小数乘法教学反思优质4篇

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小数乘法教学反思【第一篇】

上过五年级“小数乘法”一课的教师，都有一种很深的体会：在列竖式笔算时，学生关于数位的对位问题总是一知半解。列×3的竖式，多有图1、图2两种样子，谁也无法说服谁。还有的学生实在搞不清楚，就想出了如图3的列式。其实不难想象，出现这些问题，正是受到小数加减法列竖式要求数位对齐的负迁移。尽管教师多次强调小数乘法列竖式要末位对齐，但当学生坚持说图1也没错时，教师也显得有些无可奈何了。很明显，图4～图6也说明，在列竖式的过程中学生很难摆脱小数的束缚，带来的后果是，要么算错，要么算不下去。

我们知道，整数乘法的竖式与它的横式思考方式是一样的，都是运用乘法分配律。例如32×14就是4个32与10个32的和，列竖式也正是这样的过程体现。但是到小数就有点不一样了。其实×14也完全可以想成4个与10个的和（从算理上讲，列竖式这样去想也是对的，如图5），但是真正在列竖式时我们却把它们当作整数乘法去推算的，中间过程并不会出现小数。如果认可了图5的正确，那么像图4这样的错误率就更高了。

教师引导学生把小数乘法转化为整数乘法来算（图7），也一起分析了算理，但学生的视觉“告诉”他，这样做“很不和谐”：小数相乘中间过程却是整数，到最后又是小数。所以“小数乘法”教学的真正难点是帮助学生越过这个坎。教师对此一般的做法就是“充分感受、正面强化”，笔者以往也一直都是这样操作的。但是学生升到六年级之后再去问他们，为什么图7竖式中间过程没有小数？他们多是含糊其辞，最后总是以“以前老师是这样教的”来结束问答。于是笔者大胆设想，不妨把小数乘法直接改成整数乘法（在列竖式之前），用列整数乘法竖式进行推算（如图8），效果是不是会更好呢？

二、设计过程及前后比对

设计第一稿

在正式决定上这节课之前，笔者对本课教材进行了分析，也进行了多版本教材间的比对，发现了一些共同的地方：一般都在具体情境中引出小数乘法算式，用多种方法思考答案（如转化成加法算、转化单位算、数形结合算等），通过积的变化规律进行算理分析，最后是熟练巩固。遵循这样的思路，笔者设计了教学的第一稿。

（一）复习铺垫

1.出示图9，请学生快速口答。

2.说算法：说说速算的办法。（小数点位置移动引起小数大小变化）

3.环节过渡：×3是否也与小数点位置移动有关？

（二）新授展开

1.给算式×3赋予一定的现实情境（市场里买东西，西红柿元/千克）。

重温数量关系：单价×数量=总价。

2.讨论交流，用学过的方法求出×3的答案。（强调：已学过）学生中一般会出现以下几种方法：

（1）转换算法，用加法做――点拨小数乘法的意义。

（2）转换单位，化元为角――化成整数算。

（3）分解小数，分步计算――运用乘法分配律。

3.尝试用竖式计算，使过程更简洁。一般学生中会出现两种情况（见图10）。

4.找出两种方法的共同之处：都是将3与3、5分别相乘。引导发现与之相关的整数乘法算式（见图11）。从运算角度进行算理分析。

5.及时巩固，强调照样子写出思考过程（图12：×4，×3）。

6.重点讨论：左右两个竖式“保留哪一个”，明白用整数乘法竖式可以解决小数乘法计算的道理。

7.即时练习两道题，特别是两位数乘两位数（×5，×42）。

（三）练习巩固

1.基础练习：口算6道题，强化算法。

2.实践应用：出1道关于解决问题的题目，关注小数末尾去零的问题。

3.拓展提升：同一个竖式可以解决许多小数乘法计算的思考分析。

按照这样的教学设计经过两次课堂试教以后，笔者发现了一些问题。

问题一：在新授展开的第一步，请学生用学过的方法求出×3的答案，学生似乎并不领会，计算这个答案似乎仅凭经验或直觉就可以得到（学生有太多的购物经验了），不需要什么方法。在笔者的一再要求下，转换方法、转换单位、分解小数用分配律算等方式总算都呈现出来了，但总体感觉是算法多样化并没有给学生带来多少课堂兴奋。

问题二：在新授展开的第四步，要求学生从运算的角度进行算理分析时，课堂也比较沉闷。因为前面已经知道这个答案了，为什么还要这么复杂地分析来分析去。学生大多对此表示不理解。

问题三：在新授展开的第六步，笔者意在通过分析与讨论，让学生接受用整数乘法可以推算小数乘法，因此在列竖式时直接列成整数乘法竖式就行。但笔者的良苦用心学生并没有领情。到最后笔者只能强调，右边整数乘法这个竖式其实就是我们很重要的思考过程，在计算时只要保留这一个过程即可，随即把左边的竖式隐去。

问题四：在新授展开的第七步出现了课堂生成，既是问题也是契机。学生在列×42的竖式时，出现了两种竖式，这说明有些学生还没有真正接受前面的知识。列图13的学生很快算出了答案，列图14的学生一直在嘀咕――怎么算呀，我哪写错了。于是笔者进行了干预：“像图14的算法，如果没有列成整数乘法的竖式，大家看看，是不是出现问题了，这位同学算不下去了。请下面哪位同学来帮一下，稍加改动，他就会明白了。”于是有学生上来将竖式中出现的小数点擦去，也算出了，笔者真的很无奈。

良好的设计意图并没有达成理想的教学效果，是需要反思的。回到教材，对比教材中的示例（例1：×3与例2：×5）。例1主要是在具体情境下理解不同的算法（有单位支撑），例2是脱离了具体情境，运用转化整数的方法，从积的变化规律的角度去进行分析的，并且这两个例题所出示的具体算式是不一样的。而笔者在自己的教学设计中，试图将例1与例2通过同一个材料×3给以集中体现，学生显得有些思维疲倦。在知道答案的情况下还要进行不断的思考分析，让学生提不起精神。反思整个设计，总的来说学习材料缺少吸引性，思考力度缺少挑战性，教师给予的多，学生体验的少。笔者想重点体现的“用整数乘法（竖式）推算小数乘法结果”这一核心思想并没有出自学生主动的发现与积极的感悟，多的是“被发现”与“被灌输”。为破解问题，笔者进行了重新设计。

设计第二稿

（一）复习铺垫

口算

（设计意图：三组题逐一先后出现，图15因为数据简单，学生可以直接算答案，也可以根据积的变化规律算，图16迫使学生自觉地运用积的变化规律算，图17更抽象，在54还没给出之前是算不出来的，给出54以后，有学生会去想是多少，然后再进行填空计算，有的学生会沿用积的变化规律填空，这样的学习面向的是全体学生，又伴随着不断地“发现”，他们会体验这种“发现”的乐趣，这是用数学本身去吸引学生。）

（二）新授展开

1.口算。

6组题逐一先后出现，特别在图18、图21、图22、图23处作重点展开讨论。

（1）讨论图18：学生受到前面复习的迁移能很快算出×3的答案，教师反问：以前整数乘法里我们会运用积的变化规律，难道小数乘法也适合用积的变化规律？你能说明理由吗？由此学生将主动寻找各种算理来说明问题。方法主要也是前面第一稿中讲到的“转换为加法”“借用或转换单位”“分解小数用乘法分配律”等方法，但是这种学习状态是积极的，因为他们想努力证明自己的“猜想”是正确的，是为自己找理由。这里教师重点写出35―、105―这两个数之间的关系。

（2）讨论图21：这里有一个数未知，你竟然也算得出答案？这样的提问一下子将学生的地位抬高了，他们的解释是积极的、愉快的，因为他们觉得自己“很有能耐”。

（3）讨论图22：这题上下要反着出。先出×14=，然后提问，你想知道哪个整数乘法算式？根据学生的要求，教师再给出315×14=4410，学生很快就推算出答案，并主动给出推算的过程。教师重点写出315―，4410―这两个数之间的关系。

（4）讨论图23：继续图22的方式，上下两题反着出，先出×13=，然后提问，你想知道哪个整数乘法算式？学生提要求，但教师只给出642×13=，并不像图22那样直接告知整数乘法的答案，由此学生的思维与行动将合一指向642×13的竖式解答， 他们会快速算出答案8346，进而推算出小数乘法的正确答案。学生在计算答案的过程中体会到了学习的快乐。

2.小结提炼。

（1）呈现板书并交流。

（设计意图：小数乘法通过整数竖式推算出来，此时已是学生积极主动的行为，无须强调，教师只需追问一下学生：你是怎么想的？进而将扩大、缩小的倍数关系补充完整，让思维外显出来。然后重点强调，以后这样的小数乘法计算我们就可以通过整数乘法竖式将它推算出� 整数乘法这个老朋友可以帮助我们解决小数乘法这一新知识，随后与下一环节中的巩固练习相衔接。）

（三）练习巩固

1.基本练习，注意写竖式过程与书写格式。

2.算用结合，解决实际问题。

3.拓展提升，引导学生思考同一个整数乘法竖式可以解决许多小数乘法问题。

重新设计的“小数乘法”一课，经过课堂检验，顺利地解决了第一稿设计中存在的问题。学生在课堂中时而紧张、时而愉悦、时而兴奋，专注力很高。教材中强调小数乘法的计算结果一般要舍去小数末尾的0，这作为一个知识点，在传统的课堂教学设计中，教师讲了多次，还是会有学生忘记。有的学生搞错了先后顺序，先去掉了末尾的0，再添小数点。而在笔者的教学设计与课堂实践中没有任何提及，学生很自觉地省略了，这是一个很意外的发现。仔细想�

三、写在最后

在文中，有一问是值得我们关注的：以前整数乘法里我们在运用积的变化规律，难道小数乘法也适合用积的变化规律？笔者以为，这种规律的迁移是否合理虽然不需要证明，但需要讨论，就像整数加法交换律、小数加法交换律、分数加法交换律，虽然难度很小，但教材都安排了新课，因为在学生看来，整数与小数毕竟长得不一样。这也就是为什么全体学生并非一下子都能想到“将小数乘法转化为整数乘法最后将答案进行推算”的最重要的原因。

多少年下来了，我们都是那样教、那样学的，难道“传统”不对？改变教学方法，笔者无意“挑战”传统，只为帮助学生解开心中的那个谜团，为他们寻求“更适合学”的有效途径。期待同行讨论。

小数乘法教学反思【第二篇】

《小数乘法的意义》一课是义务教育新课标教材中四年级的教学内容，它是在整数乘法意义的基础上的进一步扩展，其教学目标是引导学生通过具体情境和实际操作，了解小数乘法的意义，并能结合意义计算简单的小数乘整数的得数。教材在编排上注意体现新的教学理念，设计了丰富的生活背景素材，为学生主动从事观察、提问、计算、合作、交流等数学活动，提供了大量的信息，满足了学生多样化的学习需求，同时也让学生感受到数学知识与日常生活的密切联系。教师在教学中要引导学生认真观察，积极思考，主动提出问题，置学生于开放的情景活动之中，让其自主探索解决问题的策略，使学生的数学思维能力和创新精神得到培养。

片断一：创设购物情境，启发学生提出问题。

师：同学们喜欢逛超市吗？一起到超市去看看。（出示情境图）

看到了什么？能提出哪些数学问题？

生1：每根棒棒糖元，3根棒棒糖多少元？

生2：每包饼干元，买4包饼干多少元？

生3：每包方便面元，买2包方便面多少元？

生4：每千克苹果元，买千克苹果多少元？。

……

师：这些问题就作为这节课研究的内容。

反思：数学来源于生活。从学生的生活经验和已有的知识出发，将数学活动与他们的生活、学习实际相连，创设购物的生活情境，引导学生进行观察、思考，让他们从生动、具体的背景材料中去发现、去探索与之相关的数学问题，这不仅能够较好地激发学生的学习兴趣和求知欲望，而且能使他们积极主动地参与数学活动，自觉地用数学的思维方式来观察和解决生活中的实际问题。

片断二：自主探索、合作交流、建立数学模型

生：独立思考以上问题、探索研究

师：汇报交流

生1：第一个问题，列式×3，因为每根棒棒糖元，3根棒棒糖就是3个，这和整数乘法意义相同，所以用乘法计算。

师：×3等于多少呢？

生1：我用3个相加，＋＋=元。

生2：我是这样想的，=2角，2×3角=6（角）=元。

生3：我用的是画图的方法：一个正方形代表1元，平均分成10份，每份就是元，每根棒棒糖元，就涂2份，3根就涂6份，也就是元。

生4：从他们的计算结果中，我发现了一个规律，可以直接用整数乘法计算，再看因数中有一位小数，积就有一位小数。

师：厉害！这位同学还发现了计算的规律，这对于今后的学习是很有帮助的。

生5：我选择的是第四个问题，我想每千克苹果元，这是苹果单价，千克是苹果的数量，根据单价×数量=总价，列式为3×。

师：那么怎样算出它的得数呢？

生5：1千克苹果是3元，千克就是元，合起来就是元。

生6：也可以用++=（元）

生7：先用3×15=45，再看因数中有一位小数，所以积也有一位小数，即元

……

反思：教师重视学生自主探究发现的过程，放手让学生自由地思考，探究计算方法，对于×3＝，3×＝，同学们利用自己的生活经验和已有知识，用自己的思维方式，积极主动地去尝试，不同的学生用不同的想法解决问题，可谓殊途同归。在探究过程中，由于学生已从他人的思想方法中得到启发，他们都能利用连加的方法，单位换算成整数计算的方法，以及用几何模型涂一涂的方法来计算小数乘整数的结果，进一步理解小数乘法的意义。教师能尊重学生的不同想法，并鼓励学生大胆发现规律，应用规律，只有学生亲自经历探索过程而发现数学知识，才会印象深刻，掌握牢固，运用自如，同时思维的主动性和创造性才能得到充分的发挥，才能体验到经过努力获得知识的成功的喜悦。

片断三：运用新知识，深化理解，拓展延伸

师：（第4页第2题）说一说这几道小数乘法算式的意义。

生1：×4表示4个是多少？

生2：5×表示5个是多少？

……

师：谁能说明每幅图所表示的意思？

生：每个正方形代表“1”，平均分成10份，每份是，平均分成100份，每小格代表。

师：让学生动手涂一涂，填写得数）

师：从涂的结果发现了什么？（全班反馈）

师：我们知道了×10＝，×100＝1,那么×1000＝?

生：×100＝1,那么×1000，结果扩大10倍得10。

师：你能计算6×吗？请在小组内与同学交流你的想法。

生1：＋＋＋＋＋=15

生2：6×2＝12，6×＝3，12＋3＝15

……

师：在我们的生活中到处都有小数乘法，请同学们课后找找这样的例子，把你找到的结果写到数学日记里。

反思：教学既要注重过程，也要注重结果，所以必须及时有效地搞好课堂训练。在这个环节中，我设计了多层次练习，从多种角度训练学生运用所学知识解决生活中的实际问题的能力。通过实际操作涂一涂，不仅有助于进一步理解小数乘法的意义，同时体现了数和形的结合。鼓励学生自己在生活中寻找能用小数乘法解决的问题，写下有意义的数学日记，做到了数学来源于生活，又应用于生活。

总之，将教学内容放置在具体的生活情境中，给学生创造结合实际提出问题和进行探索的空间，是这个教学案例的突出特点。借助“购物”情境，让学生提出小数乘法的计算问题，使学生体会到小数与日常生活的密切联系，并组织学生自主探讨，合作交流小数乘法的意义及计算方法，使一个“枯燥”的内容变得丰富多彩。在探索中，鼓励算法多样化，尊重学生的选择，教师真正是为了学生的学服务，为学生独立思考，敢于创新提供了空间。

小数乘法教学反思【第三篇】

关键词：知识迁移；能力飞越；教学反思

中图分类号：G427 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）21-066-2

引言

本学期我执教五年级数学，作为一个刚从事数学教学的年轻教师来说，我不敢丝毫懈怠，所以利用暑期时间，我将本册教材进行了解，做到心中有数。当接触“小数乘法”这一章节时，我在心中便有了一个大胆的想法：整数乘法学生在四年级已经学过，而小数乘法的算理也如出一辙，根据知识迁移的原理，教学时何不让学生自己去探索解决呢？所谓“迁移”，最主要的一点是要找准新旧知识间的“连接点”，以达到新旧知识的顺利过渡，降低学习的难度。

一、立足学生已有经验，设置问题情境，为促进迁移奠基

小数乘法实则按照整数乘法的算理来进行计算，最后再按照积的变化规律点上小数点。而整数乘法相关的知识，学生们并不陌生，所以，课的一开始，我便让学生列式计算24*15=（360）。一生到黑板上板演，其余独立完成，再集体订正并回顾整数乘法的算理。紧接着，我说：“不计算，知道240*15=（ ）？”学生们马上一口报出得数3600！又问：“你们是怎么知道的呢？”生：“积的变化规律！”引导出自己想要的答案，我也兴奋起来：“谁能具体说说积的变化规律呢？”顿时，班里像炸开了锅一般，大伙都争先恐后的发言，我很欣慰，因为这样的复习已经开了一个好头，打铁趁热：“积的变化规律真管用，那么*15=（ ）？”生：“一个因数不变，另一个因数缩小10倍，积也要缩小10倍，得36。”

反思

迁移依赖的是知识间的共同因素，教学新课时通过复习铺垫，挖掘出新旧知识的共同点，导出新知识，再运用旧知识学习新知识。

学生认知结构中已有学习内容既是以前学习的结果，又将成为以后学习的联系点，因此，在讲新知识之前对已学内容进行复习巩固，可为发生“正迁移”打好基础，自然地过渡到新课，这样就分散了难点，突出了重点，便于新知的掌握。这正好符合论语的名言：温故而知新，可以为师矣。因此，对已学知识进行适当的整理，在其中掌握适当的方法，对新知识的掌握有事半功倍的效果。

二、通过知识间的联系，锻炼数学思维，让学生由此及彼

紧接着，我并没有按书中的步骤教学例1，而是直接教学例2：*5= .题目一出示，我并没有强调要求如何计算，而是让他们小组进行讨论，互相交流计算方法。很显然，由于之前的复习唤醒了学生关于整数乘法的记忆，学生很快便想到可以先计算72*5=360，再缩小到它的1/100，得。根据小数的基本性质，去掉小数末尾的0，小数的大小不变，最终得。对于他们的理解，我给予了肯定的鼓励：“你们真厉害，都能根据整数乘法的方法来计算小数乘法啦！”由于抓住了问题的核心，我便开始带领学生一起观察该题的竖式板书，并进一步理解、梳理小数乘法的算理。

反思

知识迁移的实质是基本概念和基本规律的迁移，也就是原有知识结构对新的学习内容的影响。小学数学内容是一个前后有序，又不断发展的整体。从学生的认识规律看，知识的形成和掌握也往往在旧知识的基础上引出新知识，并使新知识相互沟通，从而达到促进迁移，发展智力，形成能力的作用。

小学生有极大的智慧潜力，只要教师及时引导，小学生的潜能同样可以充分发挥。都知道，“教”的目的，最终是为了“不教”。教师对知识的“重组”“转换”“转移”，不但可使学生把新旧知识联系起来，而且可以增强学生的智慧潜力，锻炼他们的思维。

就本节课而言，这样使小数乘法的算理在学生原有认识结构中“落脚”，使乘法计算得到扩展深化，形成新概念。

三、通过新旧知识的对比，突出教学重难点，顺利实现正迁移

教学中，对于小数乘一位整数的计算，学生们掌握较好，但计算*12，诸如此类的多位数时，列竖式时出现了每一步都带小数点，最终导致错误的结果。学生貌似理解了小数乘法的算理，实则不然。所以我便因势利导，来个将错就错，就以此题为例，再一次引导学生分析这题的算理：将扩大到它的10倍为23，再按23*12来计算，并适时提问：“既然是按照整数来计算的，那么列竖式过程中需要点小数点吗？”（经过这么一点拨，学生顿悟）直到最后算出积后再点上小数点。

积的小数点的确定既是本章的教学重点，又是一个难点。在实际作业操作中，有的学生按积的变化规律来确定，也可以直接数因数中一共有几位小数，再从积的右边起数出几位，再点上小数点。对于后者，关键在于适当弱化积的计算过程，突出寻找积的小数位数与因数的小数位数的关系，以保证学生思维的高效性，也避免计算枯燥无味的感觉。

到这里，新知识的学习便告一段落了。我提问：“小数乘法与整数乘法究竟有什么相同与不同之处呢？”这一问题无疑是对小数乘法与整数乘法的总结性对比，找准二者的“连接点”，以及辨析新知的不同之处，达到再次巩固教学重难点的效果。

反思

心理学研究表明：对比可抗干扰，加强对易混知识的比较，有利于排除干扰，加深对某些相关概念的认识和理解，使易混知识在学生头脑中彻底分化。就本节课而言，当学生能很好地找出小数乘法与整数乘法的异同时，那么我所设定的教学目标也基本达成了，学生也顺利实现了新知识的正迁移。

四、分层分类的练习，巩固内化知识，促进能力的提高

一种数学知识的习得还必须经过大量的练习来巩固。而“算”更应该在本章的教学中得到很好地贯穿。

虽然，之前学生大多能掌握“算理”，说起算理也是头头是道，但在具体的作业过程中，又让我看到了“百花齐放”式的错误。面对这些错误，我反而要感谢它们适时的出现。因为学生对一种新知识的掌握正是需要经过懵懂出错纠正练习熟练掌握这一系列过程的碰撞和磨合。因而，从学生的错误中，我得到了很多关于重点知识与难点知识的反馈，这样可以让我有针对性地进行诊治，并达到巩固强化的效果，顺利实现知识的内化。例如：

第一，突出积变化的规律。 在教材中积变化的规律是新知，在教学中我却将它当做复习，引导学生充分理解一个因数不变，另一个因数扩大（缩小）多少，积就会扩大（缩小）多少。并引导学生直接运用这一规律计算出例2中的*5，感受规律的正确性。

第二，突出竖式书写的格式。 如计算*时，出现了将小数点对齐来计算。导致小数乘法的对位与小数加减法的对位相混淆，这时抓住小数点为什么不对齐来引导思考：我们已将扩大100倍得135，扩大10倍得12，计算的是135*12，所以应根据整数乘法的计算方法计算，最后还得将积缩小到它的1/1000。同样，对于竖式过程中点小数点，也可以从算理的角度去解决。

第三，突出小数位数的变化。 小数位数的变化是本节课的一个难点，按照整数乘法的方法去计算，最后根据积变化的规律或者数因数的小数位数来确定积的小数位数，这样学生掌握较好。但不计算来直接判断积的小数位数时，就不能完全按照数因数位数的方法来判断，诸如*，像这样最后一位乘得的积为整十数时，再根据小数的基本性质，省略末尾的0，便不能判断积为三位小数。最终通过计算，让学生意识到并不是积的小数位数和因数的小数位数都是一样的。

反思

小数乘法教学反思【第四篇】

关 键 词 小数乘法；以学定教；整数乘法；改进

作者简介 田兴，绍兴市柯桥区华舍小学，小学高级教师，绍兴县十佳青年教师标兵。研究方向：小学数学教育，学校行政管理。钱建军，绍兴市柯桥区华舍小学，中学高级教师，绍兴市教坛新秀。研究方向：小学数学课例研究。

中图分类号： 文献标识码：A 文章编号：1671-0568 （2014） 31-0120-04

一、问题的描述

“由教导学”或“以学定教”一直是教学研究的两条重要视线。现代教学论认为，教师的教学主导性应该建立在学生学习主体性基础之上，由“学法”研究“教法”可以使教学更加有效。我们通过研究错因，分析学情，有效确定教学的方法和策略，让学生从“未知”向“已知”自然顺利地过度。

笔者曾参加一次教研活动，听课内容是人教版五上年级《小数乘整数》，学生在练习时普遍出现这样的问题（如图1），教师讲道：小数乘整数的计算方法，是把小数乘法转化成整数乘法计算，最后再处理积的小数点，因此竖式计算的中间过程应该是两个整数，而不是像那样的小数。随即要求学生把这个小数点擦去（如图2）。尽管这样强调，还是有不少学生在作业中出现了像图3类似的问题。

二、问题的分析

1. 学生访谈――不能自圆其说。为探明原因，笔者根据图3做了学生访谈。

师：中间过程你为什么还是在写小数？

生1：因为是小数乘法呀，我觉得写小数才算是小数乘法，写整数就不是小数乘法了。

生2：我觉得像图2肯定不对，128+32怎么可能等于呢？

师：像你这样也不对呀，+也不等于呀。况且你上下两个数位也没对齐，怎么算呀。

生2：我不是根据上面算出来的，而是因为因数扩了10倍，所以积要缩小10倍。

从访谈中可以知道，学生的想法很简单，有一定的合理成份。但访谈也发现他们的思维角度是不一样的。有的学生观察竖式是从上往下，正是这种观察使他们觉得“有问题”。有的学生算出448后，不再理会计算过程了，根据推理得出结果。但当引导他们进行上下观察时，他们又觉得很不可思议，已全然不顾数位对齐的规则，很难自圆其说。

2. 教研组分析――峰回路转。在计算过程中还是出现小数是由于学生还不能够完全把小数乘法转化为整数乘法计算，这可能与教师的教学方法有关。我们依据的是运算概念，即积的变化规律进行教学的（教材示例如图4）。这样扩大、缩小的过程可能还是比较抽象的，我们是不是能想想别的办法。

经过分析与文献查阅，利用数概念教学也是一种办法，把一位、两位……小数进行单位换算，转化成几个，……的形式，这样小数乘法与整数乘法就上位统一了，他们都是在求“几个几”，只是计数单位不同而已。如像×3就是2个×3=6个，再利用几何直观（如图5）学生必定把目光锁定在整数部分了。这样一种新的教学思路就形成了。

令人遗憾的是，教研组用第二种思路设计的教学，还是出现了老问题。我们把目光重新转回到教材给出的示例（图4）。结果中的是对于乘数是一位数――“5”来说的，如果乘数“5”改为“15”，那么这个作为×15其中×5的第一步过程，为什么就不可以了呢（图6）？5的前面多了一个1（实际为10），那就在的基础上继续做下去，怎么就错了呢？我们觉得这种分析与前面的学生访谈就比较匹配了。教材中只给出了乘数是一位数的示例，作为一个结果，学生很容易把它想成是两位数乘法中的一步过程。所以真正的问题不是在于“把小数乘法转化成整数乘法”，而是在于“乘数是一位数与乘数是两位数”在书写过程中的不同。因为所有乘数是一位数的“小数乘整数”学生都能做对，当变成两位数就错误百出了。

3. 深度追问――柳暗花明。造成学生心理困惑的根本原因是什么？不经意间，笔者听到了竖式笔算的过程口述，对“等于”、“横线”引起了注意。在学生心目中，竖式中的一条横线就是一个等号。在一步计算时，横式与竖式是一一对应的，许多教师就把×5的竖式过程读成零点七二乘五等于三点六零，这样小数乘整数，结果还是小数。在两步计算中，×15竖式过程（图7）写成了两个整数36 0与72，把这两个整数相加结果却“等于”一个小数（答案），在他们眼里是有违常理的。所以他们会非常自觉地在竖式过程中添上小数点以弥补心理的不安，即使是乱点小数点也总要比不点强。因此，出现像前面图3那样的错误也就不足为奇了。

那么竖式中的一条横线是不是“等于”符号？笔者访谈了几位教低年级的数学教师，他们都认为就是“等号”，以前在教学中他们都是这样说的。这种认识在一步计算时似乎发现不了问题，但两步以上的竖式问题就出来了。笔者在人教版新课标教材第三册教科书P 27找到了一个连加示例（图8）：如果竖式中的横线是等号，那么把竖式改写成横式就变成28+34=62+22=84，这也是学生常犯的一种错误，因为这三部分是不相等的，在连减或加减混合竖式计算中也如此。如果“_____”是“等号”，那么它应该有一种独立性而不是依附于某种“背景”。当我们把竖式中的各种成份都隐去，只剩下“_____”时，再让大家来认一认，恐怕没有人 看来这条横线只是表示一种间隔或是一种趋向（图9）。

三、在思考中不断改进

顺着上面的思路来，通过对比横式中的“连等号”，让学生重新认识竖式中“_____”这个符号的意义，对于突破教学难点似乎是一种办法。因为至少从理论上我们可以自圆其说了。但是对于刚学完四年级小数加减法竖式笔算升到五年级的学生，“小数点对齐”，“数位对齐”观念实在太根深蒂固了，实际上他们从二年级正式学加减法竖式时就开始有这样的强化了。即使是列一个普通的×3的竖式，在他们的心目中也应该是3与3对齐。笔者也拿这个题目“考查”了办公室同事（有十年教龄的英语老师），她竟然也这样列式。况且依照上述的教学办法又会形成一个很有意思的怪论。×15竖式计算我们一般是这样说的：把零点七二的零点（去掉）不看，记在心里，先用七十二乘十五，乘得的积缩小一百倍进行还原。再看四年级孩子解答多步计算题（图10-11），问他为什么这样算？他说先不去管15，把它记在心里，算出66后，再把它写出来。问五年级孩子解方程的第一步和第二步时“3”去哪里了？第三步怎么突然又出来了？他会说，我把3先记在心里了。 当四年级的时候我们不允许他把“15”记在心里，五上年级学小数乘法时，我们需要把小数记在心里，而后面单元的解方程，我们又不允许他把“3”记在心里了，学生简直是懵了。

在传统教学中，我们根据积的变化规律先得出这个结果（图12），然后再去反思竖式的中间过程该怎么写，在这个环节中教师通常只能实行接受性教学，让学生记住书写规则。而这样的教学所带来的后果是学生在解释原因时，还是不明不白。只会讲“我们老师是这样说的”。

有效的教学行为应该是顺其自然，以学定教。笔者主张废弃小数乘法竖式笔算，直接用整数竖式计算，进而推算小数乘法结果（如图13），理由如下：

1.改进后的教法属于“老朋友解决新问题“，学生更觉亲近。对大量学生的调研表明，在没有任何教学暗示的前提下，不少孩子是可以用笔算“正确解答”一位小数乘整数的“积”，尽管上下位置对得不一样（图14）。在说明算理的时候他们也会自觉运用积的变化规律。并且统一用整数竖式笔算推算小数乘法结果，所用的数学思想方法也是转化，并没有发生变化。

2.改进后的教法思维与操作相和谐，视觉更清晰。对竖式的计算过程我们通常是通过横式进行算理分析的。例如在整数乘法的竖式过程中（如图13），32×14根据乘法分配律可以得到32×4+32×10=128+320=448，这个过程与竖式相匹配。但是当小数出现时，就变成似是而非了（图15）。从算理来讲，×14=×4+×10=+32，应该写“却不让写”，这是条件算理与竖式过程不匹配。当两个“整数”相加却最后变成了小数，这是竖式过程与结果不匹配。改进后的教学方法避免了因思维与操作在视觉表现上过于胶着而带来的算理不清，计算过程显化、清晰。算到最后根据整数计算结果推算小数计算结果也是原来传统做法的必经之路，并没有增加难度。

3.改进后的教法更加突出数学本质。我们可以从单位转化的角度进行理解：×14=32××14=32×14×=32×14× 原本的小数乘小数到最后就转化成了整数乘整数，然后再添加一个单位。

如果从积的变化规律角度进行分析，稍加点拨，学生就能自然地得出小数乘法的结果，这种能力表现为在横式推算上他们觉得更轻松。例如当告知32×14=448，要求如下答案，学生一般总能搞定： “ 320×14= 32×= ×14= 32×= ×14= 32×=”一些中上生甚至可以在《小数乘整数》第一节课结束后就能推算像“×， ×”小数乘小数的计算结果。一道乘法算式能解决那么多的小数乘法题目，直接用整数乘整数解决小数乘法，更加可以突出数学本质。

四、写在最后

笔者根据这个观点进行教学设计，在多个班进行试教都比较成功。听课教师纷纷表示：

1.这样教学生是真懂了，以前的教学只是记住了教老师的要求。

2.这样做突出了心算，有一个好处是学生对于去掉小数末尾的0会更主动自然一些。如图17：当算出270以后，学生紧跟着是一步是除以10。这样原本末尾有0的答案都会因除以10，100…自动抵销掉。所以去掉小数末尾的0对于“教”的要求就少了许多。按照传统的教学，学生还会有一种非常典型的错误：先去掉了末尾的0，再添小数点。而按照本案教学，这种问题将不复存在。（这在笔者的课堂实践中得到了充分的证明）

3.考试怎么办？现行课本，作业本中还是传统的题目（如图18）那样，学生可能就不会做了。

笔者以为，教师有第3种顾虑是非常正常的。但进而反思一下，我们是不是可以不考这样的题目？当学生已经会解答小数乘小数的计算了，这样的考法还有意义吗？