么环节？中学数学教学参考，1998，1～2

2罗增儒．解题分析—再谈自己的解题愚蠢．中学数学教学参考，1998，4

3罗增儒．解题分析—人人都能做解法的改进．中学数学教学参考，1998．7

4李宗奇．调控函数及其应用．中学数学杂志（高中），2000，3

5王俊英．一类数学归纳法能否使用问题的判定．中学数学，1987，9

6罗增儒．数学解题学引论．西安：陕西师范大学出版社，1997，6

7曹军．反思通解·引出简解·创造巧解．中学数学，2000，6