定积分证明题方法总结（精编2篇）
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定积分证明题方法总结1
一、不定积分的概念和性质
若F(x)f(x)，则f(x)dxF(x)C， C为积分常数不可丢！
性质1f(x)dxf(x)或 df(x)dxf(x)dx或
df(x)dxf(x) dx
性质2F(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C
性质3[f(x)g(x)]dx
或[f(x)g(x)]dx
二、基本积分公式或直接积分法
基本积分公式 f(x)dxg(x)dx g(x)dx；kf(x)dxkf(x)dx. f(x)dx
kdxkxC
xxdx1x1C(为常数且1)1xdxlnxC ax
edxeCadxlnaC xx
cosxdxsinxCsinxdxcosxC
dxdx22tanxCsecxdxcsccos2xsin2xxdxcotxC
secxtanxdxsecxCcscxcotxdxcscxC
dxarctanxCarccotx
C（）1x2arcsinxC（arccosxC）
直接积分法：对被积函数作代数变形或三角变形，化成能直接套用基本积分公式。 代数变形主要是指因式分解、加减拆并等；三角变形主要是指三角恒等式。
三、换元积分法：
1.第一类换元法（凑微分法）
g(x)dxf((x))(x)dxf((x))d(x)
注 (1)常见凑微分：
u(x)f(u)du[F(u)C]u(x).
111dxd(axc), xdxd(x2c),2dc), dxd(ln|x|
c) a2x1dxd(arctanx)d(arccotxd(arcsinx)d(arccosx) 1+x2
(2)适用于被积函数为两个函数相乘的情况：
若被积函数为一个函数，比如：e2xdxe2x1dx， 若被积函数多于两个，比如：sinxcosx1sin4xdx，要分成两类；
(3)一般选择“简单”“熟悉”的那个函数写成(x)；
(4)若被积函数为三角函数偶次方，降次；奇次方，拆项；
2.第二类换元法
f(x)dxx(t)f((t))(t)dtf((t))(t)dtt1(x)G(t)Ct1(x) 常用代换类型：
(1) 对被积函数直接去根号；
(2) 到代换x1; t
(3) 三角代换去根号
x
atantxasect、
xasint(orxacost)
f(xdx，t
f(xx，x
asect
f(xx，xasint
f(xx，xatant f(ax)dx，ta
x
f(xx，t
三、分部积分法：uvdxudvuvvduuvuvdx.
注 (1)u的选取原则：按“ 反对幂三指” 的顺序，谁在前谁为u，后面的为v;
(2)uvdx要比uvdx容易计算；
(3)适用于两个异名函数相乘的情况，若被积函数只有一个，比如：
arcsinx1dx，
u
v
(4)多次使用分部积分法： uu求导 vv积分（t；
定积分证明题方法总结2
摘要：结合实例分析介绍了不定积分的四种基本计算方法。为使学生熟练掌握，灵活运用积分方法，本文将高等数学中计算不定积分的常用方法，简单进行了整理归类。
关键词：积分方法 第一类换元法第二类换元法 分部积分法 不定积分是高等数学中积分学的基础，对不定积分的理解与掌握的好坏直接影响到该课程的学习和掌握。熟练掌握不定积分的理论与运算方法，不但能使学生进一步巩固前面所学的导数与微分的知识，而且也将为学习定积分，微分方程等相关知识打好基础。在高等数学中，函数的概念与定义与初等数学相比发生了很多的变化，从有限到无限，从确定到不确定，计算结果也可能不唯一，但计算方法与计算技巧显得更加重要。这些都在不定积分的计算中体会的淋漓尽致。对不定积分的求解方法进行简单的归类，不但使其计算方法条理清楚，而且有助于对不定积分概念的理解，提高学习兴趣，对学好积分具有一定的促进作用。
1 直接积分法
直接积分法就是利用不定积分的定义，公式与积分基本性质求不定积分的方法。直接积分法重要的是把被积函数通过代数或三角恒等式变形，变为积分表中能直接计算的公式，利用积分运算法则，在逐项积分。
一、原函数与不定积分的概念
定义1.设f(x)是定义在某区间的已知函数，若存在函数F(x)，使得F(x)或dF
f(x)
(x)f(x)dx
,则称F(x)为f(x)的一个原函数
定义2.函数
f(x)的全体原函数F(x)C叫做f(x)的不定积分，，记为：
f(x)dxF(x)C
f(x)叫做被积函数 f(x)dx叫做被积表达式C叫做积分常数
“
其中
”叫做积分号
二、不定积分的性质和基本积分公式
性质1. 不定积分的导数等于被积函数，不定积分的微分等于被积表达式，即
f(x)dxf(x)；df(x)dxf(x)dx.
性质2. 函数的导数或微分的不定积分等于该函数加上一个任意函数，即
f(x)dxf(x)C,
或df(x)f(x)C
性质3. 非零的常数因子可以由积分号内提出来，即
kf(x)dxkf(x)dx
(k0).
性质4. 两个函数的代数和的不定积分等于每个函数不定积分的代数和，即
f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx
基本积分公式
(1)kdxkxC(k为常数)
(2)xdx
1
1
x
1
C
(1)
1
(3)xlnxC
x
(4)exdxexC
(6)cosxdxsinxC (8)sec2xdxtanxC (10)secxtanxdxsecxC (12)secxdxlnsecxtanxC (14)(16)
11x
11x
2
(5)a
x
dx
a
x
lna
C
(7)sinxdxcosxC (9)csc2xdxcotxC
(11)
cscxcotxdxcscxC
(13)cscxdxlncscxcotxC (15)
1x
2
2
xarctanxC
xarcsinxC
xarcsinxC
三、换元积分法和分部积分法
定理1. 设(x)可导，并且f(u)duF(u)C. 则有
f[(x)](x)dxF(u)C
凑微分
f[(x)]d(x)
令u(x)
f(u)du
代回u(x)
F((x))C
该方法叫第一换元积分法(integration by substitution)，也称凑微分法． 定理2.设x数F
(t)是可微函数且(t)0，若f((t))(t)具有原函
(t)，则
xt换元
fxdx
fttdt
积分
FtC
t
1
x
回代
1
FxC.
该方法叫第二换元积分法