初2数学 初2数学知识点总结（精编5篇）

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初2数学1

一、素质教育目标

（一）知识教学点：

1．熟练运用判别式判别一元二次方程根的情况．

2．学会运用判别式求符合题意的字母的取值范围和进行有关的证明．

（二）能力训练点：

1．培养学生思维的严密性，逻辑性和灵活性．

2．培养学生的推理论证能力．

（三）德育渗透点：通过例题教学，渗透分类的思想．

二、教学重点、难点、疑点及解决方法

1．教学重点：运用判别式求出符合题意的字母的取值范围．

2．教学难点：教科书上的黑体字“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当＞0时，有两个不相等的实数根；当=0时，有两个相等的实数根；当＜0时，没有实数根”可看作一个定理，书上的“反过来也成立”，实际上是指它的逆命题也成立．对此的正确理解是本节课的难点．可以把这个逆命题作为逆定理．

三、教学步骤

（一）明确目标

上节课学习了一元二次方程根的判别式，得出结论：“一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当＞0时，有两个不相等的实数根；当=0时，有两个相等的实数根；当＜0时，没有实数根．”这个结论可以看作是一个定理．在这个判别方法中，包含了所有各种情况，所以反过来也成立，也就是说上述结论的逆命题是成立的，可作为定理用．本节课的目标就是利用其逆定理，求符合题意的字母的取值范围，以及进行有关的证明．

（二）整体感知

本节课是上节课的延续和深化，主要是在“明确目标”中所提的逆定理的应用．通过本节课的内容的学习，更加深刻体会到“定理”与“逆定理”的灵活应用．不但不求根就可以知道根的情况，而且知道根的情况，还可以确定待定的未知数系数的取值，本节课内容对学生严密的逻辑思维及思维全面性进行恰如其分的训练．

（三）重点、难点的学习及目标完成过程

1．复习提问

（1）一元二次方程的一般形式？说出二次项系数，一次项系数及常数项．

（2）一元二次方程的根的判别式是什么？用它怎样判别根的情况？

2．将复习提问中的问题（2）的正确答案板书，反之，即此命题的逆命题也成立，即“一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果方程有两个不相等的实数根，则＞0；如果方程有两个相等的实数根，则=0；如果方程没有实数根，则＜0．”即根据方程的根的情况，可以决定值的符号，‘’的符号，可以确定待定的字母的取值范围．请看下面的例题：

例1已知关于x的方程2x2-（4k+1）x+2k2-1＝0，k取什么值时

（1）方程有两个不相等的实数根；

（2）方程有两个相等的实数根；

（1）方程无实数根．

解：a＝2，b＝-4k-1，c＝2k2-1，

b2-4ac＝（-4k-1）2-4×2×（2k2-1）

＝8k+9．

方程有两个不相等的实数根．

方程有两个相等的实数根．

方程无实数根．

本题应先算出“”的值，再进行判别．注意书写步骤的简练清楚．

练习1．已知关于x的方程x2＋（2t＋1）x＋（t-2）2＝0．

t取什么值时，（1）方程有两个不相等的实数根？（2）方程有两个相等的实数根？（3）方程没有实数根？

学生模仿例题步骤板书、笔答、体会．

教师评价，纠正不精练的步骤．

假设二项系数不是2，也不是1，而是k，还需考虑什么呢？如何作答？

练习2．已知：关于x的一元二次方程：

kx2+2（k+1）x+k=0有两个实数根，求k的取值范围．

和学生一起审题（1）“关于x的一元二次方程”应考虑到k≠0．（2）“方程有两个实数根”应是有两个相等的实数根或有两个不相等的实数根，可得到≥0．由k≠0且≥0确定k的取值范围．

解：＝[2（k＋1）]2-4k2＝8k＋4．

原方程有两个实数根．

学生板书、笔答，教师点拨、评价．

例求证：方程（m2＋1）x2-2mx＋（m2＋4）＝0没有实数根．

分析：将算出，论证＜0即可得证．

证明：＝（-2m）2-4（m2+1）（m2+4）

＝4m2-4m4-20m2-16

＝-4（m4＋4m2＋4）

＝-4（m2＋2）2．

不论m为任何实数，（m2＋2）2＞0．

-4（m2＋2）2＜0，即＜0．

（m2＋1）x2-2mx＋（m2-4）＝0，没有实根．

本题结论论证的依据是“当＜0，方程无实数根”，在论证＜0时，先将恒等变形，得到判断．一般情况都是配方后变形为：a2，a2＋2，（a2＋2）2，-a2，-（a2＋2）2，-（a＋2）2，……从而得到判断．

本题是一道代数证明题，和几何类似，一定要做到步步有据，推理严谨．

此种题型的步骤可归纳如下：

（1）计算；（2）用配方法将恒等变形；

（3）判断的符号；（4）结论．

练习：证明（x-1）（x-2）=k2有两个不相等的实数根．

提示：将括号打开，整理成一般形式．

学生板书、笔答、评价、教师点拨．

（四）总结、扩展

1．本节课的主要内容是教科书上黑体字的应用，求符合题意的字母的取值范围以及进行有关的证明．须注意以下几点：

（1）要用b2-4ac，要特别注意二次项系数不为零这一条件．

（2）认真审题，严格区分条件和结论，譬如是已知＞0，还是要证明＞0．

（3）要证明≥0或＜0，需将恒等变形为a2＋2，-（a＋2）2……从而得到判断．

2．提高分析问题、解决问题的能力，提高推理严密性和思维全面性的能力．

四、布置作业

1．教材P．29中B1，2，3．

2．当方程x2+2（a+1）x+a2+4a-5=0有实数根时，求a的正整数解．

（2、3学有余力的学生做．）

五、板书设计

12．3一元二次方程根的判别式（二）

一、判别式的意义：……三、例1……四、例2……

=b2-4ac…………

二、方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)

（1）当＞0，……练习1……练习2……

（2）当＝0，……

（3）当＜0，……

反之也成立．

六、作业参考答案

方程没有实数根．

B3．证明：＝（2k＋1）2－4（k－1）＝4k2＋5

当k无论取何实数，4k2≥0，则4k2＋5＞0

＞0

方程x2+（2k+1）x+k-1=0有两个不相等的实数根．

2．解：方程有实根，

＝[2（a＋1）]-4（a2＋4a-5）≥0

即：a≤3，a的正整数解为1，2，3

当a＝1，2，3时，方程x2＋2（a＋1）x＋a2＋4a-5＝0有实根．

3．分析：“方程”是一元一次方程，还是一元二次方程，需分情况讨论：

（2）当2m-1≠0时，

初2数学2

关键词高等数学；初等数学

一、引言

初等数学知识是学习数学知识的基础，只有学习好了初等数学才能够更好的学习高等数学，所以高等数学是在初等数学基础上的发展与提高。同时考虑到学生接触年龄阶段普遍的思维方式以及接受知识的能力，综合考虑有必要先进行初等数学知识的学习。但是反过来，学习了高等数学以后，可以运用高等数学知识更好地理解和解决初等数学相关知识。

二、高等数学知识在初等数学中的应用实例

不等式的证明是最常见的一种高等数学知识的灵活运用，另外概率法、微积分、齐次线性方程组等高等知识的运用同样使初等数学问题明朗化和简易化。下面简单对其中的几种高等知识运用问题进行实际分析。

1极值问题知识在初等数学中的应用

例1求函数f（x）=x3-3x+3（x>0）的最小值。

解设x0=x-m，则f（x）=（x0+m）3-3（x0+m）+3=x0+3mx20+（3m2-3）x0+3-3m+3m2.

令3m2-3=0，则解得同m等于1和-1，因为x>0，则f（x）=（x-1）3+3（x-1）2+1=（x-1）2（x+2）+1≥1.

所以，当x等于1的时候，函数存在极值，即最小值，最小值为1.

从这个例题中可以看出，运用极值进行问题解答的关键在于把函数展开成一个缺一次项的展开式，在高等数学里可直接使用泰勒级数，但初等数学中就只能采用待定系数法。高等数学的指导意义在于若函数在给定区间内存在极值，则存在使其一阶导数为零的点，因而函数的泰勒级数一定有使一次项系数为零的点存在。而求导的一个初等化方法就是可用待定系数法来达到这一目的。也就是求得使一次项系数为零的常数m.

2利用函数的单调性质证明不等式

利用函数的单调性是一种最常用也是最常见的证明不等式的方法，其有以下几个步骤组成：

（1）对不等式进行变形，使不等号左端或者右端化为f（x）的形式，另外一端等于零（或者等于一个常数），一般来说函数肯定会有一个端点值又或者其数值的正负已经确定；

（2）讨论f（x）的单调性；

（3）根据f（x）的单调性以及端点值，就能够解决不等式的证明问题了。

例2证明当0

证明令f（x）=tanxx，x∈0，π4，则其导数F（x）>0，说明f（x）在0，π4上单调递增，并且可导，那么x=π4时取得最大值，由于x位于分母上不能为零，f（x）那么用无限趋近于零，取得其最小值0.所以当0

通过函数单调性进行不等式的证明关键是构造函数，然后根据其导数函数的符号，有必要的话可以求更高阶导数，其目的是最终确定所构造函数在区间内的单调性，通过求端点值来证明不等式。

3利用向量问题证明不等式

向量的数量积存在性质：a・b=|a|・|b|cosθ≤|a|・|b|.

例3设a，b，c，d∈R+，证明（ab+cd）≤（a2+c2）・（b2+d2）.

证明构造向量m={a，c}，n={b，d}，那么存在

（ab+cd）2=（m・n）2=|m|2|n|2cos2θ≤|m|2|n|2=（a2+c2）（b2+d2）.

4微积分在初等数学中的应用

例4证明当0

证明设y=lnx，它在区间[a，b]满足拉格朗日中值定理的条件，有lnb-lnab-a=1ξ，0

若用初等数学的知识解题便会发现此题几乎无从下手，将不等号两边相减或相除来证都是比较困难的，因为有个对数函数在，而只要用拉格朗日中值定理，则此题便迎刃而解。

三、结语

从例题我们可以看出利用初等数学知识来解答这些问题的话，必然会繁琐无比，而我们通过利用高等数学知识就可以很巧妙地将题解出来，但是这并不意味着可以省略初等教学过程，而直接进行高等数学知识的学习，因为初等数学知识是基础，只有将基础打牢了，才能够更好的学习高等数学知识，才能更灵活地运用高等知识进行解题。同时还需要考虑的是学生不同年龄段的接受知识能力不同，而进行不同程度的教授知识。

参考文献

[1]李大华。应用泛函简明教程[M].武汉：华中理工大学出版社，1999.

[2]张贾宇，郭伯祥。数学方法论[M].上海：上海教育出版社，1996.

[3]王健吾。数学思维方法引论[M].合肥：安徽教育出版，1996.

初2数学3

想：

可先求出3箱梨比3箱苹果多的重量，再加上3箱苹果的重量，就是3箱梨的重量。

解：

45+5×3

=45+15

=60（千克）

初2数学4

教学目的

1、使学生正确掌握分式的乘除法的法则。

2、能熟练地运用分式的乘除法的法则进行计算。

教学分析

重点：分式的乘除法的法则是本节的教学重点。

难点：分子或分母为多项式的分式的乘除法是本节教学的难点。

教学过程

一、复习

1、复习提问：

(1)什么叫做分式的约分？约分的根据是什么？(可叫一位学生回答．)

(2)用投影仪(或小黑板)出示以下题目：

下列各式是否正确？为什么？。

先让学生观察思考，最后老师作结论．

2、用类比的方法总结出分式的乘除法的法则。

由分数的基本性质类比地得到分式的基本性质，由分数的约分类比地得到分式的约分．由分数乘除法的法则同样可类比地得到分式的乘除法的法则．现在我们来学习分式的乘除法．(板书课题)

让学生回忆并回答什么是“分数的乘除法的法则”；用投影仪(或小黑板)出示分数的乘除法的法则，然后启发学生，用类比的方法叙述出分式的乘除法的法则．。

二、新授

用投影仪或小黑板出示分式的乘除法法则：

分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；

分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．

用式子表示即是：

例1计算

分析(1)题并引导学生解答：

①(1)题是几个分式进行什么运算？

②每个分式的分子和分母都是什么代数式？

③运用分式乘除法法则得到的积的分子、分母各是什么？

④积的符号是什么？

⑤怎样应用分式的约分法则使积化成最简分式或单项式？

随手板书解题过程：

分析(2)题并引导学生自解：

①(2)题两个分式进行什么运算？

②每个分式的分子、分母各是什么代数式？

③怎样应用分式的除法法则把分式的除法运算变成分式的乘法运算？

以下可由学生写出运算结果：

(用投影仪或小黑板出示以下小结内容)

小结：分子和分母都是单项式的分式乘除法的解题步骤是：

①含有分式除法运算时，先用分式除法法则把分式除法运算变成分式乘法运算；

②再用分式乘法法则得出积的分式；

③用分式符号法则确定积的符号；

④用分式约分法则使积化成最简分式或整式(一般为单项式)．

三、练习

课堂练习1：

计算：

分析、引导学生

①本题是几个分式在进行什么运算？

②每个分式的分子和分母都是什么代数式？

③在分式的分子、分母中的多项式是否可以分解因式，怎样分解？(a2-4)=(a+2)(a-2)，a2-4a+3=(a-1)(a-3)，a2+3a+2=(a+1)(a+2)．

④怎样应用分式乘法法则得到积的分式？

⑤怎样应用分式约分法则使积化成最简分式或整式(一般为多项式)？

随手板书解题过程．

课堂练习2：

计算：

小结：分子或分母是多项式的分式乘除法的解题步骤是：

①将原分式中含同一字母的各多项式按降幂(或升幂)排列；在乘除过程中遇到整式则视其为分母为1，分子为这个整式的分式；

②把各分式中分子或分母里的多项式分解因式；

③应用分式乘除法法则进行运算得到积的分式；

④应用分式约分法则使积化成最简分式或整式．

先分析：本题是分子或分母为多项式的分式乘除法混合运算，运算过程从左至右依次进行；因此，分式乘除法法则也适用于两个以上的分式相乘除．然后让学生自己做，教师巡视，并找出得出正、反两个结果的学生上台板书，让大家判断正误．

四、小结

(1)让两个学生分别用语言叙述和式子表示分式乘除法法则．

(2)课堂验收题：在余下的时间内让学生独立完成以下题目，下课时全收上来，批阅打分，以便检 查课堂效果．(题目可用小黑板出示)．

计算：

五、作业

1．计算：

2．计算：

初2数学5

关键词：新课程；初中数学；生活化习题

数学具有极强的系统性、抽象性和逻辑性，同时和生活也是密不可分的，这就要求数学教师立足初中生的实际水平，按照数学教学规律循序渐进地因材施教。数学学习是在教师的指导下，师生共同开展的学习过程，其目的在于发展学生数学知识，培养学生数学能力，养成学生数学素质。笔者作为一名初中数学教师，对所教班级开展了多次教学改革实验，获得不少教学实践经验，在本文立足生活化教学视角，考虑将生活化策略和习题教学相结合，将数学知识还原生活、应用生活。

本文以二元一次方程组应用题为例，探究新课程初中数学生活化习题教学策略。二元一次方程是指在一个方程中，包含2个未知数，且2个未知数的次数为1，需要同时满足三大条件：第一，方程两侧代数式均为整式；第二，包含2个未知数；第三，未知数项的次数最高为1。那么就可以设立关于二元一次方程的x、y组合形式：ax+by=C，其中a、b均不等于0。二元一次方程组是指由含有2个未知数的一次方程组成的方程组。在基本概念讲解结束后，为帮助初中生更好地掌握数学知识，笔者特引入生活化习题进行练习训练。

习题：

某学校新建一幢4层教学楼，每层教学楼包括8间教室，建设方案为教学楼设置了4道出入门，其中包括2道正门和2道侧门，门的大小相同。为保证出入门的安全性，特进行测试：同时开启1道正门和2道侧门，学生出入可实现2分钟560名学生；同时开启1道正门和1道侧门，学生出入可实现4分钟800名学生。

求解：

（1）正门和侧门在1分钟内平均可出入的学生数？

（2）在出入门安全测试中，考虑到学生紧急拥挤，导致出入效率降低20%。要求出入门在紧急疏散时，确保大楼学生可以在5分钟内经由4道出入门撤离。假设：教学楼内教室最多可容纳45名学生，那么4道出入门测试结果如何，是否安全？

这道习题是一个源自于实际生活的二元一次方程组应用题，我在习题教学中，引导学生从生活角度思考解题思路，从“审+找+列+解+答”实施五步解题，其中审是将数学问题转化为实际问题，又能将实际问题抽象为数学问题，对习题中已知和未知进行分析，并以字母定义未知数；找是指结合习题题意，提炼出2个等式关系；列是指结合2个等式关系，列出代数式，列出方程组；解是指求解方程组，求解未知数值；答是指结合求出的未知数解，写出答案，做出解题合理判断。

我在数学习题教学中，引导学生在实际生活问题和数学问题相结合的理念下，对习题进行“审+找+列+解+答”思考，最终得出下列求解值。

解：

（1）假设：1道正门出入学生数每分钟平均为x名学生，1道侧门出入学生数每分钟平均为y名学生，结合题意列出：

2（x+2y）=560

4（x+y）=800

解得：x=120

y=80

答：1道正门出入学生数每分钟平均为120名学生，1道侧门出入学生数每分钟平均为80名学生。

（2）教学楼最多容纳学生数为：4×8×45=1440

由题意知紧急疏散时，4道出入门在5分钟内可以通过学生数为：5×2（120+80）（1-20%）=1600

因为1600>1440