高中数学幂函数教案新教材优秀4篇

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高中数学幂函数教案新教材【第一篇】

一、指数函数

1.形如yax(a0,a0)的函数叫做指数函数,其中自变量是x,函数定义域是r,值域是(0,).

2.指数函数yax(a0,a0)恒经过点(0,1). 3.当a1时,函数yax单调性为在r上时增函数; 当0a1时,函数yax单调性是在r上是减函数.

二、对数函数 1. 对数定义:

一般地,如果a(a0且a1)的b次幂等于n, 即abn,那么就称b是以a为底n的对数,记作 loganb,其中,a叫做对数的底数,n叫做真数。

b 着重理解对数式与指数式之间的相互转化关系,理解,an与blogan所表示的是a,b,n三个量之间的同一个关系。2.对数的性质:

(1)零和负数没有对数;(2)loga10;(3)logaa1

这三条性质是后面学习对数函数的基础和准备,必须熟练掌握和真正理解。3.两种特殊的对数是:①常用对数:以10作底 log10n简记为lgn ②自然对数:以e作底(为无理数),e= 28……,loge4.对数恒等式(1)logaabb;(2)alogann简记为lnn.

n

b 要明确a,b,n在对数式与指数式中各自的含义,在指数式an中,a是底数,b是指数,n是幂;在对数式blogan中,a是对数的底数,n是真数,b是以a为底n的对数,虽然a,b,n在对数式与指数式中的名称不同,但对数式与指数式有密切的联系:求b对数logan就是求an中的指数,也就是确定a的多少次幂等于n。

三、幂函数

1.幂函数的概念:一般地,我们把形如yx的函数称为幂函数,其中x是自变量,是常数;

注意:幂函数与指数函数的区别. 2.幂函数的性质:

(1)幂函数的图象都过点(1,1);

(2)当0时,幂函数在[0,)上单调递增;当0时,幂函数在(0,)上 单调递减;

(3)当2,2时,幂函数是 偶函数 ;当1,1,3,时,幂函数是 奇函数 .

四、精典范例 例

1、已知f(x)=x·(

31311); x221(1)判断函数的奇偶性;(2)证明:f(x)>0.解:(1)因为2-1≠0,即2≠1,所以x≠0,即函数f(x)的定义域为{x∈r|x≠0}.x

x11x32x1)=·x又f(x)=x(x,2212123(x)32x1x32x1··f(-x)==f(x),22x122x1所以函数f(x)是偶函数。

x32x10.(2)当x>0时,则x>0,2>1,2-1>0,所以f(x)=·x2213

x

x又f(x)=f(-x),当x0.综上述f(x)> a·2xa2(xr),若f(x)满足f(-x)=-f(x).例

2、已知f(x)=x21(1)求实数a的值;(2)判断函数的单调性。

解:(1)函数f(x)的定义域为r,又f(x)满足f(-x)= -f(x),所以f(-0)= -f(0),即f(0)=0.所以

2a20,解得a=1,22(2x12x2)2x112x21(2)设x1

3、已知f(x)=log2(x+1),当点(x,y)在函数y=f(x)的图象上运动时,点(,)在函数y=g(x)的图象上运动。(1)写出y=g(x)的解析式;

(2)求出使g(x)>f(x)的x的取值范围;

(3)在(2)的范围内,求y=g(x)-f(x)的最大值。解:(1)令

xy32xys,t,则x=2s,y=因为点(x,y)在函数y=f(x)的图象上运动,所以2t=log2(3s+1),11log2(3s+1),所以g(x)= log2(3s+1)221(2)因为g(x)>f(x)所以log2(3x+1)>log2(x+1)

2即t=3x1(x1)23即0x1(3)最大值是log23-

2x10x2.例

4、已知函数f(x)满足f(x-3)=lg2x62(1)求f(x)的表达式及其定义域;(2)判断函数f(x)的奇偶性;

(3)当函数g(x)满足关系f[g(x)]=lg(x+1)时,求g(3)的值。解:(1)设x-3=t,则x=t+3, 所以f(t)=lg2

t3t3lg

t36t3x3x30,得x3.解不等式x3x3x3所以f(x)-lg,定义域为(-∞,-3)∪(3,+∞).x3所以f(x)=lg

3 x3x3x3lglg=-f(x).x3x3x3x3(3)因为f[g(x)]=lg(x+1),f(x)=lg,x3(2)f(-x)=lg所以lgg(x)3g(x)3lg(x1),所以g(x)3g(x)3x1,(g(x)3g(x)30,x10).解得g(x)=3(x2)x, 所以g(3)=5

高中数学幂函数教案新教材【第二篇】

幂函数

2012年11月6日 地点:1225班教室

执教者:

一、教学目标:

1、知识与技能:通过实例,了解幂函数的概念;会画简单幂函数的图象,并能根据图象得出这些函数的性质;

2、过程与方法:用类比法(指数函数、对数函数)来研究幂函数的图象和性质;

3、情感态度和价值观:培养学生观察和归纳能力,进一步渗透数形结合与分类讨论的思想方法。

二、教学重点: 从5个常见幂函数归纳认识幂函数的一些性质并做简单应用。

三、教学难点: 引导学生概括出幂函数的性质。

四、教学过程:

1、问题引入:(课本p77)

2、授新课:

(1)幂函数的定义:形如yx的函数叫幂函数,其中x是自变量,是常数.(2)指数函数与幂函数的区别。(3)5个常见幂函数的图像和性质。1(1)yx;(2)yx;(3)yx(4)yx2;(5)yx1

(4)由5个常见幂函数的图象与性质探究一般幂函数的性质。(5)例题讲解

例1:证明幂函数f(x)

4、课堂练习

x在[0,)上是增函数。已知下列函数:

121yx,2yx33yx14yx20125y=x4是奇函数的有:

;是偶函数的有:

在0,上是增函数的有:

;在0,上是减函数的有:

5、课堂小结:(见课件)

6、布置作业:完成教学案“幂函数”。

7、板书设计

幂函数

 r

1、定义:yx,x是自变量,是常数,2、5个常见幂函数的图象与性质

1(1)yx;(2)yx;(3)yx(4)yx2;(5)yx1

33、幂函数的性质

8、教学反思

高中数学必修1《幂函数》教案【第三篇】

1、教学目标

知识目标:

(1)掌握幂函数的形式特征,掌握具体幂函数的图象和性质。

(2)能应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题。

能力目标:培养学生发现问题,分析问题,解决问题的能力。

情感目标:

(1)加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验。

(2)渗透辨证唯物主义观点和方法论,培养学生运用具体问题具体分析的方法分析问题、解决问题的能力。

2、教学重点:从具体函数归纳认识幂函数的一些性质并简单应用。

教学难点:引导学生概括出幂函数的性质。

3、教学方法和教学手段:探索发现法和多媒体教学

4、教学过程:

问题情境

问题1写出下列y关于x的函数解析式:

①正方形边长x、面积y

②正方体棱长x、体积y

③正方形面积x、边长y

④某人骑车x秒内匀速前进了1m,骑车速度为y

⑤一物体位移y与位移时间x,速度1m/s

问题2是否为指数函数?上述函数解析式有什么共同特征?(教师将解析式写成指数幂形式,以启发学生归纳,)板书课题并归纳幂函数的定义。

(二)新课讲解

幂函数的定义:一般地,我们把形如的函数称为幂函数(powerfunction),其中是自变量,是常数。

为了加深对定义的理解,请同学们判别下列函数中有几个幂函数?

①y=②y=2x2

我们了解了幂函数的概念以后我们一起来研究幂函数的性质。

问题3幂函数具有哪些性质?用什么方法研究这些性质的呢?我们请同学们回忆一下在前面学习指数函数、对数函数我们一起研究了哪些性质呢?(学生讨论,教师引导)

(引发学生作图研究函数性质的兴趣。函数单调性的判断,既可以使用定义,也可以通过图象解决,直观,易理解。)

在初中我们已经学习了幂函数的图象和性质,请同学们在同一坐标系中画出它们的图象。

根据你的学习经历,你能在同一坐标系内画出函数的图象吗?

(学生作图,教师巡视。将学生作图用实物投影仪演示,指出优点和错误之处。教师利用几何画板演示,通过超级链接几何画板演示。)

问题4我们看到,这些函数在第一象限都有图象,所以我们就先来研究幂函数在上的性质。请同学们考虑一下有哪些共性呢?(学生回答)

归纳总结幂函数的性质:幂函数图象的基本特征是,当是,图象过点,且在第一象限随的增大而上升,函数在区间上是单调增函数。

下面我们一起来尝试幂函数性质的简单应用

巩固练习:例1写出下列函数的定义域,并指出它们的奇偶性和单调性:①y=x②y=x③y=x。(板书一题,其他学生回答并小结)

感受理解例2:比较下列各组中两个值的大小,并说明理由:

①,;

②(—),(—);

③,

分析:利用考察其相对应的幂函数和指数函数单调性来比较大小

巩固提高例3、幂函数y=(m—3m—3)x在区间上是减函数,求m的值。

(三)小结:今天的学习内容和方法有哪些?你有哪些收获和经验?幂函数的图象和形状就可能发生很大的变化。我们今天主要研究了幂函数在第一象限的性质。

高中数学幂函数教案新教材【第四篇】

从新方案调研一线传来的消息,证实了专家们的猜测,目前江苏省高考改革主要围绕3个方案进行讨论调研,每个方案都增加了计分科目,只是增加的科目数量不同。

方案一是“3+小综合”,即语数外三门,加理科小综合(物理、化学、生物)或语数外三门加文科小综合(历史、地理、生物),小综合3门合卷考试;

方案二是“3+2”,即语数外三门,加历史、政治(文科)或者物理、化学(理科);

方案三是“4+1”,即文科语数外历史必考,另在政治、地理中任选一门;理科语数外物理必考,另在化学、生物中任选一门。

有关人士透露,最终出台的新方案很可能就是在3个方案中选一个,究竟选那个,目前意见尚不统一。“有的认为语数外以外,再考物理化学或历史政治2门就够了,有的认为生

物、地理也很重要,还有的认为如果历史、物理单独考试,分量太重。”这位人士透露,目前来看支持“3+小综合”的比较多,实施可能性较大,因为该方案能兼顾各科。

“高考就是指挥棒,如果哪一门不考,这一门很可能就被学校淡化了。以化学为例,因为2008年高考方案中,考生选择化学得a几率较小,曾出现过一所学校没有一个考生选化学的情况。

幂函数2教案

教材分析:幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数。本课的教学重点是掌握常见幂函数的概念和性质,难点是根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小。

幂函数模型在生活中是比较常见的,学习时结合生活中的具体实例来引出常见的幂函数。组织学生画出他们的图象,根据图象观察、总结这几个常见幂函数的性质。对于幂函数,只需重点掌握 这五个函数的图象和性质。

学生已经有了学习幂函数和对象函数的学习经历,这为学习幂函数做好了方法上的准备。因此,学习过程中,引入幂函数的概念之后,尝试放手让学生自己进行合作探究学习。

教学目标:

㈠知识和技能

1.了解幂函数的概念,会画幂函数,的图象,并能结合这几个幂函数的图象,了解幂函数图象的变化情况和性质。2.了解几个常见的幂函数的性质。㈡过程与方法

1.通过观察、总结幂函数的性质,培养学生概括抽象和识图能力。

2.使学生进一步体会数形结合的思想。㈢情感、态度与价值观

1.通过生活实例引出幂函数的概念,使学生体会到生活中处处有数学,激发学生的学习兴趣。

2.利用计算机等工具,了解幂函数和指数函数的本质差别,使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用,从而激发学生的学习欲望。

教学重点

常见幂函数的概念和性质

教学难点

幂函数的单调性与幂指数的关系

教学过程

突破思路

本节通过实例,让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型.通过研究y=x、y=x

2、y=x

3、y=x

1、y=x等函数的性质和图象,让学生认识到幂指数大于零和小于零-

12两种情形下,幂函数的共性:当幂指数a>0时,幂函数的图象都经过点(0,0)和(1,1),且在第一象限内函数单调递增;当幂指数a<0时,幂函数的图象都经过点(1,1),且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线.在方法上,我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质,并注意与指数函数进行对比学习.

合作讨论

问题1:我们知道,分数指数幂可以与根式相互转化.把下列各函数先化成根式形式,再指出它的定义域和奇偶性.利用计算机画出它们的图象,观察它们的图象,看有什么共同点?

(1)y=x;(2)y=x;(3)y=x;(4)y=x.

思路:先将各式化为根式形式,函数的定义域就是使这些根式有意义的实数x的集合;奇偶性直接利用定义进行判断.(1)定义域为[0,+),(2)(3)(4)定义域都是r;其中(1)既不是奇函数也不是偶函数,(2)是奇函数,(3)(4)是偶函数.它们的图象都经过点(0,0)和(1,1),且在第一象限内函数单调递增.

问题2:仿照问题1研究下列函数的定义域和奇偶性,观察它们的图象看有什么共同点?

(1)y=x1;(2)y=x2;(3)y=x-

-121323431-2;(4)y=x-13.

思路:先将负指数幂化为正指数幂,再将分数指数幂化为根式,函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x的集合;(1)(2)(4)的定义域都是{x|x≠0},(3)的定义域是(0,+);(1)(4)是奇函数,(2)是偶函数,(3)既不是奇函数也不是偶函数.它们的图象都经过点(1,1),且在第一象限内函数单调递减,并且以两坐标轴为渐近线.

思维过程

研究幂函数时,通常先将负指数幂化为正指数幂,再将分数指数幂化为根式(幂指数是负整数时化为分式);根据得到的分式或根式研究幂函数的性质.函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x的集合;奇偶性和单调性直接利用定义进行判断.问题1和问题2中的这些幂函数我们要记住它们图象的变化趋势,有利于我们进行类比.

例题讨论函数y=x的定义域、值域、奇偶性、单调性,并画出图象的示意图.

思路:函数y=x是幂函数.

(1)要使y=x=x有意义,x可以取任意实数,故函数定义域为r.

(2)∵xr,∴x2≥0.∴y≥0.

2(3)f(-x)=5(-x)=x=f(x),25252552

52∴函数y=x是偶函数;

(4)∵n=252>0,525

∴幂函数y=x在[0,+]上单调递增.

由于幂函数y=x是偶函数,25

∴幂函数y=x在(-,0)上单调递减.

(5)其图象如下图所示. 25

新题解答

例1比较下列各组中两个数的大小:

(1),;(2),;(3)(-)

-23,(-)-23.

解析:(1)考查幂函数y=x的单调性,在第一象限内函数单调递增,∵<,∴<,(2)考查幂函数y=x的单调性,同理>.

(3)先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数,∵(-)

∴(-)-2323353532=-23,(-).

-23=-3,又-23>-3,->-

3点评:比较幂形式的两个数的大小,一般的思路是:

(1)若能化为同指数,则用幂函数的单调性;

(2)若能化为同底数,则用指数函数的单调性;

(3)若既不能化为同指数,也不能化为同底数,则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小.

例2设函数f(x)=x3,(1)求它的反函数;

(2)分别求出f1(x)=f(x),f1(x)>f(x),f1(x)<f(x)的实数x的范围. -

解析:(1)由y=x两边同时开三次方得x=3y,∴f(x)=x.

(2)∵函数f(x)=x和f(x)=x的图象都经过点(0,0)和(1,1).

∴f1(x)=f(x)时,x=±1及0; -3-

1133-1

在同一个坐标系中画出两个函数图象,由图可知

f1(x)>f(x)时,x<-1或0<x<1; -

f1(x)<f(x)时,x>1或-1<x<0. -

点评:本题在确定x的范围时,采用了数形结合的方法,若采用解不等式或方程则较为麻烦.

例3求函数y=x+2x+4(x≥-32)值域.

解析:设t=x,∵x≥-32,∴t≥-2,则y=t2+2t+4=(t+1)2+3.

当t=-1时,ymin=3.

∴函数y=x+2x+4(x≥-32)的值域为[3,+).

点评:这是复合函数求值域的问题,应用换元法.

变式练习

1.函数y=(x2-2x)

-121525152515的定义域是()

a.{x|x≠0或x≠2}

b.(-∞,0)(2,+∞)

c.(-∞,0)][2,+∞]

d.(0,2)

解析:函数可化为根式形式,即可得定义域.

答案:b

2.函数y=(1-x2)的值域是()

a.[0,+∞]

b.(0,1)

c.(0,1)

d.[0,1]

解析:这是复合函数求值域问题,利用换元法,令t=1-x2,则y=t.

∵-1≤x≤1,∴0≤t≤1,∴0≤y≤1.

答案:d

3.函数y=x的单调递减区间为()

a.(-∞,1)

b.(-∞,0)

c.[0,+∞]

d.(-∞,+∞)

解析:函数y=x是偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,由对称性可知选b.

答案:b 252512

4.若a<a12-12,则a的取值范围是()

a.a≥1

b.a>0

c.1>a>0

d.1≥a≥0

解析:运用指数函数的性质,选c.

答案:c

5.函数y=(15+2x-x)的定义域是()

a.5≥x≥-3

b.5>x>-3

c.x≥5或x≤-3

d.r

解析:由(15+2x-x2)3≥0.

∴15+2x-x<20.∴-3≤x≤5.

答案:a

6.函数y=1x2-m-m2在第二象限内单调递增,则m的最大负整数是________.

解析:m的取值应该使函数为偶函数.故m=-1.

答案:m=-1

47.已知函数y=15-2x-x.

(1)求函数的定义域、值域;

(2)判断函数的奇偶性;

(3)求函数的单调区间.

解析:这是复合函数问题,利用换元法令t=15-2x-x2,则y=4t,(1)由15-2x-x2≥0得函数的定义域为[-5,3],∴t=16-(x-1)2[0,16].∴函数的值域为[0,2].

(2)∵函数的定义域为[-5,3]且关于原点不对称,∴函数既不是奇函数也不是偶函数.

(3)∵函数的定义域为[-5,3],对称轴为x=1,∴x[-5,1]时,t随x的增大而增大;x(1,3)时,t随x的增大而减小.

又∵函数y=4t在t[0,16]时,y随t的增大而增大,4∴函数y=15-2x-x的单调增区间为[-5,1],单调减区间为(1,3].

2答案:(1)定义域为[-5,3],值域为[0,2];

(2)函数即不是奇函数,也不是偶函数;

(3)(1,3].

规律总结

1.在研究幂函数的性质时,通常将分式指数幂化为根式形式,负整指数幂化为分式形式再去进行讨论;

2.对于幂函数y=x,我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性,由此确定图象的位置,即所在象限,其次确定曲线的类型,即<0,0<<1和>1三种情况下曲线的基本形状,还要注意=0,±1三个曲线的形状;对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆:“正抛负双,大竖小横”,即>0(≠1)时图象是抛物线型;0<<1时图象是横卧抛物线型. <0时图象是双曲线型;>1时图象是竖直抛物线型;

20 281623
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